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文档简介

设 f(x) 在区间a,b上连续，则对于任意的x ( )，积分 存在，,注意：积分上限x与被积表达式f(x)dx中的积分变量x是两个不同的概念，在求积时(或说积分过程中)上限x是固定不变的，而积分变量x是在下限与上限之间变化的,2-9 变上限定积分,，因此常记为,是上限x的函数.,定理(积分中值定理) 若函数 f(x) 在闭区间a,b 上 连续，则在a,b内至少存在一个点c ，使得,证,即,几何意义：,在 上至少存在一点 , 使得曲边梯形的面积等于同 一底边而高为 的矩形的 面积.,说明:,可把,故它是有限个数的平均值概念的推广.,积分中值定理对,因,定理2,证,由此推出,因而,证毕.,由上述结论可知：尽管不定积分与定积分概念的引入完全不同，但彼此有着密切的联系，因此我们可以通过求原函数来计算定积分.,定理2也称作原函数存在定理,例 1 设,解,则,由,和,复合而成的复合函数.,则,例 2 设,解,说明:,1) 定理 1 证明了连续函数的原函数是存在的.,2) 变限积分求导:,同时为,通过原函数计算定积分开辟了道路 .,

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