第十二章 振动(之二).ppt

1、阻尼振动的定义： 振幅随时间减小的振动,阻 尼 分 类：摩擦阻尼和辐射阻尼,本章讨论的条件仅考虑摩擦阻尼，所以,一、阻尼振动,12-3 阻尼振动 受迫振动 共振,本节讨论磨檫不为零情况下的振动,阻尼系数,由阻力系数决定。,时,方程的解为：,可见，阻尼振动不是简谐振动,是一种振幅随时间逐渐减小的振动。,无摩擦振动时系统的固有角频率。,阻尼振动的周期T ：相继两次通过极大（或极小）位置所经历的时间，大于固有周期：,阻尼振动的位移时间曲线：,过阻尼，振动从开始最大位移缓慢回到平衡位置,不再做往复运动。,临界阻尼，是物体不作往复运动的极限。,阻尼系数不同则振动情况也不一样：,欠阻尼，振动的振幅不断减小

2、，但可以完成往复运动。,二、受迫振动,周期性的外力 Hcos( pt ) 称为策动力,微分方程的解为,系统在周期性外力持续作用下所发生的振动,外力开始作用时较复杂,不长时间后,阻尼衰减忽略不计,达到稳定谐振状态，其频率与策动力相同：,阻尼振动,简谐振动,三、共振： 驱动力的角频率为某一定值时,受迫振动的振幅达到极大值的现象。,可以求出共振频率和及对应的共振振幅：,共振时受迫振动位移 与强迫力之间的相位差：,总之 振幅随时间减小的振动称为阻尼振动。 振动系统在周期性外力作用下发生的振动称为受迫振动。受迫振动开始时情况很复杂，但经过一段时间后便达到稳定状态。此时，振动系统的频率与强迫力的频率相同，

3、振幅与强迫力和系统本身以及系统所受阻力等均有关。 当强迫力的频率接近振动系统的固有频率时，受迫振动的振幅 A 将有最大值，这种现象称为共振。共振时，强迫力的频率称为共振频率。,同方向：两个简谐振动振动方向相同。 同频率：两个简谐振动的圆频率相同。 两个简谐振动的运动方程分别为：,同方向简谐振动合成演示,两个同方向、同频率的简谐振动的合成：,合振动仍然是同方向、同频率的简谐振动，其运动方程（位移公式）为：,12- 4 一维简谐振动的合成 拍现象,由图可见 x = x1 + x2,两式相比得：,在三角形 OM1M 中，由余弦定律有：,合振动的振幅和初相分别为：,可见：合振幅不仅与两分振动的振幅有关

4、，而且还与二者的相位差有关。,这时合振幅达到最大值。,这时有 于是：,（1）相位相同时：,（2）相位相反：,这时有,于是,这时合振幅达到最小值。,如果有N 个同方向、同频率、同振幅、相位差依次为一恒量的简谐振动：,它们的合振动可由旋转矢量作图而得。这些矢量构成一个不完整的正多边形而内接于一个圆内。由图可见，任意矢量对圆心的张角均为 ，所以合矢量对圆心的张角应为 。,由图知,所以合振动的振幅为,又,合振动的相位为,所以，合振动的运动方程为：,即 合振幅最大。各矢量同向。,（2）当 （k 0、k N 的整数）时,讨论：（1）当 （k = 0、1、2、3 .）时,A = 0 合振幅最小。 各矢量组成

5、一闭合正多边形。,（ 罗必塔法则）,例、一质点同时参与三个简谐振动，它们的振动方程分别为：,试计算其合振动的运动方程。,解：设 x12 = x1 + x2 = A12cos(t+12),所以，其合振动为：x = 0,再设 x = x1 + x2 + x3 = x 12 + x3 = Acos(t+),例1、一简谐振动曲线如图所示。则振动周期是 （A）2.62 s （B）2.40 s （C）0.42 s （D）0.382 s,B,解：当 t = 0 时 x = 2 有,因为 v 向 x 轴正向， 所以,当 t = 1 时 x = 0 有,即,例2、质点作简谐振动，周期为T，由二分之一最大位移处（

6、向正方向运动），运动到最大位移处所需要的时间为： （A）T / 4 （B）T /12 （C）T / 6 （D）T / 8,C,例3、有两相同的弹簧，其倔强系数均为 k 。求： （1）把它们串联起来，下面挂一个质量为 m 的重物，此系统作简谐振动的周期。 （2）把它们并联起来，下面挂一个质量为 m 的重物，此系统作简谐振动的周期。,解：求等效倔强系数 串联： 并联：,求：（1）此简谐振动的周期 T 。 （2）当 t = 0.6 s 时，物体的速度 v 。,解：（1）由振动方程知,（2）由速度公式 可知 将 t = 0.6 代入得,例4、一物体作简谐振动，其振动方程为,例5、一简谐振动的旋转矢量图

7、如图所示，振幅矢量长 2 cm ，则该简谐振动的 初相位为 振动方程为,例6、质量为m的物体和一个轻弹簧组成的弹簧振子，其固有振动周期为T。当它作振幅为A的自由简谐振动时，其振动能量为：,例7、一弹簧振子系统具有1.0 J的能量，0.10 m 的振幅和1.0 m/s 的最大速率，则弹簧的倔强系数为 振子的振动频率为,解：,200（N/m）,1.6 （HZ）,例8、一质量M的物体在光滑水平面上作简谐振动，振幅是12 cm ，在距平衡位置6 cm处速度是24 cm/s ，求： （1）周期T 。 （2）当速度是12 cm/s 时的位移。,解：设振动方程为 则 （1）在 x = 6 cm ，v = 2

8、4 cm/s 状态下有,解以上两式得,（2）当速度 v =12 cm/s 时有 可解得 此时的位移为：,例9、一质点作简谐振动，振动方程为 当时间 t =1/2T（T为周期）时，质点的速度为：,（A）,（B）,（C）,（D）,解：,例10、一质点作简谐振动，其运动速度和时间的曲线如图示,若质点的振动规律用余弦函数描述,则其初相应为:,解：,C,(1)振动周期T。 (2)加速度的最大值。 (3)振动方程的数值式。,例11、一物体作简谐振动,其速度最大值,其振幅,若t =0时物体位于平衡位置且向x 负向运动, 求:,解： (1) vm=A = vm/A=1.5s-1 T=2 / =4.19s (2

9、) am= 2A=vm =0.045 m/s2 (3) t =0, x0=0 ,v00 = /2 x=0.02cos(1.5t + /2),例12、在一竖直轻弹簧下端悬挂质量 m =9g 的小球，弹簧伸长l=1cm而平衡，经推动后，该小球在竖直方向作振幅为A=4cm的振动， 求： （1）小球的振动周期； （2）振动能量。,例13、一质点作简谐振动，周期为T，则其振动动能的振动周期为： （A）T/4 （B）T/2 （C）T （D）2T （ E）4T,解：,B,两个同方向不同频率简谐振动的合成：拍现象,(只讨论两频率都较大,而频率差很小的情况),合成的合振动的振幅,时而加强时而减弱拍现象。,设两振

10、动的振幅相同，初相为零,则合振动的位移为：,（设,）,上述结果也可用旋转矢量合成法求得。,合振动的频率,可见,合振幅出现时大时小的现象。,合振动的振幅,变化的周期为：,拍频 : 单位时间内强弱变化的次数 =|2-1|,拍：合振动忽强忽弱的现象,当 2 1 时，有 2 - 1 2 + 1,其中,随 t 缓变,随 t 快变,合振动可看作振幅缓变的简谐振动,显然，合振动不是简谐振动,消去参数 t ,得轨迹方程,讨论：,12- 5 两个互相垂直的简谐振动的合成,一质点同时参加两个简谐振动：,轨迹为直线,轨迹为椭圆, = 2 - 1,相互垂直简谐振动的合成,相互垂直不同频率简谐振动的合成,轨迹称为 李萨

11、如图形,右下图是： x y= 3 2 2= 0 , 1= /4 时的情况,两振动的频率成整数比时,两分振动频率相差很小时, = ( 2 - 1 ) t + ( 2 - 1 ),可看作两频率相等而 2- 1随t缓慢变化合运动轨迹将按上页图依次缓慢变化，如右上图。,电路中电压和电流（或电荷）的周期性变化称为电磁振荡。产生电磁振荡的电路称为振荡电路。,振荡过程：电路中电荷、电流作周期性变化，相应地电场、磁场能量亦作周期性变化，且不断相互转化。,最简单的振荡电路是LC电路。,12 - 6 振荡电路 电磁振荡,当电容器充好电与电源断开时（ t = 0 ）,具体分析如下：,电容器C,带电量,电势差,U=q

12、0 / C,储存的能量,We=q02/2C,自感线圈L,储存的能量,Wm= 0,q0,电流,I = 0,当电容器和线圈联通后,电容器C,带电量,电势差,从U=q0 / C减少到0,储存的能量,从We=q02/2C减少到0,自感线圈L,储存的能量,从0增加到 Wm= I02L/2,从q0减少到0,电流,从0增加到最大值 I0,直到电能全部转化为磁能。,电容器反向充电,电容器C,带电量,电势差,从0恢复到U=q0 / C,储存的能量,从0 恢复到We=q02/2C,自感线圈L,储存的能量,从Wm= I02L/2减少到0,从0恢复到q0,电流,从最大值I0减少到0,直到磁能全部转化为电能。,LC电路

13、的充、放电过程,无阻尼自由振荡,只含L 和C 的理想无阻尼自由振荡电路，电荷和电流随时间变化的规律方程称为振荡方程。,任一时刻电容两端电势差为：,UA-UB=q / C,线圈的自感电动势为：,又电容两端电压相等，有：,将,代入得,令,则,所以电磁振荡是简谐振动。,电流的相位比电量超前/2,方程 的解为：,在无阻尼自由振荡中，电量振幅 q0和电流振幅 I0 都保持不变，它们和初相 均由初始条件决定。,电荷和电流都随时间作周期性变化，但电流的位相比电荷的位相超前 。,周期和频率分别为,无阻尼自由振荡的角频率为,无阻尼电磁振荡有如下特点：,电感具有的磁能：,电路中的总能量为：, 无阻尼电磁振荡的总能量守恒,电容器具有的电能：,从电磁振荡的公式和谐振动的公式相比，可以看出物理量间的类似： q x I v L m 1/C k 电场能量 q 2/2C 势能 kx 2/2 ； 磁场能量 LI 2/2 动能 mv 2/2,电磁振荡的周期,例如弹簧振子的振荡周期,因此从机械振动