运筹学第二章-线性规划

1、2020/7/15,.,1,Chapter2 线性规划及单纯形法 (Linear Programming),LP的数学模型 图解法 单纯形法 单纯形法的进一步讨论人工变量法 LP模型的应用,本章主要内容：,2020/7/15,.,2,线性规划问题的数学模型,1. 规划问题,生产和经营管理中经常提出如何合理安排，使人力、物力等各种资源得到充分利用，获得最大的效益，这就是规划问题。,线性规划通常解决下列两类问题：,（1）当任务或目标确定后，如何统筹兼顾，合理安排，用最少的资源 （如资金、设备、原标材料、人工、时间等）去完成确定的任务或目标,（2）在一定的资源条件限制下，如何组织安排生产获得最好的经

2、济效益（如产品量最多 、利润最大.）,2020/7/15,.,3,线性规划问题的数学模型,例1.1 如图所示，如何截取x使铁皮所围成的容积最大？,2020/7/15,.,4,线性规划问题的数学模型,例1.2 某厂生产两种产品，下表给出了单位产品所需资源及单位产品利润,问：应如何安排生产计划，才能使总利润最大？,解：,1.决策变量：设产品I、II的产量 分别为 x1、x2,2.目标函数：设总利润为z，则有： max z = 2 x1 + x2,3.约束条件：,2020/7/15,.,5,线性规划问题的数学模型,例1.3 已知资料如下表所示，问如何安排生产才能使利润最大？,解：,1.决策变量：设产

3、品I、II的产量分别为 x1、x2,2.目标函数：设总利润为z，则有： max z = 2 x1 + 3x2,3.约束条件：,2020/7/15,.,6,线性规划问题的数学模型,例1.4 某厂生产三种药物，这些药物可以从四种不同的原料中提取。下表给出了单位原料可提取的药物量,解：,要求：生产A种药物至少160单位；B种药物恰好200单位，C种药物不超过180单位，且使原料总成本最小。,1.决策变量：设四种原料的使用 量分别为：x1、x2 、x3 、x4,2.目标函数：设总成本为z min z = 5 x1 + 6 x2 + 7 x3 + 8 x4,3.约束条件：,2020/7/15,.,7,例

4、1.5 某航运局现有船只种类、数量以及计划期内各条航线的货运量、货运成本如下表所示：,问：应如何编队，才能既完成合同任务，又使总货运成本为最小？,线性规划问题的数学模型,2020/7/15,.,8,解：,设：xj为第j号类型船队的队数（j = 1，2，3，4）， z 为总货运成本,则： min z = 36x1 + 36x2 + 72x3 + 27x4,线性规划问题的数学模型,2020/7/15,.,9,线性规划问题的数学模型,2. 线性规划的数学模型由三个要素构成,决策变量 Decision variables 目标函数 Objective function 约束条件 Constraints

5、,其特征是： （1）问题的目标函数是多个决策变量的线性函数，通常是求最大值或最小值； （2）问题的约束条件是一组多个决策变量的线性不等式或等式。,怎样辨别一个模型是线性规划模型？,2020/7/15,.,10,线性规划问题的数学模型,3. 建模条件,(1) 优化条件：问题所要达到的目标能用线型函数描述，且能够用极值（max 或 min）来表示；,(2) 限定条件：达到目标受到一定的限制，且这些限制能够用决策变量的线性等式或线性不等式表示；,(3) 选择条件：有多种可选择的方案供决策者选择，以便找出最优方案。,2020/7/15,.,11,线性规划问题的数学模型,4. 建模步骤,(1) 确定决策

6、变量：即需要我们作出决策或选择的量。一般情况下，题目问什么就设什么为决策变量；,(2) 找出所有限定条件：即决策变量受到的所有的约束；,(3) 写出目标函数：即问题所要达到的目标，并明确是max 还是 min。,2020/7/15,.,12,线性规划问题的数学模型,目标函数：,约束条件：,5. 线性规划数学模型的一般形式,简写为：,2020/7/15,.,13,线性规划问题的数学模型,向量形式：,其中：,2020/7/15,.,14,线性规划问题的数学模型,矩阵形式：,其中：,2020/7/15,.,15,线性规划问题的数学模型,6. 线性规划问题的标准形式,特点： 目标函数求最大值； (2)

7、 约束条件为等式方程，且右端常数项bi都大于或等于零； (3) 决策变量xj为非负。,2020/7/15,.,16,线性规划问题的数学模型,（2）如何化标准形式,目标函数的转换,如果是求极小值即 ，则可将目标函数乘以 (-1)，可化为求极大值问题。,也就是：令 ，可得到上式。,即,若存在取值无约束的变量 ，可令 其中：,变量的变换,2020/7/15,.,17,线性规划问题的数学模型,约束方程的转换：由不等式转换为等式。,称为松弛变量,称为剩余变量,常量 bi0 的变换:约束方程两边乘以（1）,2020/7/15,.,18,线性规划问题的数学模型,例1.6 将下列线性规划问题化为标准形式,用

8、替换 ，且,解:（）因为x3无符号要求 ，即x3取正值也可取负值，标准型中要求变量非负，所以,2020/7/15,.,19,线性规划问题的数学模型,(2) 第一个约束条件是“”号，在“”左端加入松驰变量x4，x40,化为等式； (3) 第二个约束条件是“”号，在“”左端减去剩余变量x5，x50； (4) 第3个约束方程右端常数项为-5，方程两边同乘以(-1),将右端常数项化为正数； (5) 目标函数是最小值，为了化为求最大值，令z=-z,得到max z=-z，即当z达到最小值时z达到最大值，反之亦然;,2020/7/15,.,20,线性规划问题的数学模型,标准形式如下：,2020/7/15,.

9、,21,例1.7 将下列线性规划问题化为标准形式,为无约束（无非负限制）,线性规划问题的数学模型,2020/7/15,.,22,解:,标准形式如下：,线性规划问题的数学模型,2020/7/15,.,23,例1.8 将线性规划问题化为标准型,解：,线性规划问题的数学模型,无约束,2020/7/15,.,24,线性规划问题的数学模型,7. 线性规划问题的解,线性规划问题,求解线性规划问题，就是从满足约束条件(2)、(3)的方程组中找出一个解，使目标函数(1)达到最大值。,2020/7/15,.,25,线性规划问题的数学模型,可行解：满足约束条件、的解为可行解。所有可行解的集合为可行域。 最优解：使

10、目标函数达到最大值的可行解。 基：设A为约束条件的mn阶系数矩阵(mn)，其秩为m，B是矩阵A中m阶满秩子矩阵（B0），称B是规划问题的一个基矩阵，简称基。设：,称 B中每个列向量Pj ( j = 1 2 m) 为基向量。与基向量Pj 对应的变量xj 为基变量。除基变量以外的变量为非基变量。,2020/7/15,.,26,线性规划问题的数学模型,基解：某一确定的基B，令非基变量等于零，由约束条件方程解出基变量，称这组解为基解。在基解中变量取非0值的个数不大于方程数m，基解的总数不超过 基可行解：满足变量非负约束条件的基本解，简称基可行解。 可行基：对应于基可行解的基称为可行基。,2020/7/

11、15,.,27,线性规划问题的数学模型,例1.10 求线性规划问题的所有基矩阵。,解: 约束方程的系数矩阵为25矩阵,r(A)=2，2阶子矩阵有10个，其中基矩阵只有9个，即,2020/7/15,.,28,图解法,线性规划问题的求解方法,一 般 有 两种方法,图 解 法 单纯形法,两个变量、直角坐标 三个变量、立体坐标,适用于任意变量、但必需将 一般形式变成标准形式,下面我们分析一下简单的情况 只有两个决策变量的线性规划问题，这时可以通过图解的方法来求解。图解法具有简单、直观、便于初学者窥探线性规划基本原理和几何意义等优点。,2020/7/15,.,29,解题步骤,4. 确定目标函数值增大（或

12、减小）方向；,1. 作出平面直角平面坐标系；,2. 根据约束条件找出可行域；,3. 作出目标函数线；,图解法,5. 让目标函数线沿着增大（或减小）方向平行移动，与 可行域相交且有最大（或最小）目标函数值的顶点，即为最优值。,2020/7/15,.,30,图解法,max Z = 2X1 + X2 X1 + 1.9X2 3.8 X1 - 1.9X2 3.8 s.t. X1 + 1.9X2 10.2 X1 - 1.9X2 -3.8 X1 ，X2 0,例1.11 用图解法求解线性规划问题,2020/7/15,.,31,图解法,x1,x2,o,X1 - 1.9X2 = 3.8(),X1 + 1.9X2

13、= 3.8(),X1 - 1.9X2 = -3.8 (),X1 + 1.9X2 = 10.2(),4 = 2X1 + X2,20 = 2X1 + X2,17.2 = 2X1 + X2,11 = 2X1 + X2,Lo： 0 = 2X1 + X2,（7.6，2）,D,max Z,min Z,此点是唯一最优解， 且最优目标函数值 max Z=17.2,可行域,max Z = 2X1 + X2,2020/7/15,.,32,图解法,max Z=3X1+5.7X2,x1,x2,o,X1 - 1.9X2 = 3.8 (),X1 + 1.9X2 = 3.8(),X1 - 1.9X2 = -3.8(),X1

14、 + 1.9X2 = 10.2 (),（7.6，2）,D,L0： 0=3X1+5.7X2,max Z,（3.8，4）,34.2 = 3X1+5.7X2,蓝色线段上的所有点都是最 优解这种情形为有无穷多最 优解，但是最优目标函数值 max Z=34.2是唯一的。,可行域,2020/7/15,.,33,图解法,min Z=5X1+4X2,x1,x2,o,X1 - 1.9X2 = 3.8 (),X1 + 1.9X2 = 3.8(),X1 + 1.9X2 = 10.2 (),D,L0： 0=5X1+4X2,max Z,min Z,8=5X1+4X2,43=5X1+4X2,（0，2）,可行域,此点是唯一

15、最优解,2020/7/15,.,34,图解法,2,4,6,x1,x2,2,4,6,无界解(无最优解),max Z=x1+2x2,例1.12,x1+x2=4(),x1+3x2=6(),3x1+x2=6(),max Z,min Z,x1,x2,O,10,20,30,40,10,20,30,40,50,50,无可行解(即无最优解),max Z=3x1+4x2,例1.13,2020/7/15,.,36,由图解法得到的启示,(1) 线性规划问题解的情况：唯一最优解；无穷多最优解；无界解；无可行解,(3) 最优解或最优解之一一定是在凸集的某个顶点,(2) 线性规划问题的可行域是凸集,(4) 解题思路是，先

16、找出凸集的任一顶点，计算其目标函数值，再与周围顶点的目标函数值比较，如不是最大，继续比较，直到找出最大为止。,图解法,2020/7/15,.,37,图解法,学习要点： 1. 通过图解法了解线性规划有几种解的形式 （唯一最优解；无穷多最优解；无界解；无可行解） 2. 作图的关键有三点： (1) 可行解区域要画正确 (2) 目标函数增大(或减小)的方向不能画错 (3) 目标函数的直线怎样平行移动,2020/7/15,.,38,连接几何形体中任意两点的线段仍完全在该几何形体之中。 有限个凸集的交集仍然是凸集。,单纯形法基本原理,2020/7/15,.,39,单纯形法基本原理,凸集：如果集合C中任意两

17、个点X1、X2，其连线上的所有点也都是集合C中的点，称C为凸集。,顶点：如果凸集C中不存在任何两个不同的点X1，X2，使X成为这两个点连线上的一个点,2020/7/15,.,40,单纯形法基本原理,定理1：若线性规划问题存在可行解，则该问题的可行域是凸集。 定理2：线性规划问题的基可行解X对应可行域(凸集)的顶点。 定理3：若问题存在最优解，一定存在一个基可行解是最优解。（或在某个顶点取得）,2020/7/15,.,41,单纯形法的计算步骤,单纯形法的思路,找出一个初始基可行解,是否最优,转移到另一个基可行解 （找出更大的目标函数值）,最优解,是,否,循 环,核心是：变量迭代,结束,单纯形举例

18、.ppt,2020/7/15,.,42,单纯形法的计算步骤,例1.12 用单纯形法求下列线性规划的最优解,解：1）将问题化为标准型，加入松驰变量x3、x4则标准型为:,2020/7/15,.,43,单纯形法的计算步骤,2）求出线性规划的初始基可行解，列出初始单纯形表。,检验数,2020/7/15,.,44,单纯形法的计算步骤,3）进行最优性检验,如果表中所有检验数 ，则表中的基可行解就是问题的最优解，计算停止。否则继续下一步。,4）从一个基可行解转换到另一个目标值更大的基可行解，列出新的单纯形表,确定换入基的变量。 一般选择最大的一个检验数，即： ，其对应的xk作为换入变量。 确定换出变量。根

19、据下式计算并选择 ，选最小的对应基变量作为换出变量。,2020/7/15,.,45,单纯形法的计算步骤,用换入变量xk替换基变量中的换出变量，得到一个新的基。对应新的基可以找出一个新的基可行解，并相应地可以画出一个新的单纯形表。 5）重复3）、4）步直到计算结束为止。,2020/7/15,.,46,单纯形法的计算步骤,入基,bi /ai2，ai20,40,10,出基,将3化为1,5/3,1,18,0,1/3,0,1/3,10,1,1/3,30,30,0,5/3,0,4/3,乘以1/3后得到,1,0,3/5,1/5,18,0,1,1/5,2/5,4,0,0,1,1,2020/7/15,.,47,

20、单纯形法的计算步骤,例1.13 用单纯形法求解,解：将数学模型化为标准形式：,不难看出x4、x5可作为初始基变量，列单纯形表计算。,2020/7/15,.,48,单纯形法的计算步骤,20,x2,2,1/3,1,5,0,1,20,75,3,0,17,1,3,1/3,0,9,0,2,25,60,x1,1,1,0,17/3,1/3,1,25,0,1,28/9,-1/9,2/3,35/3,0,0,-98/9,-1/9,-7/3,2020/7/15,.,49,变成标准型,单纯形法的计算步骤,例1.14 用单纯形法求解,2020/7/15,.,50,约束方程的系数矩阵,为基变量,为非基变量,I 为单位矩阵

21、且线性独立,单纯形法的计算步骤,2020/7/15,.,51,2020/7/15,.,52,2020/7/15,.,53,2020/7/15,.,54,单纯形法的计算步骤,学习要点： 1. 线性规划解的概念以及3个基本定理 2. 熟练掌握线性规划问题的标准化 3.熟练掌握单纯形法的解题思路及求解步骤,2020/7/15,.,55,单纯形法的进一步讨论人工变量法,人工变量法： 前面讨论了在标准型中系数矩阵有单位矩阵，很容易确定一组基可行解。在实际问题中有些模型并不含有单位矩阵，为了得到一组基向量和初基可行解，在约束条件的等式左端加一组虚拟变量，得到一组基变量。这种人为加的变量称为人工变量，构成的

22、可行基称为人工基，用大M法或两阶段法求解，这种用人工变量作桥梁的求解方法称为人工变量法。,2020/7/15,.,56,单纯形法的进一步讨论人工变量法,例1.10 用大M法解下列线性规划,解：首先将数学模型化为标准形式,系数矩阵中不存在单位矩阵，无法建立初始单纯形表。,2020/7/15,.,57,单纯形法的进一步讨论人工变量法,故人为添加两个单位向量，得到人工变量单纯形法数学模型：,其中：M是一个很大的抽象的数，不需要给出具体的数值，可以理解为它能大于给定的任何一个确定数值；再用前面介绍的单纯形法求解该模型，计算结果见下表。,2020/7/15,.,58,单纯形法的进一步讨论人工变量法,20

23、20/7/15,.,59,单纯形法的进一步讨论人工变量法,例1.11 用大M法解下列线性规划,解：首先将数学模型化为标准形式,系数矩阵中不存在单位矩阵，无法建立初始单纯形表。,2020/7/15,.,60,单纯形法的进一步讨论人工变量法,故人为添加两个单位向量，得到人工变量单纯形法数学模型：,其中：M是一个很大的抽象的数，不需要给出具体的数值，可以理解为它能大于给定的任何一个确定数值；再用前面介绍的单纯形法求解该模型，计算结果见下表。,2020/7/15,.,61,单纯形法的进一步讨论人工变量法,2020/7/15,.,62,单纯形法的进一步讨论人工变量法,2020/7/15,.,63,单纯形

24、法的进一步讨论,通过大法或两阶段法求初始的基本可行解。但是如果在大法的最优单纯形表的基变量中仍含有人工变量，那么该线性规划就不存在可行解。,无可行解,2020/7/15,.,64,C,-3 -2 -1 0 0 0 -M -M,CB,XB,b,x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7 x8,0 -M -M,x4 x7 x8,6 4 3,1 1 1 1 0 0 0 0 1 0 -1 0 -1 0 1 0 0 1 -1 0 0 -1 0 1,6/1 - 3/1,Z,-7M,-6-4M,-15-M,-3+M -2+M -1-2M 0 -M -M 0 0,0 -M -2,x4 x7 x2,3 4 3,1

25、 0 2 1 0 1 0 -1 1 0 -1 0 -1 0 1 0 0 1 -1 0 0 -1 0 1,3/1 4/1 -,Z,Z,-3+M 0 -3-M 0 -M -2 0 2-M,-3 -M -2,x1 x7 x2,3 1 3,1 0 2 1 0 1 0 -1 0 0 -3 -1 -1 -1 1 1 0 1 -1 0 0 -1 0 1,0 0 3-3M 3-M -M 1-M 0 -1,例,单纯形法的进一步讨论,运算到检验数全负为止，仍含有人工变量，无可行解。,2020/7/15,.,65,单纯形法的进一步讨论,无可行解是指原规划不存在可行解，从几何的角度解释是指 线性规划问题的可行域为空集

26、； 无界解则是指线性规划问题存在可行解，但是可行解的目 标函数达不到最优值，即目标函数在可行域内趋于无穷大。 判别方法：无界解判定定理 在求解极大化的线性规划问题过程中，若某单纯形表的检验 行存在某个大于零的检验数，但是该检验数所对应的非基变量 的系数列向量的全部系数都为负数或零，则该线性规划问题 无界解,无界解,2020/7/15,.,66,因 但 所以原问题无界解,单纯形法的进一步讨论,2020/7/15,.,67,退化,即计算出的 （用于确定换出变量）存在有两个以上相同的最小比值，会造成下一次迭代中由一个或几个基变量等于零，这就是退化（会产生退化解）。 为避免出现计算的循环，勃兰特(Bl

27、and)提出一个简便有效的规则（摄动法原理）： 当存在多个 时，选下标最小的非基变量为换入变量； (2) 当值出现两个以上相同的最小值时，选下标最小的基变量为换出变量。,单纯形法的进一步讨论,2020/7/15,.,68,无穷多最优解,若线性规划问题某个基本可行解所有的非基变量检验数都小于等于零，但其中存在一个检验数等于零，那么该线性规划问题有无穷多最优解。 例：最优表： 非基变量检验 数，所以有无穷多 最优解。,单纯形法的进一步讨论,2020/7/15,.,69,单纯形法的进一步讨论,单纯性法小结:,2020/7/15,.,70,线性规划模型的应用,一般而言，一个经济、管理问题凡是满足以下条

28、件时，才能建立线性规划模型。,要求解问题的目标函数能用数值指标来反映，且为线性函数 存在着多种方案 要求达到的目标是在一定条件下实现的，这些约束可用线性等式或不等式描述,2020/7/15,.,71,线性规划模型的应用,常见问题,合理利用线材问题：如何下料使用材最少。 配料问题：在原料供应量的限制下如何获取最大利润。 投资问题：从投资项目中选取方案，使投资回报最大。 产品生产计划：合理利用人力、物力、财力等，使获利最大。 劳动力安排：用最少的劳动力来满足工作的需要。 运输问题：如何制定调运方案，使总运费最小。,2020/7/15,.,72,线性规划模型的应用,(1)设立决策变量； (2)明确约束条件并用决策变量的线性等式或不等式表示； (3)用决策变量的线性函数表示目标，并确定是求极大（Max）还是极小（Min）； (4)根据决策变量的物理性质研究变量是否有非负性。,建立线性规划模型的过程可以分为四个步骤：,20