华师版反比例函数新课教案

【第十八章函数及其图象】§18.4(1)反比例函数【教学目标】1.理解反比例函数的概念，能判断两个变量之间的关系是否是函数关系，进而识别其中的反比例函数.2.能根据实际问题中的条件确定反比例函数的关系式.3.能判断一个给定函数是否为反比例函数.通过探索现实生活中数量间的反比例关系，体会和认识反比例函数是刻画现实世界中特定数量关系的一种数学模型；进一步理解常量与变量的辩证关系和反映在函数概念中的运动变化观点.【知识重点】反比例函数的概念【知识难点】例1涉及较多的《科学》学科的知识，学生理解问题时有一定的难度。【教学过程】随着速度的变化，全程所用时间发生怎样的变化？创设情景探究问题（P49问题1、2）情境1：（1）小华的爸爸早晨骑自行车带小华到15千米外的镇上去赶集，回来时让小华乘坐公共汽车，用的时间少了．假设两人经过的路程一样，而且自行车和汽车的速度都不变，爸爸要小华找出从家里到镇上的时间和乘坐不同交通工具的速度之间的关系．分析：和其他实际问题一样，要探求两个变量之间的关系，应先选用适当的符号表示变量，再根据题意列出相应的函数关系式．设小华乘坐交通工具的速度是v千米／时，从家里到镇上的时间是t小时．因为在匀速运动中，时间＝路程÷速度，所以t＝___________．(1)当路程一定时，速度与时间成什么关系？当路程一定时，速度与时间成什么关系？（2）学校课外生物小组的同学准备自己动手，用旧围栏建一个面积为24平方米的矩形饲养场．设它的一边长为x（米），求另一边的长y（米）与x的函数关系式．分析

根据矩形面积可知xy＝24，即 y＝_____________．(2)［说明］这个情境是学生熟悉的例子，当中的关系式学生都列得出来，鼓励学生积极思考、讨论、合作、交流，最终让学生讨论出：当两个量的积是一个定值时，这两个量成反比例关系，如xy＝m（m为一个定值），则x与y成反比例。这一情境为后面学习反比例函数概念作铺垫。情境2：汽车从南京出发开往上海（全程约300km），全程所用时间t（h）随速度v（km/h）的变化而变化.问题：（1）你能用含有v的代数式表示t吗？（2）利用（1）的关系式完成下表：v/(km/h)608090100120t/h（3）速度v是时间t的函数吗？为什么？［说明］（1）引导学生观察、讨论路程、速度、时间这三个量之间的关系，得出关系式s＝vt，指导学生用这个关系式的变式来完成问题（1）.（2）引导学生观察、讨论，并运用（1）中的关系式填表，并观察变化的趋势，引导学生用语言描述.3）结合函数的概念，特别强调唯一性，引导讨论问题（3）.情境3：用函数关系式表示下列问题中两个变量之间的关系：（1）一个面积为6400m2的长方形的长a（m）随宽b（m）的变化而变化；（2）某银行为资助某社会福利厂，提供了20万元的无息贷款，该厂的平均年还款额y（万元）随还款年限x（年）的变化而变化；（3）游泳池的容积为5000m3，向池内注水，注满水所需时间t（h）随注水速度v（m3/h）的变化而变化；（4）实数m与n的积为－200，m随n的变化而变化.问题：（1）这些函数关系式与我们以前学习的一次函数、正比例函数关系式有什么不同？（2）它们有一些什么特征？（3）你能归纳出反比例函数的概念吗？一般地，形如y＝eq\f(k,x)(k为常数，k≠0)的函数称为反比例函数，其中x是自变量，y是x的函数，k是比例系数.反比例函数的自变量x的取值范围是不等于0的一切实数（另外考虑生活实际意义）。.［说明］这个情境先引导学生审题列出函数关系式，使之与我们以前所学的一次函数、正比例函数的关系式进行类比，找出不同点，进而发现特征为：(1)自变量x位于分母，且其次数是1.(2)常量k≠0.(3)自变量x的取值范围是x≠0的一切实数.(4)函数值y的取值范围是非零实数.并引导归纳出反比例函数的概念，紧抓概念中的关键词，使学生对知识认知有系统性、完整性，并在概念揭示后强调反比例函数也可表示为y＝kx－1(k为常数，k≠0)的形式，并结合旧知验证其正确性.二、例题教学例1：下列关系式中的y是x的反比例函数吗？如果是，比例系数k是多少？(1)y＝eq\f(x,15)；(2)y＝eq\f(2,x－1)；(3)y＝－eq\f(\r(3),x)；(4)y＝eq\f(1,x)－3；(5)y＝eq\f(\r(2)＋1,x)；(6)y＝eq\f(x,3)＋2；(7)y＝eq\f(－1,2x).［说明］这个例题作了一些变动，引导学生充分讨论，把函数关系式如何化成y＝eq\f(k,x)或y＝kx＋b的形式了解函数关系式的变形，知道函数关系式中比例系数的值连同前面的符号，会与一次函数的关系式进行比较，若对反比例函数的定义理解不深刻，常会认为（2）与（4）也是反比例函数，而（2）式等号右边的分母是x－1，不是x，（2）式y与x－1成反比例，它不是y与x的反比例函数.对于（4），等号右边不能化成eq\f(k,x)的形式，它只能转化为eq\f(1－3x,x)的形式，此时分子已不是常数，所以（4）不是反比例函数.而（7）中右边分母为2x，看上去和（2）类似，但它可以化成eq\f(－\f(1,2),x)，即k＝－eq\f(1,2)，所以（7）是反比例函数.通过这个例题使学生进一步认识反比例函数概念的本质，提高辨别的能力.例2：在函数y＝eq\f(2,x)－1，y＝eq\f(2,x+1)，y＝x－1，y＝eq\f(1,2x)中，y是x的反比例函数的有个.［说明］这个例题也是引导学生从反比例函数概念入手，着重从形式上进行比较，识别一些反比例函数的变式,如y＝kx－1的形式.还有y＝eq\f(2,x)－1通分为y＝eq\f(2－x,x)，y、x都是变量，分子不是常量，故不是反比例函数，但变为y＋1＝eq\f(2,x)可说成（y＋1）与x成反比例.例3：若y与x成反比例，且x＝－3时，y＝7，则y与x的函数关系式为.［说明］这个例题引导学生观察、讨论，并回顾以前求一次函数关系式时所用的方法，初步感知用“待定系数法”来求比例系数，并引导学生归纳求反比例函数关系式的一般方法，即只需已知一组对应值即可求比例系数.三、拓展练习1、写出下列问题中两个变量之间的函数关系式，并判断其是否为反比例函数.如果是，指出比例系数k的值.（1）底边为5cm的三角形的面积y（cm2）随底边上的高x（cm）的变化而变化；（2）某村有耕地面积200ha，人均占有耕地面积y（ha）随人口数量x（人）的变化而变化；（3）一个物体重120N，物体对地面的压强p（N/m2）随该物体与地面的接触面积S（m2）的变化而变化.2、下列哪些关系式中的y是x的反比例函数？如果是，比例系数是多少？（1）y＝eq\f(2,3)x；（2）y＝eq\f(2,3x)；（3）xy＋2＝0；（4）xy＝0；（5）x＝eq\f(2,3y).3、已知函数y＝（m＋1）是反比例函数，则m的值为.［说明］引导学生分析、讨论，列出函数关系式，并检验是否是反比例函数，指出比例系数.第3题要引导学生从反比例函数的变式y＝kx－1入手，注意隐含条件k≠0，求出m值.四、课堂小结这节课你学到了什么？还有哪些困惑？五、布置作业六、教学反思【第十八章函数及其图象】§18.4(2)反比例函数【教学目标】1.会用待定系数法求反比例函数的解析式.2.通过实例进一步加深对反比例函数的认识,能结合具体情境,体会反比例函数的意义,理解反比例系数的具体的意义.3.会通过已知自变量的值求相应的反比例函数的值.运用已知反比例函数的值求相应自变量的值解决一些简单的问题.【知识重点】用待定系数法求反比例函数的解析式.【知识难点】例3要用科学知识,又要用不等式的知识,学生不易理解.【教学过程】复习1、反比例函数的定义：判断下列说法是否正确(对”√”,错”×”)2、思考:如何确定反比例函数的解析式?(1)已知y是x的反比例函数,比例系数是3,则函数解析式是_______(2)当m为何值时，函数是反比例函数，并求出其函数解析式．（关键是确定比例系数!）二.新课1.例题1：已知变量y与x成反比例，且当x=2时y=9（1）写出y与x之间的函数解析式和自变量的取值范围。小结：要确定一个反比例函数的解析式，只需求出比例系数k。如果已知一对自变量与函数的对应值，就可以先求出比例系数，然后写出所要求的反比例函数。2.练习：已知y是关于x的反比例函数，当x=时，y=2，求这个函数的解析式和自变量的取值范围。3.说一说它们的求法:(1)已知变量y与x-5成反比例，且当x=2时y=9,写出y与x之间的函数解析式.(2)已知变量y-1与x成反比例，且当x=2时y=9,写出y与x之间的函数解析式.4.例题2：设汽车前灯电路上的电压保持不变,选用灯泡的电阻为R(Ω)，通过电流的强度为I(A)。

（1）已知一个汽车前灯的电阻为30Ω，通过的电流为0.40A，求I关于R的函数解析式，并说明比例系数的实际意义。

（2）如果接上新灯泡的电阻大于30Ω，那么与原来的相比，汽车前灯的亮度将发生什么变化？在例3的教学中可作如下启发：（1）电流、电阻、电压之间有何关系？（2）在电压U保持不变的前提下，电流强度I与电阻R成哪种函数关系？（3）前灯的亮度取决于哪个变量的大小？如何决定？先让学生尝试练习，后师生一起点评。三.巩固练习:1.当质量一定时，二氧化碳的体积V与密度p成反比例。且V=5m3时，p=1．98kg／m3（1）求p与V的函数关系式，并指出自变量的取值范围。（2）求V=9m3时，二氧化碳的密度。四.拓展:1.已知y与z成正比例,z与x成反比例,当x=-4时,z=3,y=-4.求:(1)Y关于x的函数解析式;(2)当z=-1时,x,y的值.2.五.交流反思求反比例函数的解析式一般有两种情形：一种是在已知条件中明确告知变量之间成反比例函数关系，如例2；另一种是变量之间的关系由已学的数量关系直接给出，如例3中的由欧姆定律得到。六、布置作业：《尖子生》P35反比例函数（1）四、课堂小结这节课你学到了什么？还有哪些困惑？六、教学反思【第十八章函数及其图象】§18.4(3)反比例函数图象和性质【教学目标】1、体会并了解反比例函数的图象的意义2、能描点画出反比例函数的图象3、通过反比例函数的图象的分析，探索并掌握反比例函数的图象的性质【知识重点】本节教学的重点是反比例函数的图象及图象的性质【知识难点】由于反比例函数的图象分两支，给画图带来了复杂性是本节教学的难点【教学过程】一、情境创设可以从复习一次函数的图象开始：你还记得一次函数的图象吗?在回忆与交流中，进一步认识函数图象的直观有助于理解函数的性质。转而导人关注新的函数——反比例函数的图象研究：反比例函数的图象又会是什么样子呢?二、探索活动探索活动1画出反比例函数的图象．这个函数中自变量x的取值范围是不等于零的一切实数，列出x与y的对应值表：由这些有序实数对，可以在直角坐标系中描出相应的点（－6，－1）、（－3，－2）、（－2，－3）等，用光滑曲线将各点依次连起来，就得到反比例函数的图象，如图所示．这种图象通常称为双曲线．由于反比例函数的图象是曲线型的，且分成两支．对此，学生第一次接触有一定的难度，因此需要分几个层次来探求：(1)可以先估计——例如：位置(图象所在象限、图象与坐标轴的交点等)、趋势(上升、下降等)；(2)方法与步骤——利用描点作图；列表：取自变量x的哪些值?——x是不为零的任何实数，所以不能取x的值的为零，但仍可以以零为基准，左右均匀，对称地取值。描点：依据什么(数据、方法)找点?连线：怎样连线?——可在各个象限内按照自变量从小到大的顺序用两条光滑的曲线把所描的点连接起来。探索活动2反比例函数的图象．可以引导学生采用多种方式进行自主探索活动：(1)可以用画反比例函数的图象的方式与步骤进行自主探索其图象；(2)可通过探索函数与之间的关系，画出的图象．探索活动3反比例函数与的图象有什么共同特征?引导学生从通过与一次函数的图象的对比感受反比例函数图象“曲线”及“两支”的特征．反比例函数(k≠0)的图象是由两个分支组成的曲线。（1）当k＞0时，函数的图象在第____、____象限,在每个象限内，曲线从左向右下降，也就是在每个象限内y随x的增加而_________；

（2）当k＜0时，函数的图象在第______、_____象限，在每个象限内，曲线从左向右上升，也就是在每个象限内y随x的增加而___________．反比例函数(k≠0)的图象关于直角坐标系的原点成中心对称。三、例题教学例题１甲乙两地相距１００千米，一辆汽车从甲地开往乙地，试写出汽车到达乙地所用的时间与汽车速度的函数关系式，并画出函数的图象。［分析］由题意可知，t,v成反比例函数关系，另外要注意v的取值范围，v>0.解：由s=vt,得t=用描点法画出函数的图象，如图：例题２如图，已知反比例函数和一次函数y=-x+2的图象相