3.3.2抛物线的简单几何性质课件第一课时-高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

第三章

圆锥曲线的方程3.3.2抛物线的简单几何性质教师：XXX复习回顾21.抛物线的定义

平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线.点F叫做抛物线的焦点,直线l叫做抛物线的准线.2.抛物线的标准方程y2=2px(p>0)焦点坐标是,它的准线方程是新知学习3

类比用方程研究椭圆、双曲线几何性质的过程与方法，你认为应研究抛物线y2=2px(p>0)的哪些几何性质？如何研究这些性质？1.范围x≥0,y∈R一、抛物线的性质2.对称性

关于x轴对称.

我们把抛物线的对称轴叫做抛物线的轴．注：抛物线只有一条对称轴，没有对称中心．新知学习43.顶点

抛物线和它轴的交点叫做抛物线的顶点.抛物线的顶点就是原点O，坐标是(0,0)．4.离心率抛物线上的点M到焦点的距离和它到准线的距离的比，叫做抛物线的离心率.用e表示，e=1．一、抛物线的性质新知学习5图形方程焦点准线范围顶点对称轴elFyxOlFyxOlFyxOlFyxOy2=2px（p>0）y2=-2px（p>0）x2=2py（p>0）x2=-2py（p>0）x≥0y∈Rx≤0y∈Ry≥0x∈Ry≤

0x∈R(0,0)x轴y轴1四种抛物线的几何性质的对比新知学习61.对以上四种位置不同的抛物线和它们的标准方程进行对比、分析,其共同点:(1)顶点都为原点;(2)对称轴为坐标轴;(3)准线与对称轴垂直,垂足与焦点分别关于原点对称,它们与原点的距离都等于一次项系数的绝对值的;(4)焦点到准线的距离均为p.其不同点:(1)对称轴为x轴时,方程的右端为±2px,左端为y2;对称轴为y轴时,方程的右端为±2py,左端为x2;(2)开口方向与x轴(或y轴)的正半轴相同,焦点在x轴(或y轴)的正半轴上,方程的右端取正号;开口方向与x轴(或y轴)的负半轴相同,焦点在x轴(或y轴)的负半轴上,方程的右端取负号.2.只有焦点在坐标轴上,顶点是原点的抛物线的方程才是标准方程.小试牛刀71.判断(1)抛物线关于顶点对称.(

)(2)抛物线只有一个焦点,一条对称轴,无对称中心.(

)(3)抛物线的标准方程虽然各不相同,但是其离心率都相同.(

)小试牛刀答案:(1)×

(2)√

(3)√2.思考：怎样根据抛物线的标准方程判断抛物线的对称轴和开口方向?解析:一次项的变量若为x(或y),则x轴(或y轴)是抛物线的对称轴,一次项系数的符号决定开口方向.如果y是一次项,负时向下,正时向上.如果x是一次项,负时向左,正时向右.练习1小试牛刀83.以x轴为对称轴的抛物线的通径(过焦点且与对称轴垂直的弦)长为8,若抛物线的顶点在坐标原点,则其方程为(

)A.y2=8xB.y2=-8xC.y2=8x或y2=-8xD.x2=8y或x2=-8y解析:设抛物线方程为y2=2px(p>0)或y2=-2px(p>0),依题意得x=

,代入y2=2px或y2=-2px得|y|=p,∴2|y|=2p=8,p=4.∴抛物线方程为y2=8x或y2=-8x.答案:C练习1问题思考9(1)掌握抛物线的性质,重点应抓住“两点”“两线”“一率”“一方向”,它们分别指的是什么?(2)抛物线的性质与椭圆和双曲线性质的主要区别有哪些?提示:“两点”是指抛物线的焦点和顶点;“两线”是指抛物线的准线和对称轴;“一率”是指离心率1;“一方向”是指抛物线的开口方向.提示:抛物线的离心率等于1,它只有一个焦点、一个顶点、一条对称轴和一条准线.它没有中心,通常称抛物线为无心圆锥曲线,而称椭圆和双曲线为有心圆锥曲线.例题讲解10

则将M点代入得：

2=2p×2解得：p=2解：由已知可设抛物线的标准方程为y2=2px（p>0）因此所求方程为：y2=4x

巩固练习11设抛物线y=mx2(m≠0)的准线与直线y=1的距离为3,求抛物线的标准方程.故所求抛物线的标准方程为y=8x2.错因分析：本题在解答过程中容易出现两个错误:一是不能正确理解抛物线标准方程的形式,错误地将所给方程看成是抛物线的标准方程,得到准线方程为y=-

;二是得到准线方程后,只分析其中的一种情况,而忽略了另一种情况,只得到了一个解.练习2解惑提升12当焦点在x轴上,开口方向不定时,设为y2=mx(m≠0),当焦点在y轴上,开口方向不定时,设为x2=my(m≠0),可避免讨论.巩固练习13

（1）关于x轴对称，并且经过点M(5,-4)；（2）关于y轴对称，准线经过点E(5,-5)；

（3）准线在y轴右侧，顶点到准线的距离是4；（4）焦点F在y轴负半轴上，经过横坐标为16的点P，且FP平行于准线.练习3（课本P136练习T1)例题讲解14例4

斜率为1的直线经过抛物线y2=4x

的焦点，与抛物线相交于两点A、B，求焦点弦长AB的长．例题讲解15DC例4

斜率为1的直线经过抛物线y2=4x

的焦点，与抛物线相交于两点A、B，求焦点弦长AB的长．方法小结16法一：直接求两点坐标，利用两点间的距离公式求弦长法二：设而不求，利用弦长公式和韦达定理求弦长法三：活用定义，利用韦达定理求弦长坐标法：先用几何眼光观察，再用代数运算解决数形结合求焦点弦长新知学习176.焦点弦经过抛物线焦点的直线与抛物线交于A,B两点，则称弦AB为抛物线的焦点弦.|AB|＝(x1＋x2)

＋p(x1,y1)(x2,y2)5.焦半径

连接焦点与抛物线上的点的线段叫做抛物线的焦半径.xOyFP(x0,y0)一、抛物线的性质新知学习18图形标准方程焦半径公式lFyxOlFyxOlFyxOlFyxOy2=2px(p>0)y2=-2px(p>0)x2=2py(p>0)x2=-2py(p>0)思考探究19思考探究20新知学习21xOyFC7.通径通过焦点且垂直对称轴的直线，与抛物线相交于两点，连接这两点的线段叫做抛物线的通径.通径的长度为____,2p这就是抛物线方程中2p的几何意义.

p刻画了抛物线开口的大小.p值越大，开口越宽；p值越小，开口越窄．D例题讲解22例题讲解23例题讲解24方法小结25

将直线方程和抛物线方程联立，消元转化为关于x（或y的）方程组：Ax2+Bx+C=0（或Ay2+By+C=0），其中A，B，C为常数.

若A=0，则直线和抛物线相交（直线与抛物线的对称轴平行），有一个交点；

若A≠0，计算判别式Δ＝B2－4AC

：若Δ＞0，则直线和抛物线相交（有两个交点）；若Δ=0，则