MatLab讲解.ppt

1、Sunday, 2009-5- 10, 11:20:13,Slide 1 (of 97)数学建模课程模板 东北大学信息学院,第6章利用MATLAB语言求解科学运算问题,东北大学信息学院 薛定宇,Sunday, 2009-5- 10, 11:20:13,Slide 2 (of 97)数学建模课程模板 东北大学信息学院,本课程参考书 薛定宇、陈阳泉，高等应用数学问题的MATLAB求解，2004,2008，清华大学出版社 （用于以后求解问题参考） MATLAB语言符号运算局限性： 目前只支持32位MATLAB运行，在64位操作系统上必须安装32位版MATLAB 从MATLAB 2008b开始，符号运

2、算放弃了Maple内核，改用MuPAD作为符号运算引擎，功能变弱了很多，好些问题不能再求解了,Sunday, 2009-5- 10, 11:20:13,Slide 3 (of 97)数学建模课程模板 东北大学信息学院,本章内容提要（内容多，因学时限制，入门介绍）（详细内容查阅参考教材）,解析解与数值解 ch1 线性代数问题求解 ch4 简单介绍 非线性方程求解 ch6 最优化问题求解 ch6 微分方程求解 ch7 数据插值、处理与拟合 ch8 其他应用,Sunday, 2009-5- 10, 11:20:13,Slide 4 (of 97)数学建模课程模板 东北大学信息学院,6.1 解析解与数

3、值解,由已知公式一步步推导出的解 例如，高等数学计算，复杂问题不能手工求解，需要借助计算机 解析解不存在或不现实，需要数值解 不存在 不存在 p，工程应用3.14159即可 高阶矩阵的行列式，计算量,Sunday, 2009-5- 10, 11:20:13,Slide 5 (of 97)数学建模课程模板 东北大学信息学院,6.2 线性代数问题的计算机求解,矩阵分析问题由简单命令即可 行列式 det(A) 特征值 eig(A)，v,d=eig(A) 逆矩阵 inv(A)，伪逆pinv(A) 范数 norm(A,1), norm(A,2), norm(A,inf) 特征多项式系数 poly(A)

4、函数调用方法 eig(A), eig(sym(A),Sunday, 2009-5- 10, 11:20:13,Slide 6 (of 97)数学建模课程模板 东北大学信息学院,6.2.2 其他线性代数问题求解,线性代数方程求解 解的判定矩阵 三种情况 唯一解 无穷多解 无解，最小二乘解 Lyapunov方程、Riccati方程等 lyap、are等函数可以直接求解 矩阵函数求解,Sunday, 2009-5- 10, 11:20:13,Slide 7 (of 97)数学建模课程模板 东北大学信息学院,6.3 非线性方程求解,非线性方程的解析解 什么时候存在解析解？ 单变量多项式方程 可以转换成

5、单变量多项式方程的多元方程 准解析解 非线性方程的数值解 图解法 任意指定初值进行搜索求解 非线性矩阵方程的求解,Sunday, 2009-5- 10, 11:20:13,Slide 8 (of 97)数学建模课程模板 东北大学信息学院,6.3.1 非线性方程的解析解求解,MATLAB的solve函数可以求解方程 简单例子：鸡兔同笼问题的直接求解 数学问题 MATLAB求解语句,Sunday, 2009-5- 10, 11:20:13,Slide 9 (of 97)数学建模课程模板 东北大学信息学院,复杂例子 数学形式 MATLAB求解语句（准解析解） 解的检验,Sunday, 2009-5-

6、 10, 11:20:13,Slide 10 (of 97)数学建模课程模板 东北大学信息学院,另一个复杂例子 求解 检验,Sunday, 2009-5- 10, 11:20:13,Slide 11 (of 97)数学建模课程模板 东北大学信息学院,非线性方程的准解析解,考虑非线性方程 求解 验证 问题：该方程只有这一个解吗？,Sunday, 2009-5- 10, 11:20:13,Slide 12 (of 97)数学建模课程模板 东北大学信息学院,6.3.2 一元、二元方程的图解法,图解法只适合求解一元、二元方程 利用隐函数绘制函数ezplot，辅以hold on，可以把联立方程的解画在一

7、个坐标系下 重解前例 MATLAB语句,Sunday, 2009-5- 10, 11:20:13,Slide 13 (of 97)数学建模课程模板 东北大学信息学院,6.3.3 一般非线性方程的数值求解,方程的标准型 其中， 均是列向量或矩阵，维数相同 求解步骤： 选择变量 ，将非线性方程表示成标准型形式 编写MATLAB程序描述原方程 *.m函数形式、inline函数、匿名函数形式 调用fsolve函数求解方程,Sunday, 2009-5- 10, 11:20:13,Slide 14 (of 97)数学建模课程模板 东北大学信息学院,求解实例，仍考虑前面例子 选择变量 ，则 向量形式,Su

8、nday, 2009-5- 10, 11:20:13,Slide 15 (of 97)数学建模课程模板 东北大学信息学院,用MATLAB描述 匿名函数描述 MATLAB函数描述，生成 myeq.m文件 求解、验证,Sunday, 2009-5- 10, 11:20:13,Slide 16 (of 97)数学建模课程模板 东北大学信息学院,提高求解精度 停止迭代条件 TolX TolFun MaxIter: 最大迭代步数超限，默认500步 设置方法 求解、检验 寻找其他解：换初值,Sunday, 2009-5- 10, 11:20:13,Slide 17 (of 97)数学建模课程模板 东北大学

9、信息学院,6.3.4 非线性矩阵方程计算机求解,能直接求解矩阵方程 举例，扩展Riccati方程 其中 求解、检验、其他解,Sunday, 2009-5- 10, 11:20:13,Slide 18 (of 97)数学建模课程模板 东北大学信息学院,6.3.5 求解方法比较、总结,图解法 局限性：一元二元，精度低 优点：显示出感兴趣区域全部实根 准解析解方法 局限性：多项式类方程、不能选择初值 优点：全部根包括复根、精度高 一般数值解法 局限性：实根、依赖于初值 优点：任意非线性方程、精度适中、矩阵方程,Sunday, 2009-5- 10, 11:20:13,Slide 19 (of 97)

10、数学建模课程模板 东北大学信息学院,6.4 最优化问题求解,无约束最优化问题 有约束最优化问题 特殊问题 线性规划 二次型规划 一般问题 进化算法及其全局最优解法 整数规划、混合整数规划、0-1规划 动态规划与最短路径求解,Sunday, 2009-5- 10, 11:20:13,Slide 20 (of 97)数学建模课程模板 东北大学信息学院,6.4.1 无约束最优化问题求解,数学形式 ，最大值问题的变换 物理意义介绍 目标函数描述 匿名函数、M函数 MATLAB求解,Sunday, 2009-5- 10, 11:20:13,Slide 21 (of 97)数学建模课程模板 东北大学信息学

11、院,无约束最优化求解举例 求解步骤 变换成标准型，引入 ，则 描述目标函数 求解,Sunday, 2009-5- 10, 11:20:13,Slide 22 (of 97)数学建模课程模板 东北大学信息学院,图形验证 中间 过程,Sunday, 2009-5- 10, 11:20:13,Slide 23 (of 97)数学建模课程模板 东北大学信息学院,带有变量边界约束的最优化问题,数学描述 问题求解方法 可以按照有约束最优化问题求解 利用免费工具箱求解 loadFile.do?objectId=8277&objectType=file,Sunday, 2009-5- 10, 11:20:13

12、,Slide 24 (of 97)数学建模课程模板 东北大学信息学院,最优化问题求解其他考虑,全局最优解和局部最优解 几何解释 如何避免 初值考虑、多初值 并行算法，如遗传算法 最优化加速算法 最优区域过于平缓 考虑采用利用梯度信息,Sunday, 2009-5- 10, 11:20:13,Slide 25 (of 97)数学建模课程模板 东北大学信息学院,6.4.2 有约束最优化问题的求解,有约束最优化问题的数学形式 约束条件，不等式的处理 特殊形式 线性规划问题 二次型规划形式 一般最优化问题,Sunday, 2009-5- 10, 11:20:13,Slide 26 (of 97)数学建

13、模课程模板 东北大学信息学院,线性规划问题,一般数学形式 MATLAB求解,Sunday, 2009-5- 10, 11:20:13,Slide 27 (of 97)数学建模课程模板 东北大学信息学院,线性规划问题举例 提取矩阵、向量，对号入座 求解,Sunday, 2009-5- 10, 11:20:13,Slide 28 (of 97)数学建模课程模板 东北大学信息学院,双下标线性规划问题举例 线性规划不能直接求解双下标问题 引入变换，变成单下标问题，如,Sunday, 2009-5- 10, 11:20:13,Slide 29 (of 97)数学建模课程模板 东北大学信息学院,变换后的问

14、题 求解,Sunday, 2009-5- 10, 11:20:13,Slide 30 (of 97)数学建模课程模板 东北大学信息学院,二次型规划问题求解,数学标准型 MATLAB求解函数 注意事项 注意1/2系数,Sunday, 2009-5- 10, 11:20:13,Slide 31 (of 97)数学建模课程模板 东北大学信息学院,一般有约束非线性规划问题求解,数学形式 MATLAB求解,Sunday, 2009-5- 10, 11:20:13,Slide 32 (of 97)数学建模课程模板 东北大学信息学院,非线性规划举例 非线性约束条件的MATLAB描述 目标函数,Sunday,

15、 2009-5- 10, 11:20:13,Slide 33 (of 97)数学建模课程模板 东北大学信息学院,求解 另一种求解方法,Sunday, 2009-5- 10, 11:20:13,Slide 34 (of 97)数学建模课程模板 东北大学信息学院,实际最优化问题举例,数学形式 多个变量需要优化，不能直接求解 引入决策变量进行替换，生成 x 向量,Sunday, 2009-5- 10, 11:20:13,Slide 35 (of 97)数学建模课程模板 东北大学信息学院,变换后的最优化问题标准型 非线性规划 线性等式不等式约束、非线性等式约束,Sunday, 2009-5- 10,

16、11:20:13,Slide 36 (of 97)数学建模课程模板 东北大学信息学院,非线性约束 问题求解,Sunday, 2009-5- 10, 11:20:13,Slide 37 (of 97)数学建模课程模板 东北大学信息学院,6.4.3 进化算法及全局最优解法,为什么要引入进化算法？ 传统方法过于依赖初值，容易产生局部最优解 一元函数举例,Sunday, 2009-5- 10, 11:20:13,Slide 38 (of 97)数学建模课程模板 东北大学信息学院,常用进化算法 遗传算法 PSO粒子群优化算法 蚁群算法 遗传算法的基本思路 基于生物界优胜劣汰、适者生存法则寻优 同时从多点

17、开始并行搜索全局最优点 用数学方法实现了交叉、遗传、变异等 常用概率方法进化，每次的结果不同,Sunday, 2009-5- 10, 11:20:13,Slide 39 (of 97)数学建模课程模板 东北大学信息学院,遗传算法最优化工具箱(GAOT)下载 /mirage/GAToolBox/gaot/ 主函数调用 遗传算法与直接搜索工具箱（GADS）,两个遗传算法工具箱可以使用,Sunday, 2009-5- 10, 11:20:13,Slide 40 (of 97)数学建模课程模板 东北大学信息学院,求最大值 目标函数定义 （GAOT） 求解方法

18、 GAOT工具箱求解 GADS解法,单变量最优化问题举例,Sunday, 2009-5- 10, 11:20:13,Slide 41 (of 97)数学建模课程模板 东北大学信息学院,GAOT工具箱求解 GADS工具箱求解,多变量问题举例,Sunday, 2009-5- 10, 11:20:13,Slide 42 (of 97)数学建模课程模板 东北大学信息学院,线性规划 GAOT求解 不能求解有约束最优化，引入惩罚函数，即不满足约束条件时认为设置小目标函数 不能求解等式约束，需要解出，如,有约束最优化问题求解,Sunday, 2009-5- 10, 11:20:13,Slide 43 (of

19、 97)数学建模课程模板 东北大学信息学院,含有约束条件的目标函数（两个变量） 求解语句 线性规划问题直接求解,Sunday, 2009-5- 10, 11:20:13,Slide 44 (of 97)数学建模课程模板 东北大学信息学院,遗传算法小结,优点 可以求取全局最优解 计算量恒定，适合于在线寻优 缺点 适用范围窄，无约束最优化 精度低 利用遗传算法的优点 用遗传算法获得不精确的初值 由初值出发利用传统搜索方法寻优,Sunday, 2009-5- 10, 11:20:13,Slide 45 (of 97)数学建模课程模板 东北大学信息学院,6.4.4 整数规划和混合整数规划,什么是整数规

20、划、混合整数规划、0-1规划 数学形式 常用有效求解算法：分枝定界法 利用免费工具箱bnb20直接求解 下载地址 ,Sunday, 2009-5- 10, 11:20:13,Slide 46 (of 97)数学建模课程模板 东北大学信息学院,bnb20 工具箱使用和改进,调用格式 关键点：intlist的写法 程序编写较早，有待改进 调用前 调用后,Sunday, 2009-5- 10, 11:20:13,Slide 47 (of 97)数学建模课程模板 东北大学信息学院,整数规划举例,数学问题（线性规划） 要求所有决策变量均为整数,Sunday, 2009-5- 10, 11:20:13,S

21、lide 48 (of 97)数学建模课程模板 东北大学信息学院,混合整数规划 若决策变量1,4,5要求为整数 bnb20的局限性 不能采用匿名函数 版本兼容性需要小修改,Sunday, 2009-5- 10, 11:20:13,Slide 49 (of 97)数学建模课程模板 东北大学信息学院,0-1规划问题求解,MATLAB只提供了0-1线性规划问题求解函数binprog，不能求解一般非线性问题 可以利用bnb20直接求解 求解技巧： 分别设置为0、1向量,Sunday, 2009-5- 10, 11:20:13,Slide 50 (of 97)数学建模课程模板 东北大学信息学院,6.5

22、动态规划及最短路径求解,动态规划,Sunday, 2009-5- 10, 11:20:13,Slide 51 (of 97)数学建模课程模板 东北大学信息学院,可以利用生物信息学工具箱函数直接求解 先输入有向图信息 （自动布局） 求解,Sunday, 2009-5- 10, 11:20:13,Slide 52 (of 97)数学建模课程模板 东北大学信息学院,生物信息学工具箱函数局限性 复杂问题自动布局困难 也可以利用著名的Dijkstra算法编程求解,Sunday, 2009-5- 10, 11:20:13,Slide 53 (of 97)数学建模课程模板 东北大学信息学院,6.6 微分方程

23、问题求解,解析解求解 常系数线性微分方程解析解 微分方程组解析解 极特殊非线性微分方程解析解 微分方程数值解 标准型及其求解 一般微分方程组的标准型转换 特殊微分方程求解 边值问题的计算机求解,Sunday, 2009-5- 10, 11:20:13,Slide 54 (of 97)数学建模课程模板 东北大学信息学院,6.6.1 微分方程的解析解方法,直接调用dsolve函数 直接求解的优点 通用格式 无需记忆方程的手工解法、技巧 可以求解复杂问题,Sunday, 2009-5- 10, 11:20:13,Slide 55 (of 97)数学建模课程模板 东北大学信息学院,数学形式 先不考虑初

24、值，演示通解的解法 直接求解,微分方程求解举例,Sunday, 2009-5- 10, 11:20:13,Slide 56 (of 97)数学建模课程模板 东北大学信息学院,特解的解法 结果,Sunday, 2009-5- 10, 11:20:13,Slide 57 (of 97)数学建模课程模板 东北大学信息学院,解析解的一个反例,非线性微分方程求解 问题 求解 非线性微分方程变形 试图求解 唯一方法：数值解,Sunday, 2009-5- 10, 11:20:13,Slide 58 (of 97)数学建模课程模板 东北大学信息学院,微分方程组的解析解,微分方程组举例 MATLAB求解 解析

25、解,Sunday, 2009-5- 10, 11:20:13,Slide 59 (of 97)数学建模课程模板 东北大学信息学院,6.6.2 微分方程初值问题的数值解法,初值问题的标准型 , 已知 MATLAB求解步骤 写出标准型 描述标准型 匿名函数、M函数和inline函数 求解,Sunday, 2009-5- 10, 11:20:13,Slide 60 (of 97)数学建模课程模板 东北大学信息学院,Lorenz微分方程举例及可视化,数学形式 微分方程描述 求解 可视化,Sunday, 2009-5- 10, 11:20:13,Slide 61 (of 97)数学建模课程模板 东北大学

26、信息学院,M函数方法 变步长求解方法与精度设定 精度控制量 不会过多增大计算量 微分方程解的验证 选择不同的RelTol参数,Sunday, 2009-5- 10, 11:20:13,Slide 62 (of 97)数学建模课程模板 东北大学信息学院,Lotka-Volterra捕食模型,数学模型 引入变量进行变换，令 MATLAB求解,Sunday, 2009-5- 10, 11:20:13,Slide 63 (of 97)数学建模课程模板 东北大学信息学院,带有附加参数的微分方程求解,什么是附加参数？为什么使用附加参数？ 描述微分方程时引入附加参数 匿名函数 M函数 求解时使用,Sunda

27、y, 2009-5- 10, 11:20:13,Slide 64 (of 97)数学建模课程模板 东北大学信息学院,不同参数下的Lorenz问题求解,数学模型 附加参数 问题描述 求解,Sunday, 2009-5- 10, 11:20:13,Slide 65 (of 97)数学建模课程模板 东北大学信息学院,6.6.3 微分方程的标准化,一般微分方程如何求解？ 常见微分方程类型 高阶微分方程的变换 高阶微分方程组的变换 显式微分方程组 隐式微分方程组 容易解出的方程 引入代数方程求解方法 转换后可以直接求解,Sunday, 2009-5- 10, 11:20:13,Slide 66 (of

28、97)数学建模课程模板 东北大学信息学院,高阶微分方程的转换,常见高阶微分方程形式 状态变量选择方法不唯一，结果不唯一 常见选法 变换后模型,Sunday, 2009-5- 10, 11:20:13,Slide 67 (of 97)数学建模课程模板 东北大学信息学院,举例：Van der Pol 方程,数学模型 解析解不存在 引入状态变量 变换后模型 求解,Sunday, 2009-5- 10, 11:20:13,Slide 68 (of 97)数学建模课程模板 东北大学信息学院,Van der Pol 方程结果,解的验证 极限环 不同初值得出不同极限环 状态变量选择不同，模型不唯一 如 m

29、很大时用ode45无解，刚性方程ode15s,Sunday, 2009-5- 10, 11:20:13,Slide 69 (of 97)数学建模课程模板 东北大学信息学院,显式高阶微分方程组变换,数学形式 状态选择 转换模型,Sunday, 2009-5- 10, 11:20:13,Slide 70 (of 97)数学建模课程模板 东北大学信息学院,Apollo 轨迹模型,数学形式 初值 状态变量选择,Sunday, 2009-5- 10, 11:20:13,Slide 71 (of 97)数学建模课程模板 东北大学信息学院,变换后标准化模型 求解 验证,Sunday, 2009-5- 10,

30、 11:20:13,Slide 72 (of 97)数学建模课程模板 东北大学信息学院,隐式微分方程组的变换,例子数学模型 状态变量选择 变换后模型,Sunday, 2009-5- 10, 11:20:13,Slide 73 (of 97)数学建模课程模板 东北大学信息学院,6.6.4 特殊微分方程求解,矩阵微分方程求解 刚性方程求解 隐式微分方程求解 微分代数方程求解 延迟微分方程求解 切换微分方程求解 随机微分方程求解,Sunday, 2009-5- 10, 11:20:13,Slide 74 (of 97)数学建模课程模板 东北大学信息学院,6.6.5 边值微分方程的求解,数学模型 二阶

31、 一般 MATLAB求解函数,Sunday, 2009-5- 10, 11:20:13,Slide 75 (of 97)数学建模课程模板 东北大学信息学院,二阶边值问题举例,数学问题 变换 方程 边值方程 MATLAB求解,Sunday, 2009-5- 10, 11:20:13,Slide 76 (of 97)数学建模课程模板 东北大学信息学院,含未知参数的边值问题,数学问题 变量选择 MATLAB求解,Sunday, 2009-5- 10, 11:20:13,Slide 77 (of 97)数学建模课程模板 东北大学信息学院,6.7 数据处理,插值运算 一元插值 二元网格样本数据插值 二元

32、一般样本数据插值 基于数据的数学模型拟合 多项式拟合 非线性原型函数的最优拟合 基于神经网络的数据拟合 数据的统计分析,Sunday, 2009-5- 10, 11:20:13,Slide 78 (of 97)数学建模课程模板 东北大学信息学院,6.7.1 数据插值,什么是插值？ 什么是曲线（曲面）拟合？,Sunday, 2009-5- 10, 11:20:13,Slide 79 (of 97)数学建模课程模板 东北大学信息学院,一元函数的插值与曲线拟合,数学问题 已知：样本点 求未知点 X 处函数值 Y MATLAB求解步骤 生成样本点数据向量 插值问题求解,linear, cubic,sp

33、line,Sunday, 2009-5- 10, 11:20:13,Slide 80 (of 97)数学建模课程模板 东北大学信息学院,一元插值举例,由已知函数生成一组样本点，观察能否较好地插值拟合原曲线 样本数据生成与显示 MATLAB命令,Sunday, 2009-5- 10, 11:20:13,Slide 81 (of 97)数学建模课程模板 东北大学信息学院,插值问题的极端例子,正弦函数的曲线拟合 假设已知稀疏点 0,0.4,1.2,2,p 处的函数值 样本点计算与显示 插值运算、曲线拟合,Sunday, 2009-5- 10, 11:20:13,Slide 82 (of 97)数学建

34、模课程模板 东北大学信息学院,插值问题的反例,假设由快速变化的函数生成一组稀疏的样本点，例如 稀疏数据生成和样本点显示 数据插值与曲线拟合效果 样本点信息不足,Sunday, 2009-5- 10, 11:20:13,Slide 83 (of 97)数学建模课程模板 东北大学信息学院,二元网格样本点的插值,已知在 x-y 平面上网格点处的 z 值，如何拟合 x-y 平面内任意点插值？如何拟合曲面？ 二元插值求解步骤： 构造网格数据标准型 （meshgrid 函数） 二元函数插值求解,Sunday, 2009-5- 10, 11:20:13,Slide 84 (of 97)数学建模课程模板 东北

35、大学信息学院,二元网格数据插值举例,网格样本点数据原型函数 稀疏数据生成 数据插值,Sunday, 2009-5- 10, 11:20:13,Slide 85 (of 97)数学建模课程模板 东北大学信息学院,一般分布数据的二元插值问题,样本点不一定在网格上 已知 向量，计算 点上的函数值 常规曲面图绘制命令不能绘制曲面 数据插值方法： 曲面图绘制方法： 让插值点 x,y 在网格上 插值后直接利用surf函数进行曲面绘制,Sunday, 2009-5- 10, 11:20:13,Slide 86 (of 97)数学建模课程模板 东北大学信息学院,插值举例,由原型函数生成随机发布的数值 MATLAB语句 插值运算,Sunday, 2009-5- 10, 11:20:13,Slide 87 (of 97)数学建模课程模板 东北大学信息学院,插值应用：由离散样本点进行最优化,前面介绍的最优化是已知函数的最优化 如果未知函数，可以考虑插值去拟合 最优化举例,Sunday, 2009-5- 10, 11:20:13,Slide 88 (of 97)数学建模课程模板 东北大学信息学院,6.7.2 由数据拟合数学模型,为什么要拟合数学模型？ 插值只能求出感兴趣点的函数值 有时需要数学模型表示 需要由模型推导其他内容