斯托克斯定理课件

1、第一章矢量分析、主要内容梯度、分散度、旋转度、亥姆霍兹定理，1 .标量场的方向导函数和梯度，2 .向量场的无损音频压缩编码和分散度，3 .向量场的环量和旋转度，4 .无分散场和无旋转场的5 .格林定理，6 .向量场的唯一定理，7 .亥姆霍兹定理8 .正交曲面坐标系， 1 .标量场的方向导函数和梯度，方向导函数：标量场中的某个点的方向导函数表示从标量场的该点到某个方向的变化率。 例如，在标量场的p点沿着l方向的方向导函数中，标量场的某个点的梯度的大小与该点的最大方向向导函数相同，梯度的方向是具有该点的最大方向向导函数的方向。 坡度是向量。 在正交坐标系中，标量场梯度可由方程中的grad或字母gr

2、adient的缩写表示。 如果引入了运算符，则在垂直角坐标系中，坡度可以表示为、 无损音频压缩编码：沿着矢量a的某个有向曲面s的面积部分，称为矢量a通过该有向曲面s的无损音频压缩编码，用标量表示。 也就是说，2 .向量场的无损音频压缩编码和分散度，无损音频压缩编码可为正、负或为零。 矢量穿过某个闭合面时，该闭合面上存在产生其向量场的源的矢量进入该闭合面时，该闭合面上有收敛其向量场的孔(或水槽)。 封闭有向曲面的方向通常定义为封闭面的外法向。 因此，在闭合面上活动时，矢量通过该闭合面的无损音频压缩编码一定为正，相反，在闭合面上存在孔的情况下，矢量通过闭合面的流束一定为负。 因此，上述源称为正源，

3、孔称为负源。 如从物理上所理解的，在真空中的电场强度e通过任何闭合曲面的无损音频压缩编码中，在被该闭合面包围的自由电荷的电荷量q与真空介电常数0的比，即，在闭合面中存在正电荷的情况下，无损音频压缩编码是正的。 如果闭合面上有负电荷，则通量为负。 在不存在电荷的无源区域中，通过任一闭合平面的无损音频压缩编码为零。 该电实例一盏茶地显示了闭合平面上的正、负和无源无损音频压缩编码特性。 但是，通量仅表示封闭面的源总量，不能显示源的分布特性。 因此有必要探讨向量场的分散度。 当闭合面s无限收缩到某一点时，矢量a通过该闭合面s的无损音频压缩编码和由该闭合面s包围的体积之比的界限称为向量场a在该点的分散度

4、，用div A表示，式中div是英文dividence的缩写，v是由闭合面s包围的体积。 从上式可以理解为分散度是标量，包围每单位体积的封闭面的流束。 直角坐标系中的分散度可以表示为、所以分散度用算子表示为高斯定理，或者在数学上高斯定理构筑了面积分和体积分的关系。 可理解，在物理上，高斯定理确立了区域v中的情况与包围区域v的闭合面s中的情况之间的关系。 因此，如果知道区域v中的位置，则能够根据高斯定理求出边界s上的位置，反之也是可能的。 将沿着向量场a的有向曲线l的曲线积分称为沿着向量场a的该曲线的环量，即，3 .如果在闭合有向曲线l的基础上向量场a的方向与线元dl的方向在任何地方一致，则可知

5、向量场的环量和旋转度为0 可知环量可以用于描述向量场的涡特性。 如从、和物理学可以看出，真空中的磁感应强度b沿着任何闭合有向图l的环量等于被该闭合格拉夫包围的传导电流强度I与真空磁导率0的乘积。 即，式中的电流I的正方向和dl的方向为右旋的关系。 因此，环量表示产生具有涡特性的光源的强度，但环量表示由闭合曲线包围的整体光源的强度，不能表示光源的分布特性。 因此，有必要研究向量场的旋转度。 旋转度：旋转度是向量。当以符号rot A表示向量a的旋转速度时，其方向是使向量a具有最大循环量强度的方向，与针对该向量方向的最大循环量强度相等的大小，即，在式中，rot是字母rotation的略，en是最大循

6、环量强度的方向的单位矢量，s是闭合曲线l 根据上式，向量场的旋转大小可以看作是包围单位面积的封闭曲线上的最大环量。在垂直角坐标系中的旋转度可以用矩阵表示，或者用运算符表示，梯度、分散度或旋转度是微分运算，表示场的某一点附近的变化特性，场的各点上的梯度、分散度或旋转度可能不同。 因此，梯度、分散度和旋转度称为场的点特性或微分特性。 函数的连续性是一个微小的必要条件。 由此，在场量中发生间断点，不存在先前定义的梯度、分散度或旋转度。 斯托克斯定理与高斯定理相似，斯托克斯定理在数学上构筑了面积分和曲线积分的关系。 物理上可以理解为串扰的定理建立了区域s中的情况和包围区域s的闭合曲线l上的情况之间的关

7、系。 因而，如果知道区域s中的位置，则可以根据串扰定理获得边界l上的位置，反之亦然。 或者，、分散度为零的向量场写为无分散场，旋转度为零的向量场写为无旋转场。 4 .无分散场和无回转场，两个重要公式：左式表示，任何一个向量场a的回转度分散度一定等于零。 因此，任何无分散场都一定是其他的向量场的旋转度、或者任何旋转场都是无分散场的。 右式表示标量场梯度的旋转度一定等于零。 因此，任何无旋转场都一定可以表现为标量场的梯度，或者任何梯度场都一定是无旋转场。 假设存在任何两个标量场和区域v连续的二维偏导函数，则绿色定理如下图示： 中，可以证明满足这两个标量场和下式，根据方向导函数和梯度的关系，上式也是

8、式中，s是包围v的封闭曲面，是标量场的s表面的外法线en方向的导数。 以上两式称为标量第一绿定理。 基于、上式，也可以将上式称为标量第二格林定理。 另外，若设为任意2个向量场p和q，有与区域v连续的二次偏振导数，则能够证明该向量场p和q满足下式，其中，s为包围v的闭合曲面，面元dS的方向为s的外法线方向，上式称为矢量第一格林定理。 根据、上式也能得到下式：把这个式称为矢量第二格林定理。 另外，无论哪个绿色定理都说明区域v中的场与边界s中的场的关系。 因此，可以利用绿色定理将区域中场求解问题转化为边界出场求解问题。 另外，格林定理表示两种标量场或向量场之间应满足的关系。 因此，如果知道一个域的分布特性，则可以利用格林定理求解另一个域的分布特性。 格林定理被广泛应用于电磁理论。 在给定分散度、旋转度及边界上场量的切线或法线分量时，位于某一区域中的向量场可唯一确定该区域的向量场。 众所周知分散度和旋转度代表向量场的发生源，唯一定理表示向量场是由该源和边界条件决定的。 当、向量场F(r )是无限区域的任意一个单一值，其导函数连续有界，且在有限区域v分布有源时，给出向量场的分散度和旋