第三章 杆件的应力与强度计算(弯曲梁)

1、第3章应力和强度计算(弯曲)，材料力学，材料力学，3-1引言3-2拉伸(压缩)杆的应力和应变3-3拉伸和压缩时材料的机械性能3-4失效，许用应力和强度条件3-6薄壁圆筒的扭转3-7圆轴扭转的应力和强度条件3-8纯弯曲时梁的法向应力3-9横向弯曲时梁的法向应力3.10弯曲剪应力。弯曲剪应力强度条件3-11梁的合理设计3-12剪切和挤压的实用计算3-13应力集中、应力和钢筋强度计算。1.弯曲构件横截面上的应力。当梁上有横向外力时，梁的横截面上一般有剪力FS和弯矩m。3-8是纯弯曲时梁的法向应力。只有与法向应力相关的法向内力元素dFN=dA才能合成弯矩。只有与剪应力相关的切向内力元素dFS=dA才能

2、合成剪力；因此，在梁的横截面上既有正应力又有剪应力。在梁的横向截面上，剪力等于零，弯矩不变，因此该截面上的梁的弯曲是纯弯曲。(2)纯弯曲。在梁的横向和横向截面上，剪力和弯矩在任何截面上都不为零。这部分梁的弯曲是横向力弯曲。3。分析方法，纯弯曲梁的法向应力，3。方法，1。实验1。变形现象，纵向直线相对转动一个角度，变形后仍垂直于纵向圆弧，每条横向直线保持一条直线，每条纵向线段弯曲成一条圆弧并保持平行。提出了假设：(b)单向应力假设：纵向纤维不相互挤压，只承受单向拉伸和压缩。由此推断，在变形前后必须有一个长度恒定的纤维中性层。中性轴截面的对称轴称为中性轴。应变分布规律：直梁弯曲时，纵向纤维的应变与

3、其到中性层的距离成正比。2.变形几何关系，3。肉体关系。因此，胡克定律认为，直梁横截面上任意点的法向应力与其到中性轴的距离成正比。应力分布定律：要解决的问题，中性轴的位置，中性层的曲率半径，4。静态关系，横截面上的内力系统是垂直于横截面的空间平行力系统，其被简化为获得三个内力分量，这可以通过用外力平衡内力来获得，(1)、(2)和(3)。将应力表达式代入公式(1)即可，将应力表达式代入公式(2) Y为梁截面上任意点到中性轴的距离；Iz是梁截面相对于中性轴的惯性矩。讨论(1)当应用公式时，m和y通常被替换为绝对值，正负符号根据梁的变形直接判断。以中性轴为边界，梁变形后凸侧的应力为拉应力(正号)，凹

4、侧的应力为压应力(负号)；(2)最大法向应力出现在截面上离中性轴最远的点，因此公式改写为：(3)当中性轴为对称轴时，矩形截面、实心圆形截面、空心圆形截面；(3)，z，y，(4)对于中性轴不是对称轴的截面，当横向力作用在梁上时，截面中既有弯矩又有剪力。在这种情况下，梁的弯曲称为横向力弯曲。当受横向力弯曲时，梁的横截面既有法向应力又有剪应力。剪应力使横截面扭曲，横向力使纵向截面的压缩应力平行于中性层。纯弯曲中的平面假设和单向应力假设是无效的。1.横向力作用下的弯曲，但对弹性的精确分析表明，对于跨度L与截面高度H之比为l5h的细长梁。用纯弯曲法向应力公式计算横向受力弯曲时截面上的法向应力等截面直梁在

5、横向受力弯曲时的正应力公式为：横向受力弯曲时梁的正应力为3-9，横向受力弯曲时梁的正应力为2。公式的适用范围，1。在线弹性范围内，3。平面弯曲，4。等直梁，2。有剪应力的梁(细长梁)，3。强度条件，1。数学表达式，最大值在梁(3)中确定，允许荷载，(1)检查强度。对于铸铁等脆性材料制成的梁，由于材料和梁截面的中性轴一般不是对称轴，因此要求材料的容许拉应力和容许压应力分别不超过。例7:铸铁梁的应力如图A所示，其横截面尺寸如图所示。铸铁材料的许用拉应力和压应力分别为。试着检查光束是否安全。解决方案：(1)绘制梁的内力图，(2)计算横截面的几何性质，(a)确定中性轴位置，(b)寻找Iz，(3)检查强

6、度。由于梁的横截面相对于中性轴上下不对称，并且材料在拉伸和压缩时的许用应力不相等，最大正弯矩的作用截面C和最大负弯矩的作用截面B可能是危险表面。两个截面上的正应力分布如图d所示。最大压应力出现在B截面下边缘的每个点。所以最大拉应力出现在C截面的下边缘的每个点上，其值虽然大于，但不超过5%，因此仍然被认为是安全的。例8简支梁承受集中荷载P=30kN，l=8m，跨中120兆帕。试着为横梁选择工字梁类型。根据强度条件，选择工字梁28a。在实施例9中，梁AC的横截面为10工字梁，点b由圆钢棒BD悬挂。已知圆棒直径d=20mm毫米，梁和棒的直径=160兆帕。尝试获得允许的均匀载荷Q.解决方法：从平衡条件

7、出发，梁截面上的剪应力，1。3.10矩形截面梁的弯曲剪应力和弯曲剪应力强度条件，(1)两个假设，(1)剪应力平行于剪力；剪应力沿截面宽度均匀分布(离中性轴等距离处剪应力相等)。(2)由公式推导出中性轴y1的两个截面上的法向应力为1和2。A1是水平线外的横截面积，该水平线离中性轴为Y，其中：是面积A1到中性轴的静态力矩。经过简化后，由平衡方程B得到矩形截面的宽度。横截面积的静态力矩，除了从中性轴到中性轴的距离为Y的水平线。(4)剪应力沿截面高度的变化规律由静力矩与y的关系决定。可以看出剪应力沿截面高度按抛物线规律变化。y=h/2(即横截面上离中性轴最远的地方)=0，y=0(即中性轴上的每个点)A

8、=bh是矩形截面的面积。2。工字形截面梁，假定应力点到中性轴的距离为Y，研究方法与矩形截面相同，剪应力计算公式如下：B腹板厚度，从中性轴到中性轴的Y水平线外截面面积A的静力矩，(A)腹板剪应力沿腹板高度按二次抛物线规律变化；最大剪应力也在中性轴上，这也是整个横截面上的最大剪应力。腹板部分的总剪力为9597。假设：(a)沿宽度kk的所有点上的剪应力在点O处相遇；(b)沿Y方向各点的剪应力分量宽度相等，横截面边缘各点的剪应力方向与圆周相切。(3)圆形截面梁，最大剪应力发生在中性轴上。(4)薄壁圆形截面梁，显示为薄壁圆形截面梁。环壁厚度为r0，环的平均半径为r0。因此，可以假设(A)横截面上的剪应力

9、的大小(b)剪应力的方向与圆周相切，其中A=2r0是环形横截面的面积，横截面上的最大剪应力发生在中性轴上，其值最大，(2)强度条件，(3)需要检查剪应力的一些特殊情况，(1)当梁的跨度短，m小，FS大时，应检查剪应力；(2)当铆接或焊接组合截面腹板的厚度与高度之比小于相应的型钢比例时，检查剪应力；(3)各向异性材料(如木材)剪切能力差，因此有必要检查剪应力。示例10-简单的提升设备如图所示。提升能力(包括电动葫芦的自重)F=30kN。跨度长度l=5m。吊车梁AB由20a工字钢制成，允许弯曲正应力为170兆帕，允许剪切应力=100兆帕。试着检查一下这根梁的强度。解决方案：1 .检查正常应力强度和

10、2。检查剪应力强度，这样横梁是安全的。解决方案：1 .绘制功能框图和功能框图；2.根据正应力强度条件，查阅型钢表，选择32a工字钢，得到合理的梁设计；1.减小梁的最大弯矩；1.合理安排梁的荷载；根据强度要求设计梁时，主要取决于梁的正应力强度条件；3.集中力的分散；2.最大弯矩减小。2.增加WZ。1.合理选择截面形状。如果面积相等，选择弯曲模量大的截面。2.合理放置。2.对于脆性材料制成的梁，建议使用带有中性轴的T形不对称截面，并在受拉侧放置法兰。3.根据材料特性选择截面形状。选择中性轴为对称轴的截面，使y1/y2接近以下关系：最大拉应力和最大压应力同时接近许用应力；4.采用等强度梁，各截面上的最大正应力相等，达到材料的许用应力，故称之为等强度梁。例如，如果设计为等