清华大学弹性力学冯西桥FXQ-Chapter-10能量原理-A

1、冯西桥，清华大学工程力学系，2007年12月19日，第10章，能量原理能量方法，能量原理，第10章，泛函极值和变分能量方法的一些基本概念：可能的工作原理和功的互等定理；虚拟工作原理和互补虚拟工作原理；最小势能原理和最小余能原理；欧拉方程；变分和变分方法；附录B；泛函极值问题函数的微分和变分泛函的变分方法：泛函极值和变分法；附录B.1，函数极值问题，寻找条件极值的拉格朗日乘数法，条件极值问题：在满足条件下寻找函数的极值。函数：稳定条件：附录B.1，介绍函数极值问题。如果变量j依赖于函数y(x ),而函数y(x)的函数关系在一定的约束条件下可以任意改变，那么这个函数y(x)称为自变函数，而依赖于自

2、变函数的变量称为泛函。函数，函数：附录B.1，函数极值问题，例1最短连接问题连接A点和B点的曲线的长度L随着曲线的形状而变化，即曲线方程y=y(x)，它是自变函数y(x)的函数：附录B.1。在本例中，任何允许参与比较长度的曲线都必须通过两点A和B，这是自变函数y(x)的具体问题提出的约束条件。有无限多的函数可以满足这个约束，每一个都被称为容许函数。因此，所谓的“自变函数y(x)”并不意味着某种固定的函数关系，而是可以在允许的函数族中任意选择和改变。附录B.1，功能极值问题，例2悬臂梁问题悬臂梁-重量系统的总势能是悬臂梁挠度曲线y(x)的函数。可以证明，当悬臂梁处于平衡状态时，使总势能最小的挠度

3、曲线就是实际的挠度曲线。附录B.1，函数极值问题，左端约束边界条件：右端是自由边界条件。泛函中允许有一个与不可约梁端的自变函数的边值y(l)有关的项，称为边界项。附录B.1，泛函极值问题，当自变函数y(x)改变时，泛函的值也会改变。定义：如果函数在状态中的值小于(或大于)在任何状态y(x)中的值，则称函数取状态中的最小值(或最大值)，这统称为极值。或，附录B.2，函数的微分和变分，微分：函数的微分和变分，函数的变分：当y(x)是函数的自变函数时，函数本身可以直接成为与其相邻的可容许函数：当和x是独立的无穷小时，函数(x)应该在一定范围内选择，首先，它应该是y。此外，它们应该满足特定问题提出的约

4、束，以确保它们是可容许函数。附录B.2，函数的微分和变分，附录B.2，函数的微分和变分，函数关系的直接变化引起的自变函数的增量称为函数的一阶变分，简称y。在变分过程中，函数y(x)的自变量x保持不变，如图所示，y是同一自变量上两条相邻曲线的函数值之差。附录B.2，函数的微分和变分，函数y(x)的一阶导数仍然是自变量x的函数。因此，变分分为，附录B.2，函数的微分和变分，复合函数，复合函数的变分，微分：附录B.3，复合函数的变分，让复合函数和自变函数y(x)及其各阶导数与自变量y(x)的x有关，这是由自变函数的变分y引起的如果我们先把它看作函数F的n 2个“独立变量”，根据多元函数的全微分公式，

5、由这些变量的增量引起的F增量的主要部分是：附录B.2，函数的微分和变分，微分：变分，附录B.3，复合函数的变分。复变函数的变化由于变分Y可以独立选择，与独立变量Y及其导数无关，变分Y(及其导数)对独立变量Y(及其导数)的偏导数都为零，即作为自变函数的增量，Y(及其导数)的高阶变化都为零，即附录B.4，泛函的变化。当给定x时，可以立即计算出复合函数f的相应值，但不能计算出函数j的值，因为j与域中的函数值f完全相关(但不是一个)。泛函的变分，附录B.4，泛函的变分，泛函J的变分：泛函J由变分Y引起的增量是：附录B.5，变分方法，变分方法的基本问题：找到能使泛函J(y(x)在满足约束条件的容许函数中

6、取极值的自变函数，如果其中有；Y(x)是邻域中的任意容许函数。附录B.5，变分方法，泛函极值的必要条件(平稳条件)是泛函的一阶变分为零，即泛函极值的充分条件应考虑二阶变分，如果是，则应考虑高阶变分的性质。附录B.5，变分方法，变分方法的基本预备定理让(x)是一个闭区间上的连续函数，y是区间上自变函数y(x)的一个变分。如果y在满足约束条件的前提下任意变化，则被积函数(X)在区间上处处为零，也就是说，单变量函数的泛函驻留值问题在域y中(x X=a是约束边界，x=b是自由边界。附录B.6，欧拉方程和自然边界条件，附录B.6，欧拉方程和自然边界条件，根据两端边界条件，变分y的边值应满足：泛函的平稳条

7、件有：附录B.6，欧拉方程和自然边界条件，欧拉微分方程，附录B.6，自然边界条件。相应的欧拉方程是材料力学中梁的挠度微分方程。即附录B.6，欧拉方程和自然边界条件，自然边界条件是：这是自由端剪力和弯矩的力边界条件。此外，基本边界条件是固定端的位移边界条件：此时，欧拉方程的解是图中所示悬臂梁的实际挠度曲线。能量原理，第10章，泛函极值和变分方法的基本概念和术语，可能功原理，功的互等原理，虚功原理和余虚功原理，最小势能原理和最小余能原理，欧拉方程弹性变分问题的直接解法，基本概念和术语，第10.1章，变分方法(能量法):考虑整个系统的能量关系，建立了在给定约束条件下寻找泛函变分方程的泛函极值的变分问

8、题。微分法：从无穷小开始，建立基本微分方程，在给定的边界条件、基本概念和条件下，求解微分方程的边值问题。第10.1章，变分问题的两种解法欧拉法：将变分方程转化为直接法：直接求解变分方程。基本概念和术语，第10.1章，静态关系：包括平衡方程和力边界条件。在静态关系中，只有机械量出现，它与几何量无关。本构关系：将力学量与几何量联系起来。基本概念和术语，第10.1章，所有前面的章节都致力于寻找同时满足所有弹性基本关系的真实状态。本章分为两个步骤：首先，寻找满足某些基本关系的可能状态，然后从可能状态中寻找满足所有基本关系的真实状态。基本概念和术语，第10.1章，能量原理中的可能状态：变形可能状态或运动

9、可能状态：满足变形关系的任何变形状态，无论其是否满足静态关系和本构关系。右上角加上(k)。描述变形可能状态的基本量是变形的可能位移和变形的可能应变。基本概念和术语，第10.1章，在经典能量原理中有两种可能的状态：可能的位移：它应该是连续的并且满足给定的位移边界条件；可能的应变：可能的位移应满足几何方程。有无限多种可能的变形状态，其中只有一种能同时满足所有基本的弹性关系，这就是真正的变形状态。真实的变形状态是由物体上的载荷引起的，而可能的变形状态与给定的载荷没有必然的因果关系。基本概念和术语，第10.1章，虚拟位移：从一个可能位移到另一个相邻可能位移的微小位移变化，记为，基本概念和术语，第10.

10、1章，静态可能状态：它满足静态关系(平衡方程和给定的力边界条件)，不管它是否满足变形关系和本构关系的任何平衡状态。它由右上角的符号表示，例如，有无限可能的静态，并且其中只有一个可以同时满足所有弹性的基本关系，这就是真实状态。虚拟应力：可能应力场的变化，基本概念和术语，第10.1章，小连接的真实状态满足：变形关系、静态条件、本构关系变形(几何)可能状态：仅需要满足变形关系可能位移：连续(三阶可导)，满足位移边界条件可能应变：从可能位移，从几何关系计算虚拟位移：从一个可能位移到另一个相邻可能位移的微小位移变化(变化)，基本概念和术语，第10.1章， 静态可能状态：仅需要满足静态关系可能应力：满足静

11、态平衡条件和力边界条件虚拟应力：一个可能应力和另一个相邻可能应力之间的轻微应力变化(变化)虚拟载荷：用虚拟应力平衡的载荷，基本概念和术语，第10.1章，广义力：以相同比例加载的力系统(如弯矩和扭矩)。 广义位移：内积等于功的几何量(如旋转角和扭转角)。基本概念和术语，第10.1章，变形功：由物体自身引起的准静态弹性变形载荷所做的功。线弹性：可能的功和虚功：一个载荷在任何可能的运动位移(或虚位移)上所做的功。荷载P对挠度W所做的变形功是：假设梁产生一个可能的变形位移，且A点的挠度值为0，荷载P对可能的挠度所做的可能功是：基本概念和术语，第10.1章，基本概念和术语，第10.1章，弹性应变能和弹性

12、应变余能U和Uc分别是物体应变场和应力场的单值泛函，与变形历史无关。基本概念和术语，第10.1章，真实状态下的W和Wc满足以下互补关系：线性弹性体：总势能定义为弹性体的应变能和载荷系统的外力势之和，即基本概念和术语，第10.1章，弹性系统的势能，基本概念和术语，第10.1章，为了保证工作独立于路径， 公式中的被积函数应该是全微分的，因此V(ui)也是一个与路径无关的单值连续状态函数，它被称为力系统的势能Fi。 势能力系统所拥有的功能力。基本概念和术语，第10.1章，使用总微分公式，正确的公式写成：这表明保守力系的三个分类fi是由同一个势函数v导出的，因此，保守力系的三个分类fi是由同一个势函数

13、v导出的基本概念和术语、公式、基本概念和术语不变力系统势能、应变能、物理势、表面势和总剩余势能定义为弹性体和支撑系统的应变剩余能量之和，即基本概念和术语，第10.1章，弹性系统剩余能量弹性系统总余能c定义为支撑系统应变余能Uc和余能Vc之和。 也就是说，当弹性系统的支撑边界允许位移时，支撑系统吸收的或通过支撑系统传递给其他物体的多余能量称为支撑系统的互补势能，记录为Vc，它等于边界在反作用力Ri上所做功的负值(称为互补功)。 要注意的是，Ri是一个静态的可能的反作用力，它与给定的位移边界无关，所以，基本概念和术语，第10.1章，基本概念和术语，第10.1章，让图中位移边界上的反作用力Su为，那

14、么支撑系统的剩余势能为，系统的总余能，能量原理，第10章， 泛函的极值和变分基本概念和可能功原理，功的等价定理虚功原理和互补虚功原理弹性力学中欧拉方程变分问题的直接解，可能功原理，可能功原理的等价定理，第10.2章，第一状态(s)，第二状态(k)，可能功原理的等价定理，第10.2章，这里的物理力和表面力不一定与物体上的实际载荷相同， 但是它们是根据上述两个公式由可选的可能应力场计算的可能外力，因此它们是广义的静态可能状态，不同于上一节中定义的静态可能状态，简称为状态。 在这种状态下，不考虑物体的材料特性，也不考虑是否存在协调应变场和连续位移场。第二种状态完全由几何量(应变和位移)来描述，如图所示。在域中，它满足几何方程：可能功的原理，功的相互等价定理，第10.2章，并要求所有边界位移等于域中边界处选定位移场的值，没有力边界。这里的边界位移可以独立于物体上的实际约束，所以它是一个广义的变形可能状态，称为状态(k)。在这种状态下，无论是否存在平衡应力场，都不考虑物体的材料特性。应该指出，状态(s)和状态(k)是相互独立的，可以根据方便的原则自由选择。可能工作原理的互易定理，第10.2章，分别考虑了物理力、表面力和状态中的可能应力对相应的可能位移和状态的可能应变(k)所做的功：利用边界条件和高斯积分定理，表面力功Ap被改写成可能工作原理的互易定理，