拉氏变换详解

1、1,2.常用函数的拉氏变换 (1)例1.求阶跃函数f(t)=A1(t)的拉氏变换。 单位阶跃函数f(t)=1(t)的拉氏变换为 。 (2)例2.求单位脉冲函数f(t)=(t)的拉氏变换。,数学知识回顾,2,（3）例3.求指数函数f(t)= 的拉氏变换 几个重要的拉氏变换,3,3.拉氏变换的基本性质 (1)线性性质 原函数之和的拉氏变换等于各原函数的拉氏变换之和。 (2)微分性质 若 ，则有 f(0)为原函数f(t) 在t=0时的初始值。,4,证：根据拉氏变换的定义有 原函数二阶导数的拉氏变换 依次类推，可以得到原函数n阶导数的拉氏 变换,5,(3)积分性质 若 则 式中 为积分 当t=0时的值

2、。 证：设 则有 由上述微分定理，有,6,即： 同理，对f(t)的二重积分的拉氏变换为 若原函数f(t)及其各重积分的初始值都等于0 则有 即原函数 f(t)的n重积分的拉氏变换等于其象 函数除以 。,7,（4）终值定理 原函数的终值等于其象函数乘以s的初值。 证：由微分定理，有 等式两边对s趋向于0取极限,8,注：若 时f(t)极限 不存在，则不能用终值定理。如对正弦函数和余弦函数就不能应用终值定理。 (5)初值定理： 证明方法同上。只是要将 取极限。 (6)位移定理： a.实域中的位移定理，若原函数在时间上延迟 ，则其象函数应乘以,9,b.复域中的位移定理，象函数的自变量延迟a，原函数应乘

3、以 即： (7)时间比例尺定理 原函数在时间上收缩（或展宽）若干倍，则象函数及其自变量都增加（或减小）同样倍数。即： 证：,10,(8)卷积定理 两个原函数的卷积的拉氏变换等于两个象函数的乘积。 即 证明：,11,12,二.拉氏反变换 1. 定义：从象函数F(s)求原函数f(t)的运算称为拉氏反变换。记为 。由F(s)可按下式求出 式中C是实常数，而且大于F(s)所有极点的实部。 直接按上式求原函数太复杂，一般都用查拉氏变换表的方法求拉氏反变换，但F(s)必须是一种能直接查到的原函数的形式。,13,若F(s)不能在表中直接找到原函数，则需要将F(s)展开成若干部分分式之和，而这些部分分式的拉氏

4、变换在表中可以查到。 例1： 例2：求 的逆变换。 解：,14,例3.,15,2. 拉式反变换部分分式展开式的求法 （1）情况一:F(s) 有不同极点,这时,F(s) 总能展开成如下简单的部分分式之和,16,17,18,（2）情况2:F(s)有共轭极点 例2：求解微分方程,19,（3）情况3:F(s)有重极点,假若F(s)有L重极点 ,而其余极点均不相同。 那么,20,21,22,23,如果不记公式,可用以下方法求解,也可得解。,24,3、线性定常微分方程的求解,【例26 P25】下图中，若已知L=1H, C=1F, r=1,U0(0)=0.1V, i(0)=0.1A, ui(t)=1V.试求

5、电路突然接通电源时电容电压的变化规律。,25,解：已求得微分方程为,拉氏变换得,26,代入得,根据初值定理、终值定理,27,三.传递函数 1.定义：零初始条件下，系统输出量的拉氏变换与输入量拉氏变换的比值叫该系统的传递函数，用G(s)表示。 设线性定常系统（元件）的微分方程是,28,c(t)为系统的输出，r(t)为系统输入，则零初始条件下，对上式两边取拉氏变换，得到系统传递函数为：,分母中S的最高阶次n即为系统的阶次。,29,因为组成系统的元部件或多或少存在惯性，所以G(s)的分母次数大于等于分子次数，即 ,若mn,我们就说这是物理不可实现的系统。,30,2.性质 (1)传递函数与微分方程一一

6、对应。 (2)传递函数表征了系统本身的动态特性。（传递函数只取决于系统本身的结构参数，而与输入和初始条件等外部因素无关，可见传递函数有效地描述了系统的固有特性。） (3)只能描述线性定常系统与单输入单输出系统，且内部许多中间变量的变化情况无法反映。 (4)如果存在零极点对消情况，传递函数就不能正确反映系统的动态特性了。 (5)只能反映零初始条件下输入信号引起的输出，不能反映非零初始条件引起的输出。,31,例1：RC电路如图所示 依据：基尔霍夫定律 消去中间变量 ，,则微分方程为：,32,可用方框图表示 例2.双T网络,对上式进行零初始条件下的拉氏变换得：,33,解：方法一：根据基尔霍夫定理列出

7、下列微分方程组：,方程组两边取零初始条件下的拉氏变换得：,34,35,方法二：双T网络不可看成两个RC网络的串联，即：,36,传递函数的基本概念 例,例2-9 P31求电枢控制式直流电动机的传递函数。 解已知电枢控制式直流电动机的微分方程为：,方程两边求拉氏变换为：,令 ，得转速对电枢电压的传递函数：,令 ，得转速对负载力矩的传递函数：,最后利用叠加原理得转速表示为：,37,38,2.4典型环节的特性,控制系统是由许多环节组成的，为了研究控制系统的特性，有必要首先研究其各个组成部分的特性，即研究各个环节的特性。 不同物理性质，不同结构用途的环节可以表现出相同的动态特性，可以有相同的数学模型，所

8、以这里按数学模型对环节进行分类。,39,1、比例环节 （1）微分方程 c (t) = K r (t) K 为常数 任意时刻，输出与输入成比例。 （2）传递函数 K为常数 （3）动态结构图 （4）动态特性 r (t) = 1(t) c (t) = K 1(t) 输出不失真，不延迟，成比例地 表现输入信号的变化。 （迅速、准确地表现输入信号的变化）,40,（5）举例： a、工作于线性状态的电子放大器，其惯性很小可以近似地看成一个比例环节。 b、测速发电机空载时，它的输出电压与输入转速成正比例关系。带负载时，略去其电枢反应和电刷与换相器的接触电压，仍近似地把它视为一个比例环节。,41,2-4 结构图

9、,一.结构图的概念和组成 1.概念,我们可以用结构图表示系统的组成和信号流向。在引入传递函数后，可以把环节的传递函数标在结构图的方块里，并把输入量和输出量用拉氏变换表示。这时Y(s)=G(s)X(s)的关系可以在结构图中体现出来。,42,(3)比较点： 综合点，相加点 加号常省略，负号必须标出 (4)引出点： 一条传递线上的信号处处相等 ，引出点的信号与原信号相等。,2. 组成 (1)方框：有输入信号，输出信号，传递线，方框内的函数为输入与输出的传递函数，一条传递线上的信号处处相同。 （2）信号线：带箭头的直线，箭头表示信号的流向，在直线旁标注信号的时间函数或象函数,43,结构图等效变换例子|

10、例2-11,例1利用结构图等效变换讨论两级RC串联电路的传递函数。,解：不能把左图简单地看成两个RC电路的串联,有负载效应。根据电路定理，有以下式子：,二.结构图的绘制,44,绘图：ui(s)为输入，画在最左边。,这个例子不是由微分方程组代数方程组结构图，而是直接列写s域中的代数方程，画出了结构图。,45,若重新选择一组中间变量，会有什么结果呢？ (刚才中间变量为i1,u1,i2，现在改为I,I1,I2),从右到左列方程：,46,这个结构与前一个不一样，选择不同的中间变量，结构图也不一样，但是整个系统的输入输出关系是不会变的。,绘图,47,三.结构图的等效变换 （1）串联,48,(2)并联,4

11、9,(3)反馈 这是个单回路的闭环形式，反馈可能是负， 可能是正，我们用消去中间法来证明。,C(s),50,以后我们均采用(s)表示闭环传递函数， 负反馈时， (s)的分母为1回路传递函数， 分子是前向通路传递函数。 正反馈时， (s)的分母为1回路传递函数， 分子为前向通路传递函数。 单位负反馈时，,51,（4）信号引出点的移动： 引出点从环节的输入端移到输出端,信号分支点的移动和互换,52,信号相加点和分支点的移动和互换,引出点从环节的输出端移到输入端：,注意： 相临的信号相加点位置可以互换；见下例,53,信号相加点和分支点的移动和互换,同一信号的分支点位置可以互换：见下例,相加点和分支点

12、在一般情况下，不能互换。,常用的结构图等效变换见表2-1,所以，一般情况下，相加点向相加点移动，分支点向分支点移动。,54,结构图等效变换例子|例2-11,例2利用结构图等效变换讨论两级RC串联电路的传递函数。,总的结构图如下：,55,结构图等效变换例子|例2-11,为了求出总的传递函数，需要进行适当的等效变换。一个可能的变换过程如下：,56,结构图等效变换例子|例2-11,57,解：结构图等效变换如下：,例3系统结构图如下，求传递函数 。,58,结构图等效变换例子|例2-12,59,小结,结构图的概念和绘制方法； 结构图的等效变换（环节的合并和分支点、相加点的移动）；,作业：2-2(b)，2

13、-4(b)，2-8，2-9，2-11，2-17(e),60,2-5 信号流图,信号流图可以表示系统的结构和变量传送过程中的数学关系。它也是控制系统的一种数学模型。在求复杂系统的传递函数时较为方便。,61,一、信号流图及其等效变换 组成：信号流图由节点和支路组成的信号传递网络。见下图：,信号流图的概念,节点：节点表示变量。以小圆圈表示。 支路：连接节点之间的有向线段。支路上箭头方向表示信号传送方向，传递函数标在支路上箭头的旁边，称支路增益。 支路相当于乘法器，信号流经支路时，被乘以支路增益而变为另一种信号。,62,上图中， 两者都具有关系: 。支路对节点 来说是输出支路，对输出节点y来说是输入支

14、路。,信号流图的概念,63,信号流图的术语,几个术语：,输出节点(阱点)：只有输入支路的节点。如： C,混合节点：既有输入支路又有输出支路的节点。如：E，P，Q 。混合节点相当于结构图中的信号相加点和分支点。它上面的信号是所有输入支路引进信号的叠加。,前向通路：信号从输入节点到输出节点传输时，每个节点只通过一次的通路叫前向通路。,输入节点(源点)：只有输出支路的节点。如： R，N。,64,回路(闭通路)：起点和终点为同一节点，而且信号通过每一节点不多于一次的闭合通路称为回路。,互不接触回路：回路之间没有公共节点时，这种回路称为互不接触回路。,信号流图的术语,通路传输(增益)：通路中各支路传输的

15、乘积称为通路传输或通路增益。前向通路中各支路传输的乘积称为前向通路传输或前向通路增益。,回路传输(增益)：回路上各支路传输的乘积称为回路传输或回路增益。,65,信号流图的等效变换,66,信号流图的等效变换,67,信号流图的性质,节点表示系统的变量。一般，节点自左向右顺序设置，每个节点标志的变量是所有流向该节点的信号之代数和，而从同一节点流向支路的信号均用该节点的变量表示。 支路相当于乘法器，信号流经支路时，被乘以支路增益而变换为另一信号。 信号在支路上只能沿箭头单向传递，即只有前因后果的因果关系。 对于给定的系统,节点变量的设置是任意的，因此信号流图不是唯一的,信号流图的性质,68,信号流图的

16、绘制,信号流图的绘制： 根据结构图 例2 已知结构图如下，可在结构图上标出节点，如上图所示。然后画出信号流图如下图所示。,69,信号流图的绘制, 按微分方程拉氏变换后的代数方程所表示的变量间数学关系绘制。如前例所对应的代数方程为,按方程可绘制信号流图,70,梅逊公式的推导,二、梅逊公式的推导,如前例已知信号流图如图所示，所对应的代数方程为,以R为输入，V2为输出则可整理成下列方程,71,于是可求得该方程组的系数行列式,和,梅逊公式的推导,72,根据克莱姆法则得,于是传递函数为,分析上式可以看到，传递函数的分子和分母取决于方程组的系数行列式，而系数行列式又和信号流图的拓扑结构有着密切的关系。从拓

17、扑结构的观点，信号流图的主要特点取决于回路的类型和数量。而信号流图所含回路的主要类型有两种：单独的回路和互不接触回路。,梅逊公式的推导,73,图中所示信号流图共含有五个单独回路和三对互不接触回路（回路和、和、和）,所有单独回路增益之和为,两两互不接触回路增益乘积之和为,而值恰好为,可见，传递函数的分母取决于信号流图的拓扑结构特征。,梅逊公式的推导,74,如果把中与第k条前向通道有关的回路去掉后，剩下的部分叫做第k条前向通道的余子式，并记为k。由图可得，从输入到输出的前向通道和其增益以及响应的余子式如下表所示,梅逊公式的推导,75,故用信号流图拓扑结构的术语，系统的传递函数可表示为,梅逊公式的推

18、导,传递函数的分子等于系数行列式除以R(s)。而 恰好为,76,梅逊公式,用梅逊公式可不必简化信号流图而直接求得从输入节点到输出节点之间的总传输。（即总传递函数） 其表达式为：,式中： 总传输（即总传递函数）； 从输入节点到输出节点的前向通道总数； 第k个前向通道的总传输； 流图特征式；其计算公式为：,二、梅逊公式,77,第k个前向通道的特征式的余子式；其值为 中除去与第k个前向通道接触的回路后的剩余部分；,梅逊公式,78,梅逊公式|例2-13a,解：前向通道有一条； 有一个回路；,例2-13a求速度控制系统的总传输 。（不计扰动）,79,梅逊公式|例4,解：先在结构图上标出节点，再根据逻辑关系画出信号流图如下：,例4：绘出两级串联RC电路的信号流图并用Mason公式计算总传递函数。,80,有两个互不接触回路；,梅逊公式|例4,81,梅逊公式|例4,讨论：信号流图中，a点和b点之间的传输为1，是否可以将该两点合并。使得将两