2011114155 李今龙 层次分析法选择最优投资地

1、. 最优投资区域选择 摘要 本问题解决的是某投资者要到某市投资，首先要考虑当地工资水平，其次是市场便利安全性和市场规模，最后是办公成本。所以需要一种可靠性的定量的容易操作的，并且具有说服力的方法来帮助作出决策。本文采用定性和定量结合的层次分析法步骤，构成选择投资区域的评价指标体系，通过各因素重要程度比较与计算，最终确定出6个具体因素，建立层次分析结构模型，构造成对比较矩阵，计算权向量并作一致性检验，通过检验得到的组合权向量可以作为最终决策的依据.通过查看最后组合权向量结果=（0.3665 0.3443 0.3000）T，得出选择投资区域为A。本模型成功解决了投资者面对几个条件不一的投资地时合理

2、选择投资地。层次分析法是解决离散模型的普遍方法，在产业结构，教育，医疗，环境，军事等领域,得到了成功的应用。关键字：投资区域 层次分析法 权向量 一致性检验 一 问题重述某投资者要到某市投资，在对这多个区域的各种条件进行了初步的分析之后，该投资者将他的选择定在了A、B、C三个区。下表是这三个区的相关信息试确定投资者应选择的区域。 选择因素选择变量A区B区C区工资水平（元/人*年）13000 112009500商务楼租金（元/米2*天）2.534市场规模高中中交通便利性堵塞通畅通畅与相关单位联络便利性高一般较高社会安全较高高较高二 模型假设1. 三个地区具备的其他条件差不多，不予考虑；2. 考虑

3、的每一个因素对于其他因素所产生的结果的影响微乎其微；3. 假设在投资期间，工资水平，商务楼租金，市场规模等因素在一段时间内不会 出现幅度十分巨大的改变；4. 题目所给可靠性高；5. 假设只存在三个区域单独可供投资者选择，投资方案不进行几个区域组合选择。三 问题的分析 A,B,C三个投资地，受到多种因素的影响，具有层次性，因而用层次分析法来比较三种方案的优度是可行的，我们选择六个因素：工资水平，办公成品，市场规模，市场便利安全性，社会安全，单位联络便利性来建立模型并检验。四 模型的建立与求解（一）符号的说明：O选择投资区域决策层准则层成对比较矩阵工资水平办公成品市场规模市场便利安全性社会安全单位

4、联络便利性权向量特征根矩阵的秩一致性指标一致性比率（i=1,2.6）决策层对于准则层权向量组合权向量一致性指标（二）.模型建立一建立层次结构图。 图一：投资的选择层次图二：构造准则层对于目标层成对比矩阵 假设要比较准则层4个因素,，对上层一个因素选择投资区域O的影响。每次取两个因素和，用表示表示和表示对O的影响之比,全部比较结果可用对比比较距阵 , 0 , (1)表示。由（1）给出的的特点,A称为正互反矩阵。显然比有=1。 在调查情况后，我们分析得出，市场上投资者在投资区域时所考虑的用，依次表示工资水平、办公成品、市场规模、市场便利安全性，社会安全，单位联络便利性6个准则，构造C-O成对比较距

5、阵（正互反阵）为：1121111211112111121111从矩阵上可以看出，表示工资水平对于办公成品对选择投资区域这个目标的重要性之比为5:2；表示工资水平对于市场规模对选择投资区域这个目标O重要性之比为5:4；表示办公成品对于工资水平之比为2:5.可以看出此投资者在选择投资区域的时，最看重工资成本，其次是市场规模，市场便利性，社会安全，单位联络便利性，最后是办公成品。 比较尺度：在进行定性的成对比矩阵时，人们头脑中通常有5种明显的等级，用1-9尺度可以方便地表示如表1。表1：1-9尺度的含义1与的影响相同3与的影响稍强5与的影响强7与的影响明显的强9与的影响绝对的强2,4,6,8与的影响

6、之比在上述两个相邻之间1,1/2,.1/9与的影响之比为上面个的互反数 三：计算权向量和特征值并进行一致性检验计算权向量，对应于最大特征根（即作）的特征向量（归一化后）作为权向量，即满足 = （2）直观地看，应为矩阵的特征根和特征向量连续依赖于矩阵的元素，所以当离一致性的要求不远时，的特征根和特征向量也与一致阵的相差不大。（2）式表示的方法称为有成对比矩阵求权向量的特征根法。我们用根法来求权向量：a. 将的每一列向量归一化得 ；b. 对按行求和得；c. 将归一化，=（，.)T 即为近似特征向量；d. 计算，作为最大特征根的近似值。 1.0000 2.5000 1.2500 1.2500 1.2

7、500 1.2500 0.4000 1.0000 0.5000 0.5000 0.5000 0.50000.8000 2.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 列向量归一化 A= 0.8000 2.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 0.8000 2.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 0.8000 2.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 0.2174 0.2174 0.2174 0.2174 0.2174 0.2174 0.0870 0.0870 0.0870 0.0870

8、0.0870 0.08700.1739 0.1739 0.1739 0.1739 0.1739 0.1739 按行求和 0.1739 0.1739 0.1739 0.1739 0.1739 0.1739 0.1739 0.1739 0.1739 0.1739 0.1739 0.17390.1739 0.1739 0.1739 0.1739 0.1739 0.1739 1.3044 0.2174 1.31790.5220 0.0870 0.52721.0434 0.1739 1.05431.0434 归一化 0.1739 = A= 1.0543 1.0434 0.1739 1.05431.043

9、4 0.1739 1.0543 一致性检验：成对比矩阵通常不是一致阵，但是为了你能用它的对应于特征矩阵根的特征向量作为被比较因素的权向量，其不一致程度应在容许范围内。据定理，n阶正反矩阵的最大特征根=n;当=n时是一致阵。 根据这个定理和连续地依赖于的事实可知，比n大的挺多，的不一致程度越严重，用特征向量作为权向量引起的判断误差越大。因而可以用-n数值的大小来衡量的不一致程度。Saaty将 (3)定义为一致性指标。=0时一致阵；越大的不一致程度越严重。 为了确定的不一致程度的容许范围，需要找出衡量的一致性指标的标准。Saaty又引入所谓随机一致性指标。Saaty对于不同的n，用100500个样

10、本算出的随机一致性指标的数值如表2。表2： 随机一致性指标RI的数值表中n-1,2时RI=0,是因为1，2阶的正互反阵总是一致阵。 对于n3的成对比较阵A，将它的一致性指标CI与同阶（指n相同）的随机一致性的指标RI之比成为一致性比率CR 当 （4） 是认为的不一致程度在容许范围之内，可用其特征向量作为权向量。权向量检验：根据上面计算结果，=6.0621,按公式（3）计算，,在表2中查按（4）式计算，一致性检验通过，上述可以作为权向量。四：构造决策层对准则层成对比较矩阵并计算特征值和特征向量在投资选择区域问题中我们已经得到第2层对第1层的权向量。记作.用同样的方法构造第3层（决策层）对第2层(

11、准则层)的每一个准则的成对比较阵。（1） 对判断矩阵：A区，B区，C区取权重如下： 图二10.73071.161010.8483 1.36851.17881计算权向量：=(0.2833 0.3289 0.3878）T计算特征值：3.0000(2)对判断矩阵A区，B区，C区取权重如下：图三11.21.60030.833311.33360.6249 0.74991计算权向量：=(0.4068 0.3390 0.2542)T计算特征值：3.0000（3） 对于判断矩阵A区，B区，C区取权重如下： 图四111 11计算权向量：=(0.7142 0.1429 0.1429)T计算特征值：3.0000（4

12、） 对于判断矩阵A区，B区，C区取权重如下： 图五1511 5 11计算权向量：=(0.0909 0.4545 0.4545)T计算特征值：3.0000(5) 对判断矩阵A区，B区，C区取权重如下： 图六11414 1 1计算权向量：=（0.1667 0.6667 0.1667）T计算特征值：0.3000(6) 对判断矩阵A区，B区，C区取权重如下： 图七151 31计算权向量：=（0.5556 0.1111 0.3333）T计算特征值：3.00005 C-B权向量进行一致性检验由第3层对于第2层的成对比较阵计算的权向量，最大特征值列入表3.表3：投资投资区域k1234560.28330.32

13、890.38780.40680.33900.25420.7142 0.1429 0.14290.0909 0.4545 0.45450.1667 0.6667 0.16670.5556 0.1111 0.33333.00003.00003.00003.00003.00003.0000（1）-B矩阵=3.0000=0.58,一致性检验通过，上述可以作为权向量。（2）-B矩阵=3.0000=0.58,一致性检验通过，上述可以作为权向量。（3）-B矩阵=3.0000=0.58,一致性检验通过，上述可以作为权向量。（4）-B矩阵=3.0001=0.58,一致性检验通过，上述可以作为权向量。（5）-B矩

14、阵=3.0000=0.58,一致性检验通过，上述可以作为权向量。（6）-B矩阵=3.0000=0.58,一致性检验通过，上述可以作为权向量。六计算组合权向量并作一致性检验（1）计算组合权向量本问题由各准则层对目标层的权向量和各方案对每一准则的权向量（k=1,.6）,计算各方案对目标的权向量，称为组合权向量，记作。对于方案A区，它在工资水平等6个准则中的权重用的第1个分量表示（表2中的第2行），而6个准则对于目标的权重又用权向量表示，第3层对第1层的组合权向量为： = (5)所以在目标中的组合权重应为它们相应项的两两乘积之和，即= 0.3665 0.3443 0.3000于是组合权向量=（0.3

15、665 0.3443 0.3000）T。（2）组合一致性检验：在应用层次分析法作重大决策的时，除了对每个成对比矩阵进行一致性检验外，还常要进行所谓组合一致性检验，以确定组合权向量是否可以作为最终的决策依据。方案层所有方案的一致性比率公式 （6） 按公式（3）已计算的，列入表4。 表4:k123456000000按公式（6）式计算得=0方案层B区域对目标层的组合一致性比率为： 因此组合一致性检验通过，得到的权向量可以作为最终决策的依据.在计算过程中，所有的判断矩阵都满足一致性检验，保证了结果的可靠性和正确性. 从计算结果=（0.3665 0.3443 0.3000）T来看,选择地的优先排列顺序为

16、ABA.A区的总权重最大,为 0.3665,因此，最优选择投资地应为区A,其次是B区，C区. 五模型分析与评价从层次总排序的结果可以看出，在选择投资区域评价体系中，各指标权重从大到小依次为：工资水平，其次是市场便利安全性和市场规模，最后是办公成本。从得出的结论来看，权重最大说明考虑的越多，优越性更强。得出的结论也为投资者在选择区域时提供了依据。层次分析法是解决离散模型的普遍方法。模型的优点：系统性：将对象视作系统，按照分解、比较、判断、综合的思维方式进行决策系统分析（与机理分析、测试分析并列）；实用性：此模型把定性与定量相结合，是复杂的系统分解，能处理传统的优化方法不能解决的问题，能将人们的思

17、维过程数学化、系统化，便于人们接受；简洁性：计算简便，结果明确，便于决策者直接了解和掌握。层次分析法的局限。模型的缺点：囿旧：只能从原方案中选优，而不能为决策者提供解决的新方案，对于投资者而言，用层次分析法计算出已知方案中的最优者，然后指出了已知方案中的不足，又或者甚至在提出改进方案，但显然，我们所建立的模型还没能做到这点；粗略：定性化为定量，结果粗糙；主观：主观因素作用大，结果可能难以服人，对于同一个问题，指标太多，大家反而更难确定方案了；六参考文献1将启源，谢金星，叶俊 数学建模,高等教育出版社20112周明华，邬学军，周凯，李春燕 ,MATLAB实用教程 浙江工业大学 应用数学系 201

18、13马燕燕，余再星，孙徐炜.谈层次分析法再就业中的应用.数理信息学院.4陈建勇 陈旭东 田垚暐.层次分析法在大学生择业问题中的应用.结构901附录一：准则层对于目标层的矩阵求特征向量的过程程序：A=1 5/2 5/4 5/4 5/4 5/4;2/5 1 1/2 1/2 1/2 1/2;4/5 2 1 1 1 1;4/5 2 1 1 1 1;4/5 2 1 1 1 1;4/5 2 1 1 1 1;w=0.2174 0.0870 0.1739 0.1739 0.1793 0.1793;a=A*wa = 1.3179 0.5272 1.0543 1.0543 1.05431.0543C1-B矩阵权重

19、画图 x=0.2834 0.3289 0.3877;pie(x,A区0.2834,B区0.3289,C区0.3877)C1-B矩阵求特征向量和权向量： A=1 0.8614 0.7307;1.1610 1 0.8483;1.3685 1.1788 1; x,y=eig(A)x = 0.4868 -0.5765 0.2857 0.5651 0.8020 0.4051 0.6661 -0.1565 -0.8685y = 3.0000 0 0 0 -0.0000 0 0 0 0.0000 C=x(:,2)/sum(x(:,2)C = -8.3496 11.6159 -2.2663C2-B权重比重画图

20、： x=0.4068 0.3390 0.2542;pie(x,A区0.4068,B区0.3390,C区0.2542) C3-B矩阵求特征向量和权向量： A=1 5 5;1/5 1 1;1/5 1 1; x,y=eig(A)x = -0.9901 0.9623 -0.8767 0.0990 0.1925 -0.2410 0.0990 0.1925 0.4164y = -0.0000 0 0 0 3.0000 0 0 0 0.0000 C=x(:,2)/sum(x(:,2)C = 0.7143 0.1429 0.1429C4-B矩阵求特征向量和权向量： A=1 1/5 1/5;5 1 1;5 1 1; x,y=eig(A)x = -0.2722 0.1400 0.0138 0.6804 0.7001 -0.7407 0.6804 0.7001 0.6717y = 0.0000 0 0 0 3.0000 0 0 0 0.0000C=x(:,2)/sum(x(:,2)C = 0.0909 0.4545 0.4545C5-B矩阵求特征向量和权向量：A=1 1/4 1;4 1 4;1 1/4 1;x,y=eig(A)x = -0.4364 0.2357 -0.0000 0.8729 0.9428 -0.9701