江西省上高县第二中学2020届高三数学下学期第七次（3月）月考试题（含解析）（通用）

1、2020届高三年级第七次月考数学（理科）试卷一、选择题：1.设集合，则（ ）A.B.C.D. 【答案】B【解析】分析：先化简集合，利用交集定义能求出详解：则 故选点睛：本题主要考查了集合的交集及其运算，利用指数、对数求出不等式解集得到集合，继而求出交集。2.已知为虚数单位，复数，则以下为真命题的是（ ）A.的共轭复数为B.的虚部为C.D.在复平面内对应的点在第一象限【答案】D【解析】,的共轭复数为,的虚部为, ,在复平面内对应的点为,故选D.3.设不为1的实数，满足：，则 ( )A.B.C.D. 【答案】D【解析】【分析】根据幂函数的单调性可以得到D是正确的.【详解】因为底数与的大小关系不确定

2、，故B错；同理，C也错.取，则，从而，故A错，因为为上的增函数，而，故，故D正确.综上，选D.【点睛】不同的对数或指数比较大小，可根据底数的形式构建合适的单调函数，如果底数不能统一，则需要找中间数，通过它传递大小关系.4.随机变量服从正态分布，则的最小值为（ ）A.B.C.D. 【答案】D【解析】由题意, =,当且仅当,即时等号成立,故选D.点睛: 本题考查正态分布图象的对称性以及基本不等式的应用.在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现

3、错误.5.若抛物线的焦点与双曲线的一个焦点重合，则双曲线的离心率为（ ）A.B.C.D. 2【答案】A【解析】【分析】由抛物线的焦点坐标确定双曲线的a值，进而可得双曲线的离心率.【详解】解：将抛物线的方程化成标准式：x28y2p8， 2，可得抛物线的焦点为（0，2）双曲线的一个焦点与抛物线的焦点重合，a+1224，可得a3设双曲线的离心率为e，则e2，所以e故选：A【点睛】本题考查双曲线离心率的求法，考查抛物线、双曲线简单的几何性质，属于基础题.6.如图是一个算法的程序框图，若该程序输出的结果为，则判断框中应填入的条件是（ ）A.B.C.D. 【答案】C【解析】【分析】分析程序中各变量、各语句

4、的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是累加并输出S的值【详解】解：程序运行过程中，各变量值如下表所示：是否继续循环 i T S循环前 1 0 0第一圈 2 1 第二圈 是 3 2 第三圈 是 4 3 第四圈 是 5 4 第五圈 否即T4时退出循环故继续循环的条件应为：T4故选：C【点睛】解决程序框图问题时一定注意以下几点：(1) 不要混淆处理框和输入框；(2) 注意区分程序框图是条件分支结构还是循环结构；(3) 注意区分当型循环结构和直到型循环结构；(4) 处理循环结构的问题时一定要正确控制循环次数；(5) 要注意各个框的顺序,（6）在给出程序框图求解输出结果的试题中只要按照程序

5、框图规定的运算方法逐次计算，直到达到输出条件即可.7.已知，且，则 ( )A.B.C.D. 【答案】A【解析】【分析】由条件利用两角和的正切公式求得tan的值，再利用同角三角函数的基本关系与二倍角公式，求得的值【详解】解：tan（），则tan，tan，sin2+cos21，（，0），可得 sin2sin2（）故选：A【点睛】本题主要考查两角和的正切公式的应用，同角三角函数的基本关系，二倍角公式，考查计算能力，属于基础题8.定义：若数列对任意的正整数，都有为常数，则称为“绝对和数列”，叫做“绝对公和” 已知“绝对和数列”中，绝对公和为3，则其前2020项的和的最小值为（ ）A.B.C.D. 【答

6、案】C【解析】【分析】通过写出前几项的值可知满足条件的数列an的通项公式，进而利用分组法求和计算即得结论【详解】解：依题意，要使其前2020项的和的最小值只需每一项的值都取最小值即可，2，绝对公和d3，1或1（舍），2或2（舍），1或1（舍），满足条件的数列的通项公式，所求值为+（+）+（+）+（+）2+（12）3025，故选：C【点睛】本题考查考查数列的求和，找出满足条件的数列的通项公式是解决本题的关键，注意解题方法的积累，属于中档题9.已知函数，的最小值为，则实数的取值范围是（ ）A.B.C.D. 【答案】C【解析】【分析】因为当时函数值为，所以函数的最小值为等价于在上恒成立，利用参变分离

7、可以求得实数的取值范围【详解】因为的最小值为且时，故恒成立，也就是，当时，有；当时，有，故，所以选C【点睛】含参数的函数的最值问题可以转化为恒成立即：（1）在上的最小值为等价于恒成立且存在，使得；（2）在上的最大值为等价于恒成立且存在，使得10.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线或虚线面出的是某几何体的三视图，俯视图中的两条弧均为圆弧，则该几何体的体积为（ ）A.B.C.D. 【答案】C【解析】分析：由题意首先确定该几何体的空间结构，然后结合体积公式整理计算即可求得最终结果.详解：如图所示，在棱长为4的正方体中，分别为其对应棱上的中点，将正方体裁取四分之一圆柱和四分之一圆锥后对应的几何体即

8、为三视图所对应的几何体，其中正方体的体积，四分之一圆柱的体积四分之一圆锥的体积，则所求组合体的体积为：.本题选择C选项.点睛：(1)求解以三视图为载体的空间几何体的体积的关键是由三视图确定直观图的形状以及直观图中线面的位置关系和数量关系，利用相应体积公式求解；(2)若所给几何体的体积不能直接利用公式得出，则常用等积法、分割法、补形法等方法进行求解11.设为坐标原点，点，若点满足，则取得最小值时，点的个数是（ ）A. 1B. 2C. 3D. 无数【答案】B【解析】【分析】先根据点B（x，y）满足的平面区域，再把所求问题转化为求x+y的最小值，借助于线性规划知识即可求得结论【详解】解：x2+y22

9、x2y+10即（x1）2+（y1）21，表示以（1，1）为圆心、以1为半径的圆周及其以外的区域当目标函数的图象同时经过目标区域上的点（1，2）、（2，1）时，目标函数取最小值3故点B有两个故选：B【点睛】本题主要考查向量在几何中的应用以及数形结合思想的应用，是对基础知识的综合考查，属于基础题12.若函数恰有三个零点，则的取值范围为( )A.B.C.D. 【答案】D【解析】【分析】根据函数的单调性画出函数的图象，及题意其定义域上有3个零点，函数f（x）在（，0）内有一个零点，在区间（0，+）上必须有2个零点，即可求出a的取值范围【详解】当x0时，f（x）函数y与y在x0时都单调递减，函数f（x）

10、在区间（，0）上也单调递减，又f（1），所以函数f（x）在（，0）内有一个零点当x0时，令g（x），g（x）令g（x）0，解得x当0x时，f（x）0；当x时，f（x）0函数g（x）在区间（0，）上单调递减；在区间（，+）上单调递增函数g（x）在x时求得极小值，也即在x0时的最小值函数f（x）在其定义域上有3个零点，且由（1）可知在区间（，0）内已经有一个零点了，所以在区间（0，+）上必须有2个零点，即图象与直线在（0，+）上有两个公共点，如图所示：a故选：D【点睛】已知函数有零点求参数取值范围常用的方法和思路(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；(2)

11、分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解二、填空题：13.如图所示，在一个边长为1的正方形内，曲线和曲线围成一个叶形图（阴影部分），向正方形内随机投一点（该点落在正方形内任何一点是等可能的），则所投的点落在叶形图内部的概率是 .【答案】【解析】解：欲求所投的点落在叶形图内部的概率，利用几何概型解决，只须利用定积分求出叶形图的面积，最后利用它们的面积比求得即可概率因为由定积分可求得阴影部分的面积为，则其概率值为14.，则_.【答案】40【解析】分析：按二项式定理通项打开求出对应的r的即可得出

12、系数.详解：，。点睛：考查二项式定理，属于基础题.15.已知是直线上任意两点，是外一点，若上一点满足，则的值是_.【答案】【解析】【分析】依题意知，cos+cos21，于是得cossin2，sin62cos1，sin2+sin4+sin62cos，解方程cos+cos21，可求得cos，从而可得答案【详解】解：A、B、C三点共线，且coscos2，cos+cos21，（三点共线的充要条件）cos21cos，cos1cos2sin2，sin6cos3cos（1sin2）cos（1cos）coscos2cos（1cos）2cos1，sin2+sin4+sin6cos+cos2+2cos1cos+1

13、cos+2cos12cos，由cos21cos得cos或cos1，舍去，cos，原式2cos1，故答案为： 1【点睛】本题考查三角函数中的恒等变换应用，求得，sin62cos1，sin2+sin4+sin62cos是关键，也是难点，考查转化思想与运算能力，属于难题16.在三棱锥中， ,若三棱锥的所有顶点都在同一球面上，则该球的表面积是_.【答案】【解析】【分析】由题意画出图形，可知BC平面ABD，设三棱锥外接球的球心为O，正三角形ABD的中心为O1，则OO1平面ABD，连接O1B，O，OC，在直角梯形BCO中，求解三角形可得三棱锥外接球的半径，则答案可求【详解】解：由已知可得，BCAB，BCB

14、D，BC平面ABD，设三棱锥外接球的球心为O，正三角形ABD的中心为，则O平面ABD，连接O1B，O，OC，在直角梯形BCO中，有，BC1，OCOBR，可得：，故所求球的表面积为故答案为：【点睛】本题考查多面体外接球的表面积的求法，考查数学转化思想方法与数形结合的解题思想方法，是中档题三、解答题：17.在中，角, ,所对的边分别是, ,. 若，的面积为36.（1）求的值；（2）若点分别在边,上，且，求的长.【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）由三角函数的倍角公式和正弦定理化简，得，且，得；（2）由余弦定理得，故为等腰直角三角形，在中，则，且，得，所以即可.【详解】（1）由题意知，则，化

15、简，得，由正弦定理得因为，所以.因为，所以.因为，所以，解得.（2）由（1）知，故为等腰直角三角形， ,所以,在中， 则， 且,从而，所以.【点睛】本题考查了三角函数的倍角公式和正余弦定理的应用，也考查了三角形的面积公式，属于中档题.18.“中国人均读书4.3本（包括网络文学和教科书），比韩国的11本、法国的20本、日本的40本、犹太人的64本少得多，是世界上人均读书最少的国家.”这个论断被各种媒体反复引用，出现这样的统计结果无疑是令人尴尬的，而且和其他国家相比，我国国民的阅读量如此之低，也和我国是传统的文明古国、礼仪之邦的地位不相符.某小区为了提高小区内人员的读书兴趣，特举办读书活动，准备进

16、一定量的书籍丰富小区图书站，由于不同年龄段需看不同类型的书籍，为了合理配备资源，现对小区内看书人员进行年龄调查，随机抽取了一天40名读书者进行调查，将他们的年龄分成6段：，后得到如图所示的频率分布直方图.问：（1）估计在40名读书者中年龄分布在的人数；（2）求40名读书者年龄的平均数和中位数；（3）若从年龄在的读书者中任取2名，求这两名读书者年龄在的人数的分布列及数学期望.【答案】（1）24；（2）54，55；（3）见解析，期望为.【解析】【分析】（1）由频率分布直方图知年龄在的频率为（0.010+0.020+0.030）10，进而得出40 名读书者中年龄分布在的人数；（2）40 名读书者年龄

17、的平均数为250.05+350.1+450.2+550.3+650.25+750.1计算频率为处所对应的数据即可得出中位数（3）年龄在的读书者有14人，年龄在70，80）的读书者有4人，所以X的所有可能取值是0，1，2利用超几何分布列计算公式即可得出【详解】解：（1）由频率分布直方图知年龄在的频率为（0.010+0.020+0.030）100.60，所以40 名读书者中年龄分布在的人数为400.6024（2）40 名读书者年龄的平均数为250.05+350.1+450.2+550.3+650.25+750.154设中位数为x，由于频率10（0.005+0.010+0.0200.030），则x5

18、055，即 40名读书者年龄的中位数为55（3）年龄在的读书者有人，年龄在的读书者有，所以的所有可能取值是0,1,2，的分布列如下：012 数学期望.【点睛】本题考查了频率分布直方图的性质及其应用、平均数与中位线的计算公式、超几何分布列的计算公式及其数学期望，考查了推理能力与计算能力，属于中档题19.如图所示，正方形与矩形所在平面互相垂直，,点为的中点.（1）求证： 平面； （2）设在线段上存在点，使二面角的大小为，求此时的长及点到平面的距离.【答案】（1）证明见解析；（2）.【解析】【分析】(1) 连结AD1，交A1D于点O，由EO为ABD1的中位线，能证明BD1平面A1DE;(2) 以点D

19、为原点，DA,DC,DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，利用空间向量坐标法即可得到结果.【详解】（1）证明：连结AD1，交A1D于点O，四边形ADD1A1为正方形，O是AD1的中点，点E为AB的中点，连接OEEO为ABD1的中位线，EOBD1，又BD1不包含于平面A1DE，OE平面A1DE，BD1平面A1DE（2）由题意可得：,以点D为原点，DA,DC,DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则，B ( 1,2,0 ),E(1,1,0),设 设平面的法向量为则 得 令,有而平面的一个法向量为 要使二面角的大小为 而 解得：，故=，此时

20、.故点E到平面的距离为.【点睛】本题考查的知识点是直线与平面平行的证明，用空间向量求平面间的夹角，空间中直线与直线之间的位置关系，直线与平面平行的判定，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用20.设点为抛物线外一点，过点作抛物线的两条切线，切点分别为，（）若点为，求直线的方程； （）若点为圆上的点，记两切线，的斜率分别为，求的取值范围【答案】(）：.（）【解析】【分析】（）可设直线方程为，直线方程为，联立直线方程和抛物线方程并消元得到关于的方程，利用判别式为零得到的坐标后可得的直线方程.（）设，则直线方程为，直线方程为.联立直线方程和抛物线方程并消元得到关于的方程，利用判别式为零得到满足的一元

21、二次方程，利用韦达定理得到与的关系，利用得到与的函数关系后得到的取值范围.【详解】（）设直线方程为，直线方程为.由可得. 因为与抛物线相切，所以，取，则，.即. 同理可得.所以：. （）设，则直线方程为，直线方程为.由可得. 因为直线与抛物线相切，所以.同理可得,所以，时方程的两根.所以，. 则 . 又因为，则，所以 .【点睛】对于直线和抛物线相切.的问题，我们可以联立动直线和抛物线方程，利用判别式为0得到不同参数的关系，在这个关系的基础上化简目标代数式（通常化为一元函数），最后用函数的手段求最值或范围等.21.已知函数，.（1）当时，讨论的单调性；（2）设，若关于的不等式在上有解，求的取值范

22、围.【答案】(1) 函数在上单调递增，在上单调递减;(2)的取值范围为.【解析】试题分析: （1）对函数两次求导,判断出函数的单调性;(2)将函数g(x)的解析式代入关于x的不等式,化简并构造新函数,对新函数求导,讨论参数的范围判断出单调性求出最值,代入不等式即可.试题解析:（1）由题意知，令，当时，恒成立，当时，；当时，函数在上单调递增，在上单调递减.（2），由题意知，存在，使得成立.即存在，使得成立，令，.时，则，函数在上单调递减，成立，解得，；当时，令，解得；令，解得，函数在上单调递增，在上单调递减，又，解得，无解；当时，则，函数在上单调递增，不符合题意，舍去；综上所述，的取值范围为.请考生在第22、23两题中任选一题作答注意：只能做所选定的题目.如果多做，则按所做的第一个题目计分选修44：坐标系与参数方程22.在平面直角坐标系中，直线的参数方程为为参数），以为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为，点是曲线上的动点，点在的延长线上，且，点的轨迹为（1）求直线及曲线的极坐标方程；（2）若射线与直线交于点，与曲线交于点（与原点不重合），求的最大值.【答案】（1）直线l的极坐标方程为.的极坐标方程为（2）【解析】【分析】（1）消参可得直线的普通方程，再利用公式把极坐标方程与直角坐标方程进行转化，从而