高一数学必修12知识点总结

1、高中数学必修高中数学必修 1 1 知识点总结知识点总结 第一章第一章集合与函数概念集合与函数概念 【1.1.11.1.1】集合的含义与表示】集合的含义与表示 （1 1）集合的概念）集合的概念 集合中的元素具有确定性、互异性和无序性集合中的元素具有确定性、互异性和无序性. . （2 2）常用数集及其记法）常用数集及其记法 N 表示自然数集，表示自然数集， N 或或 N 表示正整数集， 表示正整数集，Z表示整数集，表示整数集，Q表示有理数集，表示有理数集，R表示实数集表示实数集. . （3 3）集合与元素间的关系）集合与元素间的关系 对象对象a与集合与集合M的关系是的关系是aM，或者，或者aM，两

2、者必居其一，两者必居其一. . （4 4）集合的表示法）集合的表示法 自然语言法：用文字叙述的形式来描述集合自然语言法：用文字叙述的形式来描述集合. . 列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内表示集合列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内表示集合. . 描述法：描述法： x| |x具有的性质具有的性质 ，其中，其中x为集合的代表元素为集合的代表元素. . 图示法：用数轴或韦恩图来表示集合图示法：用数轴或韦恩图来表示集合. . （5 5）集合的分类）集合的分类 含有有限个元素的集合叫做有限集含有有限个元素的集合叫做有限集. .含有无限个元素的集合叫做无限集含有无限个元素的集合

3、叫做无限集. .不含有任何元素的集合不含有任何元素的集合 叫做空集叫做空集( ().). 【1.1.21.1.2】集合间的基本关系】集合间的基本关系 （6 6）子集、真子集、集合相等）子集、真子集、集合相等 名称名称记号记号意义意义 (1)A(1)AA A A A 中的任一元素都属中的任一元素都属 于于 B B (2)(2) 性质性质示意图示意图 A B 子集子集 （或（或 B A) A AB B A (3)(3)若若 A B且 且B C，则，则 AC (4)(4)若若 A B且 且B A，则，则A B （1 1） A（A A 为非空子集）为非空子集） A(B)A(B) B BA A 或或 真

4、子集真子集 （或（或 B BA A） A B， ， 且且 B B 中至少中至少 有一元素不属于有一元素不属于 A A B BA A (2)(2)若若 AB且 且BC，则，则 AC 集合集合 相等相等 A A 中的任一元素都属中的任一元素都属 A B 于于 B B， B B 中的任一元素中的任一元素 都属于都属于 A A (1)A(1)AB B (2)B(2)BA A A(B)A(B) （7 7）已知集合）已知集合 它有它有2n A 有有n(n 1)个元素，则它有个元素，则它有2n个子集，它有个子集，它有2n 1个真子集，它有 个真子集，它有2n 1个非空子集， 个非空子集， 2非空真子集 非空

5、真子集. . 【1.1.31.1.3】集合的基本运算】集合的基本运算 （8 8）交集、并集、补集）交集、并集、补集 名称名称记号记号意义意义性质性质示意图示意图 交集交集 AI B x| x A,且 且 xB 并集并集 AUB x| x A,或 或 xB AI A A （2 2）AI （3 3）AI B A AI B B （1 1）AUA A （2 2） AU A （3 3） AUB A AUB B （1 1） 1 1AI (2 2AU( U A) U U A) A AB B A A B B 补集补集 U A x| xU,且xA 痧 U (AI B) ( U A)U(? U B) 痧 U (A

6、UB) ( U A)I (? U B) 【补充知识】含绝对值的不等式与一元二次不等式的解法【补充知识】含绝对值的不等式与一元二次不等式的解法 （1 1）含绝对值的不等式的解法）含绝对值的不等式的解法 不等式不等式解集解集 | x| a(a 0) | x| a(a 0) 把把 x|a x a x| x a 或或x a axb 看看 成成 一一 个个 整整 体体 ， 化化 成成 | x| a ， |axb| c,| axb| c(c 0) | x| a(a 0)型不等式来求解 型不等式来求解 （2 2）一元二次不等式的解法）一元二次不等式的解法 判别式判别式 b24ac 二次函数二次函数 0 0

7、0 y ax2bxc(a 0) 的图象的图象 O O 一元二次方程一元二次方程 ax2bxc 0(a 0) 的根的根 bb24ac x 1,2 2a （其中（其中x1 x 1 x 2 b 2a 无实根无实根 x 2 ) x|x ax2bxc 0(a 0) 的解集的解集 x| x x 1 或或x x2 b 2a R ax2bxc 0(a 0) 的解集的解集 x| x 1 x x 2 1.21.2函数及其表示函数及其表示 【1.2.11.2.1】函数的概念】函数的概念 （1 1）函数的概念）函数的概念 设设A、B是两个非空的数集，是两个非空的数集，如果按照某种对应法则如果按照某种对应法则 f ，对

8、于集合对于集合A中任何一个数中任何一个数x，在集合在集合B ）中都有唯一确定的数中都有唯一确定的数 叫做集合叫做集合 那么这样的对应那么这样的对应 （包括集合（包括集合A，B以及以及A到到B的对应法则的对应法则 ff (x) 和它对应，和它对应， A到 到B的一个函数，记作的一个函数，记作 f : A B 函数的三要素函数的三要素: :定义域、值域和对应法则定义域、值域和对应法则 只有定义域相同，且对应法则也相同的两个函数才是同一函数只有定义域相同，且对应法则也相同的两个函数才是同一函数 （2 2）区间的概念及表示法）区间的概念及表示法 设设a,b是两个实数，且是两个实数，且a b，满足，满足

9、a x b的实数的实数x的集合叫做闭区间，记做的集合叫做闭区间，记做a,b；满足；满足 a x b 的实数的实数 x 的集合叫做开区间，记做的集合叫做开区间，记做(a,b)；满足；满足a x b，或，或a x b的实数的实数 x 的的 集合叫做半开半闭区间，分别记做集合叫做半开半闭区间，分别记做a,b)，(a,b；满足；满足x a,x 合分别记做合分别记做a,),(a,),(,b,(,b) 注意：对于集合注意：对于集合x|a a,x b,x b的实数 的实数x的集的集 x b与区间 与区间(a,b)，前者，前者a可以大于或等于可以大于或等于b，而后者必须，而后者必须 a b （3 3）求函数的

10、定义域时，一般遵循以下原则：）求函数的定义域时，一般遵循以下原则： f (x) 是整式时，定义域是全体实数是整式时，定义域是全体实数 f (x) 是分式函数时，定义域是使分母不为零的一切实数是分式函数时，定义域是使分母不为零的一切实数 f (x) 是偶次根式时，定义域是使被开方式为非负值时的实数的集合是偶次根式时，定义域是使被开方式为非负值时的实数的集合 对数函数的真数大于零，当对数或指数函数的底数中含变量时，底数须大于零且不等于对数函数的真数大于零，当对数或指数函数的底数中含变量时，底数须大于零且不等于 1 1 y tanx 中，中，x k 2 (k Z) 零（负）指数幂的底数不能为零零（负

11、）指数幂的底数不能为零 若若 f (x) 是由有限个基本初等函数的四则运算而合成的函数时，则其定义域一般是各基本初等函数是由有限个基本初等函数的四则运算而合成的函数时，则其定义域一般是各基本初等函数 的定义域的交集的定义域的交集 对于求复合函数定义域问题，对于求复合函数定义域问题，一般步骤是：一般步骤是：若已知若已知 的定义域应由不等式的定义域应由不等式a f (x) 的定义域为的定义域为a,b，其复合函数其复合函数 fg(x) g(x) b 解出解出 对于含字母参数的函数，求其定义域，根据问题具体情况需对字母参数进行分类讨论对于含字母参数的函数，求其定义域，根据问题具体情况需对字母参数进行分

12、类讨论 由实际问题确定的函数，其定义域除使函数有意义外，还要符合问题的实际意义由实际问题确定的函数，其定义域除使函数有意义外，还要符合问题的实际意义 （4 4）求函数的值域或最值）求函数的值域或最值 求函数最值的常用方法和求函数值域的方法基本上是相同的事实上，如果在函数的值域中存在求函数最值的常用方法和求函数值域的方法基本上是相同的事实上，如果在函数的值域中存在 一个最小（大）数，这个数就是函数的最小（大）值因此求函数的最值与值域，其实质是相同的，一个最小（大）数，这个数就是函数的最小（大）值因此求函数的最值与值域，其实质是相同的， 只是提问的角度不同求函数值域与最值的常用方法：只是提问的角度

13、不同求函数值域与最值的常用方法： 观察法：对于比较简单的函数，我们可以通过观察直接得到值域或最值观察法：对于比较简单的函数，我们可以通过观察直接得到值域或最值 配方法：将函数解析式化成含有自变量的平方式与常数的和，然后根据变量的取值范围确定函数的配方法：将函数解析式化成含有自变量的平方式与常数的和，然后根据变量的取值范围确定函数的 值域或最值值域或最值 判别式法：若函数判别式法：若函数 y f (x)可以化成一个系数含有 可以化成一个系数含有 y 的关于的关于x的二次方程的二次方程 a(y)x2b(y)xc(y) 0 ，则在，则在a(y) 0时，由于时，由于x, y为实数，故必须有为实数，故必

14、须有 b2(y)4a(y)c(y) 0，从而确定函数的值域或最值 ，从而确定函数的值域或最值 不等式法：利用基本不等式确定函数的值域或最值不等式法：利用基本不等式确定函数的值域或最值 换元法：通过变量代换达到化繁为简、化难为易的目的，三角代换可将代数函数的最值问题转化为换元法：通过变量代换达到化繁为简、化难为易的目的，三角代换可将代数函数的最值问题转化为 三角函数的最值问题三角函数的最值问题 反函数法：利用函数和它的反函数的定义域与值域的互逆关系确定函数的值域或最值反函数法：利用函数和它的反函数的定义域与值域的互逆关系确定函数的值域或最值 数形结合法：利用函数图象或几何方法确定函数的值域或最值

15、数形结合法：利用函数图象或几何方法确定函数的值域或最值 函数的单调性法函数的单调性法 【1.2.21.2.2】函数的表示法】函数的表示法 （5 5）函数的表示方法）函数的表示方法 表示函数的方法，常用的有解析法、列表法、图象法三种表示函数的方法，常用的有解析法、列表法、图象法三种 解析法：就是用数学表达式表示两个变量之间的对应关系列表法：就是列出表格来表示两个变量之解析法：就是用数学表达式表示两个变量之间的对应关系列表法：就是列出表格来表示两个变量之 间的对应关系图象法：就是用图象表示两个变量之间的对应关系间的对应关系图象法：就是用图象表示两个变量之间的对应关系 （6 6）映射的概念）映射的概

16、念 设设A、B是两个集合，如果按照某种对应法则是两个集合，如果按照某种对应法则 f ，对于集合，对于集合 A中任何一个元素，在集合 中任何一个元素，在集合 B 中都中都 ） 叫做集合叫做集合有唯一的元素和它对应，有唯一的元素和它对应， 那么这样的对应那么这样的对应 （包括集合（包括集合 到到B的映射，记作的映射，记作 给定一个集合给定一个集合 A， ，B以及以及A到到B的对应法则的对应法则 fA f : A B A到集合 到集合B的映射，且的映射，且a A,bB如果元素如果元素a和元素和元素b对应，对应，那么我们把元素那么我们把元素 b 叫做元素叫做元素a的象，元素的象，元素a叫做元素叫做元素

17、b的原象的原象 1.31.3函数的基本性质函数的基本性质 【1.3.11.3.1】单调性与最大（小）值】单调性与最大（小）值 （1 1）函数的单调性）函数的单调性 定义及判定方法定义及判定方法 函数的函数的 性性 质质 定义定义图象图象判定方法判定方法 如果对于属于定义域如果对于属于定义域 I I 内某内某 个区间上的任意两个自变量个区间上的任意两个自变量 的值的值 x x 1 1、 、x x 2 2, ,当 当 x x x x 时，都时，都 1 12 2 有有 f(xf(x )f(x)f(x ) )，那那么么就就说说 1 12 2 f(x)f(x)在这个区间上是增函数在这个区间上是增函数 函

18、数的函数的 单调性单调性 如果对于属于定义域如果对于属于定义域 I I 内某内某 个区间上的任意两个自变量个区间上的任意两个自变量 的值的值 x x 1 1、 、x x 2 2，当 ，当 x x f(x ) )，那那么么就就说说 1 12 2 f(x)f(x)在这个区间上是减函数在这个区间上是减函数 （1 1）利用定义）利用定义 y y y=f(X)y=f(X) f(x )f(x ) 1 （2 2）利用已知函数的）利用已知函数的 f(x )f(x ) 2 单调性单调性 （3 3） 利用函数图象利用函数图象 （在（在 某个区间图某个区间图 o o x x 1 x x 2 x x 象上升为增）象上

19、升为增） （4 4）利用复合函数）利用复合函数 （1 1）利用定义）利用定义 y y f(x )f(x ) 1 y=f(X)y=f(X) f(x )f(x ) 2 （2 2）利用已知函数的）利用已知函数的 单调性单调性 （3 3） 利用函数图象利用函数图象 （在（在 某个区间图某个区间图 x x 2 o o x x 1 x x 象下降为减）象下降为减） （4 4）利用复合函数）利用复合函数 在公共定义域内，两个增函数的和是增函数，两个减函数的和是减函数，增函数减去一个减函数为在公共定义域内，两个增函数的和是增函数，两个减函数的和是减函数，增函数减去一个减函数为 增函数，减函数减去一个增函数为减

20、函数增函数，减函数减去一个增函数为减函数 对对 于于 复复 合合 函函 数数 y fg(x) ， 令令 u g(x) ， 若若 y f (u) 为为 增增 ， u g(x) 为为 增增 ， 则则 y fg(x)为增；若 为增；若y f (u)为减，为减，u g(x)为减，则为减，则y fg(x)为增；若为增；若y f (u)为为 增增，u g(x)为为减，则减，则 y fg(x)为 为减减；若；若 y f (u) 为为减，减， u g(x) 为为增增，则，则 y y y fg(x)为减 为减 （2 2）打“”函数）打“”函数 a f (x) x(a 0)的图象与性质 的图象与性质 x o ox

21、 x f (x) 分别在分别在(, a、 a,)上为增函数，分别在上为增函数，分别在 a,0) 、(0, a上为减函数 上为减函数 （3 3）最大（小）值定义）最大（小）值定义 一般地，设函数一般地，设函数 y f (x)的定义域为 的定义域为I f (x) M ； ，如果存在实数，如果存在实数M满足：满足： （1 1） 对于任意的对于任意的xI，都有，都有 （2 2）存在）存在 x 0 I ，使得，使得 f (x0) M 那么，我们称那么，我们称 M 是函数是函数 f (x) 的最大值，记作的最大值，记作 f max (x) M 一般地，设函数一般地，设函数 y f (x)的定义域为 的定义

22、域为I，如果存在实数，如果存在实数 m 满足：满足： （1 1）对于任意的）对于任意的 xI ，都有，都有 （2 2）存在）存在x0I，使得，使得 f (x 0 ) m 那么，我们称那么，我们称 m 是函数是函数 f (x) 的最小值，记作的最小值，记作 f (x) m； ； f max (x) m 【1.3.21.3.2】奇偶性】奇偶性 （4 4）函数的奇偶性）函数的奇偶性 定义及判定方法定义及判定方法 函数的函数的 性性 质质 定义定义 如果对于函数如果对于函数 f(x)f(x)定义域内定义域内 任意一个任意一个 x x，都有，都有 f( f(x)=x)= f(x)f(x), ,那么函数那

23、么函数 f(x)f(x)叫做奇函叫做奇函 数数 函数的函数的 奇偶性奇偶性如果对于函数如果对于函数 f(x)f(x)定义域内定义域内 任意一个任意一个 x x， 都有都有 f( f(x)=x)=f(x)f(x), , 那么函数那么函数 f(x)f(x)叫做偶函数叫做偶函数 （1 1）利用定义（要先）利用定义（要先 判断定义域是否关于判断定义域是否关于 原点对称）原点对称） （2 2）利用图象（图象）利用图象（图象 关于关于 y y 轴对称）轴对称） 若函数若函数 图象图象判定方法判定方法 （1 1）利用定义（要先）利用定义（要先 判断定义域是否关于判断定义域是否关于 原点对称）原点对称） （2

24、 2）利用图象（图象）利用图象（图象 关于原点对称）关于原点对称） f (x) 为奇函数，且在为奇函数，且在 x 0处有定义，则 处有定义，则 f (0) 0 奇函数在奇函数在y轴两侧相对称的区间增减性相同，偶函数在轴两侧相对称的区间增减性相同，偶函数在 y 轴两侧相对称的区间增减性相反轴两侧相对称的区间增减性相反 在公共定义域内，两个偶函数（或奇函数）的和（或差）仍是偶函数（或奇函数）在公共定义域内，两个偶函数（或奇函数）的和（或差）仍是偶函数（或奇函数） ，两个偶函数（或，两个偶函数（或 奇函数）的积（或商）是偶函数，一个偶函数与一个奇函数的积（或商）是奇函数奇函数）的积（或商）是偶函数，

25、一个偶函数与一个奇函数的积（或商）是奇函数 补充知识函数的图象补充知识函数的图象 （1 1）作图）作图 利用描点法作图：利用描点法作图： 确定函数的定义域；确定函数的定义域；化解函数解析式；化解函数解析式； 讨论函数的性质（奇偶性、单调性）讨论函数的性质（奇偶性、单调性） ；画出函数的图象画出函数的图象 利用基本函数图象的变换作图：利用基本函数图象的变换作图： 要准确记忆一次函数、二次函数、反比例函数、指数函数、对数函数、幂函数、三角函数等各种基本要准确记忆一次函数、二次函数、反比例函数、指数函数、对数函数、幂函数、三角函数等各种基本 初等函数的图象初等函数的图象 平移变换平移变换 h0,左移

26、h个单位 y f (x) y f (x h) h0,右移|h|个单位 k0,上移k个单位 y f (x) y f (x) k k0,下移|k|个单位 伸缩变换伸缩变换 01,伸 y f (x) y f (x) 1,缩 0A1,缩 y f (x) y Af (x) A1,伸 对称变换对称变换 y轴x轴 y f (x)y f (x) y f (x)y f (x) 直线yx原点 y f (x) y f (x)y f (x) y f1(x) 去掉y轴左边图象 y f (x) y f (| x|) 保留y轴右边图象，并作其关于y轴对称图象 保留x轴上方图象 y f (x) y | f (x)| 将x轴下

27、方图象翻折上去 （2 2）识图）识图 对于给定函数的图象，要能从图象的左右、上下分别范围、变化趋势、对称性等方面研究函数的定义对于给定函数的图象，要能从图象的左右、上下分别范围、变化趋势、对称性等方面研究函数的定义 域、值域、单调性、奇偶性，注意图象与函数解析式中参数的关系域、值域、单调性、奇偶性，注意图象与函数解析式中参数的关系 （3 3）用图）用图 函数图象形象地显示了函数的性质，为研究数量关系问题提供了“形”的直观性，它是探求解题途径，函数图象形象地显示了函数的性质，为研究数量关系问题提供了“形”的直观性，它是探求解题途径， 获得问题结果的重要工具要重视数形结合解题的思想方法获得问题结果

28、的重要工具要重视数形结合解题的思想方法 高中数学必修高中数学必修 1 1 知识点总结知识点总结 第二章第二章基本初等函数基本初等函数( () ) 2.12.1指数函数指数函数 【2.1.12.1.1】指数与指数幂的运算】指数与指数幂的运算 （1 1）根式的概念）根式的概念 如果如果xn a,aR,xR,n 1，且 ，且n N ，那么，那么x叫做叫做a的的n次方根当次方根当n是奇数时，是奇数时， a 的的n次方根用符号次方根用符号 na 表示；表示；当当n是偶数时，是偶数时，正数正数a的正的的正的n次方根用符号次方根用符号 na 表示，表示，负的负的n次方次方 根用符号根用符号 na 表示；表示

29、；0 0 的的n次方根是次方根是 0 0；负数；负数a没有没有n次方根次方根 n 式子式子 a 叫做根式，这里叫做根式，这里n叫做根指数，叫做根指数，a叫做被开方数当叫做被开方数当n为奇数时，为奇数时，a为任意实数；当为任意实数；当 n 为偶数时，为偶数时，a 0 根根 式式 的的 性性 质质 ： (na)n a ； 当当 n 为为 奇奇 数数 时时 ， nan a ； 当当 n 为为 偶偶 数数 时时 ， n a (a 0) an|a| a (a 0) m n （2 2）分数指数幂的概念）分数指数幂的概念 正数的正分数指数幂的意义是：正数的正分数指数幂的意义是：a 幂等于幂等于 0 0 正数

30、的负分数指数幂的意义是：正数的负分数指数幂的意义是： a m n nam(a 0,m,nN , 且且n 1)0 0 的正分数指数的正分数指数 1 m 1 ( )n n ( )m(a 0,m,nN , 且且n 1)0 0 aa 的负分数指数幂没有意义的负分数指数幂没有意义注意口诀：底数取倒数，指数取相反数注意口诀：底数取倒数，指数取相反数 （3 3）分数指数幂的运算性质）分数指数幂的运算性质 ar as ars(a 0,r,sR) (ar)s ars(a 0,r,sR) r (ab) arbr(a 0,b 0,rR) 【2.1.22.1.2】指数函数及其性质】指数函数及其性质 （4 4）指数函数

31、）指数函数 函数名称函数名称 定义定义函数函数 指数函数指数函数 y ax(a 0 且且a 1)叫做指数函数叫做指数函数 a 10 a 1 x x y y 图象图象 y y a a (0,1)(0,1) y y a ax x y y y y 1 1y y 1 1 (0,1)(0,1) O O 定义域定义域 值域值域 x x R (0,) O O x x 过定点过定点 奇偶性奇偶性 单调性单调性 图象过定点图象过定点(0,1)，即当，即当x 0时，时，y 1 在在R上是减函数上是减函数 非奇非偶非奇非偶 在在R上是增函数上是增函数 ax1 (x 0) 函数值的函数值的 变化情况变化情况 ax1

32、(x 0) ax1 (x 0) ax1 (x 0) ax1 (x 0) ax1 (x 0) a 变化对变化对 图象的影响图象的影响在第一象限内，在第一象限内，a越大图象越高；在第二象限内，越大图象越高；在第二象限内，a越大图象越低越大图象越低 2.22.2对数函数对数函数 【2.2.12.2.1】对数与对数运算】对数与对数运算 （1 1）对数的定义）对数的定义 若若ax N(a 0,且a 1)，则 ，则x叫做以叫做以a为底为底N的对数，记作的对数，记作x loga N ，其中，其中a叫做底数，叫做底数， N 叫做真数叫做真数 负数和零没有对数负数和零没有对数 对数式与指数式的互化：对数式与指数

33、式的互化： x （2 2）几个重要的对数恒等式）几个重要的对数恒等式 log a N ax N(a 0,a 1,N 0) log a 1 0， ，loga a 1， ，log a ab b （3 3）常用对数与自然对数）常用对数与自然对数 常用对数：常用对数：lgN，即，即log10 N ；自然对数：；自然对数：lnN，即，即log e N （其中（其中e 2.71828） （4 4）对数的运算性质）对数的运算性质如果如果a 加法：加法：loga 0,a 1,M 0,N 0，那么 ，那么 M log a N log a (MN) 减法：减法：loga M log a N log a M log

34、 a Mn(nR) alogaN N M N 数乘：数乘：nlog a log ab Mn log b Nn (b 0,且b 1)log a M(b 0,nR) 换底公式：换底公式：loga N log b ab 【2.2.22.2.2】对数函数及其性质】对数函数及其性质 （5 5）对数函数）对数函数 函数函数 名称名称 定义定义函数函数 对数函数对数函数 y log a x(a 0 且且a 1)叫做对数函数叫做对数函数 a 10 a 1 y y loglog a a x x y y x x 1 1 y y x x 1 1 y y loglog a a x x 图象图象 (1,0)(1,0)

35、O O(1,0)(1,0)x xO Ox x 定义域定义域 值域值域 过定点过定点 奇偶性奇偶性 单调性单调性在在(0,)上是增函数上是增函数 (0,) R 图象过定点图象过定点(1,0)，即当，即当x 1时，时， 非奇非偶非奇非偶 在在(0,)上是减函数上是减函数 y 0 log a x 0 (x 1) 函数值的函数值的 变化情况变化情况 log a x 0 (x 1) log a x 0 (x 1) log a x 0 (0 x 1) log a x 0 (x 1) log a x 0 (0 x 1) a 变化对变化对 图象的影响图象的影响 (6)(6)反函数的概念反函数的概念 设函数设函

36、数 在第一象限内，在第一象限内，a越大图象越靠低；在第四象限内，越大图象越靠低；在第四象限内，a越大图象越靠高越大图象越靠高 值域为值域为C， 从式子从式子y f (x)中解出中解出 x ， 得式子得式子x (y) 如如 y f (x) 的定义域为的定义域为 A ， 果对于果对于 子子x y 在在C中的任何一个值，通过式子中的任何一个值，通过式子x (y)，x在在A中都有唯一确定的值和它对应，那么式中都有唯一确定的值和它对应，那么式 (y)表示 表示x是是y的函数，函数的函数，函数x (y)叫做函数叫做函数y f (x)的反函数，记作的反函数，记作x f 1(y) ， 习惯上改写成习惯上改写成

37、 y f1(x) （7 7）反函数的求法）反函数的求法 确定反函数的定义域，即原函数的值域；从原函数式确定反函数的定义域，即原函数的值域；从原函数式 将将x y f (x)中反解出 中反解出x f 1(y) ； f1(y)改写成 改写成 y f1(x)，并注明反函数的定义域 ，并注明反函数的定义域 （8 8）反函数的性质）反函数的性质 原函数原函数 函数函数 y f (x)与反函数 与反函数 y f1(x)的图象关于直线 的图象关于直线 y x对称 对称 y f (x)的定义域、值域分别是其反函数 的定义域、值域分别是其反函数 y f1(x)的值域、定义域 的值域、定义域 若若P(a,b)在原

38、函数在原函数 一般地，函数一般地，函数 y f (x)的图象上，则 的图象上，则P(b,a)在反函数在反函数 y f1(x)的图象上 的图象上 y f (x)要有反函数则它必须为单调函数 要有反函数则它必须为单调函数 2.32.3幂函数幂函数 （1 1）幂函数的定义）幂函数的定义 一般地，函数一般地，函数 y x叫做幂函数，其中 叫做幂函数，其中 x 为自变量，为自变量，是常数是常数 （2 2）幂函数的图象）幂函数的图象 （3 3）幂函数的性质）幂函数的性质 图象分布：幂函数图象分布在第一、二、三象限，第四象限无图象图象分布：幂函数图象分布在第一、二、三象限，第四象限无图象幂函数是偶函数时，图

39、象分布在第幂函数是偶函数时，图象分布在第 一、二象限一、二象限( (图象关于图象关于 y 轴对称轴对称) )；是奇函数时，图象分布在第一、三象限；是奇函数时，图象分布在第一、三象限 ( (图象关于原点对称图象关于原点对称) )；是非奇非；是非奇非 偶函数时，图象只分布在第一象限偶函数时，图象只分布在第一象限 过定点：所有的幂函数在过定点：所有的幂函数在(0,)都有定义，并且图象都通过点都有定义，并且图象都通过点(1,1) 单调性：如果单调性：如果 0 ，则幂函数的图象过原点，并且在，则幂函数的图象过原点，并且在0,)上为增函数如果上为增函数如果 0，则幂函数 ，则幂函数 y 轴轴 q （其中（

40、其中 p,q互 互 p q p 的图象在的图象在(0,)上为减函数，在第一象限内，图象无限接近上为减函数，在第一象限内，图象无限接近 x 轴与轴与 奇偶性：奇偶性：当当为奇数时，为奇数时，幂函数为奇函数，幂函数为奇函数，当当为偶数时，为偶数时，幂函数为偶函数幂函数为偶函数当当 q p 质，质，p和和qZ） ，若若 是偶函数，若是偶函数，若 p 为奇数为奇数q为奇数时，为奇数时，则则y x q p 是奇函数，是奇函数，若若 p 为奇数为奇数q为偶数时，为偶数时，则则y x p 为偶数为偶数q为奇数时，则为奇数时，则y x是非奇非偶函数是非奇非偶函数 图象特征：幂函数图象特征：幂函数 y x,x(

41、0,)，当 ，当 1时，若 时，若0 x 1，其图象在直线，其图象在直线y x下方，若下方，若 x 1，其图象在直线 ，其图象在直线 y x上方，当 上方，当 1时，若 时，若0 x 1，其图象在直线，其图象在直线 y x上方，若 上方，若x 1， 其图象在直线其图象在直线 y x下方 下方 补充知识二次函数补充知识二次函数 （1 1）二次函数解析式的三种形式）二次函数解析式的三种形式 一般式：一般式： f (x) ax2bxc(a 0) 顶点式：顶点式： f (x) a(xh)2k(a 0)两根式： 两根式： f (x) a(x x 1)(x x2 )(a 0) （2 2）求二次函数解析式的

42、方法）求二次函数解析式的方法 已知三个点坐标时，宜用一般式已知三个点坐标时，宜用一般式 已知抛物线的顶点坐标或与对称轴有关或与最大（小）值有关时，常使用顶点式已知抛物线的顶点坐标或与对称轴有关或与最大（小）值有关时，常使用顶点式 若已知抛物线与若已知抛物线与 x 轴有两个交点，且横线坐标已知时，选用两根式求轴有两个交点，且横线坐标已知时，选用两根式求 （3 3）二次函数图象的性质）二次函数图象的性质 二次函数二次函数 f (x) 更方便更方便 f (x) ax2bxc(a 0) 的图象是一条抛物线，对称轴方程为的图象是一条抛物线，对称轴方程为x b , 顶点坐标是顶点坐标是 2a b4acb2

43、 (,) 2a4a 当当a 0时，时，抛物线开口向上，抛物线开口向上，函数在函数在(, bbb 时，时， 上递减， 上递减，在在 ,) 上递增，上递增，当当x 2a2a2a bb 上递增，在 上递增，在 ,) 上上 2a2a 4acb2 f min (x) 4a ；当；当a 0时，抛物线开口向下，函数在时，抛物线开口向下，函数在(, 4acb2b 递减，当递减，当x 时，时， f max (x) 4a2a 二次函数二次函数 f (x) ax2bxc(a 0) 当当 b24ac 0时，图象与时，图象与x轴有两个交点轴有两个交点 M 1(x1,0),M2(x2,0),|M1M2 |x 1 x 2

44、| （4 4）一元二次方程）一元二次方程ax2 |a| bxc 0(a 0) 根的分布根的分布 一元二次方程根的分布是二次函数中的重要内容，一元二次方程根的分布是二次函数中的重要内容，这部分知识在初中代数中虽有所涉及，这部分知识在初中代数中虽有所涉及，但尚不但尚不 够系统和完整，且解决的方法偏重于二次方程根的判别式和根与系数关系定理（韦达定理）的运用，够系统和完整，且解决的方法偏重于二次方程根的判别式和根与系数关系定理（韦达定理）的运用， 下面结合二次函数图象的性质，系统地来分析一元二次方程实根的分布下面结合二次函数图象的性质，系统地来分析一元二次方程实根的分布 设一元二次方程设一元二次方程a

45、x2 bxc 0(a 0) 的两实根为的两实根为x1,x2，且，且x 1 x 2 令令 f (x) ax2bxc ， 从以下四个方面来分析此类问题：从以下四个方面来分析此类问题： 开口方向：开口方向：a对称轴位置：对称轴位置：x 判别式：判别式：端点函数值符号端点函数值符号 k kx x 1 1 x x 2 2 b 2a y f (k) 0 y a 0 x b 2a x2 k x1 O x2 x k x1 O x b x 2a x x 1 1 x x 2 2 k k f (k) 0 a 0 y a 0 f (k) 0 y x O b 2a x1 Ox2 k x x1x2 k x b x 2a

46、x x 1 1 k kx x 2 2 afaf( (k k) )0 0 a 0 f (k) 0 y a 0 y f (k) 0 x2x1 Ok x2 x x1 O k x f (k) 0 a 0 k k 1 1 x x 1 1 x x 2 2 k k 2 2 y f (k1) 0 a 0 f (k 2 ) 0 x2 k 2 y k1 x b 2a k 2 Ok1 x1 xO x1 f (k1) 0 x2 x x b 2a f (k 2 ) 0 a 0 有且仅有一个根有且仅有一个根 x x（或（或 x x 2 2） ） 满足满足 k k 1 1 x x（或（或 x x 2 2） ） k k 2

47、2 f f( (k k 1 1) )f f( (k k2 2) ) 0 0， 并同时考虑并同时考虑 f f( (k k 1 1)=0 )=0 1 11 1 或或 f f( (k k 2 2)=0 )=0 这两种情况是否也符合这两种情况是否也符合 y f (k1) 0 a 0 y f (k1) 0 Ok1 x1 k 2 x2 xO x1 k1 x2 k 2 x f (k 2 ) 0 a 0 f (k 2 ) 0 k k 1 1 x x 1 1 k k 2 2 p p 1 1 x x 2 2 p p 2 2 此结论可直接由推出此结论可直接由推出 （5 5）二次函数）二次函数 设设 f (x) ax

48、2bxc(a 0) 在闭区间在闭区间p,q上的最值上的最值 f (x) 在区间在区间p,q上的最大值为上的最大值为M，最小值为，最小值为 m ，令，令x0 （）当（）当a 1 (pq) 2 0时（开口向上） 时（开口向上） 若若 bbbb q ，则，则 p，则 ，则m f (p)若若 p q ，则，则m f ( ) 若若 2a2a2a2a m f (q) f (q) O f (p) x O b f (q) x f (p) O f x b ) 2a b f ()(p) )f ( bb 2a 2Ma f (q) 若若 x 0 ，则，则 x 0 ，则，则M f (p) 2a2a f f ( (q)

49、f f (p) x 0g x O O x(q) 0g x b ) 2a f (p)b(q) f f ( ( () )当当a 0时时( (开口向下开口向下) ) 若若 bbbb q ，则，则 p，则 ，则M f (p)若若 p q，则 ，则M f ( ) 若若 2a2a2a2a M f (q) 若若 b f () 2a f x f (p) O b f () 2a ff( (q) x O b ) 2a (p) O x f (q) (q) f (p) f bb x 0 ，则，则m f (q) x 0 ，则，则m f (p) 2a2a f ( b ) 2a f (p) O ff( (q) x 0 g

50、x b ) 2a x 0g O f (q) x f (p) 高中数学必修高中数学必修 1 1 知识点总结知识点总结 第三章第三章 函数的应用函数的应用 一、方程的根与函数的零点一、方程的根与函数的零点 1 1、函数零点的概念：对于函数、函数零点的概念：对于函数y f (x)(x D)，把使，把使f (x) 0成立的实数成立的实数x叫叫 做函数做函数y f (x)(x D)的零点。的零点。 2 2、函数零点的意义：函数、函数零点的意义：函数y f (x)的零点就是方程的零点就是方程f (x) 0实数根，亦即函数实数根，亦即函数 y f (x)的图象与 的图象与x轴交点的横坐标。即：轴交点的横坐标

51、。即： 方程方程f (x) 0有实数根有实数根函数函数y f (x)的图象与的图象与x轴有交点轴有交点函数函数y f (x) 有零点有零点 3 3、函数零点的求法：、函数零点的求法： 求函数求函数y f (x)的零点：的零点： 1 1 （代数法）求方程（代数法）求方程f (x) 0的实数根；的实数根； 2 2 （几何法）对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数（几何法）对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数y f (x)的图象联系的图象联系 起来，并利用函数的性质找出零点起来，并利用函数的性质找出零点 4 4、二次函数的零点：、二次函数的零点： 二次函数二次函数y ax bx c(a 0)

52、），方程），方程ax bx c 0有两不等实根，二次函数的图象与有两不等实根，二次函数的图象与x轴有两个轴有两个 交点，二次函数有两个零点交点，二次函数有两个零点 ），方程），方程ax bx c 0有两相等实根（二重根）有两相等实根（二重根） ，二次函数的图象与，二次函数的图象与x 2 2 2 轴有一个交点，二次函数有一个二重零点或二阶零点轴有一个交点，二次函数有一个二重零点或二阶零点 ），方程），方程ax bx c 0无实根，二次函数的图象与无实根，二次函数的图象与x轴无交点，二次轴无交点，二次 函数无零点函数无零点 2 高中数学必修高中数学必修 2 2 知识点总结知识点总结 第一章第一章空

53、间几何体空间几何体 1.11.1 柱、锥、台、球的结构特征柱、锥、台、球的结构特征 1.21.2 空间几何体的三视图和直观图空间几何体的三视图和直观图 1 1 三视图：三视图： 正视图：从前往后正视图：从前往后侧视图：从左往右侧视图：从左往右俯视图：从上往下俯视图：从上往下 2 2 画三视图的原则：画三视图的原则： 长对齐、高对齐、宽相等长对齐、高对齐、宽相等 3 3 直观图：斜二测画法直观图：斜二测画法 4 4 斜二测画法的步骤：斜二测画法的步骤： （1 1）. .平行于坐标轴的线依然平行于坐标轴；平行于坐标轴的线依然平行于坐标轴； （2 2）. .平行于平行于 y y 轴的线长度变半，平行于轴的线长度变半，平行于 x x，z z 轴的线长度不变；轴的线长度不变； （3 3）. .画法要写好。画法要写好。 5 5 用斜二测画法画出长方体的步骤：用斜二测画法画出长方体的步骤： （1 1）画轴（）画轴（2 2）画底面（）画底面（3 3）画侧棱（）画侧棱（4 4）成图