2018-2019学年高中数学 第二章 点、直线、平面之间的位置关系 2.3.3-2.3.4 直线与平面垂直的性质 平面与平面垂直的性质课件 新人教A版必修2.ppt

1、2.3.3直线与平面垂直的性质2.3.4平面与平面垂直的性质,目标导航,新知探求,课堂探究,新知探求素养养成,点击进入情境导学,知识探究,1.直线与平面垂直的性质定理,ab,平行,探究1:(1)垂直于同一个平面的两条直线一定共面吗?(2)三角形的两边可以垂直于同一个平面吗?(3)过一点有几条直线与已知平面垂直?答案:(1)共面.由线面垂直的性质定理可知这两条直线是平行的,故能确定一个平面.(2)不可以.若三角形的两边垂直于同一个平面,则这两条边平行,不能构成三角形.(3)有且仅有一条.假设过一点有两条直线与已知平面垂直,由直线与平面垂直的性质定理可得这两条直线平行,应无公共点,这与过同一点相矛

2、盾,故只有一条直线.,2.平面与平面垂直的性质定理,al,垂直于交线,探究2:(1)如果,则内的直线必垂直于内的无数条直线吗?(2)如果,过内的任意一点作与交线的垂线,则这条直线必垂直于吗?答案:(1)正确.若设=l,a,b,bl,则ab,故内与b平行的无数条直线均垂直于内的任意直线.(2)错误.垂直于交线的直线必须在平面内才与平面垂直,否则不垂直.,自我检测,1.(面面垂直的性质定理)已知直线m,n和平面,若,=m,n,要使n,则应增加的条件是()(A)mn(B)nm(C)n(D)n,B,2.(线面垂直的性质定理)在正方体ABCD-A1B1C1D1中,直线l平面A1C1(l与棱不重合),则(

3、)(A)B1Bl(B)B1Bl(C)B1B与l异面(D)B1B与l相交,B,3.(线面、面面垂直的综合应用)已知m,n是两条不同的直线,是两个不同的平面,且m,n,则下列叙述正确的是()(A)若,则mn(B)若mn,则(C)若n,则m(D)若m,则,4.(面面垂直的性质定理)下列命题中错误的是()(A)如果平面平面,那么平面内一定存在直线平行于平面(B)如果平面不垂直于平面,那么平面内一定不存在直线垂直于平面(C)如果平面平面,平面平面,=l,那么l平面(D)如果平面平面,那么平面内所有直线都垂直于平面,D,D,5.(面面垂直的性质定理)已知m,n,l是直线,是平面,=l,n,nl,m,则直线

4、m与n的位置关系是.,答案:平行,6.(线面、面面垂直的应用)设,是空间两个不同的平面,m,n是平面及外的两条不同直线.从“mn;n;m”中选取三个作为条件,余下一个作为结论,写出你认为正确的一个命题:(用序号表示).,答案:(或),题型一,直线与平面垂直的性质定理的应用,【例1】(1)已知两条直线m,n,两个平面,给出下面四个命题:mn,mn;,m,nmn;mn,mn;,mn,mn.其中正确命题的序号是()(A)(B)(C)(D),课堂探究素养提升,(1)解析:由线面垂直的性质定理可知正确;对于,当,m,n时,m与n可能平行也可能异面,故不正确;对于,当mn,m时,n或n,故不正确;对于,由

5、mn,m,得n,又,所以n,故正确.故选C.,(2)如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M是AB上的一点,N是A1C的中点,MN平面A1DC.求证:MNAD1;,(2)证明:因为ABCD-A1B1C1D1为正方体,所以AD1A1D.又因为CD平面ADD1A1,AD1平面ADD1A1,所以CDAD1.因为A1DCD=D,所以AD1平面A1DC.又因为MN平面A1DC,所以MNAD1.,M是AB的中点.,方法技巧证明两条直线平行的方法常见的有:(1)公理4:平行于同一条直线的两条直线平行;(2)线面平行的性质定理:如果一条直线与一个平面平行,那么经过这条直线的任一平面与此平面的交线与该

6、直线平行;(3)面面平行的性质定理:如果两个平行平面同时和第三个平面相交,那么它们的交线平行;(4)线面垂直的性质定理:垂直于同一个平面的两条直线平行.,即时训练1-1:如图,已知AB平面ACD,DE平面ACD,ACD为等边三角形,AD=DE=2AB,F为CD的中点.求证:平面BCE平面CDE.,【备用例1】如图所示,已知矩形ABCD,过A作SA平面AC,再过A作AESB交SB于点E,过点E作EFSC交SC于点F.,(1)求证:AFSC;,证明:(1)因为SA平面AC,BC平面AC,所以SABC,因为ABCD为矩形,所以ABBC,又SAAB=A,所以BC平面SAB,所以BCAE.又SBAE,B

7、CSB=B,所以AE平面SBC,所以AESC.又EFSC,AEEF=E,所以SC平面AEF,所以AFSC.,(2)若平面AEF交SD于点G.求证:AGSD.,证明:(2)因为SA平面AC,所以SADC,又ADDC,SAAD=A,所以DC平面SAD.所以DCAG.又由(1)有SC平面AEF,AG平面AEF,所以SCAG,又DCSC=C,所以AG平面SDC,所以AGSD.,题型二,平面与平面垂直的性质定理的应用,【例2】(12分)如图,P是四边形ABCD所在平面外一点,四边形ABCD是DAB=60,且边长为a的菱形.侧面PAD为正三角形,其所在平面垂直于底面ABCD.,规范解答:(1)如图所示,连

8、接BD.因为四边形ABCD是菱形,且DAB=60,所以ABD是正三角形,2分因为G是AD的中点,所以BGAD.3分又因为平面PAD平面ABCD,平面PAD平面ABCD=AD.所以BG平面PAD.6分,(1)若G为AD边的中点,求证:BG平面PAD;,(2)求证:ADPB.,规范解答:(2)连接PG.因为PAD为正三角形,G为AD的中点,所以PGAD.7分由(1)知BGAD,而PGBG=G,PG平面PBG,BG平面PBG.所以AD平面PBG.10分又因为PB平面PBG,所以ADPB.12分,方法技巧利用面面垂直的性质定理,证明线面垂直的问题时,要注意以下三点:(1)两个平面垂直;(2)直线必须在

9、其中一个平面内;(3)直线必须垂直于它们的交线.,即时训练2-1:已知:如图,平面PAB平面ABC,平面PAC平面ABC,AE平面PBC,E为垂足.,证明:(1)在平面ABC内任取一点D,作DFAC于点F,作DGAB于点G.因为平面PAC平面ABC,且交线为AC,所以DF平面PAC.因为PA平面PAC,所以DFPA.同理可证,DGPA.因为DGDF=D,所以PA平面ABC.,(1)求证:PA平面ABC;,证明:(2)连接BE并延长交PC于点H.因为E是PBC的垂心,所以PCBH.又因为AE平面PBC,所以PCAE.因为BHAE=E,所以PC平面ABE,所以PCAB.又因为PA平面ABC,所以P

10、AAB.因为PAPC=P,所以AB平面PAC.所以ABAC,即ABC是直角三角形.,(2)当E为PBC的垂心时,求证:ABC是直角三角形.,【备用例2】如图,平行四边形ABCD中,BD=2,AB=2,AD=4,将BCD沿BD折起到EBD的位置,使平面EBD平面ABD.,(1)求证:ABDE,(2)求三棱锥E-ABD的侧面积.,题型三,线面、面面垂直的综合问题,【例3】如图,三角形PDC所在的平面与长方形ABCD所在的平面垂直,PD=PC=4,AB=6,BC=3.(1)证明:BC平面PDA;,(1)证明:因为长方形ABCD中,BCAD,又BC平面PDA,AD平面PDA,所以BC平面PDA.,(2

11、)证明:取CD的中点H,连接PH,因为PD=PC,所以PHCD.又因为平面PDC平面ABCD,平面PDC平面ABCD=CD,所以PH平面ABCD.又因为BC平面ABCD,所以PHBC.又因为长方形ABCD中,BCCD,PHCD=H,所以BC平面PDC.又因为PD平面PDC,所以BCPD.,(2)证明:BCPD;,(3)求点C到平面PDA的距离.,方法技巧直线、平面之间的平行、垂直关系是重点考查的位置关系,当已知线面、面面垂直或平行时考虑用性质定理转化,要证线面、面面垂直或平行时要用判定定理进行论证.,即时训练3-1:如图,在矩形ABCD中,AB=2BC,P,Q分别为线段AB,CD的中点,EP平面ABCD.,(1)求证:AQ平面CEP;,(2)求证:平面AEQ平面DEP.,证明:(2)因为EP平面ABCD,AQ平面ABCD,所以AQEP.因为AB=2BC,P为AB的中点,所以AP=AD.连接PQ,则四边形ADQP为正方形.所以AQDP.又EPDP=P,所以AQ平面DEP.因为AQ平面AEQ,所以平面AEQ平面DEP.,题型四,易错辨析推理不严谨致误,【例4】求证:如果一个平面与另一个平面的垂面平行,那么这两个平面互相