【高中数学竞赛真题•强基计划真题考前适应性训练】 专题04 向量 真题专项训练（全国竞赛+强基计划专用）解析版

试卷第=page11页，共=sectionpages33页【高中数学竞赛真题•强基计划真题考前适应性训练】专题04向量真题专项训练（全国竞赛+强基计划专用）一、单选题1．（2020·北京·高三校考强基计划）在中，．点P满足，则（

）A． B．C． D．【答案】ABCD【分析】根据题设条件可得P为的费马点，如图，以为边作等边三角形，可证，故可判断各项的正误.【详解】根据题意，方向上的单位向量之和为零向量，因此，进而P为的费马点．如图，以为边作等边三角形，则，故四点共圆，故，故，故，同理，，因此所有选项均正确．故选：ABCD.2．（2022·全国·高三专题练习）已知点是边长为1的正方形所在平面上一点，满足，则的最小值是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】建立直角坐标系，设，根据题中的式子列出方程，由点的几何意义即可求得的最小值.【详解】解：建立如图所示的平面直角坐标系，则，，，，’设，则，，，，由题意知：，即，点在以为圆心，半径为的圆上，又表示圆上的点到的距离，.故选A.【点睛】关键点点睛：解答本题的关键是数形结合，利用点的几何意义进行解答.3．（2020·浙江温州·高一统考竞赛）已知单位向量，的夹角为60°，向量，且，，设向量与的夹角为，则的最大值为（

）．A． B． C． D．【答案】C【详解】由题意有，则．又因为，所以，所以．故选：C.二、多选题4．（2020·北京·高三校考强基计划）设平面向量满足，且，则的（

）A．最大值为 B．最大值为C．最小值为0 D．最小值为【答案】AC【分析】利用柯西不等式可求的最大值，利用特例可求的最小值.【详解】首先，取，则可以取，因此的最小值为0．接下来，考虑，于是，等号当且时取得，因此所求最大值为．故选：AC.三、填空题5．（2021·全国·高三竞赛）已知向量，则的最大值是___________．【答案】5【详解】，当时等号成立故答案为：5.6．（2021·全国·高三竞赛）已知两个非零向量满足，则的最大值是_____．【答案】【详解】设，则．则：.当且仅当，即时，等号成立．即最大值为.故答案为：.7．（2021·全国·高三竞赛）中，A、B、C的对边分别为a、b、c，O是的外心，点P满足，若，且，则的面积为_________．【答案】【详解】由，得，即．注意到，所以．同理，，所以P是的垂心，，所以，，所以．故答案为：.8．（2021·全国·高三竞赛）已知平面单位向量，且，记，则y的最大值为________．【答案】4【详解】单位向量满足，则有，不妨设四个向量如图所示，分别为，X在单位圆O的上．设，则有，故有，即有，故．故答案为：4.9．（2021·全国·高三竞赛）已知点A满足，B、C是单位圆O上的任意两点，则的取值范围是__________．【答案】【详解】.又，取等可以保证，故所求范围为．故答案为：.10．（2020·浙江·高三竞赛）已知，为非零向量，且，则的最大值为__________.【答案】.【详解】解法一

设，，则.解法二

设，则，且，所以.故答案为：.11．（2022春·浙江·高一校联考竞赛）设平面向量，，满足，，，.若，则____________.【答案】【详解】如图所示，作，，，由题意得，，设直线OC与直线AB交于点P.因为，故点P在线段AB上（不含端点），又，结合等和线性质可知，作于G，于H，有，，记，①当点G在线段AB上时，，，由，得，可解得，进而有，此时，，.点为线段AH的中点，在线段AB上，符合题意，可得，所以.②当点G在线段AB的反向延长线上时，同①方法可推得点P与点A重合，矛盾.综上所述，.故答案为：.12．（2018·河北·高二竞赛）在矩形ABCD中，已知AB=3，BC=1，动点P在边CD上.设，，则的最大值为________.【答案】-3【详解】因为，所以问题转化为求的最小值.由等面积法可得.所以.当，即时，所求最大值为-3.13．（2019·河南·高二校联考竞赛）在平面上，，，，若，则的取值范围是________.【答案】【分析】根据题意,建立平面直角坐标系,设出、、、的坐标,由及可得关于O点坐标的不等式组,结合两点间距离公式即可表示出的取值范围.【详解】因为,则为矩形,以所在直线为轴,以为轴建立平面直角坐标系.如下图所示:设,则,,,因为所以变形可得因为,即由以上两式可得即因为,即所以则综上可知因为所以,即故答案为:【点睛】本题考查了平面向量在坐标系中的综合应用,向量的加法运算与向量的模长,通过建立平面直角坐标系,用坐标研究向量关系是常见方法,属于中档题.14．（2022·浙江·高二竞赛）已知平面向量，，满足，且，则最大值为______.【答案】6【详解】，当且仅当时取得最大值.故答案为：6.15．（2022·福建·高二统考竞赛）如图，点M､N分别在△ABC的边AB､AC上，且，，D为线段BC的中点，G为线段MN与AD的交点.若，则的最小值为___________.【答案】【详解】依题意有：，因为M､G､N三点共线，所以，所以，由柯西不等式知，，所以，当且仅当，即，，时等号成立，所以的最小值为.故答案为：.16．（2022·贵州·高二统考竞赛）甲烷分子的四个氢原子位于棱长为1的正四面体的四个顶点，碳原子C位于四面体的中心，记四个氢原子分别为，，，，则_____．【答案】【详解】在面的射影为，，则，∴，又，∴，即，∴，∴，所以，故答案为：.17．（2018·山东·高三竞赛）在中，，的平分线交于，且有．若，则______．【答案】

【详解】过点作交于点，交于点，由题设，所以，，．因此，所以，，因此．所以．由此得．18．（2019·重庆·高三校联考竞赛）已知向量满足，且，若为的夹角，则_______.【答案】【详解】因为，所以，所以.因为，所以.又因为k∈Z+，所以k=2，所以.故答案为：．19．（2019·广西·高三校联考竞赛）已知点P(－2，5)在圆上，直线l：与圆C相交于A、B两点，则____________.【答案】【详解】由已知求得圆C：(x－1)2+(y－1)2=52到直线l的距离为3，从而.所以.故答案为：．20．（2020春·浙江·高三校联考阶段练习）已知点为所在平面内任意一点，满足，若，，则的取值范围是______.【答案】【解析】由已知条件变形得到，通过等价变形把表示为的函数，根据的范围即可求出的取值范围.【详解】解：，所以..因为，,所以，则的取值范围为.故答案为：.【点睛】本题考查向量的化简变形及函数的值域计算，关键在于向量等式的等价变形，属于中档题.21．（2021·全国·高三竞赛）如图，在中，是边上一点，且．若点满足与共线，，则的值为_________．【答案】或【详解】因为，所以，即．因为与共线，所以存在实数，使得．因为，所以，从而，所以．因为，所以，所以．因为，所以，即，解得或．因此或．故答案为：或.22．（2021·全国·高三竞赛）设P是所在平面内一点，满足，若的面积为1，则的面积为__________.【答案】【详解】因为，所以，即，记的中点为M，于是，因此.故答案为：.23．（2021·全国·高三竞赛）已知为三内角，向量.如果当最大时，存在动点，使得成等差数列，则最大值为________.【答案】【详解】，，等号成立仅当.令，因，所以是椭圆上的动点.故点，设，则：，.当时，.即.故答案为：.24．（2022·江苏南京·高三强基计划）已知向量，，满足，，，且，则最小值为___________.【答案】【详解】依题意得：，设，所以，如图将，放入平面直角坐标系，设，，OC中点为B，则，，，画图可知：的终点在以AB为直径的圆上，可得圆心坐标，，∴，故答案为：.25．（2021·全国·高三竞赛）已知平面向量､､，满足，若，那么的最小值为___________.【答案】##【分析】设，则即为点到点（圆上的动点）的距离与到点的距离，利用对称可求其最小值.【详解】解析：建立直角坐标系.设，则.问题转化为点到点的距离与到点的距离之和最小，其中点在直线上运动，点在圆上运动，所以.点O关于直线对称的点为，所以，所以，等号可以取到，所以最小值是.故答案为：.【点睛】思路点睛：向量的模的最值问题，可建立平面直角坐标系，将问题转化为动点到几何对象的距离和最值的问题.26．（2019·福建·高三校联考竞赛）已知为△ABC的内心，且.记R､r分别为△ABC的外接圆､内切圆半径，若，则R=____________.【答案】32【详解】解法一：如图，取BC的中点D，依题意，有.所以A､I､D三点共线，AB=AC.由r=ID=15，知IA=24.作IE⊥AB于E，则IE=ID=15，.所以.又.所以.解法二：依题意，有.由三角形内心的向量表示：若a､b､c分别为△ABC的内角A､B､C的对边，I为△ABC的内心，则.可得，a：b：c=5：4：4，设a=10k，则b=c=8k.作AD⊥BC于D，则，.又r=15，，因此，.又，所以.故答案为：32．27．（2019·贵州·高三校联考竞赛）在△ABC中，.则____________.【答案】【详解】设△ABC中角A、B、C所对的边分别为a、b、c.由，知G为△ABC的重心.又GA⊥GB，所以.得到.故：.故答案为：．28．（2021·全国·高三竞赛）已知三个非零向量、、，满足（其中为给定的正常数）．则实数t的最小值为___________．【答案】【分析】应用及求和的轮换关系得到，再分类讨论即可得解.【详解】，所以．故．假设，则．故，所以，这与、为非零向量矛盾．从而．又，所以，当两两同向且模均为时等号成立．故．故答案为：四、解答题29．（2020·浙江温州·高一统考竞赛）若平面上的点满足．（1）求的最大值；（2）设向量,,定义运算．若,求的取值范围．(其中О为坐标原点)【答