河北省2020届高考冲刺模拟数学试题含解析【含高考模拟卷15套】

河北省馆陶县第一中学2020届高考冲刺模拟数学试题

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目

要求的。

-x

1.已知是函数f(x)=，广(“(其中常数。>0)图像上的两个动点，点P(a,0),若

ex-2a,x>a

的最小值为0,则函数/(x)的最小值为()

J_J_J_£

A./B.4ec.jD.e

2.如图，在四棱锥P-ABCD中，BCHAD,AD=2BC,点E是棱PD的中点，PC与平面ABE交于F点，设

PF=AFC,则九=()

A.4B.3C.2D.1

-2

3.已知函数/(x)=|—"+2aV+1，A-1,给出下列命题，其中正确命题的个数为

lnx+2tz,x>1

①当0<a<l时，"％)在(―8)上单调递增；

②当4>1时，存在不相等的两个实数玉和Z，使/(西)=/(々)；

③当"0时，/(X)有3个零点.

A.3B.2C.1D.0

22

4.已知椭圆。：亍+匕=1的左、右焦点分别为£、F2,过FZ且斜率为1的直线/交椭圆。于A、B两

点，则的内切圆半径为()

Vf2V23V24V2

A.7B.7c.7D.7

5.已知随机变量X服从正态分布NQ,")且P(x<4)=0.88,则P(0<x<4)=()

A.0.88B.0.76c.024D.012

6.点(3,4)关于直线x-y+6=0的对称点的坐标为()

A.(4,3)B(2,-9)c(-4,-3)D(-2,9)

7.从班委会5名成员中选出3名，分别担任班级学习委员、文娱委员与体育委员，其中甲、乙二人不能

担任文娱委员，则不同的选法共有()种.

A.36B.30C.12D.6

8.当x=l是函数/。)=(必+2融—/-3。+3)，的极值点，则。的值为()

A.-2B.3C.-2或3D.-3或2

9.将函数/(%)=sin的图象向右平移T个单位长度得到以幻图象,则下列判断错误的是()

TC71

A.函数g(X)在区间—上单调递增

B.g(x)图象关于直线x=五对称

71式

C.函数g(x)在区间-二，彳上单调递减

_63

巴

D.8(幻图象关于点131对称

)2

10.斜率为2的直线1过双曲线土r—5=1(a>0,b>0)的右焦点，且与双曲线的左右两支分别相交，则

a

双曲线的离心率e的取值范围是()

A.e<>/2B.l<e<73

Cl<e<\[5D.e>逐

11.某四面体的三视图如图所示，正视图、俯视图都是腰长为2的等腰直角三角形，侧视图是边长为2的

正方形，则此四面体的体积是()

N凶

正视图侧视图

俯视图

48

A.3B.3C.4D.8

12.在正三棱锥S-ABC中，”是SC的中点，且AM1.SB,底面边长43=20，则正三棱锥S-ABC

的外接球的表面积为（）

A.6兀B.12万C.32〃D.36%

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.如图所示的茎叶图为高二某班54名学生的政治考试成绩，程序框图中输入的生,出，%4为茎叶图中

的学生成绩，则输出的S和n的值之和是

3678

5012336899

600134466678

7012234556777899

8002344555679

9046

14.已知函数十）=加+区一+6+"（—°）,若不等式r（x）+x>°的解集为（-L1）,则J的值

为.

15.若b>0,且函数/（x）=4V—以一一次+2在％=i处有极值，贝i7的最小值等于

16.设1],丁q一，2],记“以（x,y）为坐标的点落在不等式Y+V21所表示的平面区域内,，为

事件A,则事件A发生的概率为.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

~~—=1(〃>b>0)c、r-

17.(12分)已知椭圆方右焦点坐标为(L。)，短轴长为202.求椭圆的方程；过左

372

焦点户的直线与椭圆分别交于A8两点，若△。钻(°为直角坐标原点)的面积为4，求直线AB的

方程.

/•/、•/5兀_._..兀、/3兀、

j(%)=sin(-----2x)—2sin(x—)cos(xH--).

18.(12分)已知函数’644.求函数/(X)的最小正周期和单调递

，/、1

Xlr-v-I

增区间；已知』，々r是函数2的两个零点，求内同的最小值.

/(x)=lnAg(x)=八，),,

19.(12分)已知函数.x讨论函数x在U，+叼上的单调性；若

不等式(X)+"*2—e对xe(0,恒成立，求”取值范围.

20.(12分)已知函数，()•若(，),求函数)(“在1，4上的最小值；若

g(x)=f-“X),当时，g(X)20恒成立，求整数〃的最小值.

21.(12分)已知△ABC的内角A,B,C所对边分别为a、b>c,且2acosC=2b・c.求角A的大小；若

AB=3,AC边上的中线BD的长为屈，求△ABC的面积.

22.(10分)已知函数/⑴=卜一”.解关于X的不等式/⑴+/一1>°；若g(x)=T%+3|+m,

<g(x)的解集非空，求实数机的取值范围.

参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目

要求的。

1、D

2、C

3、C

4、C

5、B

6、D

7、A

8、B

9、C

10、D

11、A

12、B

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13、86,13

7

14、2

3

15、三

TC

16、1-8

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

22

17、(1)(2)—y+&=0或缶+y+0=O.

【解析】

【分析】

C=1

(1)根据题意得到｛b=及进而求出椭圆方程；(2)联立直线和椭圆得到二次方程，根据

a23=b2+c2

业列，原点

|AB|=J(1+公)(％-无2+々)2-4%无2,代入韦达定理得到结果

2+3k2

白，三角形的面积S”46俨+i)=£1进而求得直线方程.

。到直线的AB距离d

2+3公4

【详解】

C=1

(1)由题意得:<b=O

a2=b2+c2

解得a=VJ>

22

所以所求椭圆方程为土+乙=1.

32

(2)当直线AB与x轴垂直时,网孝,

此时SMQB=乎不符合题意故舍掉;

当直线AB与x轴不垂直时，设直线AB的方程为y=后(％+1),

22

工+汇=1

由＜32消去）得：（2+3公）/+6炉x+（3公一6）=0,

y=A（x+1）

-6k2

…=江泰

设A(w，y),8(工2，%)，则'

3A2—6

•••|AB\=加「々）2+（＞-%）2=J（X|_%2）2+[%（石+1）一1（工2+1）了

45/3（^2+1

2+3k2

k

原点。到直线的AB距离d=-4=

Jl+k2

..•三角形的面积心。小扣悬二嘤粤,

由5»以=¥得二=2,故攵=±JL

，直线AB的方程为y=J5(x+l),或^=一五(x+1),

即叵x-y+x/2=0或V2x+y+V2=0.

【点睛】

本题主要考查了椭圆的方程及直线与椭圆的位置关系，是高考的必考点，属于难题.求椭圆方程的方法一

2122C

12i/＞a=b+c、e=—

般就是根据条件建立d九’的方程，求出“力即可，注意。的应用；涉及直线与圆锥曲

线相交时，未给出直线时需要自己根据题目条件设直线方程，要特别注意直线斜率是否存在的问题，避免

不分类讨论造成遗漏，然后要联立方程组，得一元二次方程，利用根与系数关系写出斗+々，工「4,再根

据具体问题应用上式，其中要注意判别式条件的约束作用.

18、(I)最小正周期乃，单调递增区间为[%万一5次乃+g],kwZ；(II)

633

【解析】

【分析】

(I)利用两角和差的正弦公式以及三角函数的倍角公式，辅助角公式进行化简，结合周期公式，以及函

数的单调性进行求解即可；（II）根据零点求出sin[2x-?）=；的根，利用作差法进行求解即可.

【详解】

・51c51.rc.r7ry(乃1

sin——cos2x-cos——sin2x-2sinx----cos尤+乃-----

66I4；I4；

<乃、71

sin2x+2sinx----cosX----

22<4,4

=/2/sin2x+sin(2x-工%°s2x+理sin2x-cos2x

22I2J22

V3.1C.吟

=—sin2x—cos2x=sin2x—

22I6)

则函数/(x)的最小正周期T=

y/-jl'ji

由2<2x<2k7r4-—,keZ,得k/r--#xk冗+—,keZ

26263

即函数的单调递增区间为3-+f，kwZ

(H)%,,公是函数y=/(x)—g的两个零点

•.由y=〃x)—；=。得〃x)=g

„...(c兀।1,0_兀_.7L~_TC_.、TC~

则由sin2x=一得2须=2人兀T—・・・①z，29・・•②z

V6J2666~6

27r

则②一①得2（%—石）=2（女2—人）万+号

即（X,—X）=（&2—a）乃+耳，

则-々|=（左2-幻万+?，k\,k[GZ

则当仁=%2时，1%-引取得最小值，最小值为？

【点睛】

本题主要考查三角函数的图象和性质.利用两角和差的正弦公式以及辅助角公式进行化简，利用三角函数

值的关系是解决本题的关键.

11*

19、(1)a<-^Ebt,单调递减.a>-g时g(x)的单调递减区间为-H+e,单调递增区间为

221/

(+1、

1,e<<+2.(2)[0,2].

\/

【解析】

【分析】

(1)对a分aW—g和a>—g两种情况讨论求函数的单调性；(2)xhrc-办+a+e—220对xw(0,+8)

恒成立，再构造函数〃(力=拉比-公+。+6-2求出函数〃(力的最小值为〃H=a+e-2-e"T,再

构造函数《。)="+0-2-6*-|求解

【详解】

解：⑴8(”的定义域为(0，+8),

,/、2。+1—21nx

且x二p，

若因为x>l,所以欣>0,所以g'(x)<0,所以g(x)在(1,+8)上单调递减,

若a>-g,令g'(x)=0,得.e吗，

当l<x<e"3时，g'(x)>°；当x>e旧时，g'(x)<0，

,、71(“+D

所以g(尤)的单调递减区间为e2,+8,单调递增区间为1,e2.

\/\/

(2)x2f(x)+a>2-e,即xlnx-£zr+a+e-2N0对xe((),+oo)恒成立，

令〃(x)=xlnx—or+a+e-2,则〃'(x)=lnx+l—a,令〃'(x)=0,^x=ea''»

当xe(0,e"T)时，〃'(x)<0；当xe(e"T,+8)时，〃'(x)>0,

1a

所以〃(x)的最小值为〃(e"T)=(a-1)e"T+a+e-2-ae^^a+e-2-e-',

令f(a)=a+e—2—e"-l贝〃'(a)=1—,令/(“)=(),得。=1,

当ae[0,1)时,tr(a)>0,t(a)在[0,1)上单调递增；

当ae(l,+8)时，«。)<0,《。)在(1,+8)上单调递减，

所以当ae[0,l)时，〃(力的最小值为.(。)2《0)=6-2-)>0；

当ae[l,+oo)时，〃(x)的最小值为/(a)=a+e—2—e"T>0=r(2).

故”的取值范围是[0,2].

【点睛】

本题主要考查利用导数求函数的单调性，考查利用导数研究不等式的恒成立问题，意在考查学生对这些知

识的理解掌握水平和分析推理能力.

20、(I)当1<。<2时.毒n(x)=—e"T+a；当a22时,.7m(x)=e-ae+a；(II)-2.

【解析】

【分析】

(I)求导得尸(x)=Inx+l-a(x>0),讨论当1<。<2时，当a22时，结合导数的正负，由单调性

求最值即可；

(H)由g(x)20对一切x>l恒成立，可得aN独竺二二对一切%>1恒成立，

x-\

令〃(力=照二三(x>l),求导，根据单调性求最值即可.

x—1

【详解】

(I)/'(x)=lnx4-l—a(x>0),

令/'(x)=0则x=e"-|,a>\：.x=ea~'>\.

①当1<a<2时1<ea~'<e,

当l〈x<e"T时/'(x)<()，当e"”时.f'(x)>0，

〃力在［1/1)上递减，在(-'Le］上递增，

•,，(x)=/(e”*+a

②当a22时，则e"T之e,

/'(x)W0对一切IWxWe恒成立，，/(x)在［l,e］上递减，，篇

n|

综上：当l<a<2时Alin(x)=/(e-)=-^'+a；

当a»2时7mX卜=/

(II)8(%)=兀2-另1«+依一.20对一切%>1恒成立

a>xinx-x2-对一切x>1恒成立

x-l

22

A,/\xlwc—x八.f/\—x+3x—\wc—1八

令/z(x)=----J—(zx>1)h\x)=--------------(x>1)

令9(x)="x2+3x-lnx-l(x>1)/(x)=_(2*」)(xl)(x>1)

当X>1时,夕'(%)<0二夕(X)在(1,+00)上递减

,9、11Q

又以D=l>0,0（2）=l—ln2>0,“aJ=^-ln彳<0

叫d2,\2

使得以天）=0,即/（％）=0此时lnx（）=-x0+3x0-l

当1<了<玉)时〃'(x)>0,当x>x()时〃'(x)<0

//(x)在(1,%)上递增在(拓,T9。)上递减

力max（%）=〃（毛）=-'二2/J/=一与（/_1）

玉）一1

945

又2<X。<——</z（x。）<-2,

又aeZ"min=一2.

另解：8(%)=%2-如汝+公一。》0对一切；1>1恒成立.

取％=6贝叱—6+626—。20a>—e,

又aeZ,取a=—2,此时g(x)=Y—xlnx—2x+2,

2

令〃(x)=x-hu：H---2(x>1),

,,/\X2-x-2(x-2)(x+l)

h\x)=-—=————-(x>1),

当l<x<2时〃'(x)<0,当x〉2时〃'(x)>0,

在(1,2)上递减，在(2,+oo)上递增，；.72mhi(x)=〃(2)=l-ln2>0,

2

/./z(x)=x-lnx+——2>0对一切%>1恒成立,

又%>1,.•・当。=一2时，g(x)=M一%]11r-21+2>0恒成立，

故〃min=-2.

【点睛】

本题主要考查利用导数求函数的最值以及不等式恒成立问题，属于难题.不等式恒成立问题常见方法：①

分离参数"""X)恒成立即可)或""/(X)恒成立(a〈/(x)min即可)；②数形结合

(y=/(x)图象在V=g(x)上方即可)；③讨论最值/(%n2或/(%)皿*°恒成立；④讨论参数.

21、(1)A=-；(2)6G

3

【解析】

【分析】

(1)先根据正弦定理化边为角，再利用三角形内角关系以及两角和正弦公式化简得cosA=1,即得结果,

(2)根据余弦定理求AD,再根据三角形面积公式得结果.

【详解】

(1)V2acosC=2b-c,由正弦定理可得：sinAcosC+—sinC=sinB,

2

/.sinB=sin(A+C)=sinAcosC+cosAsinC.

—sinC=cosAsinC,VsinC^O,cosA=—,

22

二由Ae(0,n),可得角A=工;

3

(2)在△ABD中，AB=3,BD=V13，cosA=-,

由余弦定理可得：13=9+AD2-3AD,解得：AD=4(负值舍去)，

•；BD为AC边上的中线，...D为AC的中点，，AC=2AD=8,

।1ZT

SAABC=—AB»AC»sinA=—x3x8x=6百.

222

【点睛】

本题考查正弦定理、余弦定理以及三角形面积公式，考查基本分析求解能力，属中档题.

22、(1)x><0⑵w>4

【解析】

试题分析：第一步根据=或可。解含绝对值不等式，化为两个一元二次不等式分别解出，找

出不等式的解集，第二步写出关于x的不等式〃x)<g(x),得到不等式等价于卜-1|+卜+3|<加的解集

非空，根据“极值原理”，只需加大于|%-1|+卜+3|的最小值，根据绝对值三角不等式求出最值，得到加的

取值范围.

试题解析：

(1)原不等式可化为：,一1|>1一f

即：X-l>l-X2^Jl-l<X2-l

由犬-1>1-*2得％>1或％<-2

由万一1<%2一1得X>1或％<0

综上原不等式的解为x>1或x<0

(2)原不等式等价于卜一1|+卜+3|<m的解集非空，

令〃(x)=|x-l|+|x+3|,HR/i(x)=|x-l|+|x+3|m，n<m,

由+卜+3|习了_]_。_3|=4,所以〃(x)min=4，

所以"t>4.

【点睛】解含有绝对值的不等式有三种方法，第一种只含有一个绝对值符号，一般使用公式：

W<ao—a<x<a,N>ao*〈-a或耳"；第二种不等式两边均有一个绝对值符号的，可采用两边

平方；第三种含有两个绝对值符号的一般采用零点分区间讨论，利用定义讨论去掉绝对值符号是一种解决

绝对值问题的通法，必须灵活会用，分离参数，利用“极值原理”求参数的取值范围是常见题型常用方

法.2019-2020高考数学模拟试卷

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共6()分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目

要求的。

1.将函数/(x)=sinx的图象向右平移四个单位长度后得到函数y=g(x)的图象，则函数/(x)g(x)的

4

最大值为()

2+夜2-应£

A.4B.4c.1D.2

2.在正方体ABCD-A[B]C]Di，点P是侧面BCCF1内的一动点，若点P到直线BC与到直线JD1的距离

相等，则动点P的轨迹所在的曲线是。

A.直线B.圆C.双曲线D.抛物线

3.已知/(x)=2sin(8+°)同时满足下列三个条件：

①|〃与)-/伍)|=4时，|5-到的最小值为1

②y=是偶函数：

③/(。)>//

若.f(x)在有最小值，则实数/的取值范围可以是()

A.fIo,6-」lB.Ifo,3-」lc.163」D.132」

4,已知八48。中，内角所对的边分别是a,"c,若(空。s'+〃cosA)cos'且

2a+b2

2SABC-&=b,则当。力取到最小值时，。=()

73

A.2GB.6C.3石D.2

5.设《(一。,0),8(c,0)是双曲线C:，-与=l(a>0,b>0)的左右焦点，点P是C右支上异于顶点的任意

ab

一点，PQ是居的角平分线，过点耳作PQ的垂线，垂足为。，。为坐标原点，贝！II。。I的长为()

A.定值4B.定值〃

C.定值,D.不确定，随。点位置变化而变化

6.已知/（x）是R上的奇函数，x>0时，/（x）=lnx-x+l,则函数y=/（x）的大致图象是（）

22

7.己如尸是双曲线。:»叱。力>。）的右焦点，过点/作垂直曲轴的直线交该双曲线的一条渐

近线于点M,^\FM\=2a,记该双曲线的离心率为e,则/=（）.

1+VF71+Vi72+石2+石

2B.4c.2D.4

8.数列｛%｝满足Q4.OB=—3（"22,〃wN）是数列｛%｝为等比数列的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

9.函数/（幻=/_3/+2在区间[-1,1]上的最大值是（）

A.4B.2C.0D.-2

22

10.已知直线丫=12:;是双曲线号之二l（a〉b〉0）的一条渐近线，若|k|的最大值为1,则该双曲线离心率的最

ab

大值为（）

自

A.2B.招C.也D.万

11.过抛物线y2=4x的焦点F的直线交该抛物线于A、B两点，若|AF|=3,则|BF|=（）

3]_

A.2B.2c.iD.2

12.已知函数=—（x-l）/（awR）,若对区间[0,1]内的任意实数内,々，工3,都有

/（%）+/（々）2/（七）成立，则实数”的取值范围是（）

A.口⑵B[e,41c[1,2）[e,4]D[1,4]

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.在长为12cm的线段AB上任取一点C,以线段AC,BC为邻边作矩形，则该矩形的面积大于32cm2

的概率为一.

14.设向量a=0'2）力=（一.1）,若a-匕与3+力垂直，则，"的值为.

15.已知抛物线产=心的焦点为F,过点F的直线交抛物线于A、B两点，且恒4卜忻用=6,则

16.某企业节能降耗技术改造后，在生产某产品过程中记录的产量（吨）与相应的生产能耗（吨）的几组

对应数据如表所示.若根据表中数据得出的线性回归方程为y=0.7X+0.35,则表中空格处的值为

X3456

y2.534

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

4M

cosA=------r—

17.（12分）在中，4,B,C的对边分别为a,b,c,若4,B=2A,0=S5.

CMI

求已知M在边BC上，且MB2,求的面积.

x=l+rcosa

V

18.（12分）已知直线/的参数方程为〔＞=’sina。为参数，°＜々＜乃），以原点为极点，x轴的非

2

负半轴为极轴建立极坐标系，圆°的极坐标方程为0+1=2夕850+4/^^6.求圆°的直角坐标方程；

若直线/与圆°相交于A、B两点,且IA8|=2百，求a的值.

19.（12分）某种水果按照果径大小可分为四类：标准果、优质果、精品果、礼品果.某采购商从采购的一

批水果中随机抽取10（）个，利用水果的等级分类标准得到的数据如下：

等级标准果优质果精品果礼品果

个数10304020

（1）若将频率视为概率，从这100个水果中有放回地随机抽取4个，求恰好有2个水果是礼品果的概率.

（结果用分数表示）用样本估计总体，果园老板提出两种购销方案给采购商参考.

方案1：不分类卖出，单价为20元/kg.

方案2：分类卖出，分类后的水果售价如下:

等级标准果优质果精品果礼品果

售价（元/kg）16182224

从采购商的角度考虑,应该采用哪种方案？用分层抽样的方法从这10°个水果中抽取1°个,再从抽取的10

个水果中随机抽取3个，X表示抽取的是精品果的数量，求X的分布列及数学期望"（X）.

20.（12分）如图，直三棱的底面是边长为2的正三角形，E,F分别是BCCC］的中点。

/E

B证明：平面AEF,平面BiBCC”若直线Ag与平面A】ABB1所成的角为45°,

求三棱锥F-AEC的体积.

21.（12分）如图，斜三棱柱ABC-4中，/用BC1为锐角，底面4BC是以AB为斜边的等腰直

角三角形，AC1BC,.

证明：平面A8C，平面88。。；若直线8月与底面A8C成角为

6（）。，AB]15C,求二面角A4-4的余弦值

22.（10分）在平面直角坐标系“S'中，以。为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线0的极

争

坐标方程为°=2sin'+2acose（a>0）；直线/的参数方程为[>旦2,「为参数），直线/与曲

线C分别交于两点.写出曲线C的直角坐标方程和直线/的普通方程；若点「的极坐标为（2,万）,

|PM|+|PN|=5五,求a的值.

参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目

要求的。

1、A

2、D

3、D

4、A

5、A

6、A

7、A

8、B

9、B

10、C

11、B

12、D

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

1

13、3

5

14、8

15、6

16、4.5

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17、⑴(2)S@A=半

【解析】

【分析】

(1)由已知利用同角三角函数基本关系式可求sinA的值，利用二倍角的正弦函数公式可求sinB的值,

由正弦定理可得a的值.

(2)利用二倍角的余弦函数公式可求cosB,利用两角和的正弦函数公式可求sinC的值，利用三角形的面

积公式可求SAABC,由跳=!，可求SAG

MA="SAABC的值.

MB2

【详解】

_亚

解：(1)由0<A<%,cosA=，知sirL4

4一4'

/.sinB=sin2A=2sinAcosA=2?^-=V15

=--------------f

444

cibc

由正弦定理一二=-^=—z可知

SIIL4sinnsine

bsinA/T

a=-------=76,

sinB

(2)COSJ?=COS2A=2COS2A-1=2X^^

卮1V10V15376

sinC=sin(A+8)=sinAcosB+cosAsinB=---!1------*——=-----9

44448

三角形ABC的面积SMBC=-ab-sinC=’？而?「巫二双叵，

2288

HCM1

而----=—

MB2

,&J_1.9厉_3后

*ACMA3AABC388・

【点睛】

本题主要考查了同角三角函数基本关系式，二倍角的正弦函数公式，正弦定理，二倍角的余弦函数公式，

两角和的正弦函数公式，三角形的面积公式在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于

中档题.

18、(1)d+»-2x-4y+1=0；(2)a=§或&=彳

【解析】

【分析】

⑴根据极坐标和直角坐标的互化公式得到结果；(2)联立直线和圆得到广—4fsina=0,根据弦长公式得

到।入固=2G、4他，根据韦达定理得到结果.

【详解】

(1)圆C的直角坐标方程为Y+y2—2x——+1=0.

(2)将直线/的参数方程代入到圆C的直角坐标方程中，有尸-4rsine=0,由

|AB|=2G”上针_40,代入韦达定理得到：得si©=¥，所以。=。或。=当.

【点睛】

这个题目考查了极坐标方程化为普通方程的方法，考查了直线参数中t的几何意义，一般t的绝对值表示

方程中的定点到动点的距离，故户山+户目"孙曰尸园"/科|尸耳均可用t来表示，从而转化为韦达定

理来解决.

96

19、(1)；(2)第一种方案；(3)详见解析

625

【解析】

【分析】

(1)计算出从100个水果中随机抽取一个，抽到礼品果的概率；则可利用二项分布的概率公式求得所求

概率；(2)计算出方案2单价的数学期望，与方案1的单价比较，选择单价较低的方案；(3)根据分层抽

样原则确定抽取的10个水果中，精品果4个，非精品果6个；则X服从超几何分布，利用超几何分布的

概率计算公式可得到每个X取值对应的概率，从而可得分布列；再利用数学期望的计算公式求得结果.

【详解】

20I

(1)设从100个水果中随机抽取一个，抽到礼品果的事件为A，则尸(4)=而=二

现有放回地随机抽取4个，设抽到礼品果的个数为X,则X~

恰好抽到2个礼品果的概率为:P（X=2）=C：G

（2）设方案2的单价为3则单价的期望值为:

134216+54+88+482/

E«）=16x—+18x—+22x—+24x—=-------------------=20.6

V71010101010

E©>20

二从采购商的角度考虑，应该采用第一种方案

（3）用分层抽样的方法从100个水果中抽取10个，则其中精品果4个，非精品果6个

现从中抽取3个，则精品果的数量X服从超几何分布，所有可能的取值为：0」,2,3

则P（X=0）噌P"=l）=管=；；P（X=2）=管得；P"=3）=亮

X的分布列如下:

X0123

]_]_31

P

621030

.-.E（X）=0x-+lxl+2x—+3x—=-

''6210305

【点睛】

本题考查二项分布求解概率、数学期望的实际应用、超几何分布的分布列与数学期望的求解问题，关键是

能够根据抽取方式确定随机变量所服从的分布类型，从而可利用对应的概率公式求解出概率.

20、（I）见解析；（II）12.

【解析】

试题分析：（1）由面面垂直的判定定理很容易得结论；（2）所求三棱锥底面积容易求得，是本题转化为

求三棱锥的高FC,利用直线AQ与平面.'ABB]所成的角为45：,作出线面角，进而可求得W*的值，则

可得的FC长.

试题解析：（1）如图，因为三棱柱.SC-AIBRI是直三棱柱，所以AE,BB],

又E是正三角形ABC的边BC的中点，所以AE，BC

又BCCBBjB,因此AEJ■平面B1BCC1

而AE<=平面AEF,所以平面AEF平面用13。"

(2)设AB的中点为D,连结AR,CD

_B

因为AABC是正三角形，所以CD工AB

又三棱柱阳0-人1815是直三棱柱，所以CD,AAi

因此CDJ■平面AIABB"于是々CAW为直线AR与平面AiABB]所成的角，

由题设，'CAR=45,所以AID=CD='ABN

在RtAAA[D中，AA]=JA,D2-AD2=^5-T=亚，所以FC=；AA]=y

11万折卡

故三棱锥F-AEC的体积'=?SAAEC^0=3xyxy=-

考点：直线与平面垂直的判定定理；直线与平面所成的角；几何体的体积.

21、(1)证明见解析.

(2).

7

【解析】

分析：(1)先证明AC_L平面BBC。，再证明平面ABC，平面BBgC.(2)利用空间向量求二面角

。一44一4的余弦值.

详解：(1)因为ACLBC,AC1BC,,BCcBC\=B,所以AC_L平面BBC。.

因为ACu平面ABC,所以平面ABC1平面台与。。.

(2)因为ABC平面BB£C=BC,在平面BBgC内作BXD±BC,垂足为D,

所以平面ABC.因为底面ABC成角为60°,所以N48D=60°.

因为ACJ.5G，A4_LBC1,所以BQJ.平面AB。，

所以BGLBC,

四边形BBC。是菱形.因为NBQC为锐角，

所以==gBC,于是。是BC中点.

设BC=2,以。为坐标原点，。。为x轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系。-DZ.

则40,2,0),B(-l,0,0),C(l,0,0),g(0,0,⑹,

AC=(O,-2,O),AB,=(-1,-2,73),AAl=BBi=(l,0,V3).

设加=（%，X，zJ是平面。片的一个法向量,

则收4=0,即卜-2X+岛=0,

m-AC-0[-2yt=0

可以取m=(6,0,1).

设〃=（%,%,Z2）是平面4ABi的一个法向量，

mil（n-ABt=0前J-々-2%+也必=0

则i…八，即1L，

[n-A4,=0X2+V3Z2=0

可以取〃=卜6,6,1）.

因为cos=g，二面角C—A瓦一4平面角是钝角,

网同7

故二面角C-AB「A,的余弦值是一叵.

7

点睛：（1）本题主要考查空间线面位置关系的证明，考查二面角的计算，意在考查学生对这些知识的掌握

水平和空间想象能力转化能力.（2）二面角常见的求法有两种，方法一：（几何法）找.作（定义法、三垂

线法、垂面法）一证（定义）'指一求（解三角形）.方法二：（向量法）首先求出两个平面的法向量机，”；

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