高中数学美育指引-《数学1》、《数学2》-桓台一中

目录

《数学1》1.1.2集合之间的基本关系（孙洪昌，山东省桓台第一中学）

《数学1》1.2.1函数的概念（孙洪昌，山东省桓台第一中学）

《数学1》1.3.1函数的单调性与最大（小）值（王祎，山东省桓台第一中学）

《数学1》1.3.2函数的奇偶性（史纲，山东省桓台第一中学）

《数学1》2.1.2指数函数及其性质（宁亚云，山东省桓台第二中学）

《数学1》2.2.2对数函数及其性质（崔禹，山东省桓台第一中学）

《数学1》2.3篇函数（宁亚云，山东省桓台第二中学）

《数学1》3.1.1方程的根与函数的零点（崔禹，山东省桓台第一中学）

《数学1》3.1.2用二分法求方程的近似解（史纲，山东省桓台第一中学）

《数学1》3.2.1几类不同增长的函数模型（崔佃金，山东省桓台第一中学）

《数学2》1.1.1柱、锥、台、球的结构特征（崔佃金，山东省桓台第一中学）

《数学2》1.1.2简单组合体的结构特征（崔佃金，山东省桓台第一中学）

《数学2》1.2.2空间几何体的三视图（魏欣静，山东省桓台第一中学）

《数学2》2.2.1直线与平面平行的判定（刘锋，山东省桓台第一中学）

《数学2》2.3.1直线与平面垂直的判定（魏欣静，山东省桓台第一中学）

《数学2》2.3.1直线与平面垂直的判定（魏欣静，山东省桓台第一中学）

《数学2》3.2.2直线的两点式方程（史纲，山东省桓台第一中学）

《数学2》3.2.3直线的一般式方程（崔禹，山东省桓台第一中学）

《数学2》4.1.2圆的一般方程（王祎，山东省桓台第一中学）

《数学2》4.1.2圆的一般方程（孙洪昌，山东省桓台第一中学）

《数学2》4.2.1直线与圆的位置关系（刘锋，山东省桓台第一中学）

《数学2-2》1.1变化率与导数（刘锋，山东省桓台第一中学）

《数学1》1.1.2集合之间的基本关系

1蕴含的美

1.1逻辑结构的统一美

集合的学习按照“集合的概念一一集合的表示一一集合的性质”的顺序编写，其中集合的性质

包括元素与集合的关系、集合之间的关系以及集合之间的运算.为后续函数、映射、数列、圆锥曲

线等概念的学习提供了相应的研究方法，使学生的学法和数学知识的学习上体现数学的统一美.

1.2数与形的统一美

两个集合之间的关系可以通过韦恩图直观的展现出来，从而把数与形联系在一起，使数与形得

到完美的统一，从而也把文字语言、符号语言、图形语言高度统一起来，构成了我们认识数学概念

的三种方式，更有利于我们加深对数学概念的理解.

例如：A=8可用韦恩图表示为：

1.3数学语言的简洁美

一般地，对于两个集合A与5,如果集合A的每一个元素都是集合B的元素，那么集合A叫做

集合B的子集，记做AqB或3卫A,读做“A包含于B"，或“B包含A”.用“AqB”来刻

画两个集合的包含关系，体现了数学符号表示的简洁美.

1.4数学知识的类比美

(1)实数有相等关系、大小关系，如6=6,6<8,6>2,等等.类比实数之间的关系探求两个

集合之间的关系.

(2)与实数中的结论“若a2b,且b》a,则a=b”相类比得到两个集合的相等关系的判断方

法.

通过类比两实数之间的关系得到两集合之间的关系，在类比的过程中引导学生准确找出类比点，明

确类比不仅是结论的类比，更是研究方法的类比，为后续学习类比推理奠定坚实的基础.

1.5数学的转化美

在具体判断两个集合是否具有包含关系和相等关系的时候，除了根据定义和借助韦恩图以外，

我们常常运用转化与化归的思想，将集合之间的关系问题转化为元素与集合的关系问题，甚至是元

素与元素的关系问题.这样就可以借助自己己有的知识来探究未知的问题，这也是数学学习的一种

重要方法.

1.6数学的文化美

与集合有关的格奥尔格•康托尔等数学家的故事.

2师生素养

2.1教师的素养

数学教师要具备的第一个美学素养是把“集合”作为审美对象，把握住理论的本质及特征，分

析《集合间的基本关系》一节中潜在的美学因素，并一一罗列.

数学教师要具备的第二个美育素养是把《集合间的基本关系》中美的因素在数学教学过程中展

示出来.可以分这样三个阶段进行：

第一、教师将数学中的美的因素进行重组与演化.

课堂教学时间轴：课前准备一一问题引入(探究两集合的关系)一一子集的定义一一推导两集合的

包含与相等关系一一问题思考一一学生练习.

按照课堂教学的时间顺序将上述美的因素重组：1.5数学文化美(课前准备)一一1.1.1逻辑结构

统一美(课前导入)一一1.3数学知识的类比美(问题引入)一1.1.2数与形统一美一1.2符号表示的

简洁美一1.4数学的转化美(判断两集合的关系).

第二、教师发挥自己的创造性处理教学内容，把数学美反映出来.

(1)数学文化：插入数学家的故事，增强学生对数学的学习兴趣；设计问题，引导学生主动探

究两集合的关系.

(2)两集合的包含关系：设计学生活动，分组交流，通过学生自主举例，探求两集合具备包含

关系的条件；介绍韦恩图，直观表示两集合的包含关系，让学生体会数形结合的数学美.

(3)两集合相等：类比实数相等的判断方法，小组活动讨论如何判断两集合的相等关系，进一

步体会数学的类比美；了解数学的转化美，以具体题目的形式，引导学生如何用“元素法”判断两

集合的包含关系与相等关系，并将几个美育因素穿插其中.

(4)问题思考.包含关系{a}qA与属于关系aGA有什么区别？结合具体实例作出解释.

2.2学生的素养

2.2.1动手能力

自己动手查阅资料，自己动手从实际生活中举例子，初步体会两集合的包含关系的条件.

2.2.2逻辑思维能力

与实数中的结论“若a2b,且b>a,则2=了相类比得到两个集合的相等关系的判断方法一

元素法，进一步理解元素与集合的关系.

2.2.3对数学美的感知与表达能力

学生要用心体会到老师对“两集合相等关系判断”的教学中有关数学美的展现和设计，在课堂

上积极与老师互动，敢于表达，勇于交流，彼此启发，形成良好的课堂氛围.在此过程中，每个学生

体会到现在的相互交流、相互协作是为了我们未来的爆发式增长积蓄力量，试着将数学与生活实际

相结合，体会数学学习是一个从“量变"到''质变"的一个过程，并能在学习和以后生活工作中加以

运用.

3审美设计

集合间的基本关系审美设计

3.1教学目标

3.1.1知识与技能目标

(1)类比实数之间的大小关系，理解集合之间的包含、真包含和相等关系的含义，能识别给定

集合的子集、真子集，并理解子集、真子集的概念.

(2)在具体情境中，了解空集的含义.

(3)能能利用Venn图表达集合间的关系，体会直观图示对理解抽象概念的作用

3.1.2过程与方法目标

(1)通过复习元素与集合之间的关系，对照实数的相等与不相等的关系联系元素与集合的从属

关系，探究集合之间的包含与相等关系；

(2)初步经历使用最基本的集合语言表示有关的数学对象的过程，体会集合语言，发展运用数

学语言进行交流的能力.

3.1.3情感态度与价值观目标

(1)了解集合的包含、相等关系的含义，感受集合语言在描述客观现实和数学问题中的意义.

（2）探索利用直观图示（Venn图）理解抽象概念，体会数形结合的思想.

3.2教学实施美育的重点'难点及方法

3.2.1教学重点

帮助学生由具体到抽象地认识集合与集合之间的关系一一子集；如何确定集合之间的关系.

3.2.2教学难点

集合关系与其特征性质之间的关系.

3.2.3教学方法

在从实践到理论，从具体到抽象，从特殊到一般的原则下，一方面注意利用生活实例，引入集

合的包含关系.从而形成子集、真子集、相等集合等概念.另一方面注意儿何直观的应用，即Venn

图形象直观地表示、理解集合的包含关系，子集、真子集、集合相等概念及有关性质.

3.3教学过程

3.3.1课堂引入的审美设计

思路1.投影展示：集合论的创立者数学家格奥尔格•康托尔的故事.

【设计意图】从中让学生初步感受到数学源于生活，集合就在我们身边，让学生体会数学中的

文化美.

思路2.实数有相等、大小关系，如5=5,5<7,5>3等等,类比实数之间的关系，你会想到集合之

间有什么关系呢？（让学生自由发言，教师不要急于作出判断,而是继续引导学生）

欲知谁正确,让我们一起来观察、研探.

思路3.复习已有知识：元素与集合的关系一一属于与不属于的关系，并完成填空XDON;

（2）2_Q;（3）-1.5—R.类比实数的大小关系,如5<7,2W2,试想集合间是否有类似的“大小”关

系呢1

【设计意图】从学生已有的知识（元素与集合的关系）入手，体会数学逻辑结构的统一美；通过

类比生疑，引入本节课的主题，让学生在学习中体会数学的类比美.

3.3.2集合间的基本关系概念形成的审美设计

分析示例：

示例1：考察下列三组集合，并说明两集合内存在怎样的关系一

（1）A=｛1,2,3｝,B=｛1,2,3,4,5｝；

（2）A=｛新华中学高（一）6班的全体女生｝,B=｛新华中学高（一）6班的全体学生｝;

（3）C=｛x\x是两条边相等的三角形｝,D=｛x|*是等腰三角形｝.

1.子集：_

一般地，对于两个集合4、B,如果4中任意一个元素都是8的元素，称集合/是集合8的子集，

记作读作：“力含于6”（或6包含4）.

2.集合相等：若A=且则4=8.

师生交流过程：

生：实例（1）、（2）的共同特点是｛的每一个元素都是8的元素；

师：具备（1）、（2）的两个集合之间关系的称力是6的子集，那么4是6的子集怎样定义呢？学

生合作：讨论归纳子集的共性；

生：C是。的子集，同时。是C的子集；

师：类似（3）的两个集合称为相等集合；

师生合作得出子集、相等两概念的数学定义.

【设计意图】通过实例的共性探究、感知子集、相等概念，通过归纳共性，形成子集、相等的概

念，初步了解子集、相等两个概念.初步体会数学符号表示的简洁美.

3.3.3集合间的基本关系概念深化的审美设计

示例2：考察下列各组集合，并指明两集合的关系：

⑴1=Z,B=N；

(2)4={长方形},B={平行四边形};

(3)A={x|x-3x+2=0},B={\,2}.

1.Venn图

用平面上封闭曲线的内部代表集合.如果4工8,则Venn图表示为:

2.真子集_

如果集合Aq8,但存在元素xe8,且x任用称4是6的真子集，记作A&B(或B*A).

示例3.考察下列集合.并指出集合中的元素是什么？_

(1)A={(x,y)|x+y=2}.(2)B={x\x+1=0,xGR}.

(3)任何方程的解都能组成集合,那么x2+l=0的实数根也能组成集合,你能用Venn图表示这个集

合吗？

(4)一座房子内没有任何东西，我们称为这座房子是空房子,那么一个集合没有任何元素,应该如

何命名呢？

3.空集：称不含任何元素的集合为空集，记作0.规定：空集是任何集合的子集；空集是任何

非空集合的真子集.

师生交流过程：

示例2学生思考并回答

生：(1)A^B(2)AcB(3)4=6

师：进一步考察(1),(2)

{的任意元素都在6中，而6中存在元素不在1中，具有这种关系时，称4是6的真子集.

示例3学生思考并回答.

生：(1)直线石尸2上的所有点；(2)没有元素；(3)方程x'+FO没有实数解

(4)空集记为0,并规定:空集是任何集合的子集，即O0A;空集是任何非空集合的真子集，即0军

A(AW0)

师：对于类似(2)的集合称这样的集合为空集.

师生合作归纳空集的定义.

【设计意图】再次感知子集相等关系，加深对概念的理解，并利用韦恩图从“形”的角度理解包

含关系，层层递进形成真子集、空集的概念，让学生体会“数”与“形”的统一美.通过对空集的研

讨，让学生进一步熟悉集合概念的内涵与外延.在数学中，有许多的“数学规定”，有些数学规定是

为了运算律在新的数系中仍然能够保持；一些规定是为了研究的方便、有意义；还有一些规定是为了

整个数学系统的和谐.通过空集的引入，让学生体会规定的合理性和必要性，这样学生就会更容易理

解并从内心接受这样的规定，从而解除认识上的困惑和障碍.

3.3.4集合间的基本关系能力提升的审美设计

一般结论：

①A=A.②若BjC,则A=C.③力=6oA=8,且B=

师生交流过程：

师：若aWa,类比A=A.

若aWb,bWc,则aWc类比.

若A=B,B=C,则A=C.

师生合作完成：

(1)对于集合儿显然力中的任何元素都在4中，故A=A.

(2)已知集合同时8qC,即任意xG4nxe8nxeC,故A±C.

【设计意图】将概念升华并进一步体会数学的类比美.

3.3.5集合间的基本关系应用举例的审美设计

图1-1-2-5

变式训练：课本P：练习3.

点评：本题主要考查集合间的包含关系.其关键是首先明确两集合中的元素具体是什么.

判断两个集合A、B之间是否有包含关系的步骤是：先明确集合A、B中的元素，再分析集合A、

B中的元素之间的关系,得:当集合A中的元素都属于集合B时,有AcB;当集合A中的元素都属于集

合B,当集合B中至少有一个元素不属于集合A时，有A&B;当集合A中的元素都属于集合B,并且集

合B中的元素也都属于集合A时，有A=B;当集合A中至少有一个元素不属于集合B,并且集合B中至

少有一个元素也不属于集合A时,有A&B,且B0A,即集合A、B互不包含.

问题3.已知集合A={T,3,2mT},集合B={3,m?}.若B=A,则实数m=.

活动：先让学生思考BcA的含义,根据BcA,知集合B中的元素都属于集合A,集合元素的互异

性，列出方程求实数m的值.因为B=A,所以3wA,meA.对疗的值分类讨论.

解：VBoA,/.SGA.m^A..\m2=-lgEm2=2m-l.解得m=l.

点评：本题主要考查集合和子集的概念，以及集合元素的互异性.本题容易出现痛=3,其原因是

忽视了集合元素的互异性.避免此类错误的方法是解得m的值后，再代入验证.讨论两集合之间关系

时,通常依据相关的定义,观察这两个集合元素的关系,转化为解方程或解不等式.

【设计意图】通过2个问题的设置，体会数学的应用美，不仅解决数学本身的问题，更能解决

生活中的问题，体现“数学来源于生活”，又“服务于生活”的特点，增强学生学习数学的兴趣.

3.3.6集合间的基本关系巩固提高的审美设计

夯实基础：

1.判断正误：

(1)空集没有子集.()

(2)空集是任何一个集合的真子集.()

(3)任一集合必有两个或两个以上子集.()

(4)若BqA,那么凡不属于集合A的元素，则必不属于B.()

分析:关于判断题应确实把握好概念的实质.

解：该题的5个命题，只有(4)是正确的，其余全错.

对于(1)、(2)来讲，由规定:空集是任何一个集合的子集，且是任一非空集合的真子集.

对于(3)来讲,可举反例，空集这一个集合就只有自身一个子集.

对于(4)来讲，当xCB时必有xdA,则x《A时也必有x史B.

2.集合A={x|-l<x<3,xGZ},写出A的真子集.

分析：区分子集与真子集的概念，空集是任一非空集合的真子集，一个含有n个元素的子集有2"

个,真子集有2'个,则该题先找该集合元素,后找真子集.

解:因-l<x<3,xGZ,故x=0,1,2,

即a={x|-l<x<3,xeZ}={0,1,2).

真子集：0、⑴、⑵、{0}、{0,1}、{0,2}、{1,2},共7个.

3.(1)下列命题正确的是()

A.无限集的真子集是有限集B.任何一个集合必定有两个子集

C.自然数集是整数集的真子集D.{1}是质数集的真子集

(2)以下五个式子中,错误的个数为()

①{1}丘{0,1,2)②{1,-3}={-3,1}③{0,1,2}<{1,0,2}④0G{0,1,2}⑤0G{0}

A.5B.2C.3D.4

(3)M={x[3<x<4},a=n,则下列关系正确的是()

A.a些MB.a定MC.{a}GMD.{a}&M

分析：(1)该题要在四个选择肢中找到符合条件的选择肢,必须对概念把握准确，

无限集的真子集有可能是无限集，如N是R的真子集，排除A;由于。只有一个子集,即它本身,

排除B;由于1不是质数,排除D.

(2)该题涉及到的是元素与集合,集合与集合的关系.

①应是{1}1{0,1,2},④应是0q{O,1,2},⑤应是0q{O}.

故错误的有①④⑤.

(3)M={x|3<x<4},a=w.

因3<a<4,故a是M的一个元素.

{a}是{x|3<x<4}的子集,那么{a}

答案：(DC(2)C(3)D

4.判断如下集合A与B之间有怎样的包含或相等关系：

(1)A={x[x=2k-l,kGZ},B={x|x=2m+1,mGZ};

(2)A={x|x=2m,mGZ},B={x|x=4n,n£Z}.

解:(1)因A={x|x=2k-1,kGZ},B={x|x=2m+1,mGZ},故A、B都是由奇数构成的，即A=B.

(2)因A={x|x=2m,mGZ},B={x|x=4n,nGZ),

又x=4n=2,2n,

在x=2m中，m可以取奇数，也可以取偶数;而在x=4n中，2n只能是偶数.

故集合A、B的元素都是偶数.但B中元素是由A中部分元素构成，则有B&A.

点评：此题是集合中较抽象的题目.要注意其元素的合理寻求.

5.已知集合P={x|X2+X-6=0},Q={xIax+l=0}满足Q/P,求a所取的一切值.

解：因P={x，+x-6=0}={2,-3},

当a=0时，Q={x|ax+l=O}=0,Q/P成立.

又当a#0时,Q={x|ax+l=0}={--},要Q军P成立，则有一，=2或一，=-3,a=-^■或a=2.

aaa23

综上所述，a=0或a=-'或a=L.

23

点评：这类题目给的条件中含有字母，一般需分类讨论.本题易漏掉a=0,ax+l=0无解，即Q为空

集的情况,而当Q=0时，满足Q&P.

6.已知集合A={xeR|X2-3X+4=0},B={X£R|(X+1)(X2+3X-4)=0},要使A季P屋B,求满足条件的集

合P.

解：由A={XGR|X2-3X+4=O}=0,

B={xGR|(x+1)(X2+3X-4)=0}={-1,1,-4),

由qB知集合P非空,且其元素全属于B,即有满足条件的集合P为

⑴或{T}或{-4}或{T,1}或{-1,-4}或{1,-4}或{T,1,-4}.

点评：要解决该题,必须确定满足条件的集合P的元素,而做到这点,必须明确A、B,充分把握子

集、真子集的概念,准确化简集合是解决问题的首要条件.

7.设人={0,l},B={x|xqA},则A与B应具有何种关系？

解：因A={0,l},B={x|xqA},

故x为。为0},{1},{0,1},即{0,1}是B中一元素.故AWB.

点评：注意该题的特殊性,一集合是另一集合的元素.

8.集合A={x|-2WxW5},B={x|m+1WxW2mT},

(1)若BqA,求实数m的取值范围；

(2)当xCZ时1求A的非空真子集个数：

(3)当xCR时,没有元素x使xGA与xWB同时成立,求实数m的取值范围.

解:(1)当m+l>2m-l即m<2时,B=0满足BqA.

当m+lW2mT即m22时,要使BcA成立，

需4可得2WmW3.综上所得实数m的取值范围mW3.

m+1>5

⑵当xGZ时,A={-2,-l,0,1,2,3,4,5},

所以，A的非空真子集个数为2上标8-2=254.

(3),.'xSR,且A={x|-2WxW5),B={x|m+lWxW2mT},又没有元素x使xGA与xGB同时成立.则

①若B¥0即m+l>2m-l,得m<2时满足条件：

②_若BW0〜,则要满足条件有：<m+1<2m-1,或《fm+1<2/n-1,解之，得m>4,

m+1>5[2m-1<-2

综上有m<2或m>4.

点评：此问题解决要注意，不要忽略0；找A中的元素：分类讨论思想的运用.

拓展提升：已知A=B,且A=C,B={0,1,2,3,4},C={0,2,4,8},满足条件的集合A共有多少个？

活动：学生思考AqB,且AqC所表达的含义.A=B说明集合A是集合B的子集，即集合A中元

素属于集合B,同理有集合A中元素属于集合C.因此集合A中的元素是集合B和集合C的公共元素.

思路1：写出由集合B和集合C的公共元素所组成的集合，得满足条件的集合A：

思路2：分析题意,仅求满足条件的集合A的个数,转化为求集合B和集合C的公共元素所组成

的集合的子集个数.

解法一：因AqB,AqC,B={0,1,2,3,4},C={0,2,4,8},由止匕，满足AqB,有：

0,{0},⑴，⑵，⑶，⑷，

{0,1},{0,2},{2,3},{2,4},{0,3},{0,4},{1,2},{1,3},{1,4},{3,4},{0,2,4},{0,1,2},{0,1,3

},{0,1,4},{1,2,3},{1,2,4},{2,3,4},{0,3,4},{0,1,2,3},{1,2,3,4},{0,1,3,4},{0,2,3},{1,3,4

},{0,1,2,4},{0,2,3,4},{0,1,2,3,4},共25=32(个).

又满足AqC的集合A有：0,{0},{2},{4},{8},{0,2},{0,4},{0,8},⑵4},{2,8},{4,8},

(0,2,4},{0,2,8},{0,4,8}，⑵4,8},{0,2,4,8},共24=16(个).

其中同时满足AGB.AGC的有8个：0,{0},{2},{4},{0,2},{0,4},{2,4},{0,2,4},实际上到

此就可看出，上述解法太繁.

解法二：题目只求集合A的个数,而未让说明A的具体元素,故可将问题等价转化为B、C的公共

元素组成集合的子集数是多少，显然公共元素有0、2.4,组成集合的子集有23=8(个).

点评：有关集合间关系的问题，常用分类讨论的思想来解决；关于集合的子集个数的结论要熟练

掌握,其应用非常广泛.

(作者：孙洪昌山东省桓台第一中学)

《数学1》1.2.1函数的概念

1蕴含的美

1.1概念的统一美.

函数的概念反映的是两个非空数集之间的对应，映射反映的是两个非空集合之间的对应，所以，

在集合论中，函数概念便可统一于映射的概念.

1.2与其它学科的统一美

初中，我们在定义函数的时候是用“运动”的观点，主要强调“在运动变化中的两个量”，可以

与物理中的运动建立联系.高斯在和W•威伯尔合作发明电报的过程中，做了许多关于磁的实验工

作，提出了“力与距离的平方成反比例”这个重要的理论，使得函数作为数学的一个独立分支而出

现，并促使人们对函数的定义进一步研究.另外，函数的科学定义极大的促进了偏微分方程理论的

建立.

1.3简洁美

爱因斯坦说过：“美，本质上终究是简单性函数概念就体现了简洁美，“函数就是一种对应关

系”，一句话道出了函数的本质，它的符号语言“『『(*),xdA.”一个简单的式子就概括了函数的

三要素：x代表自变量，y代表函数值，f代表对应法则，A是函数的定义域.

1.4对称美

函数概念的符号表示“y=f(x),”在形式表达上具有对称美，f(x)不代表f与x的乘积，f代表

对应法则，它的左边是y,右边是x,一个x对应一个y.从函数概念的集合语言表示来看，集合A、

B也具有对称性.

1.5数学创新美

函数的概念经历了“几何观念下的函数”、“代数观念下的函数”、“对应关系下的函数”、“集合

论下的函数”，经过三百多年的锤炼、变革，形成了函数的现代定义形式，但这并不意味着函数概

念发展的历史终结，20世纪40年代，物理学研究的需要发现了一种叫做Dirac—3函数，它只在一

点处不为零，而它在全直线上的积分却等于1,这在原来的函数和积分的定义下是不可思议的，但由

于广义函数概念的引入，把函数、测度及以上所述的Dirac—6函数等概念统一了起来.因此，随着

以数学为基础的其他学科的发展，函数的概念还会继续扩展.

1.6数学文化美

函数概念是全部数学概念中最重要的概念之一，纵观300年来函数概念的发展，众多数学家从

几何、代数、直至对应、集合的角度不断赋予函数概念以新的思想，从而推动了整个数学的发展.可

介绍与函数概念发展关系比较密切的莱布尼茨、罗巴切夫斯基、狄利克雷等数学家的故事.

2师生素养

2.1教师的素养

数学教师要具备的第一个美学素养是把“函数的概念”作为审美对象，把握住函数概念的本质，

分析《函数的概念》一节中潜在的美学因素，并一一罗列.

数学教师要具备的第二个美育素养是把《函数的概念》中美的因素在数学教学过程中展示出

来.可以分这样三个阶段进行：

第一、教师将数学中的美的因素进行重组与演化

课堂教学时间轴：课前准备一问题引入，回顾初中函数的概念一归纳函数的定义一知识链接一

学生练习.

按照课堂教学的时间顺序将上述美的因素重组：1.5数学文化美(课前准备)一1.4函数概念的

创新美(问题引入)一1.2函数概念的简洁美一1.3函数概念的对称美一1.1统一美(知识链接).

第二、教师发挥自己的创造性处理教学内容，把数学美反映出来.

1.数学文化：

(1)插入数学家的故事，增强学生对数学学习的兴趣

(2)设计问题，引导学生主动了解函数概念的发展历程.

2.函数的概念：

(1)设计学生活动，让学生展示课前搜集到的相关实例

(2)鼓励学生对实例进行分析、归纳，找出变量之间的关系的共同点.

3.归纳定义：

(1)了解简洁美，以问题串的形式，引导学生归纳函数定义的文字表达及符号表示

(2)针对符号表示“y=f(x),”分析式子的含义及蕴含的对称美.

4.知识链接

函数概念与其它学科知识的统一美.

2.2学生的素养

2.2.1动手能力

学生搜集能够反映变量之间依赖关系的生活实例，并根据要求绘制表格、图像.

2.2.2逻辑思维能力

在制表、绘图的过程中体会两个变量之间的对应关系.

2.2.3数学美的直觉

函数概念的归纳、升华以及符号表示，都依赖学生对数学美的敏感性，以便在今后的学习中进

一步发现数学概念、公式、图形中所蕴含的数学美.

3审美设计

3.1数学文化美的审美设计(课前准备)

发给学生如下资料：

数学故事1：莱布尼茨关于函数概念的描述

数学故事2：狄利克雷关于函数概念的描述.

问题1：同学们，你们能告诉函数的概念在形成过程中经历了哪些阶段吗？

问题2：通过与伟大数学家的“对话”，你能知道为什么叫“函数”吗？

问题3：函数在现实生活中有哪些具体应用？

结合本章卷首语，请你查找函数概念发展过程中的相关资料.

【设计意图】两个数学故事拓展数学文化，培养审美意识.通过三个问题串引领思考，展示审

美实践价值，让学生经历发现美、感受美、体验美的过程.

3.2函数概念的审美设计

3.2.1回顾初中所学

同学们，在初中，我们曾经初步学过函数的定义……首先我们来回顾一下这些基本知识：(根

据所教学生情况，引导学生回答)

在一个变化过程中，有两个变量x和y,对于x的每一个确定的值，y都有唯一的值与之对应，

此时y是x的函数，x是自变量，y是因变量.表示方法有：解析法、列表法、图象法.正方形的面

积与它的边长存在确定的依赖关系，那么它们的关系是函数关系吗？(是)

那么再请同学们思考下面两个问题：

问题一：y=l(x£R)是函数吗？

2

问题二：y=x与y=2是同一个函数吗？

显然，初中定义太笼统，是一种描述性定义，使用上会产生一些不够明确的问题.所以，仅用

初中对函数概念的理解很难回答这些问题，因此，需要从新的高度来认识函数概念.从这节课开始，

我们就来更深入地探究函数……

提出审美要求：

1.通过回顾初中函数的概念，你发现它的本质是什么？

2.如何根据初中函数的概念来解决问题一、问题二？是否感觉到了局限性，是否需要对函数的

概念进行拓展？

【设计意图】通过回顾初中函数的概念以及设置的问题，让学生明确数学的概念是不断发展、

完善的，从而体会数学的创新美

3.2.2展示生活实例

【实例1】一枚炮弹发射，经26秒后落地击中目标，炮弹的射高为845米，且炮弹距地面高度

h（米）与时间t（秒）的变化规律是/?=130f—5/；

【实例2】近几十年，大气层中臭氧迅速减少，因而出现臭氧层空洞问题，图中曲线是南极上空

臭氧层空洞面积从1979——2001年的变化情况；

［实例3］国际上常用恩格尔系数（食物支出金额+总支出金额）反映一个国家人民生活质量

的高低恩格尔系数越低，生活质量越高.“八五”计划以来我们城镇居民的恩格尔系数变化情况如下

表.

表1-1“八五”计划以来我国城镇居民恩格尔系数变化情况

提出审美要求：

1.通过三个生活实例，借助“解析式”、“图像”、“图表”，你能用数学语言描述所涉及的变量之

间的关系吗？

2.通过分析、归纳这三个实例，你能找到变量之间关系的共同点吗？

3.你能用集合与对应的语言来刻画变量之间的关系吗？

【实例1】的变量及变化范围分别是：t的变化范围是数集A={t|0〈tW26}；h的变化范围是数

集B={h|0WhW845}.

【实例2】的变量及变化范围分别是：t的变化范围是数集A={t|1979WtW2001}；S的变化范

围是数集B={S|0WSW26}.

【实例3】t的变化范围是数集A={1991,1992,……，2001}；恩格尔系数变化范围是数集B

={53.8,52.9,....,39.2,37.9}.

两个变量之间存在的对应关系的共同点为：

三个实例变量之间的关系都可以描述为，对于数集/中的每一个x,按照某种对应关系£在数

集8中都与唯一确定的y和它对应……

【设计意图】展示生活实例环节的设计，让学生动手画图、制表，培养创造美，启迪美的直觉.提

出审美要求，引导学生寻找规律发现数学美.

3.3函数概念生成的审美设计

通过学生自主探究、小组合作，教师完善，得到函数的概念：

设A、B是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f,使对于集合A中的任意一个数x,在

集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f：A-B为从集合A到集合B的一个函数

(function).记作：y=f{x},xJA.

其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域(domain)；与x的值相对应的y值叫

做函数值，函数值的集合{f(x)|xGA}叫做函数的值域(range).

【点评】①“y=f(x)”是函数符号，可以用任意的字母表示，如“y=g(x点；

②函数符号“y=f(x)”中的f(x)表示与x对应的函数值，而不是f乘x.

【设计意图】通过归纳、总结生成函数的概念，从中体会数学的语言美、准确美，感受函数概

念的简洁美，让学生更加喜爱数学.

3.3.1与函数有关的其它知识

1.构成函数的三要素是什么？定义域、对应法则和值域

2.初中学过哪些函数？它们的定义域、值域、对应法则分别是什么？

,k

通过三个已知的函数：y=ax+b(aWO)y^ax+br<-c(aWO)片一(AWO)

x

一次函数f(x)=ax+6(a¥0)的定义域是圾，值域也是圾.对于R中的任意一个数x,在R中

都有一个数f(x)=ax+6(a¥0)和它对应.反比例函数/'(*)="(20)的定义域是1={*1a0},

x

k

值域是B="(x)|Ax)云0},对于A中的任意一个实数x,在B中都有一个实数f(x)=-(4W0)

X

和它对应.二次函数f{x)=ax+bx+c(aWO)的定义域是R,值域是当a>0HjB=[f{x)\f(x)

—h"—/f

—}:当a<0时-，B={f(x)"(x)—},它使得R中的任意一个数x与8中的数f(x)

4a4a

=@/+"+<?(@#0)对应.

3.函数概念用集合、对应的语言叙述后，我们就很容易回答前面所提出的两个问题：

(1)N=l(xCR)是函数，因为对于实数集R中的任何一个数x,按照对应关系“函数值是1”，

在R中y都有惟一确定的值1与它对应，所以说y是x的函数.

(2)?=x与y=:不是同一个函数，因为尽管它们的对应关系一样，但y=x的定义域是R,

/x

而的定义域是{x|xW0},所以尸x与尸二不是同一一个函数.

【小结】①函数是非空数集到非空数集上的一种对应.

②符号“E4-8”表示4到B的一个函数，它有三个要素；定义域、值域、对应关系，三者缺

一不可.判定两个函数是否相同，就看其定义域或对应关系是否完全一致，完全一致时，这两个函

数就相同；不完全一致时，这两个函数就不同.

③集合A中数的任意性，集合B中数的惟一性.

④f表示对应关系，在不同的函数中，f的具体含义不一样.

⑤f(x)是一个符号，绝对不能理解为f与x的乘积.在研究函数时，除用符号f(x)表示函数

外，还常用g(x)、F(x)、G(x)等符号来表示.

由上可以看出，表示函数的定义域、值域要用到集合，但有时集合用起来较繁琐，所以常会用

到表示数的范围的另外一个数学工具一一区间：

区间的概念：设a、b是两个实数，且a<b,则：{x|aWxWb}=[a,b]叫闭区间；{x[a<x<b}

=(a,b)叫开区间;{x|aWx<b}=[a,b)：{x[a<xWb}=(a,b]；都叫半开半闭区间.

各种区间如下：

宾区麴麟表.

［较谓］

设;II耀塔霭戋窿0,耳

如［播父氟<驾珊区闻

《然您■菽g、飞

《第II蟆”写<翁作事帝警I®区阎[«国螺领"《

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麟匐史.<{■《一叫----------------------小第

【点评】符号：“8”读“无穷大”；“一8”读“负无穷大”；“+8”读“正无穷大”.区间的分

类：开区间、闭区间、半开半闭区间.

【设计意图】通过相关知识的学习，加深对函数概念本质的理解与把握，体现数学的应用美.

3.3.2知识链接

问题：由函数的概念可以联想到数学中哪些相关概念？

联想1：象与原象的概念

联想2：映射的概念

映射：设A,B是两个集合，如果按照某种对应法则f,对于集合A中的任何一个元素，在集合

B中都有唯一的元素和它对应，这样的对应(包括集合A、B以及A到B的对应法则f)叫做集合A

到集合B的映射.记作：

象、原象：给定一个集合A到集合B的映射，且如果元素。和元素力对应，则元

素人叫做元素。的皇，元素。叫做元素力的原象.

映射定义的分所：

1.映射三要素：集合A、集合B、对应法则f.

2.映射的性质：

①任意性：映射中的两个集合A,B可以是数集、点集或由图形组成的集合等；

②有序性：映射是有方向的，A到B的映射与B到A的映射往往不是同一个映射；

③存在性：映射中集合A的每一个元素在集合B中都有它的象；

④唯一性：映射中集合A的任一元素在集合B中的象是唯一的；

⑤封闭性：映射中集合A的任一元素的象都必须是B中的元素，不要求B中的每一个元素都有

原象，即A中元素的象集是B的子集.

【设计意图】将函数的概念进行拓展、延伸，统一到其它知识中，体现了数学的统一美.

3.4函数概念应用的审美设计

问题1：已知函数f(x)=77+3+」一

x+2

(1)求函数的定义域；

2

(2)求/(—3),f(一)的值;

3

(3)当a>0时，求/'(a)的值.

【分析】函数的定义域通常由问题的实际背景确定，如前所述的三个实例.如果只给出解析式

y=f(x),而没有指明它的定义域，那么函数的定义域就是指能使这个式子有意义的实数的集合.

【解析】⑴{::贬oCox2-3且xw2

所以，所求函数的定义域为：［-3,2)u(2,+oo)

/(-3)=J—3+3+—!—=-1

-3+2

(3)/(a)=Ja+3H-----

a+2

f(a-1)=Ja-1+3H---------=da+2H------

a—1+2a+1

【拓展】⑴可让学生再通过求/(2x+l)；(2)已知：/(》-1)=/求人》)，进一步理解f(x)

的本质含义.

【点评】

1.’函数的定义域、值域要写成集合或区间的形式.

2.引导学生小结几类函数的定义域：

(1)如果f(x)是整式，那么函数的定义域是实数集R.

(2)如果f(x)是分式，那么函数的定义域是使分母不等于零的实数的集合.

(3)如果f(x)是二次根式，那么函数的定义域是使根号内的式子大于或等于零的实数的集合.

(4)如果f(x)是由几个部分的数学式子构成的，那么函数定义域是使各部分式子都有意义的

实数集合.(即求各集合的交集)

(5)满足实际问题有意义.

问题2：下列函数中哪个与函数y=x相等？

______2

(1)y=(Vx)2;(2)y=(V?)；(3)y=7?；(4)T=—

x

【分析】根据决定函数的三要素来判定即可，但由于值域是由定义域和对应关系决定的，所以，

如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，则这两个函数相同……

【解析】(l)y=(石¥与函数y=x的定义域不同，所以这个函数与函数y=x不相等.

(2)y=(")=x与函数y=x的定义域及对应关系均相同，故这个函数与函数y=x相等.

,—x,x>0

(3)y=Vx2={-x.x<0与函数y=x的对应关系不同，所以这个函数与函数y=x不相等.

X9

(4)y=—=x(xwO)与函数y=x的定义域不同，所以这个函数与函数y=x不相等.

x

【点评】①构成函数三个要素是定义域、对应关系和值域.由于值域是由定义域和对应关系决

定的，所以，如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，即称这两个函数相等.(或为同一函数)

②两个函数相等当且仅当它们的定义域和对应关系完全一致，而与表示自变量和函数值的字母

无关.

问题3：判断下列两个对应是否是集合A到集合B的映射？

(1)集合A={P|P是数轴上的点},集合B=R,对应关系f：数轴上的点与它所代表的实数对应；

(2)集合A={P|P是平面直角坐标系中的点},集合B={(x,y)|xeR,”R),对应关系f：平面直角坐标系

中的点与它的坐标对应；

(3)集合A={x|x是三角形},集合B={x|x是圆},对应关系f:每一个三角形都对应它的内切

圆；

(4)集合A={x|x是新华中学的班级},集合B={x|x是新华中学的学生},对应关系f:每一个班

级都对应班里的学生.

【分析】利用映射的定义来直接判断即可……

【解析】(1)、(2)、(3)都是从集合A到集合B的映射，(4)新华中学的班级对应的学生不止

一个，所以不是映射.

【点评】此题的主要目的是考查学生对映射定义的理解是否准确.

【设计意图】通过具体问题的解决与拓展，让学生在实际应用中体会函数概念的简洁美.

3.5函数概念巩固提高的审美设计

1.下列各组函数中哪组是同一函数

(A)y=x-l,xwN与y=x-l,xeZ(B)y=2x+lVy=2r+l

(C)y=Jx+l,Jx-l与y1(D)y-与y=(五)？

2.下列给出的对应哪一个是集合A到集合B的映射？

(A)设人={1,2,3,4,5},B={3,4,5,6,7,8,9),对应法则2x+l

(B)设4=^^,3={-1,0,1},对应法则fx除以2得的余数

(C)A-{1,2,3}>B={-L—V2>-的平方根

(D)设X=[0,1,2,3,4},丫={,；,；}x取倒数

3.已知函数/*)