第02讲 集合间的基本关系（人教A版2019必修第一册）（解析版）

第02讲集合间的基本关系【人教A版2019】·模块一集合的子集·模块二集合相等与空集·模块三集合间关系的性质·模块四课后作业模块一模块一集合的子集1．子集的概念定义一般地，对于两个集合A,B，如果集合A中任意一个元素都是集合B中的元素，称集合A为集合B的子集记法

与读法记作(或)，读作“A包含于B”(或“B包含A”)图示或结论(1)任何一个集合是它本身的子集，即；

(2)对于集合A,B,C，若，且，则2．真子集的概念定义如果集合，但存在元素，且，我们称集合A是集合B的真子集记法记作(或)图示结论(1)且，则；

(2)，且，则【注】(1)“A是B的子集”的含义：集合A中的任何一个元素都是集合B的元素，即有任意x∈A能推出x∈B.(2)不能把“AB”理解为“A是B中部分元素组成的集合”，因为集合A可能是空集，也可能是集合B.(3)特殊情形：如果集合A中存在着不是集合B中的元素，那么集合A不包含于B，或集合B不包含集合A.(4)对于集合A，B，C，若AB，BC，则AC；任何集合都不是它本身的真子集.(5)若AB，且A≠B，则AB.【考点1子集、真子集的确定】【例1.1】（23-24高三上·四川·期末）集合A=x−4<x<2的一个真子集可以为（A．3 B．x−1<x<3 C．0 D．【解题思路】由真子集的定义对选项一一判断即可得出答案.【解答过程】3∉A=x2.5∉A={x|−4<x<2}，故B错误；因为x−4<x<2是集合A=0是集合A=x故选：C.【例1.2】（2023·陕西西安·模拟预测）在下列集合中，1,2,3是其真子集的是（

）A．1,2,3 B．2,3,4,5C．xx>0 D．【解题思路】根据真子集定义判断已知集合与各项集合的包含关系即可.【解答过程】1,2,3是自身的子集，A错；2,3,4,5、xx>1与1,2,31,2,3xx>0故选：C.【变式1.1】（2023·江西景德镇·模拟预测）已知集合A=a,b的所有非空子集的元素之和等于12，则a+b等于（

A．1 B．3 C．4 D．6【解题思路】首先列出集合A的非空子集，即可得到方程，解得即可.【解答过程】解：集合A=a,b的非空子集有a、b、a,b所以a+b+a+b=12，解得a+b=6.故选：D.【变式1.2】（23-24高一·全国·假期作业）已知集合A={1,2,3}，则下列集合中是集合A的真子集的是（

）A．{1,2,3} B．{2,3} C．{−1,2,3} D．{1,2,3,4}【解题思路】根据真子集的定义一一判断即可.【解答过程】对A，两集合相等，故A选项不是集合A的真子集，对B，由真子集定义知，{2,3}是集合A的真子集，C和D选项的集合里含有不属于集合A的元素，故C,D错误，故选：B.【考点2\o"判断集合的子集（真子集）的个数"\t"/gzsx/zj135317/_blank"集合的子集（真子集）的个数问题】【例2.1】（23-24高三下·四川成都·阶段练习）已知集合A=1,2,B=2,3，则集合C=A．5 B．6 C．7 D．8【解题思路】计算出集合C的元素后可得其子集的个数.【解答过程】C=3,4,5故选：D.【例2.2】（23-24高三上·安徽·期中）若集合P=xm2−2m<x<3,x∈Z有7个真子集，则实数A．0,2 B．0,2 C．0,2 D．0,2【解题思路】根据集合P有7个真子集，由集合P中包含3个元素求解.【解答过程】解：因为集合P有7个真子集，所以集合P中包含3个元素，所以−1≤m解得0<m<2.故选：A.【变式2.1】（23-24高三上·河北廊坊·期末）已知集合A=x∣x2−3x+2=0,B={x∣−1<x<5,x∈N}，则满足AA．8 B．7 C．4 D．3【解题思路】确定集合A,B的元素，根据A⫋C⊆B，可判断集合C等价于集合0,3,4的非空子集，由此可得答案.【解答过程】由题意得A=1,2又A⫋C⊆B，所以1,2∈C，所以集合C等价于集合0,3,4的非空子集，所以集合C的个数为23故选：B.【变式2.2】（2024·黑龙江·二模）已知集合A=1,2，B=3,4，定义集合：A∗B=x,yx∈A,y∈B，则集合A．16 B．15 C．14 D．13【解题思路】先确定集合A∗B有四个元素，则可得其非空子集的个数.【解答过程】根据题意，A∗B=x,y则集合A∗B的非空子集的个数是24故选：B.模块二模块二集合相等与空集1．集合相等的概念如果集合A的任何一个元素是集合B的元素，同时集合B的任何一个元素都是集合A的元素，那么，集合A与集合B相等，记作A＝B.也就是说，若A⊆B且B⊆A，则A＝B.2．空集的概念(1)定义：不含任何元素的集合叫做空集，记为∅.(2)规定：空集是任何集合的子集.3．Venn图的优点及其表示(1)优点：形象直观.(2)表示：通常用封闭曲线的内部表示集合.【考点1集合相等问题】【例1.1】（2022·辽宁·二模）已知集合M={1,0}，则与集合M相等的集合为（

）A．(x,y)x−y=−1x+y=1 C．xx=(−1)n【解题思路】求出每个选项的集合，即可比较得出.【解答过程】对A，(x,y)x−y=−1对B，{(x,y)∣y=x−1对C，xx=对D，yy=故选：D.【例1.2】（23-24高二上·云南大理·期末）设集合A=1,a,B=1,2，若A=B，则实数aA．1 B．2 C．0 D．−1【解题思路】根据集合A=B即可求解.【解答过程】由题意知A=1,a，B=因为A=B，所以a=2，所以B正确.故选：B.【变式1.1】（23-24高一上·上海奉贤·阶段练习）设Q所示有理数集，集合X=xx=a+b2,a,b∈Q,x≠0，在下列集合中：①2xx∈X；②x2x∈X；③1A．①② B．②③ C．①②④ D．①②③【解题思路】根据集合相等的含义，逐一分析①②③④，即可得答案【解答过程】对于①：集合2xx∈X，则2(a+b解得p=2a,q=2b，即a=p2,b=对于②：集合x2x∈X，则a+b2对于③：集合1xx∈X，1a+b对于④：−1−2∈X，但方程−1−2=x2无解，则故选：D.【变式1.2】（23-24高一上·全国·期末）已知m∈R，n∈R，若集合m,nm,1=mA．−2 B．−1 C．1 D．2【解题思路】根据题意，由集合相等列出方程，即可求得m,n，代入计算，即可得到结果.【解答过程】因为m,n所以nm=0m=m+nm当m=1时，不满足集合元素的互异性，故m=−1，n=0，m2023故选：B.【考点2空集的判断、性质及应用】【例2.1】（23-24高一上·江西赣州·阶段练习）下列四个集合中，是空集的是（

）A．{x|x+3=3} B．{x|C．{x|x2−x+1=0,x∈R}【解题思路】利用空集的定义直接判断选项是否是空集，即可．【解答过程】解：∵x+3=3，∴x=0，所以{x|x+3=3}={0}，A不是空集．∵x2⩽0，∴x=0∵x2−x+1=0，x∈R，Δ=∵y2=−x2，x，y∈R，即y故选：C．【例2.2】（22-23高一上·河南南阳·阶段练习）下列四个命题：①空集没有子集；②空集是任何一个集合的真子集；③∅＝{0}；④任何一个集合必有两个或两个以上的子集．其中正确命题的个数为（

）A．0 B．1 C．2 D．3【解题思路】根据空集的定义和性质判断即可.【解答过程】因为空集是其本身的子集，故①错误；空集只有本身一个子集，故②④错误；空集没有元素，而集合{0}含有一个元素0，故③错误．故正确命题个数为0.故选：A.【变式2.1】（23-24高一上·上海宝山·期中）已知六个关系式①∅∈{∅}；②∅⊂≠{∅}；③{0}⊃≠∅；④0∉∅；⑤A．3 B．4 C．5 D．6【解题思路】根据空集的性质、元素与集合、集合与集合的关系判断各关系式的正误.【解答过程】根据元素与集合、集合与集合关系：∅是{∅}的一个元素，故∅∈{∅}，①正确；∅是任何非空集合的真子集，故∅⊂≠{∅}∅没有元素，故0∉∅，④正确；且∅≠{0}、∅≠{∅}，⑤错误，⑥正确；所以①②③④⑥正确.故选：C.【变式2.2】（22-23高一上·天津和平·阶段练习）下列四个说法中，正确的有（

）①空集没有子集；②空集是任何集合的真子集；③若∅⊆A，则A=∅；④任何集合至少有两个子集．A．0个 B．1个 C．2个 D．3个【解题思路】根据空集的性质判断即可.【解答过程】①空集是任何集合的子集，所以①错；②空集是任何非空集合的真子集，所以②错；③空集是任何集合的子集，集合A不一定等于空集，所以③错；④空集只有自己本身一个子集，所以④错.故选：A.【考点3集合关系的Venn图表示】【例3.1】（23-24高一上·北京·期末）已知集合U=1,2,3,4,5,6，A=1,2,3，集合A与B的关系如图所示，则集合BA．2,4,5 B．1,2,5 C．1,6 D．1,3【解题思路】由图可得B⊆A，由选项即可判断.【解答过程】解：由图可知：B⊆A，∵A=1,2,3由选项可知：1,3⊆A故选：D.【例3.2】（23-24高一上·内蒙古呼和浩特·期中）已知全集U=R，那么正确表示集合M={-1，0}和N={x|x2-x=0}关系的韦恩(Venn)图是（

）A． B．C． D．【解题思路】化简集合，判断集合M,N没有包含关系，即可得出答案.【解答过程】∵M={−1,0},N={x∣x(x−1)=0}={0,1}，∴集合M,N没有包含关系故选：A.【变式3.1】（23-24高一上·福建南平·期末）下列Venn图能正确表示集合M={0,1,2}和N=xx2A．

B．

C．

D．

【解题思路】确定集合M，N的关系，然后选择合适的图象即可.【解答过程】N=xx2所以NM，选项B符合，故选：B.【变式3.2】（2024高一·上海·专题练习）已知集合U=R，则正确表示集合M={-1，0，1}和N={x|x2-x=0}关系的文氏图是（）A． B．C． D．【解题思路】先求得集合N，判断出M,N的关系，由此确定正确选项.【解答过程】N={x|x2-x=0}={0，1}，M={-1，0，1}，所以N⊆M，所以选B.故选：B.模块三模块三集合间关系的性质1．集合间关系的性质(1)任何一个集合都是它本身的子集，即AA.(2)对于集合A，B，C，①若AB，且BC，则AC；②若AB，B=C，则AC.(3)若AB，A≠B，则AB.【考点1判断集合间的关系】【例1.1】（23-24高三下·北京·开学考试）已知集合A=1,2，A⊆B，则B可以为（

A．3 B．1,3,4 C．2 D．1,2,3【解题思路】根据包含关系即可求解.【解答过程】由A=1,2，A⊆B可知：B可以为1,2,3故选：D.【例1.2】（23-24高一上·安徽蚌埠·期末）设集合A=−1,0,1,B=y∣y=A．A⫋B B．A⫌B C．A=B D．B=∅【解题思路】求出B，即可得出两集合之间的关系.【解答过程】由题意，在B=y∣y=x2,x∈A中，∴B=0,1，∴A⫌B故选：B.【变式1.1】（22-23高一上·湖南株洲·开学考试）已知集合A=xx=kA．AB B．BA C．A=B D．A与B关系不确定【解题思路】将集合A,B中的形式通分，再分析集合的包含情况即可.【解答过程】A=xx=2k+14,k∈Z,B=x故选：A.【变式1.2】（22-23高一上·河南郑州·阶段练习）若A={x|x=k6+1,k∈Z}A．A⊆B⊆C B．A⊆C⊆BC．C⊆B⊆A D．C⊆A⊆B【解题思路】先化简集合A,B,C,再结合集合的包含关系判断集合间关系即可.【解答过程】依题意，A={x|x=k+66,k∈C={x|x=4k+36,k∈Z}={x|x=因此集合C中的任意元素都是集合B中的元素，即有C⊆B，集合B中的每一个元素都是集合A中的元素，即B⊆A，所以C⊆B⊆A.故选：C.【考点2根据集合的关系求参数】【例2.1】（23-24高一上·全国·课后作业）已知A=x|(1)若A⊆B，求a的值；(2)若B⊆A，求实数a的取值范围.【解题思路】（1）先求出集合A，再利用条件A⊆B，根据集合与集合间的包含关系，即可求出a值；（2）对集合B进行分类讨论：B=∅和B≠∅，再利用集合与集合间的包含关系，即可求出a的范围；【解答过程】（1）由方程x2−2x−8=0，解得x=−2所以A=−2,4，又A⊆B，B=所以B=−2,4，即方程x2+ax+a2利用韦达定理得到：−2+4=−a，即a=−2；（2）由已知得A=−2,4，又B⊆A所以B=∅时，则Δ=a2−4(a2−12)<0当B≠∅时，若B中仅有一个元素，则Δ=a2−4(a当a=4时，B=−2，满足条件；当a=−4时，B=若B中有两个元素，则B=A，利用韦达定理得到，−2+4=−a(−2)×4=a2综上，实数a的取值范围是a≥4或a<−4或a=−2.【例2.2】（22-23高一上·江苏盐城·阶段练习）已知集合A=x|x(1)若集合A=B，求实数(2)若集合C⊆A，求实数【解题思路】（1）先化简集合A=x|x2−8x+12=0，然后根据条件（2）由条件集合C⊆A知，集合C中至多有2个元素，对集合C=x|a【解答过程】（1）易知集合A=x|x2−8x+12=0=2,6，∴由A=B（2）（1）当a=0时C=6满足（2）当a≠0时①当Δ=1−24a<0即a>124时，C=∅满足C⊆A②当Δ=1−24a=0即a=124时，C=③当Δ=1−24a>0即a<124时，满足C⊆A，只能C综上所述：a>124或【变式2.1】（23-24高一·全国·课后作业）已知集合M=x(1)若N=xm≤x≤2m−2，N⊆M，求实数(2)若N=xm−6≤x≤2m−1，M⊆N，求实数【解题思路】（1）根据题意，由N⊆M，分类讨论当N=∅和N≠∅两种情况，解不等式即可得出实数m的取值范围；（2）根据题意，由M⊆N，得出2m−1>m−6m−6≤−12m−1≥4，解不等式即可求实数【解答过程】（1）解：由题可知M=x−1≤x≤4，N=x①若N=∅，则m>2m−2，即m<2；②若N≠∅，则m≤2m−2−1≤m2m−2≤4，解得：综合①②，得实数m的取值范围是mm≤3（2）解：已知M=x−1≤x≤4，N=x则2m−1≥m−6m−6≤−12m−1≥4，解得：所以实数m的取值范围是m5【变式2.2】（23-24高一·全国·课后作业）已知集合A=1,3,x，（1）若集合M=1,4,y，A=M，求x+y（2）是否存在实数x，使得B⊆A?若存在，求出x的值；若不存在，请说明理由.【解题思路】（1）根据A=M，两个集合元素相同列方程组，解方程组求得x,y的值，进而求得x+y的值.（2）根据B是A的子集，分别令2−x=3和2−x=x，解方程，然后根据集合元素的性质，判断出符合题意的x【解答过程】（1）由题可知x=4,y=3,所以x=16,y=3,（2）假设存在实数x使得B⊆A，则2−x=3或2−x=x若2−x=3，则x=−1，此时x没有意义，舍去.若2−x=x，则2−x2=x2，化简得x当x=1时，不符合集合中元素的互异性，舍去.故不存在实数x，使得B⊆A.模块四模块四课后作业一、单选题1．（23-24高一上·四川成都·期中）集合A=x∈Z0<x<3A．0,1 B．x0<x<2 C．x0<x<3 【解题思路】先化简集合A，结合选项可得答案.【解答过程】因为A=x∈Z0<x<3=1,2，所以A故选：D.2．（23-24高一下·贵州贵阳·阶段练习）设集合A=xA．2∈A B．C．0⊆A D．【解题思路】根据元素与集合以及集合子集的定义即可结合选项求解.【解答过程】A=x所以2⊆A，0⊆A，故选：C.3．（22-23高一上·上海黄浦·阶段练习）下列表示同一集合的是（

）A．M={(3,2)}，N={(2,3)} B．M={(x,y)|2x+y=1}，N={y|2x+y=1}C．M={1,2}，N={2,1} D．M={2,4}，N={(2,4)}【解题思路】根据集合的概念及相同集合的性质判断各选项集合是否相同即可.【解答过程】A：集合M,N中的元素不为同一个点，不是同一集合，故A错误；B、D：集合M,N的元素不同，一个是数，一个是实数对，不是同一集合，故BD错误；C：根据集合元素的无序性，可知集合M=N，即为同一集合，故C正确；故选：C.4．（23-24高一上·重庆长寿·期末）下列命题中，正确的个数有（

）①A⊆A；②0∈0,1,2；③著名的运动健儿能构成集合；④0=∅；⑤∅AA．1 B．2 C．3 D．5【解题思路】应用集合与集合的包含关系，元素与集合的属于关系，集合的确定性，无序性，空集的含义及空集与集合的关系即可判断.【解答过程】易知A⊆A，故①正确；00,1,2，故②错误；著名的运动健儿，元素不确定，不能构成集合，故③错误；0表示有一个元素0的集合，不是空集，④错误；空集是任意非空集合的真子集，若A为空集，⑤错误；0,1,2=2,1,0，故故选：B.5．（23-24高一上·全国·课后作业）已知空集x|x2−x+a=0，则实数aA．−∞,−1C．14,+∞【解题思路】根据二次方程无解等价于判别式小于0计算即可.【解答过程】由题意，二次方程x2−x+a=0无解，故1−4a<0，解得故选：D.6．（2024·宁夏·一模）已知集合A=−1,0,1，B=xx=mn,m∈A,n∈A，则集合A．4 B．7 C．8 D．15【解题思路】先求出集合B，再求真子集个数即可.【解答过程】由题意得B=x故集合B的真子集个数为23故选：B.7．（23-24高一下·贵州遵义·阶段练习）已知集合M=x1<x<a，N=x2<x<6，若N⊆M，则A．aa≥6 B．C．aa≤6 D．【解题思路】根据给定条件，利用集合的包含关系列式求解即得.【解答过程】集合M=x1<x<a，N=x2<x<6，由所以a的取值范围是aa≥6故选：A.8．（2024·浙江·二模）已知集合M=1,2,3，N=0,1,2,3,4,7，若M⊆A⊆N，则满足集合A．4 B．6 C．7 D．8【解题思路】根据包含关系，写出所有满足条件的集合A即可得解.【解答过程】因为M⊆A⊆N，所以A可以是1,2,3,故选：D.二、多选题9．（2024高一上·全国·专题练习）关于下图说法正确的是（

）A．集合A中的元素既是集合B中的元素也是集合U中的元素B．集合A、B、U中有相同的元素C．集合U中有元素不在集合B中D．集合A、B、U中的元素相同【解题思路】由图形可知集合间的包含关系，对选项中的结论进行判断.【解答过程】由韦恩图可得，ABU，且A≠∅，结合真子集的定义可知，集合A中的元素既是集合B中的元素也是集合U中的元素，A选项正确；集合A、B、U中有相同的元素，B选项正确；集合U中有元素不在集合B中，C选项正确；集合A、B、U不相等，D选项错误.故选：ABC.10．（23-24高一上·广东佛山·期中）已知集合A=x−1≤2x−1≤5,x∈Z，则下列说法正确的有（A．1∈A B．2,3⊆A C．A中有3个元素 D．A有16【解题思路】解不等式可求得集合A，由集合与元素关系、子集和真子集定义依次判断各个选项即可.【解答过程】由−1≤2x−1≤5得：0≤x≤3，又x∈Z，∴A=0,1,2,3对于A，由A=0,1,2,3知：1∈A对于B，∵2∈A，3∈A，∴2,3对于C，由A=0,1,2,3知：A中有4对于D，∵A中有4个元素，∴A有24故选：AB.三、填空题11．（23-24高一上·四川内江·期末）已知集合M=x∈N2x−3<2，则M的非空子集的个数是【解题思路】求出集合M中元素个数，再利用子集个数公式求解.【解答过程】M=x∈集合M中有3个元素，则M的非空子集的个数是23故答案为：7.12．（2024高一上·全国·专题练习）设集合A={−1,1}，集合B＝{x|x2−2ax+b=0}，若B≠∅且B⊆A，则实数ab=【解题思路】且B⊆{−1,1}，∴关于x的方程x2−2ax+b=0的根只能是−1或1，但要注意方程有两个相等根的条件是【解答过程】∵B=x∣x2∴B={−1}或B={1}或B={−1,1}．当∴B={−1}时，Δ=4a2解得a=−1,b=1.则ab=−1；当B={1}时，Δ=4a2解得a=b=1.则ab=1当B={−1,1}时，有(−1)+1=2a,(−1)×1=b，解得a=0,b=−1.则ab=0；所以ab=0或−1或1.故答案为：0或−1或1.四、解答题13．（22-23高一·全国·随堂练习）判断下列各组中两个集合之间的关系：