高考新课标数学考点总动员

考点一重点知识，压轴选径，系统掌握函数与方程

1.专题综述

函数是高考数学的重要内容之一，函数的观点和思想方法贯穿整个高中数学的全过程，通过对2011

年新课标卷的各省高考题的研究发现，本专题热点考点可总结为六类：一是分段函数的求值问题，二是

函数的性质及其应用，三是基本函数的图像和性质，四是函数图像的应用，五是方程根的问题，六是函

数的零点问题。涉及到得函数思想也是相当的丰富，如分段函数问题常与分类讨论思想相结合，有关方

程根的情况判断常涉及函数与方程思想和等等价转化思想，研究函数的图像问题和基本函数的性质时常

利用数形结合思想等。高考常命制两道小题，一道基础题目，出现在前5道题目中，常考查基本函数的

性质或零点问题，另一道常以压轴的小题出现，常与方程的根或复合函数为背景考查，有一定的难度和

灵活性。

2.考纲解读

（1）了解简单的分段函数并能简单应用；

（2）理解函数的单调性、最大（小）值及其几何意义，结合具体函数了解奇偶性的含义.；

（3）理解指数（对数）函数的概念，理解指数（对数）函数的单调性，掌握指数（对数）函数图像经

过的特殊点；结合常见的嘉函数图像解决简单问题；掌握二次函数的三个表达形式，能够数形结合分析

二次函数、一元二次方程、一元二次不等式三者之间的关系。

（4）会应用函数图像理解和研究函数的性质；

（5）根据具体函数的图像，能够运用二分法求相应方程的近似解；

（6）结合二次函数的图像，了解函数的零点与方程根的联系。

3.2012年高考命题趋向

（1）以分段函数为表示形式考查求值问题是一类基础题目，常与指对数运算结合在一起，同时也考查

学生能否发活运用分类讨论思想的解题能力。

（2）以二次函数、分段函数、对数函数等为载体考查函数的性质是热点。研究函数的性质可充分利用

函数的各种性质所反映的函数特点，来解决函数的相关问题.命题思路常以函数的各种性质相互交融，只

有仔细审题，充分挖掘，把题目隐含的条件一一挖掘出来，综合利用性质才能达到解决问题的目的.

（3）与指数（对数）函数有关的综合问题的考查，以函数某个性质为核心，结合其他知识，把问题延

仲，主要考查知识的综合运用和能力发展为目的.

（4）函数图象的考查涉及的知识面广，形式灵活，经常以新面孔出现，在基本的初等函数图象熟练地

掌握基础上，加以变换考查新函数的图象、性质等.

（5）利用转化思想解决方程问题，利用函数与方程思想解决函数应用问题，利用数形结合思想研究方

程根的分布问题，是高考的热点和难点，常作为压轴的选择题的形式出现。

（6）函数的零点，二分法是新增内容，在高考中以选择题、填空题的形式考查的可能性较大。对于用

二分法求方程的近似解应引起重视，由于步骤的可重复性，故可与程序框图相机合编写部分题目，这也

是算法思想的的具体体现。解决由函数零点（方程根）的存在情况求参数的值或取值范围问题，关键是利

用函数方程思想或数形结合思想，构建关于参数的方程或不等式求解.

4.高频考点解读

考点一分段函数求值问题

2"v>0

【例1][2011•福建卷]已知函数/）=[二二若加）+汜）=0,则实数。的值等于（）

xI1fxWO.

A.-3B.-1C.1D.3

【答案】A

【解析】由已知，得《1）=2；又当心>0时，人工）=2">1,而大〃）+八1）=0,—2,且a<0,.3+1

=—2,解得&=一3,故选A.

[igx,x>0,

【例2][2011•陕西卷]设段）=……则欢-2））=________.

xWO,

【答「案】一2

Igx,x>0,

2

【解析】於）=……一2<0,2）=10-2；10-2>0,/./（10-）=lgl0^=-2.

,10,xWO,

【解题技巧点睛】求f（g（x））类型的函数值时，应遵循先内后外的原则，而对于分段函数的求值问题，必须

依据条件准确地找出利用哪一段求解，特别地对具有周期性的函数求值要用好其周期性..

考点二函数性质的基本应用

【例3][2011.课标全国卷]下列函数中，既是偶函数又在（0,+8）单调递增的函数是（）

A.y=x3B.y=W+1C.y=—x2+lD.y=2"l

【答案】B

【解析】A选项中，函数y=V是奇函数；B选项中，），=|x|+l是偶函数，且在（0,+8）上是增函数;

C选项中，>=一/+1是偶函数，但在（0，+8）上是减函数；D选项中，y=2-同=（；）忖是偶函数，但在

（0,+8）上是减函数.故选B.

【例4][2011.辽宁卷]若函数Lx）飞不：（石）为奇函数,贝11〃=（）

123

A，2B.gC]D.1

【答案】A

【解析】法一:由已知得=、定义域关于原点对称,由于该函互定义域为

卜卜W—3且知〃=£,故选A.

X

法二：•.了(x)是奇函数，：.fi-x)=-fix),又火x)=v2+(］_2a)x_a'

-x—X

则%―(1—24)xr=2？+(l—24)L/函数的定义域内恒成立,可得一"2。)=1-2w，1-2”0,〃

【例5】【2011・新课标全国】函数y=——的图像与函数y=2sin乃x(-2<x<4)的图像所有交点

1-x

的横坐标之和等于().

A.2B.4C.6D.8

【答案】D.

【解析】本题考查函数的图像与性质反比例函数图像、三角函数图像、图像平移、对称性、

数形结合思想等,是有难度的题目.利用数形结合思想求解函数交点个数问题是通性通法.在

同一直角坐标系中画出两个函数的图像(注意利用函数图像变换观点求作函数图像！

y=—=」一可看作由函数y=—向右平移一个单位得到)利用两个函数有共同的

1-x-(x-1)-x

对称中心(1,0),设S个交点的横坐标分别为々，弓，…，通，结合函数图像，由对称性

得士+/=2,弓+均=2,…，故所有交点的横坐标之和等于S.【解题技巧

点睛】在解决与函数性质有关的问题中，如果结合函数的性质画出函数的简图，根据简图进一步研究函数

的性质，就可以把抽象问题变得直观形象、复杂问题变得简单明了，对问题的解决有很大的帮助.(1)一般

的解题步骤：利用函数的周期性把大数变小或小数变大，然后利用函数的奇偶性调整正负号，最后利用函

数的单调性判断大小；(2)画函数草图的步蛛：由已知条件确定特殊点的位置，然后利用单调性确定一段

区间的图象，再利用奇偶性确定对称区间的图象，最后利用周期性确定整个定义域内的图象.

考点三基本函数的性质与图像

/］、1叫0・3

【例6】［2011・天津卷］己知a=5嘀3・4,。=5峭36,c=，则().

A.a>b>cB.b>a>cC.a>c>hD.c>a>b

【答案】C

【解析】根据对数函数的运算性质可知：。=5啕34,0=51。及屈,c=5"S/，再由指数函数

/(幻=5'为单调递增函数，H^log2V3l6<log2V4=l.log23.4>log22=l,

log3与>log33=1,且log3与<log,与<log,3.4,所以a>c>匕.

a,〃一bWl,

【例7][2011•天津卷]对实数a和b,定义运算"®"：a®b=,设函鹭Ax)=(f-2)®(x

b,a-b>\.

—£）,XGR,若函数y=Kx）-c的图象与x轴恰有两个公共点，则实数c的取值范围是（）

3

I/8-

A.V2

【答案】B

【解析】本题考查二次函数的性质和图像。

x2—2,x2—2—（X—x2）^1,

fix）=1八

/—X2,^2—2—（X—^）＞1

[x2-2,-

Ix-x2,x＜—1,或x＞|\

则40的图象如图：

・・・y=/U）—c的图象与x轴恰有两个公共点,

，y=Ax）与丁=。的图象恰有两个公共点，

3

由图象知cW—2,或一1々＜一木

考点四函数图像的应用

【例8][2011・陕西卷]设函数0Oa^R）满足|一力）=/（幻，於+2）=危），则＞=/）的图像可能是（）

AB

八公三-7：序店；厂.

一S速XA：；汹阈W业…;

CD

【答案】B

【解析】由式-x）=/（x）可知函数为偶函数，其图像关于y轴对称，可以结合选项排除A、C,再利用於

+2）=/（x）,可知函数为周期函数，且7=2,必满足14）=式2）,排除D,故只能选B.

【例9][2011.课标全国卷]己知函数y=«r）的周期为2,当xG[-1,1]时人力=/,那么函数y=7（x）的

图像与函数y=|lgx|的图像的交点共有（）

A.10个B.9个C.8个D.1个

【答案】A

【解析】考查数形结合思想，在同一直角坐标系中作出两个函数的图像，故下图.容易判断出两函数图

像的交点个数为10个，故选择A.

4-

3;

2：R3

:二二二二文此次^/,二,

♦W：24681012M

-2：

【解题技巧点睛】函数图象分析类试题，主要就是推证函数的性质，然后根据函数的性质、特殊点的函

数值以及图象的实际作出判断，这类试题在。考查函数图象的同时重点是考查探究函数性质、用函数性质

分析问题和解决问题的能力.利用导数研究函数的性质、对函数图象作出分析判断类的试题，已经逐渐

成为高考的一个命题热点。

考点五与方程根的相关问题

【例10】【2011•陕西】设〃eM,一元二次方程X2-4X+/?=0有黎教根的充要条件是

n=.

【答案】3或4.

【解析】直接利用求根公式进行计算，然后用完全平方数、整除等进行判断计

算•》=把当士=2±4兀因为x是整数，即为整数，所以为整数,且〃”4,

又因为〃eN+，取〃=1,2,3,4,验证可知“=3,4符合题意；反之〃=3,4时，可推出一元二次方程

产―4x+〃=0有整数根.

【例11][2011・北京卷]已知函数/(x)=Jx'-'若关于x的方程/(x)=k有两个不同的实根，则

Xx-1)3,x<2.

实数k的取值范围是.

【答案】(0,1)

22

【解析】/(x)=—(xN2)单调递减且值域为(0,1],/(x)=(x-l)3(x<2)单调递增

x

且值域为(-8,1),函数/(X)的图象如图所示，故/(X)=%有两个不同的实根，则实数

k的取值范围是(0,1).

考点六函数零点问题

【例12][2011•课标全国卷]在下列区间中，函数Hx)=eX+4x—3的零点所在的区间为()

【答案】C

【解析】因为娟==-2<0,7(1)=e1-l>0,所以

又因为函数_y=e，是单调增函数，y=4x—3也是单调增函数,

所以函数_/0)=6*+4x-3是单调增函数，

【例13][2011•山东卷]已知函数兀v)=logd+x一伙a>0,且。#1).当2VaV3Vb<4时,函数於)的

零点沏6(“，〃+1),"GN*,则”=.

【答案】2

【解析】本题考查对数函数的单调性与函数零点定理的应用.因为2</3,所以log“2<l=logw<log〃3,

因为3<*4,所以6-2>l>loga2,fe-3<l<log„3,所以/2)加3)=(log.2+2-b)(k)g“3+3一力<0,所以函

数的零点在(2,3)上，所以〃=2.

【例14][2011•陕西卷]函数./U)=W—cosx在[0,+8)内()

A.没有零点B.有且仅有一个零点C.有且仅有两个零点D.有无

穷多个零点

【答案】B

QXXy/jw2xX

【解析】在同一个坐标系中作出丫=5与〉=8女的图象如图，

由图象可得函数式x)=W-COSX在[0,+8)上只有一个零点."I

【解题技巧点睛】判断函数在某个区间上是否存在零点，要根据具体问题灵活处理，当能直接求出零点

时，就直接求出进行判断；当不能直接求出时，可根据零点存在性定理进行判断；当用零点存在性定理

也无法判断时可画出图象判断.

针对训练一

选择题

1.【北京市朝阳区2011-2012学年度高三年级第一学期期中统一考试】

已知函数/0)=以2+2ar+4(()<a<3),其图象上两点的横坐标玉，马满足/〈/，

且$=1-。，则有

A-/(x,)>/(x2)B./Ui)=/(x2)

C./(%))</(%2)D./(芭),/(/)的大小不确定

答案：C

2

解析：/(')一/(工2)=。(龙：-X2)+2(2(X］-x2)=«(%,-x2)(x,+x2+2),

因为X1<%2所以％-尤2<0，0<a<3,%,+X2+2=3-«>0,

。(玉-x2)(x,+x2+2)<0,/(%,)<f(x2)

2.［2012年长春市高中毕业班第一次调研测试数学试题卷】

“av-2”是“函数人0=6巨在区间［-1,2］上存在零点”的

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

答案：A

解析：人在区间上存在零点，则即6^^^=右，，。>3或

33

4<-一，...“4V々”是“。>3或4<-］”的充分不必要条件，...“av以”是“函数人

在区间［-1,2］上存在零点”的充分不必要条件.

3.【银川一中2012届高三年级第四次月考】

若log“2<0(。>0且awl),则函数/(x)=log.(x+l)的图像大致是()

F石上卜

A.B.C.D.

解析：log.2<0(a>0Ela1),log(,2<logu1,0<«<1.函数在定义域为减函数，将函数

y=k»g“响左平移一个单位得log“(x+l),故答案为B。

4.【银川一中2012届高三年级第四次月考】

lgx,x>0,

设若/(%)=〈/(/(1))=1,则a的值是()

x+[3rdt,x<0,

Jo

A.-1B.2C.1D.-2

解析：/(l)=lgl=0,/(0)=0+J。3Jdf="=1,a=1.

5.【安徽省示范高中2012届高三第二次联考】

实数。=0.2&力=1080().2,。=0”2的大小关系正确的是()

A：a<c<bB：a<b<cC：b<a<cD：b<c<a

答案：c

解析：根据指数函数和附数函数的性质，Z?=log应O.2<O<a=O.20<l<c=(夜严。

6.【安徽省示范高中2012届高三第二次联考】

函数/(x)=|x+2]—2，在定义域内零点的个数是()

(A)0(B)1(02(D)3

答案：D

解析：在同一坐标系中画出函数y=|x+2|与y=2”的图像，可以看到2个函数的图像在第二象限有2

个交点，在第一象限有1个交点，所以函数/(x)=|x+2|-2"在定义域内有3个零点。

7.【河北省唐山市2012届高三上学期摸底考试数学】

若函数f(x)=(sinx+cosx)2+2cos2x-m在0,y上有零点，则，"的取值范围为()

A.[1,2+V2]B.[-1,2]C.[-1,2+V2]D.[1,3]

解析：由函数/(x)=(sinx+cosx)2+2cos2x-m=l+sin2x+cos2x+l-m

=0sin(2x+?)+2—加得在0,y上的最大值是0+2—/”，最小值是1一机

所以[/⑼”=向2-加20,解得1W屋2+万

J*)min=l一加<0

8.【河北省唐山市2012届高三上学期摸底考试数学】

已知/(幻是奇函数，且/(2-幻=/(幻，当]时，/(x)=log2(xT)，则当x«l,2]时/*)=

()

A.-log2(4-x)B.log2(4-x)C,-log2(3-x)D.Iog2(3-x)

解析：由/(x)是奇函数，且/(2—x)=/(%),得/(元+4)=/(幻，所以函数的周期7=4

又因为当xe[2,3]时，/(%)=10g2(x-l),所以当XG[-2,-1]时，/(x)=log2(x+3),因为函数/(x)

是奇函数，所以当xe[1,2]时/(x)=-/(一幻=—log?(3—X).

9.【2012届江西省重点中学协作体高三第一次联考】

已知函数/(x)=[20则关于x的方程/[/(x)]+A=O,给出下列四个命题:

—2x,x<0

①存在实数攵，使得方程恰有1个不同实根；②存在实数左，使得方程恰有2个

同实根；③存在实数女，使得方程恰有3个不同实根；④存在实数攵，使得方程

有4个不同实根；其中假命题的个数是()

A.0B.1C.2D.3

答案：C

解析：当x20,/(/(切=/©)=e',当x<0,/(/(%))=/(-2x)=e-2,

当x»0,y=/是增函数，x<0,y=e3是减函数，由//(刈+A=0得"/(©)=—&,

方程./■(/(%))=-k解的个数即y=—左与y=/(/(%))的图像交点的个数，由图像得当1K—kWe,有1

个解；当-AN团寸，有2解。

10.【2012年长春市高中毕业班第一次调研测试数学试题卷】

设/(幻是定义在R上的增函数,且对于任意的I都有恒成立.如果实数“〃满

足不等式组产华心，那么加+"的取值范围是

A.(3,7)B.(9,25)C.(13,49)D.(9,49)

答案：C

解析：由.tCEKJSW得_

•••/(x)是R上的增函数，66K2"-^,

又m>3,结合图象知J比+”为半圆毛工湃运三亍《启内的点到原点的距离,故

V-&=S^A^1^-=S,.t.

-.填空题

11.[2012年上海市普通高等学校春季招生考试数学试卷】

若/(x)=(土+2)(土+加)为奇函数,则实数加=.

X

及力工厂//I、rzi\(-1+2)(—1+加)(1+2)(1+ITi)1ccc

解析：f(—I)=-f(I),/.------------------------=----------------------,YYI-]=3+3m,m=-2.

—II

12.【北京市朝阳区2011-2012学年度高三年级第一学期期中统一考试】

log1(-x),-44x<0,

已知函数/(x)=12若方程/(x)=。有解，则实数。的取值范围是.

2cosx,0<X<71.

答案：[-2,+00)

解析：-4<x<0,/.-xe(0,4],log,(-x)e[-2,+oo);0<x<n,:.2cosxe[-2,2],若方程f(x)=a

2

有解，即函数的值域即为。的范围，故实数。的取值范围是[-2,+8).

13.[2012年上海市普通高等学校春季招生考试数学试卷】

4

函数y=log,x+--------(x6[2,4])的最大值为_____________.

log2x

4

解析：令"log2%24xW4,，l<log2X〈2,.,.l<，W2.因对号函数y=f+：在区间[1,2]上单调

递减，故当1=1时函数取得最大值为5.

14.[2012年上海市普通高等学校春季招生考试数学试卷】

若不等式/—依+左一1>。对xc(i,2)恒成立，则实数k的取值范围是.

-2

解析：x~—kx+Ze_1>0,_@.l—x<0,k<--------,1+x>2,.1.左W2.

1-x

15.【北京市朝阳区2011-2012学年度高三年级第一学期期中统一考试】

设函数/(x)=x"+l(aeQ)的定义域为[―瓦一a][a,b],其中0<a(从若函数/(x)在区间[a,b]

上的最大值为6,最小值为3,则/(幻在区间[-a-句上的最大值与最小值的和为.

答案：—5或9

解析：令a=2,/(x)=_?+],y(x)在区间[a,0上的最大值为f(b)=6,最小值为了⑷=3,因/(%)

为偶函数，故/（x）在区间［—仇一司上的最大值与最小值为6和3,和为9；令a=3,/（x）=V+l图象

关于（0,1）点对称，设/（%）在区间［-七—同上的最大值机与最小值为〃，则有

m+6,〃+31.,_

--------=1,--------=/篦=-4,〃=一1,故〃2+〃=—5・

22

考点二万能工具，大题必考，帮你理顺导数及应用

—.专题

综述

利用导数处理函数、方程和不等式问题是高考必考的内容，常以一道大题的形式出现，并且有一定

的难度，往往放在解答题的后面两道题中的一个。试题考查丰富的数学思想，如函数与方程思想常应用

解决函数与方程的相关问题，等价转化思想常应用于不等式恒成立问题和不等式证明问题，分类讨论思

想常用于判断含有参数的函数的单调性、最值等问题，同时要求考生有较强的计算能力和综合问题的分

析能力。纵观20n年各地的高考题，对于本专题常见的考点可分为八个方面，一是导数的几何意义的应

用，二是导数运算和解不等式相联系，三是利用导数研究函数的单调性，四是利用导数研究函数的极值,

五是利用导数研究函数的最值，六是利用导数研究不等式的综合问题，七是利用导数研究实际应用问题

的最优化问题，八是微积分的应用。

考纲解读

1.了解导数概念的实际背景，理解导数的几何意义。

2.能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数.能求简单的复合

函数（仅限于形如f（ax+b）的复合函数）的导数.

3.了解函数单调性和导数的关系，能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间（其中多项式函数

一般不超过三次）.

4.了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求函数的极大值、极小值（其中多项式函

数一般不超过三次）;

5.会求闭区间上函数的最大值、最小值（其中多项式函数一般不超过三次）.

6.会利用导数解决某些实际问题.掌握利用导数解决实际生活中的优化问题的方法和步骤，如用料最少、

费用最低、消耗最省、利润最大、效率最高等。

7.掌握导数与不等式、几何等综合问题的解题方法。

8.了解定积分的实际背景，了解定积分的基本思想，了解定积分的概念.了解微积分基本定理的含义.

三.2012年高考命题趋向

1.求导公式和法则，以及导数的几何意义是高考的热点，题型既有选择题、填空题，又有解答题，难度

中档左右，在考查导数的概念及其运算的基础上，又注重考查解析几何的相关知识.预测2012年高考仍

将以导数的几何意义为背景设置成的导数与解析几何的综合题为主要考点.重点考查运算及数形结合能

力。

2.利用导数来研究函数的单调性和极值问题已成为炙手可热的考点，既有小题，也有解答题，小题主要

考查利用导数研究函数的单调性和极值，解答题主要考查导数与函数单调性，或方程、不等式的综合应

用（各套都从不同角度进行考查）预测2012年高考仍将以利用导数研究函数的单调性与极值为主要考向.

3利用导数来研究函数的最值及生活中优化问题成为高考的热点，试题大多有难度，考查时多与函数的

单调性、极值结合命题，考生学会做综合题的能力.预测2012年高考仍将以利用导数研究函数的单调

性、极值与最值结合题目为主要考向，同时也应注意利用导数研究生活中的优化问题.

4.微积分基本定理是高中数学的新增内容.通过分析近三年的高考试题，可以看到对它考查的频率较低,

且均是以客观题的形式出现的，难度较小，着重于基础知识、基本方法的考查.

四.高频考点解读

考点一导数的几何意义

例1[2011•湖南卷]曲线尸盖襄嬴一拉点陪，°)处的切线的斜率为()

A.一1BC.一孚D.坐

【答案】B

【解析】对丫=一心一一；求导得到：

sirirH-cosx2

Icosx(sinx+cosx)—siar(cosx-sinx)_______1_____

)(sinx+cosx)2(siar+cosx)2，

例2[2011•山东卷]曲线y=/+11在点尸(1,12)处的切线与y轴交点的纵坐标是()

A.-9B.-3C.9D.15

【答案】C

【解析】因为)，'=3V所以2y'g=3,所以过点尸(1』2)的切线方程为y—12=3(x—l),即y=3x

+9,所以与y轴交点的纵坐标为9.

考点二导数的运算

例3[2011•江西卷]若7(x)=d—2x—41nx,则/'(x)>0的解集为()

A.(0,+°°)B.(-l,0)U(2,+8)

C.(2,+8)D.(-1,0)

【答案】C

【解析】方法一：令/(x)=2x—2—*至二芈土口>0,又；於)的定义域为{小>0},

/.(X-2)(x+1)>0(JC>0),解得x>2.故选C.

4

方法二：令，(x)=2x-2-^>0,由函数的定义域可排除B、D,取x=l代入验证，可排除A,故选C.

例4[2011•辽宁卷]函数_/(x)的定义域为R,式-1)=2,对任意xWR,f(x)>2,则段)>2x+4的解集

为()

A.(-1,1)B.(-1,+O°)C.(-8,-1)D.(-8,+oo)

【答案】B

【解析】设G(x)=/(x)-2x-4,所以G'(x)=f。)-2,由于对任意xCR,/'(x)>2,所以G'。)=，(x)

-2>0恒成立，所以G(x)=/(x)—2x-4是R上的增函数，又由于G(—1)=4-1)-2X(-1)-4=0,所以

G(x)=_/(x)-2x—4>0,即式x)>2x+4的解集为(-1,+°°),故选B.

考点三利用导数研究函数的单调性

例5[2011•广东卷]设a>0,讨论函数/)=lnx+a(l-a)f—2(1—“比的单调性.

【解答】函数兀v)的定义域为(0,+8).

,2a(l—tOx2—2(1—a)x+1

f(x)=---------------------------------

X

当时，方程2a(l—a)/—2(1—4)x+l=0的判别式」=12®-1)1a一

①当Qw舸，J>0,/氢〕有两个零点，

1l)(3a—1)_1,小4一1)(3。-1)

Xl=z---•、.；•----，0,X^=7-I--.、.-----%

2a2ml—a)-2a2a(l^a)

且当Ovxxi或心力时，/(x)>0,贝x)在(0,不)与(4，+8)内为增函数；

当xi<x<x：时，/(x)<0,口丫)在(X】，X"内为减函数；

②当;Wa<l时，」W0,7(x)>0,所以.心)在(0,+8)内为噌函数；

③当a=l时，/(x)=f>0(r>0),作)在(0,+00内为噌函数:；

④当a>l时，JX),m总-早诬三>0,

2a2a(l—a)

J(a-l)(3fl-l)

2a(l-a)”

所以/'(x)在定义域内有唯一零点X|,

且当0a<ri时,f(x)>0,段)在(0,xi)内为增函数；当时，f(x)<0,於)在(xi，+8)内为减

函数.

八一的单调区间如下表:__________________________________________________________________

0<〃<；

a>\

(0,X1)Ul，X2)3，+°°)(0,+8)(0)XI)(XI，+8)

__1"(a—l)(3a-1)__]4y(a-])(3〃-])、

=2a~2a(\~a)，及=五十2a(\~a))

例6[20U•福建卷]已知a,〃为常数，且aWO,函数y(x)=-ax+h+axlnx,式e)=2(e=2.71828…是自然

对数的底数).

(1)求实数力的值；

(2)求函数/U)的单调区间；

(3)当4=1时，是否同时存在实数，〃和使得对每一个M],直线y=r与曲线y=

e。都有公共点？若存在，求出最小的实数，〃和最大的实数M；若不存在，说明理由.

【解答】(1)由穴e)=2得匕=2.

(2)由(1)可得fix)=~ax+2+ax\nx.

从而，(x)=Hnx

因为aWO,故：

①当a>0时，由/(冗)>0得Q1,由/。)<0得0<=1；

②当〃<0时，由/⑴乂)得ov<i,由/a)<o得QI.

综上，当〃>0时，函数段)的单调递增区间为(1,+8),单调递减区间为(0,1)；

当。<0时，函数7U)的单调递增区间为(0,1),单调递减区间为(I,+8).

(3)当。=1时，«r)=-x+2+xlnx,f(x)=lar.

由(2)可得，当x在区间Q,e)内变化时，/(x),/U)的变化情况如下表:

191)

X1e

e(1.e)

f(X)—0+

於)2T单调递减极小值1单调递增2

又2—|<2,所以函数贯尤)(*之，e])的值域为[1,2].

据此可得，若相对每一个七［〃2,M］,直线产f与曲线y=/(x)Qw［2e］都有公共点；

并且对每一一个£(—8,W)U(M,+8),直线)，=/与曲线丫=/(》)(％65e］)都没有公共点.

综上，当a=l时，存在最小的实数〃?=1,最大的实数"=2,使得对每一个teg?,M］,直线y=f与

曲线y=«r)Qeej)都有公共点.

例7［2011•安徽卷］设/(x)=不乐，其中a为正实数.

4

⑴当。=］时，求次幻的极值点；

(2)若兀0为R上的单调函数，求。的取值范围.

1---0/7Y

【解答】对_/«求导得/(x)=e'万奇「①

⑴当"=，时，若/(x)=0，则4*—8x+3=0,解得xi=,,X2=g.

结合①可知

13

X

(-8,92&I)29+8)

f(X)+0——0+

Ax)极大值极小值

所以，Xl=］是极小值点，X2=］是极大值点.

(2)若«r)为R上的单调函数，则/'(x)在R上不变号，结合①与条件a>0,知加-2or+l20在R

上恒成立，因此/=4〃-4"=443—1)WO,由此并结合a>0,知0<aWL

【解题技巧点睛】单调性是函数的最重要的性质，函数的极值、最值等问题的解决都离不开函数的单调

性，含有字母参数的函数的单调性又是综合考查不等式的解法、分类讨论的良好素材.函数单调性的讨

论是高考考查导数研究函数问题的最重要的考查点.函数单调性的讨论往往归结为一个不等式、特别是

一元二次不等式的讨论，对一元二次不等式，在二次项系数的符号确定后就是根据其对应的一元二次方

程两个实根的大小进行讨论，即分类讨论的标准是先二次项系数、再根的大小.对于在指定区间上不等

式的恒成立问题，一般是转化为函数最值问题加以解决，如果函数在这个指定的区间上没有最值，则可

转化为求函数在这个区间上的值域，通过值域的端点值确定问题的答案.

考点四利用导数研究函数的极值问题

例8［2011•安徽卷］函数兀0=加"(1一x)"在区间［0,1］上的图像如图1―2所示，则n的值可能是()

图1一2

A.m—1,n—1B.m—\,n—2

C•m=2,n1D.m=3,〃=』

【答案】B

【解析】由图可知〃>0.当加=1,〃=1时，«¥)=6(1一工)的图像关于直线对称，所以A不可能;

2i2

当根=1,〃=2时，J(x)=ax(\—x)=a(x—2x+x)f

f'(x)=n(3x2—4x+l)=〃(3x—l)(x—1),

所以火X)的极大值点应为X=4<0.5,由图可知B可能.

当〃?=2,〃=1时，fix)=ax1(1—x)=«(x2—%3),

f(x)=〃(2x—3『)=—or(3x—2),

2

所以兀v)的极大值点为x=1>0.5,所以C不可能；

当机=3,n=I时，J[x)=axi(1—x)=a(xi—x4),

f(x)=a(3x2—4/)=一五⑷苫-3),

3

所以7(x)的极大值点为x=1>0.5,所以D不可能，故选B.

例9[2011•浙江卷]设函数火x)=(x-4)21nx,«£R.

(1)若x=e为y=_/(x)的极值点，求实数〃；

(2)求实数。的取值范围，使得对任意的xd(0,3e],恒有<x)W4e2成立.

注：e为自然对数的底数.

【解答】(1)求导得了。)=2。一幻血+丛券=(*一少12而+1一争.

因为x=e是.依)的极值点，

所以7(e)=(e—<i)(3—£)=0,解得a=e或a=3e,

经检验，符合题意，所以a=e或a=3在

⑵①当QC1W1时，对于任意的实数a,恒有人成立.

②当l<xW3e时，由题意，首先有,K3e)=(3eLa)21n(3e)W4f,

解得3e—.WaW3eT--,"e.

"ylniJe)Mn(3e)

由(1)知f(x)=(.x-aj'21n.x+l-1>

令h(x)=21nx+1—则会⑴=1—aVO,

/t(a)=21nn>0,

女I

且ft(3e)=21n(3e)+l-^>21n(3e)+1-----

=23一患A。.

又断x)在(0,+8)内单调递增，所以函数力④在(Q,+8)内有唯一零点，记此零点为

xj(则l<xo<3e,

l<X3<fl.从而，

当xG(O,冽)时，/(%)>0；当xG(沏,a)时,f(x)<0；当xG(a,+8)时，f(x)>0,即火x)在(0,向)

内单调递增，在(XO,a)内单调递减，在(a,+8)内单调递增.

所以要使犬x)<4e2对xG(l,3e]恒成立，只要

/0)=(松一a)21nx()W4e2,(1)

,_,成立.

伙3e)=(3e—a)21n(3e)W4e?(2)

由〃(xo)=21nxo+l—3=0,知

a=2jcolnxo+x().(3)

将⑶代入⑴得4而ln3xoW4e2.又沏>1,注意到函数FlrPx在[1,+8)内单调递增，故la()We.再由⑶

以及函数2xhu+x在(1,+8)内单调递增，可得l<“W3e.

由⑵解得'3e一瑞5'W3e+嵩’

所以3e—j==^a^3e.

Vln(3e)

综上，a的取值范围3e—苫=WaW3e.

Vln(3e)

【解题技巧点睛】函数的单调性是使用导数研究函数问题的根本，函数的单调递增区间和单调递减区间

的分界点就是函数的极值点，在含有字母参数的函数中讨论函数的单调性就是根据函数的极值点把函数

的定义域区间进行分段，在各个段上研究函数的导数的符号，确定函数的单调性，也确定了函数的极值

点，这是讨论函数的单调性和极值点情况进行分类的基本原则.

考点四利用导数研究函数的最值问题

例10［2011•北京卷］已知函数1x）=（x-%）24.

（1）求/U）的单调区间；

（2）若对于任意的仲0,+00）,都有式工局，求上的取值范围.

【解答】（1斤（工）=1一,）京.

令/（尤）=。，得x=±L

当k>0时，火x）与/（x）的情况如下：

X(—8,­k)-k(一hk)k(k,+°°)

f（X）+0—0+

fix)4/一10

所以，«r）的单调递增区间是（一8,一外和（左,+8）；单调递减区间是（一七k）.

当左VO时，危）与］（x）的情况如下:

X(—8,lc)k(k,~k)~k1—k,+0°)

f(X)—0+0—

於）04五-1

所以，./U）的单调递减区间是（一8,Q和（一k,+8）；单调递增区间是（k,-k）.

（2）当仁>0时,因为州+1）=笠X，所以不会有VxG（。，+8）,於）

4P

当出V0时，由⑴知府）在（0,+8）上的最大值是火一女）=".

所以VxC（0,+8）,兀V）W：,等价于人一期二受忘土

解得一左<0.

故当Vxd（0,+°o）,危局时，k的取值范围是一/0）.

例11［2011•江西卷］设凡r）=—g+gf+zor.

（1）若4x）在仔，+8）上存在单调递增区间，求。的取值范围；

⑵当0<a<2时，危）在［1,4］上的最小值为一号，求段）在该区间上的最大值.

【解答】（1）由/'（x）=-r+x+Zan—Q—02+；+2“，

当.隹悻+8时，/*（x）的最大值为了*二/2々；令；+2心0,得心一

所以，当4—豺上）在6,+叼上存在单调递增区间.

'人"c1—1\/l+Sal+^/1+Sa

（2）令/（x）=0,得两根*=—%---，x;=-\----.

所以.心•府（-8,xi）,（X?+8）工单调递诚，在（；，*）上单调递噌.

当0，<2