第12讲正态分布（春季讲义）（人教A版2019选择性）

第12讲正态分布【人教A版2019】模块一模块一二项分布1．连续型随机变量随机变量的取值充满某个区间甚至整个数轴，但取一点的概率为0，称这类随机变量为连续型随机变量.2．正态分布(1)正态曲线

函数f(x)=，x∈R.其中μ∈R，σ>0为参数.我们称f(x)为正态密度函数，称它的图象为正态密度曲线，简称正态曲线.

(2)正态分布

若随机变量X的概率分布密度函数为f(x)，则称随机变量X服从正态分布，记为.特别地，当μ=0，σ=1时，称随机变量X服从标准正态分布.

(3)正态分布的均值和方差

若，则E(X)=μ，D(X)=σ2.3．正态曲线的特点(1)曲线位于x轴上方，与x轴不相交；

(2)曲线是单峰的，它关于直线x=μ对称；

(3)曲线在x=μ处达到峰值；

(4)当|x|无限增大时，曲线无限接近x轴；

(5)对任意的σ>0，曲线与x轴围成的面积总为1；

(6)在参数σ取固定值时，正态曲线的位置由μ确定，且随着μ的变化而沿x轴平移，如图甲所示；

(7)当μ取定值时，正态曲线的形状由σ确定，当σ较小时，峰值高，曲线“瘦高”，表示随机变量X的分布比较集中；当σ较大时，峰值低，曲线“矮胖”，表示随机变量X的分布比较分散，如图乙所示.4．3σ原则(1)正态总体在三个特殊区间内取值的概率

P(μσ≤X≤μ+σ)≈0.6827；

P(μ2σ≤X≤μ+2σ)≈0.9545；

P(μ3σ≤X≤μ+3σ)≈0.9973.

(2)3σ原则

在实际应用中，通常认为服从正态分布N(μ,σ2)的随机变量X只取[μ3σ，μ+3σ]中的值，这在统计学中称为3σ原则.5．正态分布问题的解题策略解决正态分布问题有三个关键点：(1)对称轴x=μ；(2)标准差σ；(3)分布区间.利用对称性可求指定范围内的概率值；由μ，σ，分布区间的特征进行转化，使分布区间转化为3σ特殊区间，从而求出所求概率.注意只有在标准正态分布下对称轴才为x=0.【注】若X服从正态分布，即X～N(μ,)，要充分利用正态曲线关于直线x=μ对称和曲线与x轴之间的面积为1解题.【题型1正态密度函数】【例1.1】（2425高二下·江苏·课后作业）已知正态分布密度函数fx=18πe−A．0和4 B．0和2 C．0和8 D．0和2【解题思路】将fx=1【解答过程】∵fx∴μ＝故选：B.【例1.2】（2025高二·全国·课后作业）给出下列函数：①f(x)=12πσe−(x+μ)22σ2；②f(x)=1A．1 B．2 C．3 D．4【解题思路】根据正态分布密度函数的定义逐个分析判断.【解答过程】对于①，f(x)=12πσe−对于②，若σ=1，则应为f(x)=12πe−(x−μ)对于③，它就是当σ=2，μ=0对于④，它是当σ=2所以一共有3个函数可以作为正态分布密度函数．故选：C.【变式1.1】（2223高二下·江苏·课后作业）函数f(x)=12πσeA．

B．

C．

D．

【解题思路】函数fx图象的对称轴为直线x=μ，由μ<0【解答过程】函数fx图象的对称轴为直线x=μ，因为μ<0又正态曲线位于x轴上方，因此排除C，所以A正确.故选：A.【变式1.2】（2324高二上·全国·课后作业）设随机变量X服从正态分布，且相应的概率密度函数为f(x)=16πA．μ=2,σ=3 B．μ=3,σ=2C．μ=2,σ=3 D．【解题思路】根据题意，结合正态分布密度函数的解析式，即可求解.【解答过程】由正态分布密度函数f(x)=16π故选：C.【题型2正态曲线的特点及性质】【例2.1】（2324高二下·河南南阳·期末）已知三个正态密度函数φi(x)=12πσieA．μ1=μ3>μ2C．μ1=μ3>μ2【解题思路】由正态分布的图像中对称轴位置比较均值大小，图像胖瘦判断标准差的大小.【解答过程】由题图中y=φi(x)y=φ1(x)与y=所以σ1故选：C.【例2.2】（2324高二下·浙江温州·期中）设X~Nμ1,σ1A．μ1>μC．PY≥μ2【解题思路】根据正态分布曲线的性质，确定出两个均值和方差的大小，然后结合图比较概率的大小【解答过程】因为X~Nμ1,σ1所以由图可知，μ1因为X的分布曲线“高瘦”，Y的分布曲线“矮胖”，所以σ1所以PY≥μ2所以C错误，D正确，故选：D.【变式2.1】（2425高二·全国·课后作业）甲、乙两类水果的质量（单位：kg）分别服从正态分布Nμ1,σ1（注：正态曲线的函数解析式为f(x)=12π⋅σA．甲类水果的平均质量μB．乙类水果的质量比甲类水果的质量更集中于均值左右C．甲类水果的平均质量比乙类水果的平均质量大D．乙类水果的质量服从的正态分布的参数σ【解题思路】根据正态分布的特征可得两者的均值、方差的大小关系，结合正态分布密度曲线可判断D，进而即得.【解答过程】由题图可知甲图象关于直线x=0.4对称，乙图象关于直线x=0.8对称，所以μ1=0.4，μ2因为甲图象比乙图象更“高瘦”（曲线越“高瘦”，σ越小，表示总体的分布越集中），所以甲类水果的质量比乙类水果的质量更集中于均值左右，故B错误；因为乙图象的最高点为(0.8,1.99)，即12π⋅σ故选：A．【变式2.2】（2025高三·江苏·专题练习）已知三个正态分布密度函数ϕi(x)=1A．σ1=σ2>C．μ1=μ【解题思路】利用正态分布曲线的性质，判断各分布曲线上的μ、σ的大小关系即可.【解答过程】根据正态曲线关于x＝μ对称，且μ越大图象越靠近右边，∴μ1＜μ2＝μ3，故B、C错误；又σ越小数据越集中，图象越瘦长，∴σ1＝σ2＜σ3，故A错误，D正确．故选：D．【题型3利用正态曲线的对称性求概率】【例3.1】（2324高二下·吉林松原·期末）已知X∼Nμ,σ2,PX≥−1+PX≥3A．0.6 B．0.4 C．0.8 D．0.2【解题思路】根据分析可知μ=1，结合正态分布的对称性运算求解.【解答过程】因为PX≥−1+PX≥3=1，则又因为PX≤−2=0.2，所以故选：A.【例3.2】（2324高二下·广东东莞·期末）已知随机变量X服从正态分布N2,σ2，且P(X<3)P(X<1)=4A．35 B．23 C．310【解题思路】根据正态分布对称性得出概率.【解答过程】因为PX<3PX<1又因为正态分布的对称轴为2，所以PX≥3所以4P所以P2<X<3故选：C.【变式3.1】（2324高二下·江苏南通·期末）已知随机变量X~N2,σ2，且P(X<1.8)=0.47，则P(2<X≤2.2)=A．0.02 B．0.03 C．0.07 D．0.08【解题思路】利用正态分布的性质求解即可.【解答过程】由于随机变量X~N2,σ2，且P(X<1.8)=0.47故选：B.【变式3.2】（2324高二下·云南昆明·期中）已知随机变量X服从正态分布N2,σ2，且P(2<X<3)=0.37，则P(X<3)=A．0.13 B．0.37 C．0.63 D．0.87【解题思路】根据正态分布特点求解即可.【解答过程】因为X服从正态分布N2,所以P(X≤2)=P(X>2)=0.5，所以P(X<3)=P(X≤2)+P(2<X<3)=0.5+0.37=0.87.故选：D．【题型4利用正态曲线的对称性求参数】【例4.1】（2324高二下·陕西咸阳·阶段练习）某生产线正常生产状态下生产的产品A的一项质量指标X近似服从正态分布N8,σ2，若PX≤2a=PA．8 B．15 C．8 D．15【解题思路】根据正态分布的性质得到方程，解出即可.【解答过程】根据正态分布的性质可得：2a+1−3a=8×2=16，解得a=−15，故选：B.【例4.2】（2425高二下·河北张家口·阶段练习）已知随机变量X服从正态分布N4,σ2，若PX≤1+2a+PA．−1 B．0 C．2 D．6【解题思路】由正态分布性质可得答案.【解答过程】因为PX≤1+2aPX≤1+2a=1−PX≤1−a=PX>1−a，因为随机变量服从正态分布X∼N故选：D.【变式4.1】（2324高二下·江苏南京·期末）已知随机变量X服从正态分布N4,σ2σ>0，则“m=3”是“A．充分且不必要条件B．必要且不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件【解题思路】根据正态曲线的性质及充分条件、必要条件的定义判断即可.【解答过程】随机变量X服从正态分布N4,则该正态分布曲线的对称轴为μ=4，PX≥m2故m2+m−4=8，解得m=3或则“m=3”是“PX≥故选：A.【变式4.2】（2324高二下·福建三明·期中）红外体温计的工作原理是通过人体发出的红外热辐射来测量体温的，有一定误差.用一款红外体温计测量一位体温为36.8°C的人时，显示体温X服从正态分布N36.8,0.06n，若X的值在36.6,37.0内的概率约为0.9545，则（参考数据：若X~Nμ,σ2A．3 B．4 C．5 D．6【解题思路】根据题意，结合PX−μ<2σ≈0.9545，得到2σ=0.2【解答过程】因为体温X服从正态分布N36.8,所以μ=36.8,σ因为X的值在36.6,37.0内的概率约为0.9545，且PX−μ则P36.8−2σ<X<36.8+2σ所以P36.8−2σ<X<36.8+2σ则2σ=0.2，解得σ=0.1，所以0.06n=0.1故选：D.【题型5利用3σ原则求概率】【例5.1】（2425高二上·吉林·期末）某学校高二年级数学联考成绩X∼N80,625，如果规定大于或等于105分为数学成绩“良好”，那么在参加考试的学生中随机选择一名，他的数学成绩为“良好”的概率是（

（提示：若X~Nμ,σ2，则Pμ−σ<X<μ+σ=0.6827A．0.0455 B．0.15865 C．0.3173 D．0.34135【解题思路】根据正态分布的性质计算可得.【解答过程】因为X~N80,625，所以u=80，σ=25所以PX≥105故选：B.【例5.2】（2324高二下·广东江门·期末）某校高二级学生参加期末调研考试的数学成绩X服从正态分布N95,82，将考试成绩从高到低，按照16%，34%，34%，16%的比例分为A，B，C，D（附：Pμ−σ<X<μ+σ≈0.68，Pμ−2σ<X<μ+2σA．A B．B C．C D．D【解题思路】根据正态分布的性质即可求解.【解答过程】数学测试成绩服从正态分布N95,82，则μ=95由于A,D等级的概率之和为16%所以P(X<μ−σ)=P(X>μ+σ)=P(X<87)=P(X>103)=，而P(μ−σ<X<μ)=P(μ<X<μ+σ)=0.34,即P(87<X<95)=P(95<X<103)=0.34,故X>103为A等级，95<X<103为B等级，87<X<95为C等级，X<87为D等级，故105分为A等级．故选：A.【变式5.1】（2425高二下·河北·阶段练习）某质检员从某生产线生产的零件中随机抽取了一部分零件进行质量检测，根据检测结果发现这批零件的某一质量指数X服从正态分布N50,9，且X落在47,56内的零件个数为81860，则可估计所抽取的零件中质量指数小于44的个数为（

（附：若随机变量Z服从正态分布Nμ,σ2，则Pμ−σ≤Z≤μ+σ≈0.6827A．270 B．2275 C．2410 D．4550【解题思路】根据题意，由3σ原则可得P47≤X≤56【解答过程】由题意可知，P47≤X≤56则所抽取的零件总数为818600.8186故估计所抽取的零件中质量指数小于44的个数为100000×1−0.9545故选：B.【变式5.2】（2024·河南·三模）已知Pμ−σ≤X≤μ+σ=0.6827,Pμ−2σ≤X≤μ+2σ=0.9545,Pμ−3σ≤X≤μ+3σ=0.9973.某体育器材厂生产一批篮球，单个篮球的质量A．286 B．293 C．252 D．246【解题思路】根据正态分布的对称性求出PY≥596【解答过程】由题意得μ=600,σ=4PY≥5960.97725×300=293.175≈293，所以被抽检的篮球的质量不小于596克的个数约为293.故选：B.【题型6正态分布的实际应用】【例6.1】（2324高三下·上海松江·阶段练习）王先生每天8点上班，他通常开私家车加步行或乘坐地铁加步行.私家车路程近一些，但路上经常拥堵，所需时间（单位：分钟）服从正态分布N38,72，从停车场步行到单位要6分钟；王先生从家到地铁站需要步行5分钟，乘坐地铁畅通，但路线较长，所需时间（单位：分钟）服从正态分布N①若7：00出门，则王先生开私家车上班不会迟到②若7：02出门，则王先生开私家车上班不迟到的可能性更大③若7：06出门，则王先生乘坐地铁上班不迟到的可能性更大④若7：12出门，则王先生乘坐地铁几乎不可能上班不迟到参考数据：若Z~Nμ,σ2，则PZ−μA．1 B．2 C．3 D．4【解题思路】根据正态分布的期望和方差进行概率计算即可，再逐项判断即可.【解答过程】对于①，由题得，当满足P(Z≥59)=1−P(17<Z≤59)对于②，若7：02出门，分2种情况：若开私家车，当满足P(Z≤52)=1−P(24<Z<52)若乘坐地铁，当满足P(Z≤48)=1−P(40<Z<48)此时两种方式，不迟到的概率相当，所以②错误；对于③，若7：06出门，分2种情况：若开私家车，当满足P(Z≤48)>P(Z≤45)=1−P(31<Z<45)若乘坐地铁，当满足P(Z≤44)=1此时两种方式，显然开私家车不迟到的可能性更大，所以③错误；对于④，若7：12出门，乘坐地铁上班，当满足P(Z≤38)=1−P(38<Z<50)此时不迟到的可能性极小，故乘坐地铁几乎不可能上班不迟到，所以④正确.故选：A.【例6.2】（2324高三上·全国·开学考试）某校高三数学摸底考试成绩X（单位：分）近似服从正态分布N110,σ2，且PA．估计该校高三学生人数为1200B．估计该校学生中成绩不超过90分的人数为70．C．估计该校学生中成绩介于90到110分之间的人数为425．D．估计该校学生中成绩不超过90分的人数比超过130分的人数多．【解题思路】由正态分布曲线的对称性可求得PX>90【解答过程】解：由P90<X<130=0.86，得∴PX>90估计该校学生人数为：930÷0.93=1000人，A不正确；估计该校学生中成绩不超过90分的人数为1000×0.07=70，B正确；估计该校学生中成绩介于90到110分之间的人数为1000×0.86÷2=430，C错误；由PX≤90估计该校学生中成绩不超过90分的人数与超过130分的人数相等，D错误，故选：B．【变式6.1】（2024·陕西商洛·模拟预测）随着网络技术的迅速发展，各种购物群成为网络销售的新渠道.2023年11月某地脐橙开始采摘上市，一脐橙基地随机抽查了100个购物群的销售情况，各购物群销售脐橙的情况如下：脐橙数量/盒[100,200)[200,300)[300,400)[400,500)[500,600]购物群数量/个1218m3218(1)求实数m的值.并用组中值（每组的中点值）估计这100个购物群销售脐橙总量的平均数；(2)假设所有购物群销售脐橙的数量X~Nμ,σ2，其中μ为（1）中的平均数，σ2=14400.若该脐橙基地参与销售的购物群约有1000个，销售的脐橙在[256,616)（单位：盒）内的群为“A级群”，销售数量小于256盒的购物群为“B附：若X~Nμ,σ2，则P(μ−σ≤X<μ+σ)≈0.683，P(μ−2σ≤X<μ+2σ)≈0.954【解题思路】（1）利用频数之和等于样本总数易得m值，利用与频数分布表有关的平均数公式计算即得；（2）由题意，结合（1）的结果易得μ,σ的值，根据“A级群”，“特级群”的范围，利用正态分布曲线的对称性，求出对应的概率，再计算出需准备的奖金即可.【解答过程】（1）由题意得，12+18+m+32+18=100，解得m=20.则这100个购物群销售脐橙总量的平均数为1100（2）由题意，μ=376,σ=120,则256=μ−σ,616=μ+2σ，故P(256≤X<616)=P(μ−σ≤X<μ+2σ)=≈1故“A级群”约有1000×0.8185=818.5≈819个；P(X≥616)=P(X≥μ+2σ)=1故“特级群”约有1000×0.023=23个；则依题意，需要资金为819×100+23×600=95700元，即该脐橙基地大约需要准备95700元.【变式6.2】（2024·四川泸州·二模）统计学中有如下结论：若X∼Nμ,σ2，从X的取值中随机抽取kk∈N∗(1)假设老板的说法是真实的，随机购买25份披萨，记这25份披萨的平均值为Y，利用上述结论求PY≤490(2)希尔伯特每天都会将买来的披萨称重并记录，25天后，得到的数据都落在475,525上，并经计算得到25份披萨质量的平均值为488.72g附：①随机变量η服从正态分布Nμ,σ2，则Pμ−σ≤η≤μ+σ②通常把发生概率小于0.05的事件称为小概率事件，小概率事件基本不会发生．【解题思路】（1）依题意可得Y~N500（2）由（1）结合小概率事件的定义判断即可.【解答过程】（1）依题意X∼N500,25所以Y∼N500,25且P490≤Y≤510所以PY≤490（2）由（1）可得PY≤490又希尔伯特计算25份披萨质量的平均值为488.72g，488.72<490而0.02275<0.05，所以25份披萨质量的平均值为488.72g所以希尔伯特认为老板的说法不真实，这就是他举报该老板的理由.【题型7正态分布与其他知识综合】【例7.1】（2324高二下·内蒙古通辽·阶段练习）全面建设社会主义现代化国家，最艰巨最繁重的任务仍然在农村，强国必先强农，农强方能国强.某市为了解当地农村经济情况，随机抽取该地2000户农户家庭年收入X（单位：万元）进行调查，并绘制得到如图所示的频率分布直方图.

(1)求这2000户农户家庭年收入的样本平均数x和样本方差s2(2)由直方图可认为农户家庭年收入X近似服从正态分布Nμ,σ2，其中μ近似为样本平均数x①估计这2000户农户家庭年收入超过9.06万元的户数？（结果保留整数）②如果用该地区农户家庭年收入的情况来估计全市农户家庭年收入的情况，现从全市农户家庭中随机抽取4户，记年收入不超过9.06万元的农户家庭数为ξ，求P(ξ≤3).（结果精确到0.001）附：①2.14≈1.46；②若X∼Nμ,σ2【解题思路】（1）利用频率分布直方图求平均数和方差的计算公式求解即可.（2）①根据正态分布的对称性得出P(X>9.06)，进而得出所求户数；②年收入不超过9.06万元的农户家庭数ξ服从二项分布，根据二项分布的概率公式求解即可.【解答过程】（1）这2000户农户家庭年收入的样本平均数x=5×0.1+6×0.15+7×0.2+8×0.25+9×0.2+10×0.1=7.6这2000户农户家庭年收入的样本方差s2（2）①由（1）知，μ=7.6，σ=s2=2.14≈1.46所以P(X>9.06)=P(X>μ+σ)=0.5−P(μ−σ≤x≤μ+σ)而2000×0.15865=317.3≈317，所以这2000户农户家庭年收入超过9.06万元的户数约为317.②年收入不超过9.06万元的农户家庭数ξ服从二项分布ξ∼B(4,0.84135)，所以P(ξ≤3)=1−P(ξ=4)=1−C【例7.2】（2324高二下·青海海东·阶段练习）某公司采购了一批零件，为了检测这批零件是否合格，从中随机抽测了120个零件的长度（单位：分米），按数据分成1.2,1.3，1.3,1.4，1.4,1.5，1.5,1.6，1.6,1.7，1.7,1.8这6组，得到如下的频数分布表：分组1.2,1.31.3,1.41.4,1.51.5,1.61.6,1.71.7,1.8频数5154040155以这120个零件的长度在各组的频率作为整批零件的长度在各组的概率．(1)若从这批零件中随机抽取3个，记X为抽取的零件的长度在1.4,1.6中的个数，求X的分布列和数学期望；(2)若变量S满足Pμ−σ<S≤μ+σ−0.6827≤0.05，且Pμ−2σ<S≤μ+2σ−0.9545≤0.05，则称变量S满足近似于正态分布【解题思路】（1）写出随机变量的可能取值，并求解每个值的概率，即可求解；（2）求出μ−σ<Y≤μ+σ与Pμ−2σ<Y≤μ+2σ【解答过程】（1）从这批零件中随机选取1件，长度在1.4,1.6的概率P=40+40随机变量X的可能取值为0，1，2，3，则PX=0=CPX=2=C所以随机变量X的分布列为X0123P1248所以EX（2）由题意知μ=1.5，σ=0.1，P1.3<Y≤1.4PPμ−2σ<Y≤μ+2σ因为0.67−0.6827=0.0127≤0.05，0.92−0.9545所以这批零件的长度满足近似于正态分布N1.5,0.01所以认为这批零件是合格的，将顺利被该公司签收．【变式7.1】（2024·河南·模拟预测）某大型公司进行了新员工的招聘，共有10000人参与.招聘规则为：前两关中的每一关最多可参与两次测试，只要有一次通过，就自动进入下一关的测试，否则过关失败.若连续通过三关且第三关一次性通过，则成功竞聘，已知各关通过与否相互独立.(1)若小李在第一关､第二关及第三关通过测试的概率分别为56,4(2)统计得10000名竞聘者的得分X∼N420.5,附：若随机变量X∼Nμ,σ【解题思路】（1）由独立乘法、互斥加法以及对立事件的概率公式即可求解；（2）首先根据正态分布曲线的性质求出得分在442分以上的概率，从而乘以10000即可得解.【解答过程】（1）设Ai：第i次通过第一关测试，Bi：第i次通过第二关测试，所以P=P=PAP=5（2）由题意可知，X∼N420.5,则σ=10.75,442−420.5=21.5=2σ，P(X>μ+2σ)=≈1−0.954510000×0.02275=227.5≈228，所以得分在442分以上的竞聘者约有228人.【变式7.2】（2324高二下·吉林长春·期末）目前，教师职业越来越受青睐，考取教师资格证成为不少人的就业规划之一.当前，中小学教师资格考试分笔试和面试两部分，笔试通过后才能进入面试环节.已知某市2024年共有10000名考生参加了中小学教师资格考试的笔试，笔试成绩ξ~N60,(1)利用正态分布的知识，估计该市报考中小学教师资格的10000名笔试考生中，进入面试的人数（结果只保留整数）；(2)现有甲、乙、丙3名考生进入了面试，且他们通过面试的概率分别为34,23,参考数据：若X~Nμ，σ2，则Pμ−σ≤X≤μ+σ【解题思路】（1）由题意可知μ=60,σ=10，根据正态分布的性质即可求出概率；（2）分析可知随机变量X的可能取值有0,1,2,3，计算出随机变量X在不同取值下的概率，可得出随机变量X的分布列，进一步可求得EX【解答过程】（1）由题意可知μ=60,σ=10，则P≈1−0.6827则共10000×0.15865=1586.5，即1586人进入面试.（2）由题意可知，随机变量X的可能取值有0,1,2,3，甲、乙、丙3名考生没通过面试的概率分别为1−3则PX=0PX=1PX=2PX=3故随机变量X的分布列为：X0123P11111故EX一、单选题1．（2425高二下·天津·阶段练习）如果随机变量X∼N1,σ2，且P−1≤X≤1=0.3A．0.3 B．0.2 C．0.8 D．0.7【解题思路】利用正态分布的对称性求解即可.【解答过程】因为随机变量X∼N1,σ2所以PX≥3故选：B.2．（2425高二下·全国·课后作业）如图是正态分布Nμ,σ12，Nμ,σ22，Nμ,σ32（σ1

A．σ1>σ2>σ3 B．【解题思路】直接由正态分布曲线的特点及曲线所表示的几何意义结合已知图象得答案.【解答过程】由σ的意义可知，图象越瘦高，数据越集中，σ越小，故有σ1故选：A.3．（2025高三·全国·专题练习）某校高三年级有1000名学生，在一次检测考试中，数学成绩X～N105,（参考数据：Pμ−σ<X≤μ+σ=0.68，A．0.6810 B．0.9510 C．0.89510【解题思路】根据正态分布可得PX>90=0.84，可知10名学生的成绩在90分以上的人数【解答过程】由X～N105,则P90<X≤105=0.34，可知10名学生的成绩在90分以上的人数Y～所以PY=10故选：D.4．（2425高二上·黑龙江哈尔滨·期中）某市高中数学统考中，甲、乙、丙三所学校的数学成绩分别服从正态分布Nμ1,σ1，NA．μ1=μC．μ1>μ【解题思路】根据给定的曲线，利用正态分布的密度曲线的特征判断即得.【解答过程】观察曲线知，μ1故选：D.5．（2425高三上·山东济南·期末）已知随机变量ξ∼N2,σ2，且Pξ≤a−3b=Pξ≥b，则当A．1+24 B．3+224 C．【解题思路】利用正态曲线关于直线x=2对称，得出a+2b=4，即a−2x+2x−b【解答过程】由题意知，随机变量ξ∼N2,所以正态曲线关于直线x=2对称，又Pξ≤a−3b所以a−3b+b=4，即a−2b=4，所以a−2x+2x−b因为b<x<a2，则所以1=1当且仅当2x−b所以1a−2x+1故选：B．6．（2425高三下·上海·阶段练习）已知随机变量X服从正态分布Nμ,σ2A．PB．PC．PD．P【解题思路】利用正态密度曲线的对称性逐项判断即可.【解答过程】对于A选项，因为Pμ−1<X<μ+1所以，PX>μ+1对于B选项，由正态密度曲线的对称性可得PX>μ对于C选项，由正态密度曲线的对称性可得PX≤μ对于D选项，因为正态分布密度曲线呈现“中间高，两边低”的特点，Pμ−1<X<μ故选：D.7．（2425高三上·浙江·阶段练习）若随机变量X∼N12,9，则下列选项错误的是（

A．PX>12=0.5 C．E3X−1=35 【解题思路】运用正态分布的概率、期望、方差性质，结合期望、方差结论逐个验证即可.【解答过程】对于A选项，变量X∼N12,9，这里μ=12，所以P(X≥12)=0.5对于B选项，因为正态分布图象关于x=12对称，9=12−3，根据正态分布的对称性，P(X≤9)=P(X≥15)，B选项正确.对于C选项，若X~N(12,9)，则E(X)=12.对于Y=3X−1，根据期望的性质E(aX+b)=aE(X)+b.所以E(3X−1)=3E(X)−1=3×12−1=35，C选项正确.对于D选项，若X~N(12,9)，则D(X)=9，对于Y=2X−1，根据方差的性质D(aX+b)=a2D(X)故选：D.8．（2324高二下·福建福州·阶段练习）已知X∼Nμ,σ2，则Pμ−σ≤X≤μ+σ≈0.6827,Pμ−2σ≤X≤μ+2σ≈0.9545,Pμ−3σ≤X≤μ+3σ≈0.9973.今有一批数量庞大的零件.假设这批零件的某项质量指标引单位：毫米）服从正态分布N5.40,0.052，现从中随机抽取N个，这N个零件中恰有K个的质量指标ξ位于区间(5.35,5.55).若A．51 B．52 C．53 D．54【解题思路】由已知可推得，P5.35<ξ<5.55=Pμ−σ<X<μ+3σ，根据已知以及正态分布的对称性，可求得P5.35<ξ<5.55≈0.84.则K∼BN,0.84【解答过程】由已知可得，P5.35<ξ<5.55=P5.40−0.05<ξ<5.40+3×0.05又Pμ−σ<X<μ+3σ=P所以K∼BN,0.84，则P设fx则fx+1fx所以x<107921≈51.4fxfx−1所以x>110021≈52.4所以以使得PK=44最大的N值作为N的估计值，则N为52故选：B.二、多选题9．（2425高二下·河北沧州·阶段练习）下列命题中正确的是（

）A．已知ξ服从正态分布N(0,σ2)，且B．已知ξ服从正态分布N(2,9)，且P(ξ>c)=P(ξ<c−2)，则常数c的值为3C．已知ξ服从正态分布N(2,σ2)，若在(−D．已知ξ∼B(4,p)其中0<p<1，则D【解题思路】由正态分布曲线的对称性可判断出ABC的正误；由二项分布的方差公式可判断D正确.【解答过程】对于A，∵ξ∼N0,σ2对于B，∵ξ∼N2,9，Pξ>c=Pξ<c−2，对于C，∵ξ∼N2,σ2，P∴P2<ξ<3对于D，∵ξ∼B(4,p)，∴Dξ∴当p=12时，故选：ABD.10．（2425高三下·浙江杭州·阶段练习）体育教育既能培养学生自觉锻炼身体的习惯，又能培养学生开拓进取、不畏艰难的坚强性格.杭州学军中学西溪校区高三学生参加体育测试，其中理科班女生的成绩X与文科班女生的成绩Y均服从正态分布，且X~N160,900，Y~NA．EX=160 C．P(X<120)+PX≤200=1 【解题思路】利用正态分布的期望与方差和正态曲线的特点，结合正态分布的性质，逐项判定，即可求解.【解答过程】对于A，由X~N160,900，得E对于B，由Y~N160,400，得D对于C，因为X~N160,900，所以P(X<120)+P对于D，由于随机变量X、Y均服从正态分布，且对称轴均为直线x=160，DX=900>DY正态分布较“瘦高”，随机变量分布比较集中，所以PX≤180故选：AC.11．（2425高三下·河北沧州·阶段练习）已知某学校的数学考试成绩X服从正态分布N90, 5参考数据：若X~Nμ, σ2，则Pμ−σ≤X≤μ+σA．若PX≥2m+1=PB．PC．PD．P【解题思路】根据正态曲线的对称性和正态曲线的特征及已知的参考数据来逐一分析每个选项.【解答过程】已知成绩X服从正态分布N(90,52)若P(X≥2m+1)=P(X≤m−1)，根据正态曲线的对称性可知，(2m+1)+(m−1)2即3m2=90，解得m=60，所以因为μ=90，σ=5，所以μ+σ=90+5=95.由P(μ−σ≤X≤μ+σ)=0.6827，根据正态曲线的对称性可知，P(X≥μ+σ)=1−P(μ−σ≤X≤μ+σ)2=μ+2σ=90+2×5=100，由P(μ−2σ≤X≤μ+2σ)=0.9545，根据正态曲线的对称性可知，P(X<100)=P(X<μ−σ=90−5=85，μ+3σ=90+3×5=105.P(85=P(μ−σ==0.68272+故选：ACD.三、填空题12．（2324高二下·西藏拉萨·期末）已知随机变量X服从正态分布N5,σ2，若P5<X≤6=0.27，则【解题思路】利用正态分布曲线的对称性即可求解.【解答过程】因为X∼N5,σ2所以PX<4=故答案为：0.23.13．（2025·河南·一模）统计学中通常认为服从正态分布Nμ,σ2的随机变量X只取μ−3σ,μ+3σ中的值，简称为3σ原则.假设某厂生产的包装盒的厚度（单位：mm）X∼N10,σ2，某天检测员随机抽取了一个包装盒，测得其厚度不小于16【解题思路】利用正态分布概率计算判断可得10+3σ≤16，可求得结果.【解答过程】由题可知10+3σ≤16，解得σ≤2，故σ的最大值为2.故答案为：2.14．（2025高三·全国·专题练习）随着“一带一路”国际合作的深入，某茶叶种植区多措并举推动茶叶出口．为了解推动出口后的亩收入（单位：万元）情况，从该种植区抽取样本，得到推动出口后亩收入的样本均值x=2.1，样本方差s2=0.01．已知该种植区以往的亩收入X服从正态分布N1.8,0.12，假设推动出口后的亩收入Y服从正态分布Nx,s①PX>2>0.2；②PX>2<0.5【解题思路】根据正态分布概率几何意义以及对称性，可得答案.【解答过程】由题意可知，X∼N1.8,所以PX>2<P(X>所以PX>2<P(X≥所以①错误，②正确．因为Y∼N2.1,0.12所以P(2<Y<2.1)=P2.1<Y<2.2=PY<2.2综上，答案为②③．故答案为：②③．四、解答题15．（2425高二下·全国·课后作业）设X~N3,(1)P(−1≤X≤7)；(2)P(7<X≤11)；(3)P(X>11)．【解题思路】（1）利用3δ原则，知P(−1≤X≤7)=P(μ−σ≤X≤μ+σ)即可求解；（2）利用3δ原则，知P(7<X≤11)=1（3）利用3δ原则，知P(X>11)=1【解答过程】（1）∵X~N3,42，∴μ=3P(−1≤X≤7)=P(3−4≤X≤3+4)=P(μ−σ≤X≤μ+σ)≈0.6827．（2）∵P(7<X≤11)=P(−5≤X<−1)，∴P(7<X≤11)=12=12=≈=0.1359．（3）∵P(X>11)=P(X<−5)，∴P(X>11)===≈=0.02275．16．（2425高二下·全国·单元测试）在某次数学考试中，考生的成绩X服从正态分布X~N(95,225).(1)试求考试成绩X位于区间[65,125(2)若这次考试共有3000名考生，试估计考试成绩位于区间[80,110（参考数据：P(μ−σ≤X≤μ+σ)≈0.6827，P(μ−2σ≤X≤μ+2σ)≈0.9545）【解题思路】（1）由题意可知μ=95,σ=15，进而根据参考数据求事件65≤X≤125的概率；（2）根据正态分布性质求事件80≤X≤110的概率，结合频数频率关系求结论.【解答过程】（1）∵X∼∴μ=95,σ=15.∵μ−2σ=95−2×15=65，μ+2σ=95+2×15=125.且P(μ−2σ≤X≤μ+2σ)≈0.9545，∴P(65≤X≤125)≈0.9545.（2）∵μ−σ=95−15=80，μ+σ=95+15=110，且P(μ−σ≤X≤μ+σ)≈0.6827，∴P(80≤X≤110)≈0.6827，∴考试成绩位于区间[80,110]内的考生人数为3000×0.6827≈2048（人）.17．（2425高二上·江苏·假期作业）某校拟对全校学生进行体能检测，并规定：学生体能检测成绩不低于60分为合格，否则为不合格；若全年级不合格人数不超过总人数的5%(1)为准备体能检测，甲、乙两位同学计划每天开展一轮羽毛球比赛以提高体能，并约定每轮比赛均采用七局四胜制（一方获胜四局则本轮比赛结束）．假设甲同学每局比赛获胜的概率均为23(2)经过一段时间的体能训练后，该校进行了体能检测，并从高二年级1000名学生中随机抽取了40名学生的成绩作分析．将这40名学生体能检测的平均成绩记为μ，标准差记为σ，高二年级学生体能检测成绩近似服从正态分布N(μ,σ2)．已知μ=74附：若随机变量ξ~N(μ,σ2)，则P(μ−σ<ξ≤μ+σ)≈0.6827，P(μ−2σ<ξ≤μ+2σ)≈0.9545【解题思路】（1）利用条件概率计算公式即可求得甲在一轮比赛中至少打了五局并获胜的条件下，前3局比赛均获胜的概率；（2）利用正态分布的性质即可求得全年级不合格人数总人数的百分比，与5%【解答过程】（1）设“甲在一轮比赛中至少打了五局并获胜”为事件A，“甲以4:1或4:2或4:3获胜”分别记为事件A1，A2，“甲前3局比赛均获胜