选择性第七章随机变量及其分布列-第五讲二项分布

选择性必修第三册第七章随机变量及其分布第五讲二项分布问题情境：某飞碟运动员每次击中靶的概率是0.8，连续射击三次，中靶次数X的概率分布列是怎样的？二、知识构建知识点一重伯努利试验(次独立重复试验)1.重伯努利试验的定义（1）我们把只包含两个可能结果的试验叫做伯努利试验.（2）将一个伯努利试验独立地重复进行次所组成的随机试验称为重伯努利试验.2.重伯努利试验的特征（1）每次试验是在同样条件下进行的，有关事件的概率保持不变；（2）各次试验中的事件是相互独立的，结果互不影响；（3）每次试验都只有两种结果，即事件要么发生，要么不发生，这两种结果是对立的3.重伯努利试验的概率公式一般地，如果在一次试验中事件发生的概率是,事件在次试验中发生次，共有种情形，由试验的独立性知，每种情形下，在次试验中发生，而在其余次试验中不发生的概率都是,所以由概率加法公式知，在重伯努利试验中，事件恰好发生次的概率为().知识点二二项分布1.二项分布一般地，在重伯努利试验中，设每次试验中事件发生的概率为()，用表示事件发生的次数，则的分布列为，.如果随机变量的分布列具有上式的形式，则称随机变量服从二项分布，记作．2.二项分布中的各量表示的意义：伯努利试验的次数；：事件发生的次数：每次试验中事件发生的概率，并称为成功概率3.二项分布的均值与方差若随机变量服从参数为,的二项分布，即,则,.三、类型归纳类型一n重伯努利试验的判断类型二n重伯努利试验的概率问题类型三二项分布及其应用类型四二项分布的均值与方差类型五服从二项分布的概率最值问题类型应用【例1】（2122高二·全国·课后作业）重伯努利试验应满足的条件：①各次试验之间是相互独立的；②每次试验只有两种结果；③各次试验成功的概率是相同的；④每次试验发生的事件是互斥的．其中正确的是（

）A．①② B．②③ C．①②③ D．①②④【答案】C【知识点】独立重复试验的概念【分析】由重伯努利试验试验的定义判断即可．【详解】解：只包含两个可能结果的试验叫做伯努利试验，将一个伯努利试验独立地重复进行次所组成的随机试验称为重伯努利试验，故重伯努利试验应满足的条件：①各次试验之间是相互独立的；②每次试验只有两种结果；③各次试验成功的概率是相同的；故选：C【跟踪训练1】（多选）下列试验不是重伯努利试验的是（

）．A．依次投掷四枚质地不同的硬币B．某人射击，击中目标的概率是稳定的，他连续射击了次C．口袋中装有个白球，个红球，个黑球，依次从中抽取个球D．小明做道难度不同的数学单选题【答案】ACD【详解】A．由于试验的条件不同（硬币质地不同），因此不是重伯努利试验．B．某人射击，击中目标的概率是稳定的，因此是重伯努利试验．C．每次抽取，每种颜色出现的可能性不相等，因此不是重伯努利试验．D．道题难度不同，每道题做对的概率也不同，因此不是重伯努利试验．故选：ACD．【例2】（2021高二·全国·课后作业）下列例子中随机变量服从二项分布的个数为（

）①某同学投篮的命中率为0.6，他10次投篮中命中的次数；②某射手击中目标的概率为0.9，从开始射击到击中目标所需的射击次数；③从装有5个红球，5个白球的袋中，有放回地摸球，直到摸出白球为止，摸到白球时的摸球次数；④有一批产品共有件，其中件为次品，采用不放回抽取方法，表示次抽取中出现次品的件数A．0 B．1 C．2 D．3【答案】B【知识点】独立重复试验的概念【分析】根据二项分布的特征即可判断.【详解】①满足独立重复试验的条件，是二项分布；②的取值是1，2，3…，，（），显然不符合二项分布的定义，因此不服从二项分布；③虽然是有放回地摸球，但随机变量的定义是直到摸出白球为止，也就是说前面摸出的一定是红球，最后一次是白球，不符合二项分布的定义；④次试验是不独立的，因此不服从二项分布．所以只有1个服从二项分布.故选：B．【跟踪训练21】（2024高二·全国·专题练习）（多选题）下列例子中随机变量X服从二项分布的有（

）A．X表示重复拋掷一枚骰子n次中出现点数是3的倍数的次数B．某射手击中目标的概率为0.9，X表示从开始射击到击中目标所需次数C．有一批产品共有N件，其中M件为次品，采用有放回抽取方法，X表示n次抽取中出现次品的件数D．有一批产品共有N件，其中M件为次品，采用不放回抽取方法，X表示n次抽取中出现次品的件数【答案】AC【知识点】独立重复试验的概念、独立重复试验的概率问题【分析】根据二项分布的特征和定义即可判断.【详解】对于A，设事件E为“抛掷一枚骰子出现的点数是3的倍数”，则，则在n重伯努利试验中事件E恰好发生了次的概率，符合二项分布的定义，即有．对于B，X的取值是1，2，3，…，n，，显然不符合二项分布的定义，因此X不服从二项分布．选项C与D的区别是：C是“有放回”抽取，而D是“无放回”抽取，显然D中n次试验是不独立的，因此X不服从二项分布，对于C，X显然服从二项分布，且．故选：AC.【跟踪训练22】（2223高二下·河北唐山·阶段练习）在100件产品中有5件次品，采用放回的方式从中任意抽取10件，设表示这10件产品中的次品数，则（

）A． B．C． D．【答案】B【知识点】独立重复试验的概念【分析】由二项分布的定义判断.【详解】有放回抽取，每次取到次品的概率都是，相当于次独立重复的伯努利实验，所以服从二项分布.故选：B【例3】将一枚质地均匀的硬币重复抛掷10次，求：（1）恰好出现5次正面朝上的概率；（2）正面朝上出现的频率在0.4，0.6内的概率【分析】抛掷硬币是n重伯努利试验，“正面朝上”和“反面朝上”两种结果且可能性相等，正面朝上的次数服从二项分布.【详解】设=“正面朝上”，则，用X表示事件发生的次数，则.①恰好出现5次正面朝上等价于=5，于是②正面朝上出现的频率在[0.4,0.6]内等价于，于是(【跟踪训练31】（2425高二下·北京·阶段练习）某人通过普通话二级测试的概率是，若他连续测试3次（各次测试互不影响），那么其中恰有一次通过的概率是（

）A． B． C． D．【答案】D【知识点】独立重复试验的概率问题【分析】根据题意，由次独立重复试验的概率计算公式代入计算，即可得到结果.【详解】由题意可得，他连续测试3次其中恰有一次通过的概率是.故选：D【跟踪训练32】（2425高三上·河北邢台·期末）某篮球运动员投球的命中率是，他投球4次，恰好投进3个球的概率为.（用数值作答）【答案】【知识点】独立重复试验的概率问题【分析】直接运用独立重复试验的概率公式进行计算求解即可.【详解】投球4次，恰好投进3个球的概率为.故答案为：.【跟踪训练33】（2425高二下·全国·课后作业）一袋中有5个白球，3个红球，现从袋中往外取球，每次任取一个记下颜色后放回，直到红球出现10次停止，设停止时共取了次球，则（

）A． B． C． D．【答案】D【知识点】独立重复试验的概率问题【分析】根据二项分布的定义即可得到答案.【详解】由题意知第12次取到红球，前11次中恰有9次取到红球，2次取到白球，由于每次取到红球的概率为．由二项分布知识可知，故选：D．【例4】（2024高三·全国·专题练习）某射手射击时击中目标的概率为0.7，设4次射击击中目标的次数为随机变量，则等于（

）A．0.9163 B．0.0081C．0.0756 D．0.9919【答案】D【知识点】独立重复试验的概率问题【分析】根据题意可知服从二项分布，利用可得结果.【详解】由题意得，，的取值为，∵.∴.故选：D.【跟踪训练41】（2425高二下·全国·单元测试）已知某射击运动员每次击中目标的概率是0.8，则该射击运动员射击4次至少击中3次的概率为（

）A．0.4096 B．0.8192 C．0.8464 D．0.9728【答案】B【知识点】独立重复试验的概率问题【分析】利用二项分布概率公式计算易得.【详解】设运动员射击4次，击中目标的次数为，则,于是，该射击运动员射击4次至少击中3次的概率为：．故选：B.【跟踪训练42】（2425高三下·湖南永州·开学考试）五一临近，某火车站有三个安检入口，每个安检入口每天通过的旅客人数超过1100人的概率为0.2，假设三个安检入口均能正常工作，则这三个安检入口每天通过的旅客人数至少有两个超过1100人的概率为．【答案】/0.104【知识点】独立重复试验的概率问题【分析】利用独立重复试验的概率公式，列式计算即可得解.【详解】依题意，旅客人数超过1100人的概率不低于0.2，即，所以这三个安检入口每天至少有两个超过1100人的概率为.故答案为：【例5】（2425高二·全国·课堂例题）已知随机变量，则（

）A． B． C． D．【答案】D【知识点】利用二项分布求分布列【分析】由二项分布的概率公式运算即可得解.【详解】因为因为随机变量服从二项分布，．故选：D【跟踪训练5】（2425高二·全国·课堂例题）已知，则．【答案】【知识点】利用二项分布求分布列【分析】根据二项分布的概率公式计算即可【详解】因为随机变量服从二项分布，所以．故答案为：【例6】高尔顿板示意图，教材中图7.42：用X表示小球最后落入格子的号码，求X的分布列．【分析】小球下落过程中与小木钉碰撞是n重伯努利试验，小球最后落入格子的号码等于向右下落的次数，因此X服从二项分布。【详解】设=“向右下落”，则=“向左下落”，且.因为小球最后落入格子的号码X于事件发生的次数，而小球在下落的过程中共碰撞小木钉10次，所以.于是，的分布列为.【跟踪训练61】（2425高二下·全国·课前预习）某一中学生心理咨询中心服务接通率为，某班3名同学商定明天分别就同一问题询问该服务中心，且每人只拨打一次，求他们中成功咨询的人数的分布列.【答案】答案见解析【知识点】利用二项分布求分布列【分析】由条件确定的可能取值，再结合二项分布分布列结论求的分布列.【详解】由题意可知的可能取值有，且，，，则，，，.的分布列为0123【跟踪训练62】（2425高二下·全国·课堂例题）已知某种药物对某种疾病的治愈率为，现有甲、乙、丙、丁4个患有该病的患者服用了这种药物，观察其中有多少患者会被这种药物治愈.(1)这能否看成独立重复试验？(2)求甲、乙、丙都被治愈而丁没有被治愈的概率；(3)求恰有3个患者被治愈的概率；(4)设有X人被治愈，求X的分布列.【答案】(1)可以看成4次独立重复试验；(2)；(3)；(4)分布列见解析【知识点】利用二项分布求分布列、独立重复试验的概率问题、独立重复试验的概念、独立事件的乘法公式【分析】（1）由独立重复事件的概念即可判断；（2）根据独立事件概率公式求解即可．（3）根据独立事件概率公式求解即可．（4）根据题意，判定为二项分布，根据概率公式求出概率，列出分布列．【详解】（1）由题意可知：因为每名患者被治愈的概率不会互相影响，所以构成独立重复实验．可以看成4次独立重复试验；（2）由独立事件乘法公式可得甲、乙、丙都被治愈而丁没有被治愈的概率：；（3）恰有3个患者被治愈的概率：；（4）根据题意可知则,,,,.则分布列为：【跟踪训练63】（2425高二·全国·课堂例题）在一次数学考试中，第22，23，24题为选做题，规定每位考生必须且只需在其中选做一题，设5名考生选做这三题的任意一题的可能性均为，每位考生对每题的选择是相互独立的，各考生的选择相互之间没有影响．(1)求其中甲，乙两人选做同一题的概率；(2)设选做第23题的人数为，求的分布列．【答案】(1)(2)分布列见解析【知识点】独立事件的乘法公式、利用二项分布求分布列【分析】（1）通过分析甲、乙两人选做同一题的各种情况，利用相互独立事件概率公式来计算概率；（2）根据二项分布的概率公式计算不同取值的概率，从而列出分布列.【详解】（1）设“甲选第22题”，“甲选第23题”，“甲选第24题”，“乙选第22题”，“乙选第23题”，“乙选第24题”，则甲、乙两人选做同一题的事件为，且与与与相互独立，所以．（2）设可能的取值为0，1，2，3，4，5．因为，所以．所以的分布列为012345【例7】（2425高二·全国·课堂例题）设如果，那么，．【答案】/3.2/0.64【知识点】二项分布的均值、二项分布的方差【分析】由二项分布方差以及期望的公式求解即可.【详解】．故答案为：；【跟踪训练71】（2025高三·全国·专题练习）已知随机变量，若，，则．【答案】16【知识点】二项分布的均值、二项分布的方差【分析】根据二项分布的期望和方差公式可得.【详解】因为，，所以．所以，．故答案为：16【跟踪训练72】（2425高二上·广西梧州·期末）已知随机变量，若，则.【答案】【知识点】独立重复试验的概率问题、二项分布的均值、二项分布的方差【分析】根据可得，求出，结合二项分布求出概率即可.【详解】因为，所以，解得，所以.故答案为：【跟踪训练73】（2425高二上·江西上饶·期末）已知随机变量，且，则（

）A． B． C． D．【答案】C【知识点】二项分布的方差、二项分布的均值【分析】根据二项分布均值与方差的性质公式，可得答案.【详解】由题意可得，解得.故选：C.【跟踪训练74】（2425高二上·江西九江·期末）若随机变量，则（

）A．4 B．5 C．8 D．9【答案】B【知识点】二项分布的均值、均值的性质【分析】根据二项分布求期望公式得到，从而由得到答案.【详解】根据二项分布的知识，得，.故选：B．【例8】（2425高二下·北京·阶段练习）将一枚质地均匀的硬币抛掷2次，记X为“正面朝上”出现的次数，则随机变量X的均值是（

）A． B． C．1 D．2【答案】C【知识点】二项分布的均值【分析】先判断出，然后利用均值的计算公式求解即可．【详解】由题意可知，，所以．故选：C【跟踪训练81】（2425高二下·全国·课堂例题）某人每次射击命中目标的概率均为0.5，现连续射击10次，则击中目标次数的数学期望为．【答案】5【知识点】二项分布的均值【分析】根据二项分布的期望公式计算即可.【详解】依题意，，所以.故答案为：5【跟踪训练82】（2024高三上·山东济南·专题练习）农科院专家李教授对新品种蔬菜种子进行发芽率试验，每个试验组5个坑，每个坑种1粒种子.经过大量试验，每个试验组没有发芽的坑数的平均数为，则每粒种子发芽的概率（

）A． B． C． D．【答案】C【知识点】二项分布的均值【分析】每个坑不发芽的概率为，设每组不发芽的坑数为，根据题意得出，利用二项分布进而求解即可.【详解】由题意知，每组中各个坑是否发芽相互独立，每个坑不发芽的概率为，设每组不发芽的坑数为，则，所以每组没有发芽的坑数的平均数为，解得，所以每个种子的发芽率为.故选：C.【例9】（2425高二下·全国·课后作业）某学校举行联欢会，所有参演的节目都由甲、乙、丙三名专业老师投票决定是否获奖．甲、乙、丙三名老师都有“获奖”“待定”“淘汰”三类票各一张．每个节目投票时，甲、乙、丙三名老师必须且只能投一张票，每人投三类票中的任何一类票的概率都为，且三人投票相互没有影响．若投票结果中至少有两张“获奖”票，则决定该节目最终获一等奖；否则，该节目不能获一等奖．(1)求某节目的投票结果是最终获一等奖的概率；(2)求该节目投票结果中所含“获奖”票和“待定”票票数之和的分布列及数学期望．【答案】(1)(2)分布列见解析；期望为2【知识点】独立事件的乘法公式、利用二项分布求分布列、求离散型随机变量的均值【分析】（1）设“某节目的投票结果是最终获一等奖”，则事件包括：该节目可以获2张“获奖”票，或者获3张“获奖”票，利用二项分布的概率公式求解即可；（2）所含“获奖”票和“待定”票票数之和的可能取值为0，1，2，3，分别求出相应的概率，即可得到的分布列和数学期望.【详解】（1）设“某节目的投票结果是最终获一等奖”，则事件包括：该节目可以获2张“获奖”票，或者获3张“获奖”票．因为甲、乙、丙三名老师必须且只能投一张票，每人投三类票中的任何一类票的概率都为，且三人投票相互没有影响，所以．（2）所含“获奖”票和“待定”票票数之和的可能取值为0，1，2，3，，，，，因此的分布列为0123所以的数学期望．（或由，得）.【跟踪训练91】（2425高二下·全国·课堂例题）国庆节前，某学校计划选派部分优秀学生干部参加宣传活动，报名参加的学生需进行测试，共设4道选择题，规定必须答完所有题，且每答对一题得1分，答错得0分，至少得3分才能成为宣传员；甲、乙、丙三名同学报名参加测试，他们答对每道题的概率都为，且每个人答题相互不受影响．(1)求甲、乙、丙三名同学恰有两名同学成为宣传员的概率；(2)用随机变量表示三名同学能够成为宣传员的人数，求的数学期望与方差．【答案】(1)(2)，【知识点】二项分布的均值、独立重复试验的概率问题【分析】（1）先求出每个同学成为宣传员的概率，再根据独立重复试验的概率公式可求出结果；（2）根据二项分布的数学期望和方差公式可求出结果.【详解】（1）每个同学成为宣传员需得3分或4分，即答对3道或4道试题，所以每个同学成为宣传员的概率为，因为每个人答题相互不受影响，所以三人是否成为宣传员是相互独立事件，又因为每个人成为宣传员的概率均为，所以甲、乙、丙三名同学恰有两名同学成为宣传员的概率为．（2）因为每个人成为宣传员的概率均为，故为独立重复试验，又随机变量表示能够成为宣传员的人数，即3次独立重复试验中发生次的概率，所以随机变量满足二项分布，所以，．【跟踪训练92】（2425高三下·河北·开学考试）春节期间有一过关赢奖励娱乐活动，参与者需先后进行四个关卡挑战，每个关卡都必须参与.前三个关卡至少挑战成功两个才能够进入第四关，否则直接淘汰，若四关都通过，则可以赢得奖励.参与者甲前面三个关卡每个挑战成功的概率均为，第四关挑战成功的概率为，且各关挑战成功与否相互独立.(1)求参与者甲未能参与第四关的概率；(2)记参与者甲本次挑战成功的关卡数为X，求X的分布列以及数学期望.【答案】(1)(2)分布列见解析，【知识点】写出简单离散型随机变量分布列、独立事件的乘法公式、独立重复试验的概率问题、求离散型随机变量的均值【分析】（1）根据题意，甲未能参与第四关包含两种情况，前三个关卡挑战成功0个和1个，利用二项分布，相互独立事件概率乘法公式求解；（2）的可能取值为0，1，2，3，4，分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列和数学期望．【详解】（1）参与者甲未能参与第四关的概率为：（2）记参与者甲本次挑战成功的关卡数为X，则X的可能取值为0，1，2，3，4，，，，，，的分布列为：X01234P数学期望为【跟踪训练93】（2425高三下·上海·阶段练习）某公司为招聘新员工设计了一个面试方案:应聘者从道备选题中一次性随机抽取道题，按照题目要求独立完成.规定：至少正确完成其中道题便可通过面试.已知道备选题中应聘者甲有道题能正确完成，道题不能完成；应聘者乙每题正确完成的概率都是，且两位应聘者每题正确完成与否互不影响.(1)求甲正确完成面试题数的分布列及其期望；(2)求乙正确完成面试题数的分布列及其方差；(3)试问:甲和乙谁通过面试的可能性更大?并说明理由.【答案】(1)分布列见解析；(2)分布列见解析；(3)甲通过面试的可能性更大；理由见解析【知识点】利用二项分布求分布列、建立二项分布模型解决实际问题、离散型随机变量的方差与标准差、超几何分布的分布列【分析】（1）确定的可能取值，利用超几何分布求概率公式求出概率，列出分布列，求出期望即可；（2）确定的可能取值，利用二项分布求概率公式求出概率，列出分布列，求出期望方差即可；（3）确定甲、乙通过面试的概率，比较即可的结论.【详解】（1）甲正确完成试题数的可能取值为，，，，，，所以甲正确完成面试题数的分布列为：.（2）乙正确完成面试题数的可能取值为：，，，，，，，所以乙正确完成面试题数的分布列为：所以，.（3）因为，，所以，所以甲通过面试的可能性大.【例10】（2425高二上·山东德州·阶段练习）高三某班有的学生数学成绩优秀，若从班中随机找出名学生，那么其中数学成绩优秀的学生数，则取最大值时的值为（

）A． B． C． D．【答案】B【知识点】独立重复试验的概率问题、服从二项分布的随机变量概率最大问题【分析】根据概率公式应用最大值列不等式组计算求出的值.【详解】由已知，，，，，，，所以由得：解得，又因为，所以．故选:B．【跟踪训练101】（2425高二上·河南南阳·期末）某人在次射击中击中目标的次数为，且，已知，则当取最大值时，．【答案】7【知识点】组合数的计算、服从二项分布的随机变量概率最大问题、二项分布的均值、二项分布的方差【分析】根据二项分布的期望和方差公式求出，再利用不等式法求概率的最大值.【详解】依题意，得解得，故，所以．当最大时，即即整理得解得，而，因此．【跟踪训练102】（2425高二下·全国·课后作业）随着生活水平的提高，家用小轿车进入千家万户，在给出行带来方便的同时也给交通造成拥堵．交通部门为了解决某十字路口的拥堵问题，安装了红绿灯．通过测试后发现，私家车在此路口遇到红灯的概率为．(1)若遇到红灯的概率为，求不同时刻的5辆私家车在该路口有3辆车遇到红灯的概率；(2)当私家车遇到红灯的方差达到最大时，求5辆私家车遇到红灯的车辆数的分布列与期望．【答案】(1)(2)分布列见解析，【知识点】二项分布的方差、二项分布的均值、利用二项分布求分布列、独立重复试验的概率问题【分析】（1）由独立重复事假概率计算公式即可求解；（2）由题意确定私家车遇到红灯的概率是，由二项分布即可求解.【详解】（1）由题设，路口遇到红灯私家车数量，则．（2）由题设，路口遇到红灯私家车数量，一辆私家车遇到红灯的方差为，当且仅当时方差达到最大，此时私家车遇到红灯的概率是．由题可得，的可能取值为，则，，．所以其分布列为：012345．素养提升1.（2425高三上·湖北·期中）英国生物统计学家高尔顿设计了高尔顿钉板来研究随机现象.如图是一个高尔顿钉板的设计图，每一黑点表示钉在板上的一颗钉子，它们彼此的距离均相等，上一层的每一颗钉子恰好位于下一层两颗打子的正中间，小球每次下落，将随机的向两边等概率的下落.数学课堂上，老师向学生们介绍了高尔顿钉板放学后，爱动脑的小明设计了一个不一样的“高尔顿钉板”，它使小球在从钉板上一层的两颗钉子之间落下后砸到下一层的钉子上时，向左下落的概率为向右下落的概率的2倍.当有大量的小球依次滚下时，最终都落入钉板下面的5个不同位置.若一个小球从正上方落下，经过5层钉板最终落到4号位置的概率是（

）A． B． C． D．【答案】A【知识点】组合数的计算、独立重复试验的概率问题【分析】向左下落的概率为向右下落的概率的2倍，所以向左下落的概率为，向右下落的概率为，由二项分布的性质计算概率即可.【详解】向左下落的概率为向右下落的概率的2倍.所以向左下落的概率为，向右下落的概率为，则下落的过程中向左一次，向右三次才能最终落到4号位置，故此时概率为：.故选：A2.（2425高二下·全国·课后作业）腿型连续跳跃机器人属于一种关节式跳跃机器人，在电机及蓄能元件的耦合驱动下实现跳跃运动．已知某款跳跃机器人依据指针显示的颜色种类来执行跳动，假设其指针共有两种颜色，指针显示红色时，机器人只能向前跳动一个单位；显示黄色时，机器人只能向右跳动一个单位，若将该机器人初始位置记为坐标原点，向右为x轴正方向，向前为y轴正方向，机器人跳动五次停止，则机器人向右跳动的次数不超过3次的概率为．【答案】【知识点】建立二项分布模型解决实际问题【分析】根据二项分布的概率公式计算，注意不超过3次含有0次，1次，2次，3次共4种情形．【详解】依题意，记机器人向右跳动的次数为，则易知，所以机器人向右跳动的次数不超过3次的概率为．故答案为：．3.（2425高三上·天津西青·阶段练习）已知一个不透明的袋中有大小、质地相同的个红球、个白球和个黑球.若不放回地摸球，每次摸个球，摸取次，则恰有次摸到红球的概率为；若有放回地摸球，每次摸个球，摸取次，则摸到红球的次数的期望为.【答案】/【知识点】计数原理与概率综合、二项分布的均值【分析】利用计算原理结合古典概型的概率公式可求得所求事件的概率；分析可知，，由二项分布的期望公式可求得的值.【详解】一个不透明的袋中有大小、质地相同的个红球、个白球和个黑球.若不放回地摸球，每次摸个球，摸取次，恰有次摸到红球的概率为；若有放回地摸球，每次摸个球，每次摸到红球的概率为，摸取次，则摸到红球的次数，由二项分布的期望公式可得.故答案为：；.4.（2425高三上·天津和平·期末）某射击俱乐部开展青少年射击培训，俱乐部共有6支气枪，其中有2支气枪未经试射校正，有4支气枪已校正，若用校正过的气枪射击，射中10环的概率为0.8，用未校正过的气枪射击，射中10环的概率为0.4，某少年射手任取一支气枪进行1次射击，射中10环的概率是；若此少年射手任取一支气枪进行4次射击（每次射击后将气枪放回），每次射击结果相互不影响，则4次射击中恰有2次射中10环的概率为．【答案】【知识点】独立重复试验的概率问题、利用二项分布求分布列、利用全概率公式求概率【分析】①用全概率事件来求解即可；②用二项分布概率公式来求解即可.【详解】①设事件表示使用已校正的气枪，事件表示射中10环，则，故任取一支气枪射中10环的概率是；②4次射击中恰有2次射中10环的概率为：.故答案为：①；②.5.（2324高三上·北京西城·期中）某校设计了一个实验学科的实验考查方案；考生从6道备选题中一次性随机抽取3题，按照题目要求独立完成全部实验操作，规定：至少正确完成两题便可通过，已知6道备选题中甲生有4题能