期中高分突破必刷密卷03

期中高分突破必刷密卷03一：单项选择题：本题共8小题，每小题满分5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，选对得5分，选错得0分．1．已知复数z满足，则z在复平面内对应的点位于（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】A【分析】先根据复数的除法运算化简再结合复数对应复平面的点判断即可.【详解】因为,所以对应点为,所以对应点在第一象限.故选：A.2．已知向量，的夹角为120°，，则（

）A． B． C．7 D．13【答案】A【分析】由计算可得结果.【详解】由可得，所以.故选：A.3．如图，在平行四边形中，是的中点，与交于点，设，，则（

）

A． B．C． D．【答案】A【分析】题意可得，即可得到，再根据平面向量线性运算计算即可.【详解】依题意在平行四边形中，，又是的中点，则，又与交于点，所以，则，所以，又，所以故选：A.4．已知向量，则以下说法正确的是（

）A． B．方向上的单位向量为C．向量在向量上的投影向量为 D．若，则【答案】D【分析】对于A：求出坐标即可得模；对于B：通过求单位向量；对于C：通过投影向量的公式计算；对于D：通过计算是否成立来判断.【详解】对于A：，所以，A错误；对于B：方向上的单位向量为，B错误；对于C：，则向量在向量上的投影向量为，C错误；对于D：，所以，D正确.故选：D.5．正方形的边长为2，它是水平放置的一个平面图形的直观图（如图），则原图形的面积是（

）

A． B．4 C． D．【答案】D【分析】利用直观图还原原图形，再求出面积即可.【详解】

如图所示，根据斜二测画法可知原图形为平行四边形，其中所以原图形的面积为.故选：D.6．已知圆锥的轴截面为为该圆锥的顶点，该圆锥内切球的表面积为，若，则该圆锥的体积为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】研究圆锥与内切球的轴截面，由题可得内切球半径，在轴截面中解直角三角形分别求出圆锥的高与底面半径即可.【详解】如图所示，设内切球与相切于点，因为，所以，由内切球的表面积为，可得球的半径，在直角中得，则圆锥的高为，在直角中得，即圆锥的底面半径为3，所以该圆锥的体积．故选：A．7．折扇是我国古老文化的延续，在我国已有四千年左右的历史，“扇”与“善”谐音，折扇也寓意“善良”“善行”.它常以字画的形式体现我国的传统文化，也是运筹帷幄､决胜千里､大智大勇的象征（如图1）.图2是一个圆台的侧面展开图（扇形的一部分），若两个圆弧所在圆台的底面半径分别是和，且，圆台的侧面积为，则该圆台的体积为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】先求出圆台的底面半径和高，再利用台体的体积公式求体积.【详解】如图：，，，.根据圆台的侧面积公式：.所以圆台的高：.所以圆台的体积为：.故选：C8．如图，A、B、C三点在半径为1的圆O上运动，且，M是圆O外一点，，则的最大值是（

）A．5 B．8 C．10 D．12【答案】C【分析】根据圆的几何性质、向量运算以及向量绝对值三角不等式，求得答案.【详解】连接，如下图所示：因为，则为圆O的一条直径，故O为的中点，所以，所以.当且仅当M、O、C共线且、同向时，等号成立，因此，的最大值为故选：C.二：多项选择题：本题共3小题，每小题满分6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．在复数范围内（是虚数单位），下列选项正确的是（

）A．关于x的方程的解为B．复数的虚部是5C．若复数z满足，则D．已知a，，若是关于x的方程的一个根，则，【答案】BC【分析】选项A，求出方程的解即可；选项B，化简复数，求解即可；选项C，直接求出模长即可；选项D，根据实系数一元二次方程根的情况，利用根与系数的关系求解即可．【详解】对于A，方程可化为，所以或，所以和，选项A错误；对于B，复数，虚部是5，选项B正确；对于C，复数满足，所以,故，即，所以，选项C正确；对于D，若是方程的一个根，则也是方程的根，所以，解得或，选项D错误．故选：BC．10．折扇是我国古老文化的延续，在我国已有四千年左右的历史，“扇”与“善”谐音，折扇也寓意“善良”“善行”、它常以字画的形式体现我国的传统文化，也是运筹帷幄、决胜千里、大智大勇的象征（如图甲），图乙是一个圆台的侧面展开图（扇形的一部分），若两个圆弧，所在圆的半径分别是和，且，则该圆台的（

）A．高为 B．体积为C．表面积为 D．内切球的表面积为【答案】AC【分析】根据圆台的侧面展开图，求得圆台上下底面半径、母线长，然后可求得圆台的高、体积、表面积和内切球的半径，从而确定正确答案.【详解】设圆台的上底面半径为，下底面半径为，则，即；，即；又圆台的母线长，所以圆台的高，A正确；圆台的体积，B错误；圆台的表面积，C正确；因为，即圆台的母线长等于上下底面半径和，所以圆台的高即为内切球的直径，所以内切球的半径为，所以内切球的表面积为，D错误.故选：AC.11．已知点是内的一点，则以下说法正确的有（

）A．若，，分别表示，的面积，则B．若，则动点的轨迹一定通过的重心C．若，则点是的垂心D．若，，分别为，，的中点，且，，则的最大值为【答案】ABD【分析】A选项，作出辅助线，得到，从而得到所以，即可判断；B选项，作出辅助线，得到，故点在中线上，故向量一定经过的重心；C选项，作出辅助线，得到，故⊥，并得到在的平分线上，同理可得，在的平分线上.D根据得到点的轨迹，将转化为，然后求数量积，根据点的轨迹求最值.【详解】对于A：如图，分别为的中点，，则，故，所以，故，A正确；对于B：过点作⊥于点，取的中点，连接，则，，则，故点在中线上，故向量一定经过的重心，B正确；对于C：分别表示方向上的单位向量，故，，故⊥，由三线合一可得，在的平分线上，同理可得，在的平分线上，则点是的内心，C错误.D选项，设中点为，因为，所以点的轨迹为以为直径的圆，结合上图，，当为直径时最大，最大为，故D正确.故选：ABD【点睛】结论点睛：为所在平面内的点，且，则点为的重心，点为所在平面内的点，且，则点为的垂心，点为所在平面内的点，且，则点为的外心，点为所在平面内的点，且，则点为的内心，三：填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12．圣·索菲亚教堂是哈尔滨的标志性建筑，其中央主体建筑集球、圆柱、棱柱于一体，极具对称之美．为了估算圣．索菲亚教堂的高度，某人在教堂的正东方向找到一座建筑物AB，高约为36m，在它们之间的地面上的点M（B，M，D三点共线）处测得建筑物顶A、教堂顶C的仰角分别是45°和60°，在建筑物顶A处测得教堂顶C的仰角为15°，则可估算圣．索菲亚教堂的高度CD约为．【答案】54m【分析】根据题意求得，在中由正弦定理求出，即可在直角中求出.【详解】由题可得在直角中，，，所以，在中，，，所以，所以由正弦定理可得，所以，则在直角中，，即圣·索菲亚教堂的高度约为54m.故答案为：54m.13．已知平面向量满足，，与的夹角为，，则的最大值是.【答案】/【分析】由题意结合向量的加减可构造适当的图形，利用正弦定理表示出，，，进而可表示出，结合三角变换即可求得答案；另解，可用极化恒等式求解,【详解】由知，作，，，则，，，所以四点共圆，设圆心为，半径为，设，，在中由正弦定理得，则，，，要使取最大值，则为锐角，所以，则，（为辅助角，），当且仅当时取等号，即的最大值是.另解：极化恒等式：同方法1构图，取的中点，连接，由极化恒等式有，，由于，，所以，则，当且仅当三点共线时，取“=”.即的最大值是.故答案为：【点睛】关键点睛：解答本题的关键在于要结合题意，构造出恰当的图形，进行结合正弦定理表示出响亮的数量积，再集合三角恒等变换，求出答案.14．已知正方体的棱长为3，点是线段上靠近点的三等分点，是中点，则下列命题正确的有．①直线与所成角的正切值为

②三棱柱外接球的半径为③平面截正方体所得截面为等腰梯形

④点到平面的距离为【答案】①②④【分析】借助等角定理可得直线与所成角与直线与所成角相等，计算出可判断①；由三棱柱外接球与正方体外接球相同，故计算正方体体对角线的一半可判断②；借助平行线的性质可作出该截面，计算边长可判断③：借助等体积法计算可判断④.【详解】对于①：由，故直线与所成角与直线与所成角相等，连接，可得，又，平面，平面，所以，故，故①正确；对于②：三棱柱外接球与正方体外接球相同，故其外接球半径为，故②正确；对于③：如图：取中点，连接，过点作，交于点，则，所以平面截正方体所得截面为梯形，由，所以，所以，，所以，所以梯形不是等腰梯形，故③错误；对于④：如图：设点到平面的距离为，则，而，，所以，故④正确.故答案为：①②④.四、解答题：本题共5小题，共77分，（15题13分，1617题15分，1819题17分）解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15．在直角中，，M是的中点.(1)若，，求的值；(2)若点P是内一点，且，，，求的最小值.【答案】(1)2(2)5【分析】（1）利用向量数量积的运算律代入计算即可求得结果；（2）根据已知模长以及数量积结果，将平方并代入计算利用基本不等式计算可得结果.【详解】（1）如下图所示：因为M是的中点，所以，由可得，因此；所以；（2）由点P是内一点，且，可设，所以；由可得，即；由可得，即；所以；当且仅当时，即时，等号成立；即的最小值为5.16．在锐角中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，.(1)若，，求的面积；(2)若，求的周长的取值范围.【答案】(1)(2)【分析】（1）将角化为边，利用余弦定理可求出角A，再利用已知条件即可求出，的值，再利用三角形面积公式即可求解；（2）利用正弦定理可分别将边，用角B，C来表示，进而利用两角差的正弦公式、辅助角公式等即可求解范围.【详解】（1），，即，，，，解得，；（2）由（1）可知，正弦定理可得，为锐角三角形，∴，解得所以，所以，所以所以即的周长的取值范围17．如图所示，在四棱锥中，在底面中，，E在棱PD上且.(1)求证：平面；(2)线段上是否存在点N，使得平面平面？若存在，写出的值；若不存在，请说明理由.【答案】(1)证明见解析(2)存在，【分析】（1）由线面平行判断定理可以得证；（2）存在，点为上靠近的三等分点时，即时，分别证得平面和平面，由面面平行判定定理可证得结论.【详解】（1）因为，所以，所以，因为平面，平面，所以平面.（2）存在，且当点为上靠近点三等分点时，即时，平面平面.下面给出证明：因为，所以，，又因为点为上靠近点三等分点，所以，所以，所以四边形为平行四边形，所以，又因为面，面，所以面，因为E在棱PD上且，即，又因为，所以，所以，又平面，平面，所以平面，又因为平面，平面，，所以平面平面.18．已知的内角的对边为，且(1)求;(2)若的面积为①已知为的中点，且，求底边上中线的长;②求内角的角平分线长的最大值.【答案】(1)(2)①；②【分析】（1）根据正弦定理边角互化，由余弦定理可得，由同角三角函数的基本关系求解即可.（2）①根据面积公式可得，结合以及向量的模长公式求解即可，②利用等面积法可得，进而根据半角公式可得，即可得，再利用基本不等式求解即可.【详解】（1）由正弦定理得，即，故，因为，所以，所以.（2）①由（1）知，因为的面积为，所以，解得，且，解得，由于，所以，所以，即.②因为为角的角平分线，所以，由于，得到，由于，所以，由二倍角公式得，则，解得，又，所以，由于，当且仅当时，等号取得到，故，故.19．已知平面四边形，，，，，现将沿边折起，使得平面平面，点为线段的中点．(1)求证：平面；(2)若为的中点，求与平面所成角的余弦值．(3)在（2）的条件下，求平面与平面所成二面角的余弦值．【答案】(1)证明见解析(2)(3)．【分析】（1）根据面面垂直的性质可得平面，即可得，又由等边三角形可得，即可求证，（2）根据平面可得为与平面所成角，即可利用三角形的边角关系求解，（3）根据二面角的几何法可得为二面角的平面角，利用三角形的边角关系即可求解.【详解】（1）因为，，所以为等边三角形，因为为的中点，所以．因为平面平面，平面平面，,平面，所以平面，因为平面，所以，又因为，，平面，所以平面．（2）过点作，垂足为．如图所示，由（1）知，平面，