安徽省池州市2023-2024学年八年级下学期期中数学试题

池州市2023-2024学年第二学期期中考试八年级数学试题卷一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）1.下列二次根式中，不能与合并的是（）A. B. C. D.2.下列各式计算正确的是（）A. B. C. D.3.下列方程中是关于x的一元二次方程的是（）A. B. C. D.4.下列四组数中，是勾股数的是（）A.2.5、6、6.5 B.3、4、6 C.1、2、 D.5、12、135.在Rt△ABC中，∠C90，AB3，AC2，则BC的值（）A B. C. D.6.已知关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是（）A. B. C. D.7.如图，在长方形中，、，点为边上的一点，将沿直线折叠，点刚好落在边上的点处，则的长是（）A. B. C. D.8.实数在数轴上对应的点的位置如图所示，则化简后为（）A. B. C. D.9.在“双减政策”的推动下，我县某中学学生每天书面作业时长明显减少.2022年上学期每天书面作业平均时长为，经过2022年下学期和2023年上学期两次调整后，2023年上学期平均每天书面作业时长为,2023年上学期平均每天书面作业时长为70min.设该校这两学期平均每天作业时长每期的下降率为x,则可列方程为（）A. B.C. D.10.对于一元二次方程，有下列说法：①若，则方程必有一个根为1；②若方程有两个不相等的实根，则方程必有两个不相等的实根；③若是方程的一个根，则一定有成立；④若是一元二次方程的根，则．其中正确有（）A.1个 B.2个 C.3个 D.4个二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）11.若使二次根式有意义，则的取值范围是__________．12.已知直角三角形的两边长分别为3、4．则第三边长为________．13.若一元二次方程的一个根为，则另一个根为______．14.如图，是等边三角形外一点，（1）当等边三角形的边长为4时，等边三角形的面积为_________．（2）已知，，当长最大时，等边三角形面积为_________．三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）15.计算：．16.（1）解方程：（2）解方程：四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）17.如图，正方形网格中的每个小正方形的边长都是1，每个小格的顶点叫格点，网格中有以格点A、B、C为顶点的△ABC，请你根据所学的知识回答下列问题：（1）判断△ABC形状，并说明理由；（2）求BC边上的高．18.已知a＝﹣，b＝+，求下列各式的值；（1）+；（2）a2b+ab2．五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）19.观察下列各式：11；11；11；请你根据上面三个等式提供信息，猜想：（1）；（2）请你按照上面每个等式反映的规律，写出用n（n为正整数）表示的等式：；（3）利用上述规律计算：（仿照上式写出过程）．20.已知关于x的方程有两个不相等的实数根．（1）求k的取值范围；（2）设方程的两个根分别为，，若，求k的值及方程的根．六、（本大题2小题，每题12分，满分24分）21.如图，在△ABC中．D是AB边的中点，DE⊥AB于点D，交AC于点E，且AE2﹣CE2＝BC2，（1）试说明：∠C＝90°；（2）若DE＝6，BD＝8，求CE的长．22.一商店销售某种商品，平均每天可售出20件，每件盈利40元.为了扩大销售、增加盈利，该店采取了降价措施，在每件盈利不少于25元的前提下，经过一段时间销售，发现销售单价每降低1元，平均每天可多售出2件.（1）若降价3元，则平均每天销售数量为________件；（2）当每件商品降价多少元时，该商店每天销售利润为1200元？七、（本大题1小题，满分14分）23.如果方程的两个根是、，那么，．请根据以上结论，解决下列问题：（1）已知关于的方程，求出一个关于的一元二次方程，使它的两根分别是已知方程两根的倒数；（2）已知、满足，，求的值；（3）已知、、为实数，且，，若为中最大值，求的最小值．

池州市2023-2024学年第二学期期中考试八年级数学试题卷一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）1.下列二次根式中，不能与合并的是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】化简二次根式，根据最简二次根式的被开方数相同，可得答案．【详解】解：选项A、，可以与合并，不符合题意；选项B、，可以与合并，不符合题意；选项C、，不可以与合并，符合题意；选项D、，可以与合并，不符合题意；故选：C．【点睛】本题主要考查了同类二次根式，关键是掌握被开方数相同的最简二次根式是同类二次根式．2.下列各式计算正确的是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据同类二次根式的概念与二次根式的乘法逐一判断可得答案．【详解】解：A．与不是同类二次根式，不能合并，故A选项不符合题意；B．和不是同类二次根式，不能合并，故B选项不符合题意；C．，计算正确，故C选项符合题意；D．与不是同类二次根式，不能合并，故D选项不符合题意；故选：C．【点睛】本题主要考查二次根式的混合运算，解题的关键是掌握二次根式的乘法法则与同类二次根式的概念．3.下列方程中是关于x的一元二次方程的是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据一元二次方程的定义逐个判断即可．【详解】解：A、是分式方程，选项说法错误，不符合题意；B、当时，不是一元二次方程，选项说法错误，不符合题意；C、，即是一元二次方程，选项说法正确，符合题意；D、二元二次方程，选项说法错误，不符合题意；故选C．【点睛】本题考查了一元二次方程的定义，解题的关键是掌握判断一元二次方程应注意的5个方面：一是化简后、二是一个未知数、三是未知数的最高次数为2、四是二次项系数不等于0、五是整式方程．4.下列四组数中，是勾股数的是（）A.2.5、6、6.5 B.3、4、6 C.1、2、 D.5、12、13【答案】D【解析】【分析】根据勾股数的定义：满足的三个正整数称为勾股数，解答即可．【详解】解：A.和不是正整数，则此项不是勾股数，不符题意；B.，因为，所以这三个数不是勾股数，不符题意；C.不是正整数，则此项不是勾股数，不符题意；D.都是正整数，且，所以这三个数能够成为直角三角形三条边长，则此项是勾股数，符合题意；故选：D．【点睛】本题考查了勾股数，解本题的关键要深刻理解勾股数的定义，并能够熟练运用．5.在Rt△ABC中，∠C90，AB3，AC2，则BC值（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据勾股定理即可求出.【详解】由勾股定理得，.故选.【点睛】本题考查的是勾股定理，掌握勾股定理是解题的关键.6.已知关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】对于一元二次方程，判别式，当时，方程有两个不相等得实数根；当时，方程有两个相等得实数根；当时，方程没有实数根．由方程有实数根即，从而得出关于的不等式，解不等式即可得答案．【详解】解：∵关于的一元二次方程有实数根，∴，即，解得．故选：B．【点睛】本题主要考查了一元二次方程的根的判别式，熟练掌握一元二次方程的根与判别式间的关系是解题的关键．7.如图，在长方形中，、，点为边上的一点，将沿直线折叠，点刚好落在边上的点处，则的长是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据长方形的性质得到，，由折叠性质得到，，然后利用股股定理，得到，设，则，再根据沟谷定理得，列出关于的方程，求解即可得出答案．【详解】解：四边形是长方形，，，，，又将折叠使点恰好落在边上的点，，，在中，，，设，则，，在中，，即，解得，即的长为．故选：C．【点睛】本题考查了长方形的性质，折叠的性质及用勾股定理解三角形，熟练掌握长方形的性质折叠的性质及勾股定理是解题关键．8.实数在数轴上对应的点的位置如图所示，则化简后为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由数轴可知，，可得，，再化简即可．【详解】由数轴可知，∴，∴故选：D．【点睛】本题考查实数与数轴，熟练掌握数轴上点的特征，二次根式的性质是解题的关键．9.在“双减政策”的推动下，我县某中学学生每天书面作业时长明显减少.2022年上学期每天书面作业平均时长为，经过2022年下学期和2023年上学期两次调整后，2023年上学期平均每天书面作业时长为,2023年上学期平均每天书面作业时长为70min.设该校这两学期平均每天作业时长每期的下降率为x,则可列方程为（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，利用2023年上学期平均每天书面作业时长=2022年上学期每天书面作业平均时长×（1﹣该校这两学期平均每天作业时长每期的下降率）2，即可列出关于x的一元二次方程，此题得解．【详解】解：设根据题意得：．故选：C．10.对于一元二次方程，有下列说法：①若，则方程必有一个根为1；②若方程有两个不相等的实根，则方程必有两个不相等的实根；③若是方程的一个根，则一定有成立；④若是一元二次方程根，则．其中正确的有（）A.1个 B.2个 C.3个 D.4个【答案】A【解析】【分析】按照方程的解的含义、一元二次方程的实数根与判别式的关系、等式的性质、一元二次方程的求根公式等对各选项分别讨论，可得答案．【详解】解：①若x=1时，方程ax2+bx+c=0，则a+b+c=0，

∵无法确定a-b+c=0．故①错误；②∵方程ax2+c=0有两个不相等的实根，

∴△=0-4ac＞0

∴-4ac＞0

则方程ax2+bx+c=0的判别式，

△=b2-4ac＞0

∴方程ax2+bx+c=0必有两个不相等的实根，故②正确；③∵c是方程ax2+bx+c=0的一个根，

则ac2+bc+c=0

∴c（ac+b+1）=0

若c=0，等式仍然成立，

但ac+b+1=0不一定成立，故③错误；④若x0是一元二次方程ax2+bx+c=0的根，

则由求根公式可得：或，∴或∴b2−4ac＝(2ax0+b)2，故④错误．故选：A．【点睛】本题主要考查了一元二次方程的实数根与判别式的关系，牢固掌握二者的关系并灵活运用，是解题的关键．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）11.若使二次根式有意义，则的取值范围是__________．【答案】【解析】【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，熟练掌握二次根式有意义的条件是解题的关键．根据二次根式有意义的条件进行求解即可．【详解】解：∵二次根式有意义，∴，解得．故答案：．12.已知直角三角形的两边长分别为3、4．则第三边长为________．【答案】5或【解析】【分析】已知直角三角形两边的长，但没有明确是直角边还是斜边，因此分两种情况讨论．【详解】解：①长为3的边是直角边，长为4的边是斜边时，第三边的长为：；②长为3、4的边都是直角边时，第三边的长为：；∴第三边的长为：或5，故答案为：或5．13.若一元二次方程的一个根为，则另一个根为______．【答案】【解析】【分析】设方程的一个根为t，则利用根与系数的关系得，从而求出t的值即可．【详解】解：设方程的一个根为，根据根与系数的关系得，解得，即方程的另一个根为．故答案为：．【点睛】本题考查了根与系数的关系，解题关键是熟练掌握：若，是一元二次方程的两根，则，．14.如图，是等边三角形外一点，（1）当等边三角形的边长为4时，等边三角形的面积为_________．（2）已知，，当长最大时，等边三角形的面积为_________．【答案】①.②.##【解析】【分析】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，含的直角三角形的性质，三边关系的应用，解第2题的关键是作出辅助线，利用三边关系得到最大时的情形．（1）根据等边三角形的性质，求出三角形的高，利用面积公式进行求解即可；（2）以为边作等边，连接．利用全等三角形的性质证明，利用三角形的三边关系可得当A，D，E三点共线时，的值最大，过点C作，垂足为F，过点B作交于点M，利用勾股定理求出，，，再根据等边三角形的性质求出的面积．【详解】解：（1）如图，为等边三角形，，过A作于D，则：，∴，∴的面积为：；故答案为：；（2）以为边作等边，连接．∵，，，∴，在和中，，∴，∴，在中，∵，，∴，∴，∴的最大值为5，∴当A，D，E三点共线时，的值最大，且为5，如图，过点C作，垂足为F，过点B作交于点M，∵，∴，∴，∴，∴，∴，根据等边三角形的性质可得，，∴中边上的高，∴的面积为，故答案为：．三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）15.计算：．【答案】【解析】【分析】先算二次根式的乘除法，再算加减法，即可解答．【详解】．【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，准确熟练地进行计算是解题的关键．16.（1）解方程：（2）解方程：【答案】（1），；（2），【解析】【分析】本题考查解一元二次方程：（1）因式分解法解方程即可；（2）因式分解法解方程即可．【详解】解：（1），则，或；解得，；（2）∵，∴，即或；解得，．四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）17.如图，正方形网格中的每个小正方形的边长都是1，每个小格的顶点叫格点，网格中有以格点A、B、C为顶点的△ABC，请你根据所学的知识回答下列问题：（1）判断△ABC的形状，并说明理由；（2）求BC边上的高．【答案】（1）△ABC是直角三角形，理由见解析（2）BC边上的高为2【解析】【分析】(1)根据正方形小方格边长为1，得到AB2+AC2＝BC2，由勾股定理逆定理得到△ABC是直角三角形．(2)设BC边上的高为h，根据面积公式，用正方形的面积减去三个三角形面积可以求出△ABC的面积．【小问1详解】△ABC是直角三角形，理由：∵正方形小方格边长为1，∴AB2＝12+22＝5，AC2＝22+42＝20，BC2＝32+42＝25．∴AB2+AC2＝BC2，∴△ABC是直角三角形．【小问2详解】设BC边上的高为h，△ABC的面积＝4×4﹣×1×2﹣×4×3﹣×2×4＝16﹣1﹣6﹣4＝5，×h×5＝5；∴h＝2．【点睛】本题考查的是勾股定理的逆定理，勾股定理，熟悉勾股定理以及逆定理是解答此题的关键．18.已知a＝﹣，b＝+，求下列各式的值；（1）+；（2）a2b+ab2．【答案】（1）；（2）4．【解析】【分析】（1）先求出a+b和ab的值，然后通分，代入求值即可；（2）利用提公因式法因式分解后，代入即可计算．【详解】（1）∵a＝﹣，b＝+，∴a+b＝2，ab＝2，原式＝＝＝．（2）原式＝ab（a+b）＝2×2＝4．【点睛】此题考查的是二次根式的运算、分式加法运算和因式分解，掌握二次根式的运算法则、分式加法法则和因式分解是解题关键．五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）19.观察下列各式：11；11；11；请你根据上面三个等式提供的信息，猜想：（1）；（2）请你按照上面每个等式反映的规律，写出用n（n为正整数）表示的等式：；（3）利用上述规律计算：（仿照上式写出过程）．【答案】（1）；（2）；（3）【解析】【分析】（1）根据已知算式得出规律，再根据求出的规律进行计算即可；（2）根据已知算式得出规律即可；（3）先变形为原式，再根据得出的规律进行计算即可．【详解】解：（1），故答案为：；（2），故答案为：；（3）【点睛】本题考查了二次根式的性质与化简，数字的变化类等知识点，能根据已知算式得出规律是解此题的关键．20.已知关于x的方程有两个不相等的实数根．（1）求k的取值范围；（2）设方程两个根分别为，，若，求k的值及方程的根．【答案】（1）（2），，【解析】【分析】（1）根据方程有两个不相等的实数根，得到，列式求解即可；（2）根据根与系数的关系，列式计算即可．【小问1详解】解：根据题意得，解得．【小问2详解】解：由一元二次方程根与系数关系可知，．∵，∴，∴，解得．∴．∴，．【点睛】本题考查一元二次方程的判别式以及根与系数的关系．熟练掌握知识点是解题的关键．六、（本大题2小题，每题12分，满分24分）21.如图，在△ABC中．D是AB边的中点，DE⊥AB于点D，交AC于点E，且AE2﹣CE2＝BC2，（1）试说明：∠C＝90°；（2）若DE＝6，BD＝8，求CE的长．【答案】（1）见解析；（2）2.8．【解析】【分析】（1）连接BE，依据DE垂直平分AB，即可得到AE＝BE，再根据AE2﹣CE2＝BC2，可得BE2﹣CE2＝BC2，进而得到△BCE是直角三角形；（2）依据勾股定理可得BE的长为10，再根据勾股定理即可得到方程，解方程即可得出CE的长．【详解】解：（1）如图所示，连接BE，∵D是AB边的中点，DE⊥AB于点D，∴DE垂直平分AB，∴AE＝BE，又∵AE2﹣CE2＝BC2，∴BE2﹣CE2＝BC2，∴△BCE是直角三角形，且∠C＝90°；（2）Rt△BDE中，∴AE＝10，设CE＝x，则AC＝10+x，而AB＝2BD＝16，Rt△ABC中，BC2＝AB2﹣AC2＝Rt△BCE中，BC2＝EB2﹣EC2＝∴解得x＝2.8，∴CE＝2.8．【点睛】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，勾股定理和勾股定理的逆定理，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解.22.一商店销售某种商品，平均每天可售出20件，每件盈利40元.为了扩大销售、增加盈利，该店采取了降价措施，在每件盈利不少于25元的前提下，经过一段时间销售，发现销售单价每降低1元，平均每天可多售出2件.（1）若降价3元，则平均每天销售数量为________件；（2）当每件商品降价多少元时，该商店每天销售利润为1200元？【答案】（1）26；（2