安徽省A10联盟2024-2025学年高一下学期3月阶段考数学试卷（北师大版）

联盟级高一下学期3月阶段考数学（北师大版）试题本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分满分分，考试时间分钟请在答题卡上作答.第I卷（选择题共分）一、选择题：本题共8小题，每小题满分5分，共分，在每小题给出的四个选项中只有一项符合题目要求.1.已知全集，集合，，则（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】根据集合的补集运算和交集运算求解.【详解】由题，可得，所以.故选：B.2.点在平面直角坐标系中位于（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【答案】D【解析】【分析】先根据角的终边所在象限判断三角函数值的符，得到点的坐标的符号进而判断出点所在的象限.【详解】因为，所以，因为，所以，所以点平面直角坐标系中位于第四象限.故选：D3.已知关于的不等式的解集为，则不等式的解集是（）A.B.第1页/共16页C.D.【答案】D【解析】【分析】先根据不等式的解集求得，，再求解分式不等式即可.【详解】由题可知的根为1和2，代入方程可得，，不等式等价于，则解集为，故选：D.4.某科研团队对某产品的一项新功能进行了8次测试，将不合格、合格、良、优的结果分别用0123标记，若8次测试结果中有3次不合格、3次合格、1次良、1次优，则对于标记后的数据，下列结论错误的是（）A.75%分位数为1B.极差为3C.平均数为1D.方差为1【答案】A【解析】【分析】写出测试结果标记后得到数据，再利用极差，平均数，方差，百分位数的定义以及计算公式即可求解.【详解】将8次测试结果标记后得到数据0，0，0，1，1，1，2，3，对于A，因为，所以这组数据的百分位数为，故A错误；对于B，这组数据的极差为，故B正确；对于C，平均数为，故C正确；对于D，方差为，故D正确.故选：A.5.已知函数，若，则（）A.0B.C.1D.【答案】D【解析】【分析】根据函数奇偶性性质，结合正弦余弦函数奇偶性进行求解即可.【详解】的定义域为．第2页/共16页令，则，所以为奇函数，又，所以，则，所以．故选：D6.若函数的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象，则的最小值为（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】利用三角函数图象变换可得出变换后的函数解析式，由已知结合诱导公式可得出关于的等式，即可得出结果.【详解】函数的图象向右平移个单位后得到，所以，，解得，又，令，得，所以的最小值为.故选：B.7.已知曲线，，，是曲线与依次相邻的三个交点．若是等腰直角三角形，则（）A.B.C.D.第3页/共16页【答案】D【解析】【分析】先做出图形，选择恰当的，，三点，因为三点在两曲线上所以坐标满足函数解析式，再根据是等腰直角三角形，找到对应的关系式解方程即可求出的值.【详解】因为点，，是曲线与依次相邻的三个交点，不妨设点为曲线与在轴上的交点，如图所示，为的中点，连接,易知，,与轴平行，所以又因为是等腰直角三角形，所以，所以又因为在曲线上，所以，又因为所以：即所以.故选：D8.已知函数，则方程实数根个数为（）A.10B.8C.6D.5【答案】C【解析】【分析】设，先解出，再分别求解即可.【详解】设，则，若，则，解得或，第4页/共16页则或，当时，，不合题意，则，或，解得，此时方程仅一个根；若，则，解得或，即或，当时，或，方程即在仅一个根，方程，即，，且，，两根均为负，合题意，当时，，解得或，方程有两根，综上，方程的实根个数为6.故选：C.3个小题，每小题6分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分.9.下列函数中最小正周期为的是（）A.B.C.D.【答案】ACD【解析】【分析】对于ABC，根据最小正周期公式运算求解即可；对D，根据函数图象分析判断.【详解】对于A，函数的最小正周期为，故A正确；对于B，因为，所以的最小正周期为，故B错误；对于C，的最小正周期为，故C正确；第5页/共16页对于D，作的图象，如图，由图可知的最小正周期为，故D正确.故选：ACD.10.抛掷一枚骰子两次.设“第一次向上的点数是2”为事件“第二次向上的点数是奇数”为事件“两次向上的点数之和能被3整除”为事件，则下列说法正确的是（）A.事件与事件互为对立事件B.C.D.事件与事件相互不独立【答案】BC【解析】【分析】由对立事件的定义判断A；应用列举法求、判断B；根据独立事件的判定判断D,根据并事件的概率即可求解C.【详解】对于A，由事件定义，事件与事件可以同时发生，故不互为对立事件，A错误；抛掷一枚骰子两次的样本点数共36种，对于B，事件的样本点为，，，，，，，，，，，，，，，，，共18种，事件的样本点为，，，，，，，，，，，共有12种，事件的样本点为，，，，，共6种，所以,，，B正确；因为，所以事件与事件相互独立，D错误．事件的样本点为，共3种事件的样本点为共12种，第6页/共16页由于互斥，故的样本点共有15种，故，C正确，故选：BC．对于任意的，表示不超过的最大整数，例如：，．十八世纪，被“数学王子”高斯采用，因此得名为高斯函数，人们更习惯称为“取整函数”．下列说法正确的是（）A.函数，的图象关于原点对称B.设，，则有C.函数，的值域为D.不等式的解集为【答案】BCD【解析】【分析】根据给定条件，取值验证判断A；利用，计算可判断B；由取整函数的定义得，进而判断C；解一元二次不等式，然后取整函数的定义求出解集判断D.【详解】对于A：当时，，当时，，即点，都在函数的图象上，它们关于原点不对称，则函数的图象关于原点不对称，故A错误；对于B，因为，所以，故B正确；对于C：由取整函数的定义知，，则，因此函数，的值域为，故C正确；对于D：由，得，解得，而，则，因此，不等式的解集为，故D正确.第7页/共16页故选：BCD.12）34）结合数学知识进行解答.第Ⅱ卷（非选择题共分）三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共分.12.已知扇形的半径为2，圆心角为1，则扇形的周长为______.【答案】6【解析】【分析】根据扇形的弧长公式计算直接得出结果.【详解】由题意知，扇形的弧长为，所以扇形的周长为.故答案为：613.若，且，则的最小值为______.【答案】5【解析】【分析】由，且，得到,进而有，利用基本不等式求解.【详解】解：因为，且，所以,则，当且仅当，即时，等号成立，所以的最小值为5，故答案为：514.若定义在上的函数同时满足：①为偶函数；②；③对任意的，且，都有，则不等式的解集为______.第8页/共16页【答案】【解析】【分析】构造新函数，根据题意分析判断的奇偶性和单调性，分类讨论结合的奇偶性和单调性解不等式.【详解】令，由条件③可得，，且，所以函数在上单调递减，又为偶函数，且，则，所以为奇函数，且，所以在上单调递减，，所以当时，，即，当时，，即，当时，，即，当时，，即，所以不等式的解集为.故答案为：.5分解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤.15.已知角以轴的非负半轴为始边，点在角的终边上，且，（1）求及的值；（2）求的值．【答案】（1）；；第9页/共16页（2）【解析】1）根据正弦函数的定义可求的值，再根据定义可求；（2）利用诱导公式和弦切互化法可求三角函数式的值.【小问1详解】因为点角的终边上，且，根据三角函数定义，则，解得或所以．【小问2详解】则，16.确定一个合理的月用水量标准的部分按平价收费，超出的部分按议价收费.100据按照分成9组，制成了如图所示的频率分布直方图.（1）求直方图中的值；（2）估计该地区月均用水量的60%分位数；第10页/共16页（3）现在该地区居民中任选2位居民，将月均用水量落入各组的频率视为概率，不同居民的月均用水量相互独立，求恰有1位居民月均用水量大于60%分位数的概率.【答案】（1）（2）（3）【解析】1）利用频率分布直方图各小矩形面积和为1求出；（2）根据百分位数的定义求解；（3）根据给定条件，利用互斥事件、相互独立事件的概率公式列式计算得解.【小问1详解】根据题意，可得，解得.【小问2详解】数据落在区间的频率为，数据落在区间的频率和为，则用水量的分位数，，解得，所以估计该地区月均用水量的分位数为.【小问3详解】设事件表示第位居民月均用水量大于分位数，，事件表示恰有1位居民月均用水量大于分位数，，所以.所以恰有1位居民月均用水量大于60%分位数的概率为.17.已知为奇函数，为常数.（1）求的值；（2）若，不等式恒成立，求实数的取值范围.【答案】（1）第11页/共16页（2）【解析】1）根据函数奇偶性定义可求出a的值，验证后即可确定答案；（2）分离参数，将不等式恒成立问题转化为函数最值问题，结合判断函数单调性，求得函数最值，即可求得答案.【小问1详解】由于，函数为奇函数，故，即，则，即，则，当时，，不符合题意；当时，，令，则或，即函数定义域为，，即函数为奇函数，符合题意，故；【小问2详解】对于区间上的每一个的值，不等式恒成立，即对于区间上的每一个的值，不等式恒成立，所以，令，则在上单调递增，而在上单调递增，故在上单调递增，在上单调递增，故在上单调递增，则的最小值为，故.第12页/共16页18.已知函数，且，，.（1）求的值；（2）求在区间上的单调递减区间；（3的方程在区间上有且仅有4的取值范围.【答案】（1）2（2）（3）【解析】1）由已知条件确定对称中心与对称轴，再结合正弦函数的对称性求得；（2）由正弦函数的单调性求解；（3或的图象与直线和的交点个数得出参数范围．【小问1详解】由，所以的图象关于直线对称，又，所以的图象关于对称，，即，又，.【小问2详解】由，即在处取得最大值2，所以，，则，第13页/共16页，即，又，所以，，令，得，由，可得，，所以在区间上单调递减区间为．【小问3详解】方程可化为，则或，由（2）可知，在区间上的图象如图所示，因为方程在区间上有且仅有4个不同的实数解，所以或且，解得或或.所以实数的取值范围是.19.，双曲余弦函数：（是自然对数的底数第14页/共16页（1）求的值；（2）证明：两角和的双曲余弦公式；（3）若关于的不等式在上恒成立，求实数的取值范围．【答案】（1）1；（2）证明见详解；（3）【解析】1）根据函数定义直接代入即可求；（2）根据双曲函数的运算性质和指数幂的运算性质化简计算即可求解；（3）由函数定义代入函数解析式，由