锐角三角函数（含答案）-2025年人教版中考数学一轮复习学案

第7节锐角三角函数

回归教材•过基础

【知识体系】

直角三角形边角关系锐角三角函数特殊角的三角函数值

II_1।_I_I

正弦余弦正切解直角实际应用：测

三角形不可及物高度

【考点清单】

知识点1锐角三角函数的定义

定义:在RtAABC中,NC=9(T,/A,NB,/C的对边分别为a,b,c.

(1)/A的正弦:sinA=丝器包=*

(2)ZA的余弦:cosA—A?产=?

⑶/A的正切•A=*|q________________________________________________________

技巧提示

锐角三角函数只能在直角三角形中使用,如果没有直角三角形，常通过作垂线构造直角三角形.

知识点2特殊角的三角函数值

/a三角函数值三角函数0°30°45°60°90°

1V3

cinn

OlliVA.01

2T

1

reqa10

2

tana01V3不存在

知识点3解直角三角形

1.定义

由直角三角形中除直角外的已知元素，求出所有未知元素的过程，叫作解直角三角形.(直角三角形

中，除直角外,一共有5个元素，即3条边长和2个锐角)

2.直角三角形的边角关系

在RtAABC中,NC=9(F,/A,/B,NC的对边分别为a,b,c.

(1)已知三边之间的关系:a?+b2=c2.

(2)已知锐角之间的关系:/A+/B=90。.

(3)边角之间的关系:sinA=-,cosA=-,tanA=-,sinB=-,cosB=-,tanB=-.

ccbcca

3.解直角三角形的几种类型及解法

已知条件解法

斜边c和锐角AB=90°-A,a=csinA,b=ccosA

一条边和一个锐角

直角边和锐角B=90°-A,b=—,c=—

aAtanAsmA

两条直角边a和bc=-a2+b2,由tanA/求角A,B=90°-A

b

两条边

直角边a和斜边cb=Vc2_a2,由sinA=2求角A,B=90°-A

知识点4解直角三角形的常见实际应用

在视线与水平线所成的锐角中，视线在水平线上方的角

仰角、俯角

叫仰角，视线在水平线下方的角叫俯角

坡面的铅直高度h和水平宽度1的比叫坡度（坡比），

坡度（坡比）、坡角

用字母i表示;坡面与水平线的夹角a叫坡角,i=tana3

一般指以观测者的位置为中心，将正北或正南方向作为

起始方向旋转到目标的方向线所成的角（一般指锐角）,

方向角通常表达成“北（南）偏东（西）xx度”.如图,A点位于0点

的北偏东30。方向,B点位于O点的南偏东60。方向，

C点位于O点的北偏西45。方向（或西北方向）

【基础演练】

(原仓|J)已知△ABC,/B=3(T,AB=6.

图1

⑴如图l,/C=90。,则sinB=,AC=,BC=，点C到直线AB的距离

是.

(2)如图2,/C=45。,则sinB=,AC=,BC=，点C到直线AB的距离

是.

(3)如图3,/C=135。,则sinB=,AC=，:BC=，点C到直线AB的距离

是.

真题精粹•重变式

考向1锐角三角函数的计算

热点训练

l.sin30。=.

考向2解直角三角形

热点训练

2.如图，由边长为1的小正方形构成的网格中，点A,B,C都在格点上，以AB为直径的圆经过点C.D,

则cosZADC的值为)

A2713

A.-----B.甯c

13-t

考向3解直角三角形的应用e年1考

3.(2022•福建)如图,衣架可以近似看成一个等腰三角形ABC,其中AB=AC,ZABC=27°,BC=44cm,

则高AD约为(参考数据:sin27°=0.45,cos27°=0.89,tan27°=0.51))

RDC

A.9.90cm

B.l1.22cm

C.19.58cm

D.22.44cm

4.（2024・福建）无动力帆船是借助风力前行的.如图，这是帆船借助风力航行的平面示意图，已知帆船

航行方向与风向所在直线的夹角/PDA为70。,帆与航行方向的夹角/PDQ为30。,风对帆的作用

力F为400N.根据物理知识,F可以分解为两个力Fi与F2,其中与帆平行的力Fi不起作用,与帆垂

直的力F2又可以分解为两个力fi与f2,fi与航行方向垂直，被舵的阻力抵消,f2与航行方向一致，是真

正推动帆船前行的动力.在物理学上常用线段的长度表示力的大小，据此，建立数学型:F=AD=400N,

则f2=CD=N.（单位:N.参考数据:sin40*0.64,cos40%0.77）

5.如图，小睿为测量公园一凉亭AB的高度，他先在水平地面点E处用高1.5m的测角仪DE测得

NADC=31。,然后沿EB方向向前走3m到达点G处，在点G处用高1.5m的测角仪FG测得

NAFC=42。.求凉亭AB的高度.（A,C,B三点共线,人8_18£八（2_1©口与口=：6£,：6©=口£.结果精确到

0.1m)(参考数据:sin31°=0.52,cos31°~0.86,tan31°~0.60,sin42°=0.67,cos420~0.74,tan42°M.9O)

A

D

E

核心突破•拓思维

考点1解直角三角形

1如图,AC,BD为四边形ABCD的对角线,AC_LBC,AB_LAD,CA=CD.若tan/BAC除则

，解题指南根据tan/BAC喙得出/BAC的度数，则在RtAACB中，设BC=1,则AC=g.证明

ACAD为等边三角形，过点D作DE_LCA,交CA于点E,设CA与BD交于点F,则DE〃BC,从而

NDBC=NFDE.设CF=x，则EF哼x,根据tan/DBC=tan/FDE列出关于x的方程，解得x的值，则

可求得tanZDBC的值.

变式

别以点A,B为圆心，大于：AB的长为半径画弧，两弧交于点C,画射线0C.过点A作AD〃ON,交射

线0C于点D,过点D作DE_LOC,交ON于点E.设OA=1QDE=12,则sinZMON=.

三角函数在几何图中的用法

1.当所求三角函数（角或边）在直角三角形中时,考虑直接代入锐角三角函数的定义求解.

2.当所求三角函数（角或边）不在直角三角形中时，可根据等角的锐角三角函数值相等,进行等

量转换或作辅助线构造直角三角形.

考点2解直角三角形的应用

£卜2如图，这是处于工作状态的某型号手臂机器人示意图,0A是垂直于工作台的移动基

座,AB,BC为机械臂,OA=1m,AB=5m,BC=2m,/ABC=143。.机械臂端点C到工作台的距离

CD=6m.

(1)求A,C两点之间的距离.

(2)求OD的长度.

(结果精确至U0.1m,参考数据:sin37°=0.60,cos37°=0.80,tan37°=0.75,V5=2.24)

核心方法

解直角三角形的实际应用问题的方法

要读懂题意，分析背景语言,再理清题中各个量的具体意义及各个已知量和未知量之间的关

系,把实际问题转化为直角三角形中的边角关系问题，具体方法如下：

1.紧扣三角函数的定义，寻找边角关系；

2.添加辅助线，构造直角三角形，作高是常用的辅助线添加方法（如图所示）；

3.逐个分析相关直角三角形，构造方程求解，一般设最短的边为x,先分别在不同的直角三角形

中用含x的代数式表示出未知边，再根据两个直角三角形边的数量关系（和、差或相等）列方程求出

未知量.

在东海一次军事演习中,某潜艇由西向东航行，如图，到达A处时，测得某岛上的敌方预警

雷达C位于它的北偏东70。方向,且与潜艇相距500海里，再航行一段时间后于当天晚上6:00到达

B处，测得岛上的敌方预警雷达C位于它的北偏东37。方向.上级要求潜艇以每小时20节（海里）速

度继续航行,到达岛的正南方向的D处20分钟后使用舰对岸导弹攻击，摧毁假设敌方预警雷达C,

求发起攻击的时间.（参考数据:Sin70%0.94,cos70%0.34,tan70%2.75,sin37%0.6,cos37%0.80,

tan37°=0.75)

变式［真情境］图1是一辆吊车的实物图，图2是其工作示意图,AC是可以伸缩的起重臂，其转

动点A离地面BD的高度AH为3.4m.当起重臂AC长度为9m,张角ZHAC为118。时，求操作平

台C离地面的

高度.（结果保留小数点后一位，参考数据:sin28°=0.47,cos28°~0.88,tan28°=0.53）

图1图2

变式»3综合与实践活动中,要利用测角仪测量塔的高度，如图，塔AB前有一座高为DE的观景台,

已知CD=6m,/DCE=30。,点E,C,A在同一条水平直线上.某学习小组在观景台C处测得塔顶部B

的仰角为45。,在观景台D处测得塔顶部B的仰角为27°.

⑴求DE的长.

（2）设塔AB的高度为h（单位:m）.

①用含有h的式子表示线段EA的长（结果保留根号）；

②求塔AB的高度（tan27。取0.5,g取1.7,结果取整数）.

参考答案

回归教材•过基础

基础演练

(1)|33V3誓(2)j3V23V3+3

(3)|3V23V3-3

真题精粹•重变式

l.|2.B3.B

4.128解析:如图，

•?ZPDA=70°,ZPDQ=30°,

ZADQ=ZPDA-ZPDQ=70°-30°=40°,Z1=ZPDQ=30°.

：AB〃QD,

.•.ZBAD=ZADQ=40°.

在RtAABD中,F=AD=400N,ZABD=90°,

.•.F2=BD=AD-sinZBAD=400-sin40°=：400x0.64=256(N).

由题意可知,BDLDQ,

.•.ZBDC+Z1=9O°,

.•.ZBDC=90°-Zl=60°.

在RtABCD中,BD=256N,ZBCD=90°,

1

f2=CD=BDcosZBDC=256xcos60°=256x128(N).

故答案为128.

5.解析:由题意得BC=FG=DE=1.5m,DF=GE=3m,ZACF=90°.

设CF=xm,

则CD=CF+DF=(x+3)m.

在RtAACF中,NAFC=42。，

AC=CFtan42°-0.9x(m).

在RtAACD中,NADO31。,

.AC0・9x〜八(

..tan31=——=——=0.6,

CDx+3'

x=6.

经检验,x=6是原方程的根,

AB=AC+BC=0.9x+1.5=6.9(m),

凉亭AB的高度约为6.9m.

核心突破•拓思维

例1D解析:tanZBAC=y,

JZBAC=30°.

VACXBC,

・•・ZACB=90°.

设BOI,贝！!AC=V3.

VABXAD,

JNBAD=90。，

JZDAC=60°.

VCA=CD,

:•△CAD为等边三角形.

过点D作DELCA,交CA于点E,设CA与BD交于点F,如图所示.

则CE=iAC=—,DE=ADsin60。=瘁旦三.

2222

设CF=X，则EF=y-X.

VAC±BC,DE±CA,

：.DE//BC,

：.ZDBC=ZFDE,

tanZDBC=tanZFDE,

.CF_EF

,・BC：―DE，

V3

•X_~X

*'1~-'

2

解得X=9，

tanZDBC=-=—.

15

变式§

例2解析:⑴如图，过点A作AELCB,垂足为E,

在RtAABE中,AB=5,NABE=37。.

VsinZABE=^|,cosZABE=^|,

*,•—~0.60,—~0.80,

555'

・・・AE=3,BE=4,

ACE=6.

在RtAACE中,由勾股定理得AC=V32+62=3V5~6.7m.

⑵如图，过点A作AFLCD,垂足为F,

.,.FD=AO=1,

・・・CF=5.

在RtAACF中,由勾股定理得AF=A/45-25=2遥,

OD=2A/5m-4.5m.

变式1解析:在RtAACD中