2025届高中数学三轮冲刺：高考模拟卷（七）（含解析）

高考仿真卷（七）

（时间：120分钟分值：150分）

一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求

的）

1.已知集合止{x|x<0或无>2},N={x|«<2},贝等于（）

A.{x|0<x<2}B.{刃0Wx<2}

C.{x|0W%v4}D.{x|0vxv4}

2.已知右，改是单位向量，则0+2°2与62的夹角为（）

A.-B.-C.-D.—

6433

3.（2024衡阳模拟）如图，一个电路中有A,B,C三个电器元件，每个元件正常工作的概率均为?这个

电路是通路的概率是（）

4.（1-置）8的展开式中X2的系数是（)

A.-70B.70C.-1D.1

5.在△A3C中，AB=2,E是3c边中点，线段AE长为日，ZBAC=120°,。是3c边上一点，AD是N

A4c的平分线，则AD等于（）

A.|B.lC.2D.V3

6.与直线x-y-4=0和圆（x+Ip+O-l>=2都相切的半径最小的圆的方程是（）

A.（x+l）2+（y+l）2=2

B.（K+l）2+（y+1）2=4

C.（x-l）2+（y+1）2=2

D.（x—l）2+（y—1）2=4

22

7.已知双曲线E：^=l（a>0,6>0）的右焦点为凡过点/作直线,与渐近线bx-ay=0垂直，垂足为点

P,延长尸尸交E于点。.若丽=3而，则E的离心率为（）

A.-B.-C,-D.V2

543

x\nx,x>0,

8.(2024•聊城模拟)已知函数八x)=—l,x=0,若关于x的方程有5个不同的实数根，贝I]

jdn(一%)—2,x<0.

〃的取值范围是()

A.(l,+8)B.(2,+8)

C.(l,e)D.(2,2e)

二、选择题(本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对

的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分)

9.已知函数/(x)=cos£ox(co>0,0<r<7t),则下列结论正确的是()

A.若火x)单调递减，则。

B.若大幻的最小值为-1,则。>1

C.若加)仅有两个零点，则声。§

D.若火x)仅有两个极值点，则2<oW3

10.(2024・合肥模拟)已知复数zi,Z2满足：zi为纯虚数，|Z2-1|=2|Z2-4|,则下列结论正确的是()

A.Zi=-|zi|2

B.3W|Z2|W7

C.|Z1-Z2|的最小值为3

D.|z「Z2+3i|的最小值为3

11.(2024.武汉模拟)已知函数/(x)的定义域为R,对Vx,yGR,fix+yyf(x-y)=2fi1,且穴1)=1,f(x)

为/(x)的导函数，贝版)

A.«x)为偶函数

B.火2024)=0

C/(l)+f(2)+-+f(2025)=0

D.o)F+[/u-x)F=i

三、填空题(本题共3小题，每小题5分，共15分)

12.(2024・长沙模拟)分子是1的分数叫做单位分数，古代埃及人在进行分数运算时，只使用分子是1的

分数，因此这种分数也叫做埃及分数.从；，；，；，…，白这13个分数中，取出3个不同的分数组成空

34515

间直角坐标系内的一个点的坐标，则满足这3个分数的和为扣勺不同对应点的个数是.(用数

字作答)

13.(2024.济南模拟)已知矩形A3CO中，AB=2A/3,BC=2,以AC所在直线为旋转轴，将矩形A3CD旋

转一周形成的面所围成的几何体的体积为

14.设抛物线/=4x的焦点为凡过点7（2,0）的直线/与抛物线交于A,3两点，与y轴的负半轴交于C

点，已知SABCF:SAACF=1:2,贝!]|3川=.

四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

15.（13分）（2024•铜陵模拟）如图，在六棱锥尸-A3CDE/中，底面ABCDEF是边长为旧的正六边形，PA

，底面A3COEFG为棱尸E上一点，且PG=2GE.

（1）证明：/G〃平面P4C；（5分）

⑵若PA=1,求平面。尸G与平面尸CR夹角的余弦值.（8分）

16.（15分）已知a>0,函数次x）=alnx-ln（x+l）.

⑴当a=l时，求曲线y=/⑴在点（1,#））处的切线方程；（4分）

⑵当0<a<l时，

①求«x）的单调区间和极值；（6分）

②设兀0的极大值为g（a）,求g（a）的最小值.（5分）

17.（15分）数列｛©,｝的前〃项和为Sn,且S„=2a„-n（nGN*）.

⑴求证:数列｛斯+1｝是等比数列，并求｛。“｝的通项公式；（6分）

（2）在欧和M+i/WN*）中插入上个数构成一个新数列｛勿｝：a1,2,。2，4,6,U-2），8,10,12,〃4，,,,,

插入的所有数依次构成首项为2,公差为2的等差数列,求｛仇｝的前50项和750.（9分）

18.（17分）（2024・齐齐哈尔模拟）某中学有A,B两个餐厅为老师与学生们提供午餐与晚餐服务，王同学、

张老师两人每天午餐和晚餐都在学校就餐，近一个月（30天）选择餐厅就餐情况统计如下（其中餐厅选择

表示为（午餐，晚餐））：

⑶A)(A,B)(B,A)(B,B)

王同学9天6天12天3天

张老师6天6天6天12天

假设王同学、张老师选择餐厅相互独立，用频率估计概率.

（1）估计一天中王同学午餐和晚餐选择不同餐厅就餐的概率；（5分）

（2）记X为王同学、张老师在一天中就餐餐厅的个数，求X的分布列和均值E（X）；（5分）

（3）假设M表示事件“A餐厅推出优惠套餐”，N表示事件“某学生去A餐厅就餐”，P（M）>0,已知推

出优惠套餐的情况下学生去该餐厅就餐的概率会比不推出优惠套餐的情况下去该餐厅就餐的概率要大,

证明：尸（叫花）.（7分）

22

19.（17分）已知曲线C：^+^=t（a>b>0）,当D>0）变化时得到一系列的椭圆，我们把它称为“a-b椭圆

群”.

（1）求“2-1椭圆群”中椭圆的离心率；（5分）

（2）若“a-b椭圆群”中的两个椭圆Ci，G对应的/分别为人，d且才=2/2（世>0），则称G，C2为“和谐

椭圆对”.已知Ci，C2为“和谐椭圆对”，尸是。2上的任意一点，过点P作C2的切线交G于A,3两

点，Q为Ci上异于A,3的任意一点，且满足的=a^l+丽，问：川+加是否为定值？若为定值，求出

该定值；否则，说明理由.（12分）

答案精析

1.C[由M={x|x<0或x>2},

得CRM={X|0«2}.

又2{%|0<》<4},

所以(CRM)UN={x|0<x<4}.]

2.A[(ei+2e2)2=e"+4eJe2+4或=1-2+4=3,

故ei+2e?|=V^.

(ei+2e2>e2=ere2+2$=，+2=|,设ei+2e?与e?的夹角为6,

又作［0,兀］,故0=2］

O

3.B［元件B,C都不正常的概率pi=(l-0(1-0=;,

则元件3,C至少有一个正常工作的概率为1-0三,

而电路是通路，即元件A正常工作，元件B,C至少有一个正常工作同时发生，所以这个电路是通路的概

率p=lX-=-.］

248

_k

4.D［因为(1-皆"的展开式的通项为T,+i=Cg(-W=C^(-D^,

令打2，得28,所以％2的系数是另(-1)8=11

5.A［因为E是BC边中点，所以荏=/荏+前),

^XAE2=-(AB2+AC2+2AB-AC),

4

所以扉『=罚码祠2+2|西麻|cos120°),

所以为(4+1祠2-2|祠),即福2_2阿|+1=0,

得的1=1,

因为AD是/及1C的平分线，

所以NRW=/CAO=60°,

因为S^ABC=SAABD+S/^ACD,

所以/AACsin/BAC=18•A£)sin/R4£)+14C•A£)sinZCAD,

fi/rU(|x2x1Xy=1x2AZ)Xy+|xA£)Xy,

解得AD=|.]

6.C[如图，过圆(x+l)2+(y—1)2=2的圆心C(-l,1)作直线l:x-y-4=0的垂线CE,垂足为E,

则以OE为直径的圆D(设其半径为r)即为所求圆.理由如下：

另作一个圆F,与圆C相切,与直线/切于点G,设其半径为r1,

由图知|CR+|FG|>|CG|>|C£|,即近+2r>/+2r,即r<r',

即圆。是符合要求的最小圆.

由点C(-l,1)到直线/：x-y-4=0的距离为|CE|上，心=3/,则4券=也,

设点D(x,y),由CDL可得，

冷=-1,即产-x,①

由点D(x,y)到直线I：x-y-4=0的距离等于近，可得三产=鱼，②

联立①②可解得，尸3或尸1,由图知仅x=l符合题意，

即得。(1,-1),故所求圆的方程为(x-l)2+(y+1)2=2]

7.B[设F(c,0),0为坐标原点,则阳=黑=等。，

从而cosZOFP=~.c

设E的左焦点为F',\QF\=t,连接QF,由双曲线的定义，得|QF|=f+2a.

在手中，由余弦定理，得(什2。)2=/2+(2。)2-2林2cx(―2),解得仁与.

由所=3而，得丹=36，解得衿，所以e=：=Jl+(T=Jl+G)4

8.A［由题意得以=/(x)+l,

xlnx+1,%>0,

则直线产QX与函数h(x)=J(x)+l=0,x=0,的图象有5个交点.

、％ln(一%)—l,x<0

显然，直线产ax与%(x)的图象交于点(0,0).

又当x>0时,-x<0,

h(-x)=-xlnx-l=-h(x)；

当x<0时,-x>0,

h(-x)=-xln(-x)+1=-h(x)；

当x=0时，h(x)=0,所以%(x)是奇函数.

则只需直线y=ax与曲线y=xlnx+l(x>0)有2个交点即可，

所以方程«=lnx+F有2个实数根.

令r(x)=lnx+|,贝(J/0)=妥,

当0<%<1时，t'(x)<0,t(x)单调递减；

当x>l时,t'(x)>0,t(x)单调递增,

所以©)1*1)=1.

111

t(x)=lnx+-X=X—In-X，

当时，工f+8,《X)f+8；

X

当x—+8时，ln1f+8,Lf(),

X

©)一+8,

所以只需〃>L］

9.BD［因为0<x<Tt,

所以0<COX<COTl,

因为兀r)单调递减，所以由余弦函数的图象性质得0〈。兀WTI,

即0＜oWl,故A错误；

因为兀r)的最小值为-1,故由余弦函数的图象性质得。兀＞兀，即。＞1,故B正确；

因为於)仅有两个零点，故由余弦函数的图象性质得当兀，

即,故C错误；

因为兀0仅有两个极值点，故由余弦函数的图象性质得2兀＜。无＜3兀,

即2＜。＜3,故D正确.]

10.ABD[对于A,：zi为纯虚数，

•'.可设zi=6iSW0),

z^=-b2=-\zi\-,A正确；

对于B,设Z2=m+ni(m,n£R),

V|Z2-1|=2|Z2-4|,

JU!!(m-1)2+n2=4(m-4)2+4n2,

即(加-5)2+"2=4,

则Z2所对应点的轨迹是以(5,0)为圆心，2为半径的圆，

，3＜|Z2|W7,B正确；

对于c,•••©为纯虚数，

•••zi对应的点在y轴上(除去原点)，

Z2所对应点的轨迹是以(5,0)为圆心，2为半径的圆，

，izia的取值范围为(3,+8),

；•|Z1-Z21无最小值,C错误；

对于D,|zi-Z2+3i|=|(6+3)i-Z2|,

表示点(0,。+3)到以(5,0)为圆心，2为半径的圆上的点的距离，

•.•(6+3)i(6W0)为纯虚数或0，点(0,6+3)在y轴上滁去点(0,3)),

，当b=-3时，|zi-Z2+3i|取得最小值3,D正确」

11.BCD［对于A,令x=0,

则处)

=2%),

二危)为奇函数，故A不正确；

对于B,令4产0,贝［|火。)=0,

令产1,则於+1)人尤-1)=纨1㈤/⑴=纨14)，

../x)为奇函数，

,次x+l)=/>l),

•'犹x+2)=於),

，/(x+4)=Xx),

.•优x)的周期为4,

■,-A2024)那)=0,故B正确;

对于C,'VU)为奇函数，

•'•火x)=-1K-x),

二八元)为偶函数，

•/>+l)=^x-l),

•V(x+l)=/(x-l),

f(x+2)=/(x),

：.f(x+4)=f(x),

.d(x)的周期为4,

•"(x)为偶函数,

•V(x+l)=/(l-x),

，八X)关于点(1,0)对称,

所以八1)=0,

令％=2,可得八3)=/(1)=0,

令尸3,可得八4)=*2),

所以八4)tf(2)=0,

故八l)tf(2)"(3)+f(4)=0,

•••/(Dtf(2)+…tf(2025)=506x0tf(l)=0,故C正确；

对于D,令.『1-y,

则火1)贝々)=2町)『，

即加)川-2X)=2[/(X)]2,①

令y=l-x,

则丸1)式2x-l)=2贝㈤]2,②

由①+②得2|»]2+2贝㈤六身⑴虫[2x)式2x-l)=纨1)=2,

贝㈤]2=1,故D正确」

12.12

解析设勺<z<15,x,y,zCN*),则这3个分数的平均数为:，且这3个分数不能都小于《,

xyz266

所以至少有1个是熹或装4或右

若其中1个分数为*，则另外2个分数分别是:，纭；

若其中1个分数为1则不存在符合题意的另外2个分数；

若其中1个分数为:，则另外2个分数分别是：，*；

若其中1个分数是+,则另外2个分数分别是2,当

综上，符合题意的分数有2组，则得到不同对应点的个数是2Ag=12.

56TI

U.—

9

解析如图，以AC所在直线为旋转轴，△A3C旋转一周形成两个共底面的圆锥，△ADC旋转一周形成一

这两个几何体重叠的部分是以圆。为底面，A,C为顶点的两个小圆锥，其体积记为V2,

2

则所求几何体体积V=2V/2=2x］（遍）2x4号r（羊）乂4=等

14.V2+1

解析设P到直线AC的距离为d,

因为SABCF:SAAC产1：2,

一二

可得1

1\AC\-d2

所以BC:AC=1：2,

所以包M,

X

A乙

即XA=2XB^.XA,无B>0,

X=ty+2,

设直线AB的方程为x=ty+2,联立方程组

y2=4x,

整理得产4y8=0,

贝!]J=16?+32>0,

所以班犯=-8,/=4无A,呼=4%,

04功）2二64二4

则XXB=-

A16-16一,

X=2X,

联立方程组•AB

xAxB=4,

解得xA=2^j2,XB=V2,

由抛物线的定义，

可得13F|=%吗=点+1.

15.⑴证明如图，连接AE交DF于点H,连接GH.

因为六边形ABCD所是边长为次的正六边形，

所以NHED=/AFH=90。,ZEDH=ZHAF=3Q°,AF=DE3,

所以EH=EDtan30°=1,

所以AH=2EH

又PG=2GE,所以GH//PA.

因为PAu平面PAC,GHC平面PAC,

所以GH〃平面P4C.

又DF//AC,ACu平面PAC,ORt平面PAC,

所以〃平面PAC.

又DFCGH=H,DF,GHu平面DFG,

所以平面。尸G〃平面PAC.

又PGu平面DFG,

所以歹G〃平面PAC.

⑵解由PA_L平面ABCDEF,AFLAC，得AF,AC,PA两两垂直.

以A为坐标原点，A歹，AC,AP所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，

则A(0,0,0),P(0,0,1),F(V3,0,0),C(0,3,0),

所以瓦^,0,-1),PC=(0,3,-1),^F=(V3,0,0).

设平面PCF的法向量为m={x,y,z),

则-PF=V3x-z=0,

[m-PC=3y—z=0,

令y=l,得尤=g,z=3,

则平面PC尸的一个法向量为

m=(V3,1,3).

由(1)得平面DFG〃平面PAC,

又A"L平面PAC,

所以A尸，平面。歹G,

从而而为平面DFG的一个法向量.

设平面DFG与平面PCF的夹角为3,

则cos归cos{m,AF)|=超=悬胡鲁，

所以平面D/G与平面PCF夹角的余弦值为善.

16.解⑴当«=1时，

f(x)=lnx-ln(x+l),

=

Jf('x)'x~--x-+-1-z

fW=l,川)=」n2,

所以曲线y=Ax)在点(1,/⑴)处的切线方程为y+ln2=扯-1),

整理得x-2y-21n2-1=0.

(2)®fix)=alnx-ln(%+l),%>0,

.a1_(a-l)x+a

JI)比x+1x(x+l)'

因为0<fl<l,令八x)=0,

解得,所以，

1-a1-a

因为x>0,当x变化时，八x),火龙)的变化情况如表：

(占a

X0,(1,+8)

11—a/1—(Z-a)

+0-

»单调递增极大值单调递减

所以函数产於)的单调递增区间是(0,七)，单调递减区间是(士，+8),

所以人X)有极大值，没有极小值.

/(X)的极大值为/(E)=aln£-ln(士+l)=Mna+(l-a)ln(l-a).

②由①得

g(<a)=alna+(1-<2)ln(1-a)(Q<a<1),

g'(a)=l+lna-ln(l-d)-l=lna-ln(l-a),

令g(a)=。,解得a=：.

因为0<a<l,当a变化时,gr(a),g(a)的变化情况如表：

1

a

(04)2

g'(a)-0+

g(a)单调递减极小值单调递增

而g©月小呜

=-ln2,

所以g(a)的最小值为-In2.

17.⑴证明因为Sn=2a„-n,

当n=l时，<21=1；

当n》2时，Sn-i=2a„-i-(n-1),

两式相减得斯=2篇1+1,

所以o„+l=2(an_1+1),

又<21+1=2,

所以数列｛%+1｝是以2为首项，2为公比的等比数列，得斯+1=2",

n

即an=2-l.

⑵解由题意得,插入的数构成的数列通项公式为2+2(n-l)=2n,在新数列｛儿｝中，从的到ak,共插入了

1+2+•••+&-1)=竺/项，

则｛儿｝中共有人空3项.

当上9时，9+安^=45<50；当k=lO时，10+四产=55>50,

所以在新数列｛为｝的前50项中，有｛厮｝的前9项，新插入的等差数列｛2n｝的前41项.

乙o=(2-1)+(22-1)+--+(29-1)+(2+4+…+82)=2(；］；)-9+41X2+^|^X2=2735.

18.(1)解设事件C为“一天中王同学午餐和晚餐选择不同餐厅就餐”，因为30天中王同学午餐和晚餐选

择不同餐厅就餐的天数为6+12=18,

所以P(O=i!=0.6.

⑵解由题意知，王同学午餐和晚餐都选择A餐厅就餐的概率为0.3,王同学午餐和晚餐都选择B餐厅就

餐的概率为0.1,张老师午餐和晚餐都选择A餐厅就餐的概率为0.2,张老师午餐和晚餐都选择B餐厅就餐

的概率为0.4,X的所有可能取值为1,2,

所以P(X=l)=0.3x0.2+0.1x0.4=0.1,尸(X=2)=l-尸(X=l)=0.9,

所以X的分布列为

X12

P0.10.9

则E(X)=lxO.l+2xO.9=1.9.

⑶证明由题知

P(N\M)>P(N\M),

P(]VM)_P(N)-P(NM)

所以舒>----=——--------------------

P(M)l-P(M)

所以P(NM)>P(N)P(M),

所以P(NM)-P(N)P(NM)>P(N)P(M)-P(N)P(NM),

即P(NM)P(N)>P(N)P(NM),

所以鬻>需，

即P(M\N)>P(M\N).

22

19.解⑴由题意可知，“2-1椭圆群”的方程为力+1(介。),

,24t-t3,V3

•・e-------——.・・c——.

4t42

2222

(2)由题意得，G：沁g2(4*0)；C2：*2"。),

①当直线AB斜率不存在时，直线