探索勾股定理教学设计7-北师大版

探索勾股定理教学设计7-北师大版一、教学目标1.知识与技能目标理解勾股定理的内容，掌握勾股定理的表达式。能够运用勾股定理在已知直角三角形的两边时求出第三边的长度。了解勾股定理的证明方法，体会数学中的数形结合思想。2.过程与方法目标通过观察、猜想、操作、验证等过程，培养学生自主探究、合作交流的能力。经历勾股定理的探索过程，体会从特殊到一般的数学思维方法，提高学生分析问题和解决问题的能力。3.情感态度与价值观目标感受数学文化的魅力，激发学生学习数学的兴趣。在探究活动中，培养学生的合作精神和勇于探索的精神，增强学生学习数学的自信心。二、教学重难点1.教学重点勾股定理的内容及应用。勾股定理的证明。2.教学难点勾股定理的证明思路及方法。灵活运用勾股定理解决实际问题。三、教学方法1.讲授法：讲解勾股定理的基本概念、证明思路和应用方法，使学生系统地掌握知识。2.探究法：通过设置问题情境，引导学生自主探究、合作交流，经历勾股定理的探索过程，培养学生的探究能力和创新思维。3.练习法：安排适量的练习题，让学生及时巩固所学知识，提高运用勾股定理解决问题的能力。四、教学过程（一）创设情境，引入新课1.展示图片：呈现一些含有直角三角形的建筑、图案等，如埃及金字塔的侧面图。提问：同学们，在这些直角三角形中，三条边的长度之间是否存在某种特定的关系呢？2.讲述故事：相传2500多年前，古希腊著名数学家毕达哥拉斯去朋友家做客。在宴席上，其他宾客都在尽情欢乐，只有毕达哥拉斯却看着朋友家的地砖发起呆来。原来，朋友家的地砖是用等腰直角三角形拼成的（展示地砖图案）。他发现了一个有趣的现象：以等腰直角三角形两直角边为边长的小正方形的面积和，等于以斜边为边长的大正方形的面积。提问：你们从这个故事中能想到什么呢？直角三角形三条边的长度之间可能有怎样的关系呢？3.引出课题：今天我们就一起来探索勾股定理。（二）探索新知1.观察与猜想让学生在方格纸上画出直角边分别为3cm和4cm的直角三角形，然后测量斜边的长度，并计算以三边为边长的正方形的面积。学生分组进行操作和计算，教师巡视指导。各小组汇报计算结果，教师将数据汇总展示：直角边为3cm的正方形面积：$3×3=9cm^2$直角边为4cm的正方形面积：$4×4=16cm^2$斜边的长度约为5cm，斜边为边长的正方形面积：$5×5=25cm^2$引导学生观察数据，猜想：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。2.操作与验证提出问题：对于任意的直角三角形，这个猜想是否都成立呢？让学生在方格纸上画出不同边长的直角三角形，重复上述测量和计算过程。学生再次分组进行活动，教师鼓励学生多尝试不同的直角三角形。各小组汇报结果，通过多个不同的直角三角形验证猜想的正确性。3.勾股定理的内容总结归纳：如果直角三角形的两直角边长分别为$a$，$b$，斜边长为$c$，那么$a^2+b^2=c^2$。这就是勾股定理。强调：勾股定理只适用于直角三角形。用不同颜色的粉笔在黑板上突出显示勾股定理的表达式，加深学生记忆。4.勾股定理的证明介绍常见的证明方法：方法一：利用赵爽弦图证明。展示赵爽弦图，介绍其构造：以直角三角形的斜边为边长构造一个大正方形，在大正方形中包含四个全等的直角三角形和一个小正方形。引导学生观察图形，分析大正方形的面积可以有两种表示方法：方法一：大正方形的面积等于四个直角三角形的面积与小正方形面积之和，即$4×\frac{1}{2}ab+(ba)^2$。方法二：大正方形的面积等于斜边$c$的平方，即$c^2$。让学生通过计算两种表示方法的结果，证明勾股定理：$4×\frac{1}{2}ab+(ba)^2=2ab+b^22ab+a^2=a^2+b^2$，所以$a^2+b^2=c^2$。方法二：利用拼图法证明（以四个全等的直角三角形为例）。引导学生将四个全等的直角三角形拼成一个大正方形（中间有空隙）。大正方形的边长为$a+b$，其面积为$(a+b)^2$。大正方形的面积还可以表示为四个直角三角形的面积与中间小正方形面积之和，即$4×\frac{1}{2}ab+c^2$。计算：$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$，$4×\frac{1}{2}ab+c^2=2ab+c^2$。因为$(a+b)^2=4×\frac{1}{2}ab+c^2$，所以$a^2+2ab+b^2=2ab+c^2$，化简后得到$a^2+b^2=c^2$。让学生分组讨论这两种证明方法，理解证明思路，教师巡视并适时给予指导。请小组代表发言，分享对证明方法的理解和感悟。（三）例题讲解1.例1：在直角三角形中，已知两直角边分别为$a=6$，$b=8$，求斜边$c$的长度。分析：直接运用勾股定理$c=\sqrt{a^2+b^2}$。解答过程：$c=\sqrt{6^2+8^2}=\sqrt{36+64}=\sqrt{100}=10$。强调：在计算过程中要注意先算平方，再开方。2.例2：已知直角三角形的斜边$c=13$，一条直角边$a=5$，求另一条直角边$b$的长度。分析：根据勾股定理$b=\sqrt{c^2a^2}$。解答过程：$b=\sqrt{13^25^2}=\sqrt{16925}=\sqrt{144}=12$。引导学生思考：如何根据已知条件选择合适的公式进行计算。3.例3：一个门框的尺寸如图所示，一块长3m，宽2.2m的长方形薄木板能否从门框内通过？为什么？分析：求出门框对角线的长度，与木板的宽进行比较。门框对角线的长度可根据勾股定理计算。解答过程：门框对角线的长度为：$\sqrt{2^2+1^2}=\sqrt{4+1}=\sqrt{5}\approx2.24m$。因为$2.24m>2.2m$，所以木板能从门框内通过。总结：在解决实际问题时，要先将实际问题转化为数学问题，再运用勾股定理求解。（四）课堂练习1.在$Rt\triangleABC$中，$\angleC=90^{\circ}$。若$a=3$，$b=4$，则$c=$______。若$a=5$，$c=13$，则$b=$______。若$b=6$，$c=10$，则$a=$______。2.已知一个直角三角形的两条边长分别为3和5，则第三条边长为______。3.一个直角三角形的斜边为20cm，且两直角边长度比为3:4，求两直角边的长度。4.如图，有一个圆柱，它的高等于12cm，底面半径等于3cm。在圆柱的底面A点有一只蚂蚁，它想吃到上底面上与A点相对的B点处的食物，沿圆柱侧面爬行的最短路程是多少？（$\pi$取3）学生独立完成练习，教师巡视指导，及时纠正学生的错误。请几位学生上台板演，讲解解题思路和过程，其他学生进行评价。（五）课堂小结1.引导学生回顾本节课所学内容：勾股定理的内容是什么？勾股定理的证明方法有哪些？如何运用勾股定理解决实际问题？2.让学生分享在本节课中的收获和体会，以及遇到的困难和解决方法。3.教师总结：勾股定理是数学中的一个重要定理，它揭示了直角三角形三边之间的数量关系。通过本节课的学习，我们不仅掌握了勾股定理的内容和证明方法，还学会了运用勾股定理解决实际问题。在今后的学习中，我们要继续体会数学中的数形结合思想，提高解决数学问题的能力。（六）布置作业1.书面作业：教材第7页习题1.1第1、2、3题。已知直角三角形的两边长分别为5和12，求第三边的长度。2.拓展作业：查阅资料，了解勾股定理在生活中的其他应用，并写一篇简短的报告。尝试用不同的方法证明勾股定理。五、教学反思通过本节课的教学，学生对勾股定理有了较为深入的理解和掌握。在教学过程中，通过创设情境、引导探究、例题讲解和课堂练习等环节，让学生经历了勾股定理的探索、证明和应用过程，培养了学生的自主探究能力、合作交流能力和解决问题的能力。在教学方法的选择上，采用了讲授法、探究法和练习法相结合的方式，既保证了知识的系统性传授，又激发了学生的学习兴趣和探究欲望。在探究勾股定理的过程中，让学生通过观察、猜想、操作、验证等活动，亲身体验了数学知识的形成过程，增强了学生学习数学的自信心。然而，在教学过程中也发现了一些不足之处。例如，在勾股定理的证明环节，部分学生对证明思路和方法理解起来有一定困难，需要在今后的