高中数学必修5新教学案：3.2一元二次不等式及其解法

高中数学必修5新教学案：3.2一元二次不等式及其解法一、教学目标1.知识与技能目标理解一元二次不等式的概念，掌握一元二次不等式的一般形式。能熟练地将一元二次不等式转化为一元二次方程，通过求解方程的根来求解不等式。掌握一元二次不等式的解集与二次函数图象之间的关系，能借助二次函数图象直观地求解一元二次不等式。2.过程与方法目标通过从实际问题中抽象出一元二次不等式模型的过程，培养学生的数学建模能力。在探究一元二次不等式解法的过程中，让学生经历"从特殊到一般"、"从具体到抽象"的认知过程，体会类比、转化、数形结合等数学思想方法，提高学生的逻辑思维能力。3.情感态度与价值观目标通过对一元二次不等式的学习，让学生感受数学与生活的紧密联系，增强学生学习数学的兴趣和积极性。在合作交流中，培养学生的团队精神和勇于探索的精神，让学生体验成功的喜悦。二、教学重难点1.教学重点一元二次不等式的概念、一般形式及解法。一元二次不等式的解集与二次函数图象之间的关系。2.教学难点理解一元二次不等式与一元二次方程、二次函数之间的内在联系，并能灵活运用它们之间的关系求解一元二次不等式。含参数的一元二次不等式的解法，对参数进行分类讨论。三、教学方法1.讲授法：讲解一元二次不等式的基本概念、一般形式及解法的基本步骤，使学生系统地掌握知识。2.讨论法：组织学生讨论一元二次不等式的解集与二次函数图象之间的关系，激发学生的思维，培养学生的合作交流能力。3.练习法：通过针对性的练习题，让学生巩固所学知识，提高学生运用知识解决问题的能力。4.多媒体辅助教学法：利用多媒体展示二次函数图象、一元二次不等式的求解过程等，使抽象的知识直观化，帮助学生更好地理解和掌握。四、教学过程（一）创设情境，引入新课1.展示问题某产品的生产厂家根据以往的生产销售经验得到下面有关生产销售的统计规律：每生产产品\(x\)（百台），其总成本为\(G(x)\)（万元），其中固定成本为\(2\)万元，并且每生产\(1\)百台的生产成本为\(1\)万元（总成本=固定成本+生产成本）。销售收入\(R(x)\)（万元）满足\(R(x)=\begin{cases}0.4x^{2}+4.2x0.8,&0\leqx\leq5\\10.2,&x\gt5\end{cases}\)。假定该产品产销平衡（即生产的产品都能卖掉），那么根据上述统计规律，（1）要使工厂有盈利，产量\(x\)应控制在什么范围内？（2）工厂生产多少台产品时，可使盈利最多？2.引导学生分析问题设利润为\(y\)万元，则\(y=R(x)G(x)\)。当\(0\leqx\leq5\)时，\(G(x)=2+x\)，\(y=0.4x^{2}+4.2x0.8(2+x)=0.4x^{2}+3.2x2.8\)。当\(x\gt5\)时，\(G(x)=2+x\)，\(y=10.2(2+x)=8.2x\)。问题（1）就是求当\(y\gt0\)时\(x\)的取值范围，问题（2）就是求\(y\)的最大值。对于\(y=0.4x^{2}+3.2x2.8\gt0\)，这是一个什么样的不等式呢？它与我们学过的一元一次不等式有什么不同？引出本节课的主题一元二次不等式及其解法。（二）讲解新课1.一元二次不等式的概念引导学生观察不等式\(0.4x^{2}+3.2x2.8\gt0\)，它含有一个未知数\(x\)，并且未知数的最高次数是\(2\)，这样的不等式叫做一元二次不等式。给出一元二次不等式的一般形式：\(ax^{2}+bx+c\gt0\)或\(ax^{2}+bx+c\lt0\)（\(a\neq0\)），其中\(a\)、\(b\)、\(c\)是实数。2.一元二次不等式的解法（1）探究一元二次方程与二次函数的关系让学生求解方程\(0.4x^{2}+3.2x2.8=0\)。对于二次函数\(y=0.4x^{2}+3.2x2.8\)，其判别式\(\Delta=3.2^{2}4\times(0.4)\times(2.8)=10.244.48=5.76\gt0\)。由求根公式可得\(x=\frac{3.2\pm\sqrt{5.76}}{2\times(0.4)}=\frac{3.2\pm2.4}{0.8}\)，解得\(x_1=1\)，\(x_2=7\)。画出二次函数\(y=0.4x^{2}+3.2x2.8\)的图象（开口向下，与\(x\)轴交于\((1,0)\)和\((7,0)\)两点）。引导学生观察二次函数图象，思考当\(y\gt0\)时，\(x\)的取值范围是什么；当\(y\lt0\)时，\(x\)的取值范围是什么。学生通过观察图象得出：当\(1\ltx\lt7\)时，\(y\gt0\)；当\(x\lt1\)或\(x\gt7\)时，\(y\lt0\)。总结：一元二次方程\(ax^{2}+bx+c=0\)（\(a\neq0\)）的根就是二次函数\(y=ax^{2}+bx+c\)（\(a\neq0\)）与\(x\)轴交点的横坐标，二次函数\(y=ax^{2}+bx+c\)（\(a\neq0\)）的图象将\(x\)轴分成了几个区间，在这些区间上函数值\(y\)有正有负，而一元二次不等式\(ax^{2}+bx+c\gt0\)（或\(ax^{2}+bx+c\lt0\)）的解集就是使函数值\(y\gt0\)（或\(y\lt0\)）的\(x\)的取值范围。（2）总结一元二次不等式\(ax^{2}+bx+c\gt0\)（\(a\gt0\)）的解法步骤第一步：求方程\(ax^{2}+bx+c=0\)的判别式\(\Delta=b^{2}4ac\)，并求出方程的根\(x_1,x_2\)（\(x_1\leqx_2\)）。第二步：画出二次函数\(y=ax^{2}+bx+c\)的图象。第三步：根据图象写出不等式的解集。当\(\Delta\gt0\)时，不等式\(ax^{2}+bx+c\gt0\)的解集为\(\{x|x\ltx_1或x\gtx_2\}\)，不等式\(ax^{2}+bx+c\lt0\)的解集为\(\{x|x_1\ltx\ltx_2\}\)。当\(\Delta=0\)时，方程\(ax^{2}+bx+c=0\)有两个相等的实根\(x_0=\frac{b}{2a}\)，不等式\(ax^{2}+bx+c\gt0\)的解集为\(\{x|x\neqx_0\}\)，不等式\(ax^{2}+bx+c\lt0\)的解集为\(\varnothing\)。当\(\Delta\lt0\)时，方程\(ax^{2}+bx+c=0\)无实根，不等式\(ax^{2}+bx+c\gt0\)的解集为\(R\)，不等式\(ax^{2}+bx+c\lt0\)的解集为\(\varnothing\)。对于\(a\lt0\)的情况，可先将不等式两边同乘以\(1\)，化为\(a\gt0\)的形式，再按照上述方法求解，但要注意不等号方向的改变。（三）例题讲解例1：解不等式\(x^{2}3x+2\gt0\)。解：（1）求方程\(x^{2}3x+2=0\)的根。对于方程\(x^{2}3x+2=0\)，\(\Delta=(3)^{2}4\times1\times2=98=1\gt0\)。由求根公式可得\(x=\frac{3\pm\sqrt{1}}{2}\)，即\(x_1=1\)，\(x_2=2\)。（2）画出二次函数\(y=x^{2}3x+2\)的图象（开口向上，与\(x\)轴交于\((1,0)\)和\((2,0)\)两点）。（3）根据图象写出不等式的解集。所以不等式\(x^{2}3x+2\gt0\)的解集为\(\{x|x\lt1或x\gt2\}\)。例2：解不等式\(2x^{2}+3x2\lt0\)。解：先将不等式两边同乘以\(1\)，化为\(2x^{2}3x+2\gt0\)。（1）求方程\(2x^{2}3x+2=0\)的根。对于方程\(2x^{2}3x+2=0\)，\(\Delta=(3)^{2}4\times2\times2=916=7\lt0\)。（2）画出二次函数\(y=2x^{2}3x+2\)的图象（开口向上，与\(x\)轴无交点）。（3）根据图象写出不等式的解集。所以不等式\(2x^{2}+3x2\lt0\)的解集为\(R\)。例3：解不等式\(x^{2}+4x+4\leq0\)。解：（1）求方程\(x^{2}+4x+4=0\)的根。对于方程\(x^{2}+4x+4=0\)，\(\Delta=4^{2}4\times1\times4=1616=0\)。由求根公式可得\(x=2\)。（2）画出二次函数\(y=x^{2}+4x+4\)的图象（开口向上，与\(x\)轴交于\((2,0)\)一点）。（3）根据图象写出不等式的解集。所以不等式\(x^{2}+4x+4\leq0\)的解集为\(\{2\}\)。通过这三个例题，让学生进一步熟悉一元二次不等式的解法步骤，体会不同情况下解集的特点。（四）课堂练习1.解下列不等式（1）\(x^{2}5x+6\lt0\)（2）\(3x^{2}x2\gt0\)（3）\(x^{2}2x+1\geq0\)（4）\(x^{2}+2x3\gt0\)2.若不等式\(ax^{2}+bx+2\gt0\)的解集为\(\{x|\frac{1}{2}\ltx\lt\frac{1}{3}\}\)，求\(a\)、\(b\)的值。学生在练习本上完成，教师巡视指导，及时纠正学生的错误，对普遍存在的问题进行集中讲解。（五）课堂小结1.引导学生回顾本节课所学内容（1）一元二次不等式的概念和一般形式。（2）一元二次不等式的解法，包括求根、画图象、写解集三个步骤，以及不同判别式情况下解集的特点。（3）一元二次不等式与一元二次方程、二次函数之间的内在联系。2.强调本节课的重点和难点重点是一元二次不等式的解法，要熟练掌握求解步骤；难点是理解三者之间的关系并能灵活运用，特别是含参数的一元二次不等式的解法。3.鼓励学生在课后进一步巩固练习，加深对知识的理解和掌握（六）布置作业1.必做题（1）解不等式\(2x^{2}3x2\geq0\)。（2）已知不等式\(x^{2}+ax+b\lt0\)的解集为\(\{x|1\ltx\lt2\}\)，求\(a\)、\(b\)的值。（3）若不等式\(mx^{2}+2mx4\lt2x^{2}+4x\)对任意\(x\)都成立，求实数\(m\)的取值范围。2.选做题（1）解不等式\((x1)(x2)(x3)(x4)\gt120\)。（2）设\(f(x)=ax^{2}+bx+c\)，当\(f(1)=f(3)=f(4)\)时，①求\(a:b:c\)的值；②若\(f(x)=1\)有两个相等的实根，求\(f(x)\)的解析式。必做题主要是对本节课所学的一元二次不等式基本解法的巩固，选做题则是对知识的拓展和延伸，满足不同层次学生的需求。五、教学反思在本节课的教学中，通过创设实际问题情境引入新课，激发了学生的学习兴趣和求知欲。在讲解一元二次不等式的解法时，注重引导学生通过探究一元二次方程与二次函数的关系，利用图象直观地求解不等式，让学生较好地理解和掌握了一元二次不等式的解法。在教