八年级数学上学期期中考试重难点题型（举一反三）（原卷版）

专题L5期中考试重难点题型汇编【举一反三】

【浙教版】

【知识点1】三角形的基本概念

三角形：不在同••条直线上的三条线段首尾相接所组成的图形。

【知识点2】三角形的分类

1.按角分：锐角三角形、宜角三角形、钝角三角形（定义，区别）。

2.按边分：不等边三角形、等腰三角形、等边三角形。

【知识点3】三角形的基本性质

1.三角形的内角和是180%

2.三角形的任何两边的和大于第三边（由两点之间线段最短得到）。

三角形的任何两边的差小于第三边

三角形的任何两边之和大于第三边大于两边之差。

应用：知两条确定第三条范围；知三条判断能否组成三角形；知四条及以上

3.三角形的外角：由三角形一条边的延长线和另一条相邻的边组成的角。

三角形的一个外角等于和他不相邻的两个内角的和（教材P7做一做）。

【知识点4】几条重要的线

1.三角形的角平分线：•个角的平分线与这个角的对边相交，顶点与对边交点的连线段叫做三角形的角平分

线；三条角平分线都在三角形内且相交于一点；

2.三角形的中线：连接一个顶点和它对边的中点的线段；三条中线都在三角形内且相交于一点；

3.三角形的高；从三角形的一个顶点向它对边所在的直线作垂线段。

锐角三角形的三条高在三角形的内部相交于一点。

直角三角形的直角边上的高分别与另一条直角边重合，三条高在三角形的直角顶点处相交于一点。

钝角三角形中，夹钝角两边上的高都在三角形的外部，三条高在三角形的外部相交于一点。

会带来面枳问题、直角、直角三角形

4.线段的垂直平分线（中垂线）：垂直并平分一条线段的直线。

中垂线性质：线段的中垂线上的点到线段两端点的距离相等。

逆定理：到线段两端的距离相等的点在这条线段的垂直平分线上。

5.角平分线的性质定理：角平分线上的点到角两边的距离相等。

逆定理：角的内部，到角两边距离相等的点在这个角的平分线上。

【知识点5】全等三角形

1.全等图形：能够完全重合的两个图形。形状相同、大小相等的图形；

2.全等三角形：能够完全重合的法个三角形。

3.对应顶点：能够相互重合的顶点；

对应边：相互重合的边；有公共边的，公共边一定是对应边；

对应角：相互重合的角。有公共角的，角一定是对应角；有对顶角的，对顶角一定是对应角；

性质定理：全等三角形的对应角相等，对应边相等。注意“对应”二字。

SSS——三边对应相等的两个三角形全等；

SAS——一个角和夹这个角的两边对应相等的两个三角形全等；

ASA——两个角和这两个角的夹边对应相等的两个三角形全等；

AAS——两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等。

问题：为什么SSA不可以判定？

HL——直角三角形的斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等。

用符号且表示两个三角形全等时，通常把对应顶点的字母写在对应的位置上。

【知识点6】灵活运用全等判定定理

1.判定两个三角形全等的定理中，必须具备三个条件，且至少要有一组边对应相等，因此在寻找全等的条件

时，总是先寻找边相等的可能性.

2.要善于发现和利用隐含的等量元素，如公共角、公共边、对顶角等。

3.要善于灵活选择适当的方法判定两个三角形全等。

（1）已知条件中有两角对应相等，可找：

①夹边相等（ASA）②任一组等角的对边相等（AAS）

（2）已知条件中有两边对应相等，可找

①夹角相等（SAS）②第三组边也相等（SSS）

（3）已知条件中有一边一角对应相等，可找

①任一组角相等（AAS或ASA）②夹等角的另一组边相等（SAS）

【知识点7】尺规作图

尺规作图：在几何作图中，我们把用没有刻度的直尺和圆规作图，简称尺规作图。

1.基本作图作等量线段、作等量角、作线段的和差倍、作角的和差倍、

2.作线段的中垂线、作角的平分线、中垂线角平分线在•起作、

3.作三角形知三边、知两边夹角、知两角夹边、知一边及该边上的高

作法：有规定名称时需格外注意字母的标注

注意务必考虑三角形的各要素（类比于三角形全等的判定条件）。

【知识点8】定义、命题与证明

I.定义：能清楚地规定某一名称或术语的意义的句子叫做该名称或术语的定义。

2.命题：定义：判断某一件事情的句子

结构：由条件和结论两部分组成。

句式改写：如果……那么……

分类：真命题通过推理的方式来判断、人们经过长期实践公认为正确的

假命题通过举反例（具备命题的条件但不具备命题的结论的实例）

3.互逆命题：在两个命题中，如果第一个命题的题设是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个

命题的题设，那么这两个命题叫做互逆命题.如果把其中一个命题叫做原命题，那么另一个命题叫做它的逆

命题.

4.互逆定理.：如果一个定理的逆命题经过证明也是定理，那么这两个定理叫做互逆定理，其中一个叫做另一

个的逆定理.

5.证明：从命题的条件出发，根据己知的定义、基本事实、定理（包括推论）、一步一步推得结论成立的推理

过程。

证明几何命题的格式：（1）按电意画出图形⑵分清命题的条件和结论，结合图形，在已知中写出条件，

在求证中写出结论（3）在证明中写出推理过程。

在解决几何问题时，有时需要添加辅助线。添辅助线的过程要写入证明中，辅助线通常画或虚线。

【知识点9】图形的轴对称

轴对称图形定义：一个沿着一条直线折叠后，直线两侧的部分能够互相重合图形。

对称轴：定义、位置的确定、条数、对称点、作图、

性质；对称轴垂直平分连结两个对称点的线段

图形的轴对称定义、性质：成轴对称的两个图形是全等图形。

【知识点10］等腰三角形

1.等腰三角形的性质：

边——等腰三角形两腰相等；

角一等腰三角形两底角相等（即在同一个三角形中，等边对等角）：

线——等腰三角形三线合」这三线是指顶角的平分线、底边上的高线、底边上的中线，也就是说•条线

可以不含）

用不等号连接的，含有一个未知数，并且未知数的次数都是1,系数不为0,左右两边为整式的式子叫做一

元一次不等式。

【知识点13］不等式的性质：

性质1：如果a>b,b>c那么a>c

性质2：如果a>b,那么a±c>b±c

即不等式的两边都加上（或减去）同一个数（或式子），不等号的方向不变。

性质3：如果a>b,c>0,那么ac>bc（或a/c>b/c）

如果a>b,c<0,那么ac〈bc（或a/c<b/c）

即不等式的两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变。

不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变。

注；不等式的两边都乘以0,不等号变等号。

【考点1灵活运用三角形三边关系】

【例11（2019秋•洛龙区校级期中）已知AABC的三边长为a,b,c,化简|a+b-c\-\b-a-c|的结果是（）

A.2b-2cB.-2bC.2a+2bD.2a

【变式1-1］（2019秋♦滩溪县期中）设三角形三边之长分别为3,8,1-2小则〃的取值范围为（）

A.-6<«<-3B.-5<a<-2C.-2<a<5D.〃V-5或〃>2

【变式1-2］（2019秋•宁都县期中）如图，在△八夕。中，AB=5,AC=3,则AC边上的中线AD的取值范

围是（）

A.2<AOV8B.0<XD<8C.\<AD<4D.3<AD<5

【变式1-3］（2019•防城港期中）在等腰AABC中，A8=AC,其周长为20”?,则48边的取值范围是（）

A.\cm<AB<4cmB.5cm<AB<\0cm

C.4cmeABV8cmD.4cm<AB<l0c/n

【考点2三种双角平分线应用】

【例2】（2018春•翠屏区校级期中）已知△/18C,下列说法正确的是（只填序号）.

①如图（I）,若点P是乙4BC和N4CB的角平分线的交点，则/尸=90。+工/4；

2

②如图（2）,若点尸是外角产和NBCE的角平分线的交点，则/尸=90。-工乙4；

2

③如图⑶，若点夕是N/WC和外角NACE的角平分线的交点，则NP=L/A.

2

【变式2-1］（2019秋•新洲区期中）如图，ZBAC=70°,N'/WC的平分线与NAC8的外角平分

线交于点0,则N80C=度.

【变式2-2]（2019秋•高密市期口）如图，NACQ是aABC的外角，NA4C的平分线与/4CO的平分线交

于点4,N48O的平分线与N4CZ）的平分线交于点4，若NA=60。，则NA2的度数为.

【变式2-3]（2018秋•江汉区校级期中）如图，AAAC中，ZC=104°,"平分NA8C与△48c的外角平

分线AE所在的直线交于点儿则/r=.

【考点3线段垂直平分线的应用】

【例3】（2018春•叶县期中）如图所示，在aABC中，AB=AC,N84C为钝角，BC=6,AB.AC的垂直

平分线分别交8C于点。、E,连接A。、AE,那么ZkADE的周长为.

【变式3-1]（2018秋•江都区期中）如图，在"BC中，DM.EN分别垂直平分AC和8C交A8于M、N,

NAC8=118。，则NMCN的度数为.

【变式3-2]（2019秋•新乡期中）如图，在△D4E中，ZDAE=30°,线段AE,AD的中垂线分别交直线

DE于B和C两点，则N84C的大小是.

【变式3-3]（2018秋•老河口市期中）如图，ZiABC的边48,AC的垂直平分线相交于点P,连接尸B,PC,

若NA=70。，则N8PC的度数是.

【考点4三角形全等的条件判断】

【例4】（2018秋•利津县期中）如图,AB//CD,I3C//AD,AB=CD,AE=CF,其中全等三角形的对数是

（）

A.4B.3C.2D.1

【变式4-1]（2018秋•思明区校级期中）如图，已知，ZCAB=ZDAE,AC=AD,增加下歹J条件：①AB

=AEx②BC=EO；③NC=/。；④NB=/E；⑤N1=N2.其中能使的条件有（）

A.2个B.3个C.4个D.5个

【变式4-2]（2018秋•东台市期中）根据下列已知条件，能够画出唯一FABC的是（）

A.48=6,BC=5,ZA=50°B.AB=5,BC=6,AC=\3

C.ZA=50°,N3=80°,AD=SD.Z/A=40°,ZZ?=50°,NC=90。

【变式4-3]（2018秋♦东台市期中）如图，给出下列四组条件：

①AB=DE,BC=EF,AC=DF；

@AB=DE,BC=EF,NB=/E；

③/B=NE,NC=/F,BC=EF；

®AB=DE,AC=DF,/B=NE.

其中，能使AAbC立△£>£厂的条件共有（）

A.I组B.2组C.3组D.4组

【考点5全等三角形的判定与性质】

【例5】（2019秋•吉县期中）如图：在△人中，BE、C户分别是AC、两边上的高，在8E上截取8。

=AC,在CF的延长线上截取CG=A8,连接A。、AG.

（1）求证：AD=AG\

（2）人。与AG的位置关系如何，请说明理由.

【变式5-1]（2019•内江期中）如图，△AC。和ABCE都是等腰直角三角形，NACQ=N8C£=90。，AE交

于点R8。分别交CE、AE于点G、”.试猜测线段AE和8。的数量和位置关系，并说明理由.

【变式5-2]（2019秋•九龙坡区校级期中）如图，已知在MBC中，4。是BC边上的中线，E是A。上一

点，连接8E并延长交AC于点RAF=EF,求证：AC=BE.

【变式5-3]（2019秋•吴兴区校级期中）如图，在△ABC和△力。E中，AB=AC,AD=AE,^BAC=DAE

=90。，线段B。，CE有怎样的数量关系和位置关系？请说明理由.

【考点6复杂的尺规作图】

【例6】（2018秋•六合区期中）在七年级我们就学过用一副三曲板画出一些特殊度数的角.在八年级第二

章，我们学会了一些基本的尺观作图，这些特殊的角也能用尺规作下面请各位同学开动脑筋，只用

直尺和圆规完成下列作图.

己知：如图，射线。4.

求作：ZAOR,使得N八OA在射线04的上方，旦NAOA=45。（保留作图痕迹，不写作法）

【变式6-1]（2018秋•泗洪县期中）已知：如图，在A48C中，4CVAB且NC=2NB

（1）用直尺和圆规作出一条过点4的直线1,使得点C关于直线的对称点落在边48上（不写作法，保

留作图痕迹）

（2）设（1）中直线/与边8c的交点为。，请写出线段48、AC、CO之间的数量关系并说明理由.

【变式6-2]（2018秋•丹阳市期中）如图，"BC中,48=3,AC=4,BC=5.

（1）试用直尺和圆规，在直线八〃上求作点，，使△/中。为等腰二角形.要求：①保留作图痕迹；②若

点户有多解，则应作出所有的点P,并在图中依次标注P、P2、刊、…；

（2）根据（1）求附的长（所有可能的值）

【变式6-3]（2018•惠山区二模）如图，已知AABC（AC<AB<BC）,请用直尺（不带刻度）和圆规，按

下列要求作图（不要求写作法，但要保留作图痕迹）：

（1）在边BC上确定一点P,使得PA+PC=BC；

（2）作出一个△OER使得：①/是直角三角形；②△£）£尸的周长等于边6c的长.

【考点7利用轴对称变换求最值】

【例7】（2019秋•襄州区期中）如图，NAO8=30。，NAO3内有一定点2且"=12,在。4上有一点

Q,08上有一点R,若△名》周长最小，则最小周长是

【变式7-1］（2018秋•洛龙区校级期中）如图，等腰三角形/WC的面积是16,且底边8c长为4,腰AC

的垂直平分线EF分别交边AC,48于点EF,若点D为边8C的中点，点M为线段EF上一动点，则△CM。

周长的最小值是.

【变式7-2］（2019秋•北塘区期中）如图，在五边形A8CQE中，ZBAE=\36°,ZB=ZE=90°,在8C,

DE上分别找一点M,N,使得A4MN的周长最小时，则N4MN+NAN用的度数为.

【变式7-3］（2019♦黄冈期中）如图，AC,4。在4/3的同侧，AC=2,BD=8,/W=8,点M为A8的中点，

若/CMQ=12（）。，则CD的最大值是.

【考点8等腰三角形中的分类讨论思想】

【例8】（2018春•邺城县期中）等腰三角形的周长为15cm,其中一边长为3cm，则该等腰三角形的腰长为

（）

A.3cmB.6cmC.3c“？或6c〃？D.Scin

【变式8-1］（2018春•金水区校级期中）已知等腰三角形一腰的垂直平分线与另一腰所在的直线的夹角为

40°,则此等腰三角形的顶角是（）

A.50°B.130°C.50。或140°D.50。或130°

【变式8-2］（2019秋♦绥棱县期中）已知一个等腰三角形底边的长为5”〃，一腰上的中线把其周长分成的

两部分的差为3c7〃，则腰长为（）

A.2cmB.8c7〃C.2c〃？或8c〃？D.10cm

【变式8-3］（2018秋•沙依巴克区校级期中）等腰三角形一腰上的高等于该三角形某一条边的长度的一半，

则其顶角等于（）

A.30°B.30°或150。

C.120。或150°D.30°或120。或150°

【考点9灵活运用“三线合一”】

【例9】（2018秋•思明区校级期中）如图，已知等边aABC中，。是AC的中点，E是BC延长线上的一点，

HCE=CD,DMLBC,垂足为M,求证：M是的中点.

【变式9-1］（2018秋•湖里区校级期中）如图，中，AC=2AB,AO平分N8AC交8C于。，E是AD

上一点，且E4=EC,求证：EBVAB.

【变式9-2］（2019春•广饶县期中）已知AA47中，NA=90。，AB=AC,。为6c的中点.

（1）如图，若£、尸分别是A8、AC上的点，且8E=AF.求证：△£）£r为等腰直角三角形；

（2）若E,尸分别为A4C4延长线上的点，仍有8£=4兄其他条件不变，那么△。£尸是否仍为等腰

直角三角形？证明你的结论.

【变式9-3］（2018秋•研口区期中）如图，在等边△ABC中，。是A8上一点，石是延长线上一点，AD

=CE,DE交AC于点F.

（1）求证：DF=EFx

（2）过点。作。”_LAC于点区求里.

AC

【考点10三角形内角和与等腰三角形】

【例10】（2018秋•杭州期中）如图，"BC中，AB=AC,DE垂直平分AB,BEA.AC,AF±BC,求NEFC

为度数.

【变式10-1】（2019秋•沛县期中）如图，在△/45c中，A1^=AC=2,ZB=ZC=40°,点。在线段8c上

运动（点。不与点4、C重合），连接AO,作NA/"i=4。、/无交线段AC'于点儿

（1）当/8。4=115。时，ZBAD=°,NEDC=。，NDEC=。；点。从B向。的

运动过程中，N8D4逐渐变（填“大”或“小”）；

（2）当OC等于多少时，XABDqADCE,请说明理由.

【变式10-2】（2018秋•泗阳县期中）已知，在ZiABC中，点。在8C上，点E在8c的延长线上，且8。

=BA,CE=CA.

（1）如图1,若/B4C=90。，N8=45。，试求ND4E的度数；

（2）若N84C=90。，ZB=60°,则NQAE的度数为（直接写出结果）；

（3）如图2,若NB4O90。，其余条件不变，探究ND4E与NKAC之间有怎样的数量关系？

【变式10-3】（2019秋•越秀区期中）在aABC中，AB=AC,点。在底边BC上，AE=AD,连结短£

（1）如图①，已知N84C=90。，/朋。=60。，求NCOE的度数.

（2）如图①，己知N84C=90。，当点、D在BC（点、B、C除外）上运动时，试探究NZMD与NCO£的

数量关系；

（3）如图②，若/84行90。，试探究NZM。与NCQE的数量关系.

【考点11等腰三角形与全等三角形的综合】

【例II】（2019•东莞市模拟）如图，中，AB=BC,NABC=45。,于点石，于点。，

BE与AQ相交于F.

（1）求证：BF=ACx

（2）若8=3,求A尸的长.

【变式》1】（2018秋•临清市期末）如图，在等腰RSA5c中,ZACB=90°,。为5C的中点,DELAB,

垂足为£过点8作8r〃AC交DE的延长线F点尸，连接CE

（1）求证：CD=BF；

（2）求证：ADLCFx

（3）连接AR试判断A4C尸的形状.

【变式11-2］（2019秋•宁河县校级月考）如图，在AABC中，AB=AC,NBAC=45。，点。是8c的中点，

过点C作CE_LA3,垂足为点E,交AD于点F.

（1）求证：AE=CE；

（2）求证：AAEFGACEB.

【变式11-3］如图，已知等腰三角形ABC中，AB=AC,点。、石分别在边AB、4c上，且AO=A石，连接

BE、CD,交于点F.

（1）判断NA8E与NACO的数量关系，并说明理由；

（2）求证：过点4、尸的直线垂直平分线段8C.

【考点12等腰三角形中的新定义问题】

【例12】（2019秋•椒江区校级期中）定义：如果两条线段将一个三角形分成3个等腰三角形，我们把这两

条线段叫做这个三角形的“三阶等腰线”.

（1）请你在图1,图2中用两种不同的方法画出顶角为36。的等腰三角形的“三阶等腰线“，并标注每个

等腰三角形顶角的度数.（若两种方法分得的三角形成3对全等三角形，则视为同一种）.

（2）如图3,4ABC中，N8=36。，4。和OE是ZiABC的“三阶等腰线“，点。在8c边上，点E在AC

边上，且A£>=3O,DE=CE,设NC=x。，试画出示意图，并求出x所有可能的值.

【变式12-1】（2019春•市北区期中）（本题画图时，直接用直尺画出相关线段即可，不需尺规作图，直接

标注等腰三角形顶角度数即可，不需写出求解过程）

把一张顶角为36。的等腰三角形纸片折叠两次，得到3个等腰二角形，你能办到吗？图I是其中的一种

方法（虚线表示折痕）

定义：如果两条线段将一个三弟形分成3个等腰三角形，我们把这两条线段叫做这个三角形的三分线

（1）请你在图1后面用另一种不同的方法画出顶角为36。的等腰三角形的三分线

①标注折痕（折痕用虚线表示）

②标注得到的每个等腰三角形顶角的度数：

（若两种方法分得的三角形形成3对全等三角形，则视为同•种）

（2）请你在图2中用两种不同的方法画出顶角为45。的等腰三角形的三分线，并标注每个等腰三角形顶

角的度数（不必标注折痕，若两种方法分得的三角形成3对全等三角形，则视为同一种）

【变式12-2】（2019春•顺德区期中）如果一个三角形能被一条线段分割成两个等腰三角形，那么称这条线

段为这个三角形的特异线，称这个三角形为特异三角形.

（1）如图1,AABC是等腰锐角三角形，AB=AC（AB>BC）,若/ABC的角平分线8。交AC于点Q,

且BD是△A8C的一条特异线，则N8OC=度；

（2）如图2,AABC中，N8=2NC,线段AC的垂直平分线交AC于点。，交BC于点E.求证：AE是

△A3C的一条特异线；

（3）如图3,己知△A3C是特异三角形，且NA=30。，为钝角，求出所有可能的N8的度数（如有

需要，可在答题卡相应位置另外画图）.

【变式12-3】（2018秋•滨湖区期中）【定义】数学课上，陈老师对我们说，如果1条线段将一个三角形分

成2个等腰三角形，那么这1条线段就称为这个三角形的“好线”，如果2条线段将一个三角形分成3个

等腰三角形，那么这2条线段就称为这个三角形的“好好线”.【理解】如图①，在AABC中，NA=36。，

ZC=72°,请你在这个三角形中画出它的“好线”，并标出等腰三角形顶角的度数.

如图②，已知△48C是一个顶角为45。的等腰三角形，请你在这个三角形中画出它的“好好线”，并标出所

分得的等腰三角形底角的度数.

【应用】

（I）在△人AC中，已知一个内角为42。，若它只有“好线”，请你写出这个三角形最大内角的所有可能

值:

（2）在8c中，ZC=27°,4。和OE分别是△A8C的“好好线”，点。在BC边上，点E在A8边上，

且AQ=OC,BE=DE,请你根据题意画出示意图，并求N8的度数.

【考点13与等边三角形的性质与判定有关问题综合】

【例13】（2018春•天心区校级期末）如图，。是等边三角形A8C内一点，将线段AO绕点人顺时针旋转

60。，得到线段AE,连接CDBE.

（1）求证：NAEB=/AOC；

（2）连接。E,若NAOC=105。，求NBE。的度数.

【变式13-1】（2018秋•广州期末）如图1,点A是线段BC上一点，ZUBD,AAEC都是等边三角形，BE

交AO于点M,CD交,AE千N.

（1）求证：BE=DC；

（2）求证：AAMN是等边三角形;

（3）将aACE绕点A按顺时针方向旋转90°,其它条件不变，在图2中补出符合要求的图形，并判断（1）、

（2）两小题结论是否仍然成立，并加以证明.

【变式13-2】（2018秋•麻城市校级期末）（1）如图，△/WC中，AB=AC,点。在线段上，E是直线

BC上一点，且若NA=60。（如图①）.求证：EB=AD；

（2）若将（1）中的“点力在线段A8上”改为“点。在线段AB的延长线上“，其它条件不变（如图②），

（1）的结论是否成立，并说明理由.

【变式13-3】（2017秋•仁寿县期末）如图1,C是线段BE上一点，以8C、CE为边分别在8E的同侧作等

边△A8C和等边ZkOCE,连结4E、BD.

（1）求证：BD=AE；

（2）如图2,若M、N分别是线段八石、上的点，且请判断△OWN的形状，并说明理由.

【考点14翻折变换中的角度问题】

【例14】（2019春•东台市校级期中）aABC,直线。E交AB于D,交AC于E,将AAOE沿力E折叠，使

4落在同一平面上的4处，N4的两边与80、CE的夹角分别记为Nl,Z2.

（1）如图①，当4落在四边形BOEC内部时，探索NA与N1+N2之间的数量关系，并说明理由.

（2）如图②，当A落在AC右侧时，探索NA与Nl,N2之间的数量关系，并说明理由.

【变式14-1】（2019春•淮阴区期中）如图（1）,△/WC是一个三角形的纸片，点。、E分别是△ABC边上

为两点，

研究（1）：如果沿直线DE折叠，则与NA的关系是.

研究（2）：如果折成图2的形状，猜想N8DV、NCE4和/A的关系，并说明理由.

班究（3）：如果折成图3的形状，猜想NCE4和乙4的关系，并说明理由.

【变式14-2】（2019秋•李沧区期中）图形在折叠过程中会形成相等的边和相等的角，下面是同学们在数学

课上所做的三角形、四边形折叠实验，请根据实验过程解决问题：

问题（一）

如图①，一张二:角形人/JC纸片，点。、E分别是△八。。边上两点.

研究（1）：如果沿直线。月折叠，使4点落在CE上，则NBDV和NA的数量关系是；

研究（2）：如果折成图②的形状，猜想NBOA、NCE4和NA的数量关系是；

研究（3）：如果折成图③的形状，猜想NBDA、NCE4和/A的数量关系，并说明理由.

问题（二）

研究（4）：将问题（一）推广.如图④，将四边形A8co纸片沿£尸折叠，使点A、6落在四边形EFCO

的内部时，N1+/2与/A、N8之间的数量关系是.（直接写出结论）

【变式14-3】（2019春•广陵区校级期中）发现（1）如图1,把AA8C沿。£折叠，使点A落在点4处，请

你判断N1+N2与NA有何数量关系，直接写出你的结论，不必说明理由

思考（2〉如图2,W平分NA8C,。平分NACB,把△A4C折叠，使点人与点/重合，若Nl+N2=100。,

求/B/C的度数；

拓展（3）如图3,在锐角△A8C中，B凡LAC于点凡CGJ_AB于点G,BF、CG交于点H,把AABC折

叠使点A和点”重合，试探索与N1+N2的关系，并证明你的结论.

【考点15三角形中的动点问题】

【例15]（2019秋•全椒县期中）已知△ABC中，AC=BC,NC=120。，点。为AB边的中点，NED尸=60。,

DE、。产分别交AC、BC于E、F点.

（1）如图1,若EF"AB.求证：DE=DF.

（2）如图2,若石尸与AB不平行.则问题（1）的结论是否成立？说明理由.

【变式15-1】（2018秋•开州区期中）在"BC中，4B=AC,点Z）为射线C8上一个动点（不与B、C重合），

以AO为一边在A。的右侧作AAOE,使AO=AE,ZDAE=ZBAC,过点E作样〃8C,交直线AC于点

F,连接CE.

（1）如图①，若N8AC=60。，则按边分类：XCEF是三角形；

（2）若N8ACV60。.

①如图②，当点。在线段C8上移动时，判断△（7石/的形状并证明；

②当点D在线段的延长线上移动时，ACEF是什么三角形？请在图③中画出相应的图形并直接写出

结论（不必证明）.

【变式15-2】（2018秋•十堰期中）在"BC中，AB=AC,。是直线8C上一点，以AO为一条边在4。的

右侧作△&£>£；,使AE=A£>,ZDAE=ZBAC,连接CE.

（1）如图，当点。在6c延长线上移动时，若N8AC=25。，则NQCE=.

（2）设N8AC=a,ZDCE=f）.

①当点。在〃。延长线上移动时，a与。之间有什么数量关系？请说明理由；

②当点。在直线BC上（不与B,。两点重合）移动时，a与0之间有什么数量关系？请直接写出你的结

论.备用图备用图

【变式15-3】（2019秋•洪山区期中）（1）如图1,已知△ABC中，ZBAC=90°,AB=AC,直线机经过点

4,直线用，CEJL直线〃7,垂足分别为点D、E.求证：DE=BEHCE.

（2）如图2,将（I）中的条件改为：在AABC中，AB=AC,。、A、E三点都在直线〃?二，并且有N

BDA=ZAEC=ZBAC,求证：DE=BD+CE

（3）拓展与应用：如图3,D、E是。、A、E三点所在直线用上的两动点（D、A、E三点互不重合），

点"为N8AC平分线上的一点，且aA3r和aAC厂均为等边三角形，连接4。、CE,若NBDA=NAEC

=ZBAC,求证：△£>£/为等边三角形

【考点16灵活运用直角三角形斜边中线】

【例16】（2018秋•泗洪县期中）如图，在四边形A8CD中，AD//BC,DE1BC,垂足为点£连接AC交

DE于点F,点G为4尸的中点，NACO=2NACB.

（1）说明DC=DG；

（2）若DG=7,EC=4,求的长.

【变式16-1]（2018秋•海州区校级期中）如图,△43C是等腰直角三角形，AB=AC,。是斜边BC的中点,

E、产分别是A4、AC边上的点，KDE.LDF.

（1）请说明：DE=DF；

（2）请说明：BE2+CF2=EF2；

（3）若BE=6,Cr=8,求△DE/的面积（直接写结果）.

【变式16-2]（2018秋•高邮市期中）如图,4。是AABC的高，CE是"BC的中线.

（1）若4）=12,80=16,求。氏

（2）已知点尸是中线的中点，连接OF,若NAEC=57。，ZDFE=90°,求NBC£的度数.

【变式16-3】（2018秋•太仓市期末）如图,在△ABC中，CF_L45于尸,IE_LAC于E,M为5c的中点,

BC=1().

(1)若N4AC=50。，NACB=60。，求NEW/的度数;

（2）若EF=4,求△“£尸的面积.

【考点17灵活运用30。直角三角形】

[ft17]（2018秋•天台县期中）如图，在RS/WC中，CM平分NAC8交人B于点M,过点M作MN〃8C

交AC于点N,且MN平分NAMC,若AN=1.

（1）求N8的度数；

（2）求CN的长.

【变式17-1]（2019秋•江津区校级期中）已知：如图A47c中,AB=AC,ZC=30°,ABLAD,AD=4cm.求

BC的长.

【变式17-2】（2019秋•重庆校级期中）如图，已知△/14c中，44=AC,N84C=120。，4c的垂直平分线

EF交AC于点、E,交4c于点F,且CP=3.求BF.

【变式17-3】（2018春•槐荫区期中）如图所示，在等边AABC中，点E分别在边AC,AC上，且OE

//AB,过点E作E凡LOE交8c的延长线于点F.

（1）求N尸的大小；

（2）若CQ=3,求。尸的长.

【考点18勾股定理与折叠】

【例18]（2019•云阳县校级模拟）如图，在矩形A8CO中，AB=1,BC=2,将其折叠使A4落在对角线

4c上，得到折痕AE,那么BE的长度为（）

A6TRh

22c2

【变式18-1】（2018春•江夏区期中）如图，矩形/WCO中，AB=5,AO=4,M是边。。上一点，将A/WM

沿直线AM对折，得△ANM,连用V,若。M=l,则△ABN的面积是（）

A.侬B.142c,146

151715

【变式18-2]如图，在矩形A8CD中，AB=4,BC=6,点E为BC的中点,将ZU座沿4E折叠，使点B

落在矩形内点尸处，连