二次函数的应用复习课教案

二次函数的应用复习课教案一、教学目标1.知识与技能目标熟练掌握二次函数的基本性质，包括开口方向、对称轴、顶点坐标等。能运用二次函数的图象和性质解决实际问题，如求最值、解决抛物线型问题等。提高学生将实际问题转化为数学模型（二次函数）的能力，以及运用二次函数知识分析和解决问题的能力。2.过程与方法目标通过复习回顾，培养学生系统梳理知识的能力，构建完整的知识体系。借助典型例题和实际问题的分析与解决，让学生经历观察、分析、归纳、总结等过程，体会数学建模思想和函数思想，提高学生的逻辑思维能力和解题技巧。3.情感态度与价值观目标激发学生学习数学的兴趣，增强学生学习数学的自信心，培养学生勇于探索、敢于创新的精神。通过实际问题的解决，让学生感受数学与生活的紧密联系，体会数学的应用价值，提高学生运用数学知识服务生活的意识。二、教学重难点1.教学重点二次函数的性质及其应用，特别是在实际问题中的应用。建立二次函数模型解决实际问题的思路和方法。2.教学难点如何引导学生将实际问题准确地转化为二次函数模型，并能根据实际情况确定自变量的取值范围。对实际问题中最值的理解和应用，以及如何对结果进行合理的解释和检验。三、教学方法1.讲授法：系统讲解二次函数的相关知识和解题方法，使学生对复习内容有一个全面的认识。2.讨论法：组织学生对典型例题和实际问题进行讨论，鼓励学生积极思考、发表见解，培养学生的合作交流能力和思维能力。3.练习法：通过适量的练习题，让学生巩固所学知识，提高解题能力，及时反馈学生对知识的掌握情况。4.多媒体辅助教学法：利用多媒体展示二次函数的图象、动画等，直观形象地帮助学生理解抽象的知识，提高课堂教学效率。四、教学过程（一）知识回顾（5分钟）1.引导学生回顾二次函数的一般形式：\(y=ax^2+bx+c\)（\(a≠0\)），并提问学生二次函数的图象与系数\(a\)、\(b\)、\(c\)的关系。当\(a＞0\)时，抛物线开口向上；当\(a＜0\)时，抛物线开口向下。对称轴公式为\(x=\frac{b}{2a}\)。顶点坐标公式为\((\frac{b}{2a},\frac{4acb^2}{4a})\)。2.让学生说一说二次函数的增减性，即当\(a＞0\)时，在对称轴左侧\(y\)随\(x\)的增大而减小，在对称轴右侧\(y\)随\(x\)的增大而增大；当\(a＜0\)时，在对称轴左侧\(y\)随\(x\)的增大而增大，在对称轴右侧\(y\)随\(x\)的增大而减小。（二）例题讲解（20分钟）1.例1：已知二次函数\(y=2x^24x+1\)，求其开口方向、对称轴、顶点坐标，并说明函数的增减性。解：对于二次函数\(y=2x^24x+1\)，其中\(a=2＞0\)，所以抛物线开口向上。对称轴：\(x=\frac{b}{2a}=\frac{4}{2×2}=1\)。顶点坐标：把\(x=1\)代入函数得\(y=2×1^24×1+1=1\)，所以顶点坐标为\((1,1)\)。增减性：因为\(a＞0\)，对称轴为\(x=1\)，所以当\(x＜1\)时，\(y\)随\(x\)的增大而减小；当\(x＞1\)时，\(y\)随\(x\)的增大而增大。讲解完后，强调二次函数性质的应用要点，引导学生注意计算过程中的细节。2.例2：求二次函数\(y=x^2+2x+3\)的最大值。解：由二次函数\(y=x^2+2x+3\)可知\(a=1＜0\)，抛物线开口向下，函数有最大值。对称轴为\(x=\frac{b}{2a}=\frac{2}{2×(1)}=1\)。把\(x=1\)代入函数得\(y=1^2+2×1+3=4\)，所以函数的最大值为\(4\)。总结求二次函数最值的方法：对于二次函数\(y=ax^2+bx+c\)（\(a≠0\)），当\(a＞0\)时，函数有最小值，最小值为\(\frac{4acb^2}{4a}\)；当\(a＜0\)时，函数有最大值，最大值为\(\frac{4acb^2}{4a}\)。也可先求出对称轴，再将对称轴的值代入函数解析式求出最值。（三）实际问题应用（25分钟）1.例3：某商场销售一批衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元。为了扩大销售，增加盈利，商场决定采取适当的降价措施。经调查发现，如果每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出2件。设每件衬衫降价\(x\)元，每天盈利为\(y\)元。（1）求\(y\)与\(x\)之间的函数关系式。（2）每件衬衫降价多少元时，商场每天盈利最多？最多盈利多少元？解：（1）原来每件盈利40元，降价\(x\)元后每件盈利\((40x)\)元。原来每天可售出20件，每降价1元多售出2件，降价\(x\)元后每天可售出\((20+2x)\)件。所以\(y\)与\(x\)之间的函数关系式为：\(y=(40x)(20+2x)\)展开得：\(y=800+80x20x2x^2=2x^2+60x+800\)。（2）由\(y=2x^2+60x+800\)可知\(a=2＜0\)，函数有最大值。对称轴为\(x=\frac{b}{2a}=\frac{60}{2×(2)}=15\)。把\(x=15\)代入函数得\(y=2×15^2+60×15+800=450+900+800=1250\)。所以每件衬衫降价15元时，商场每天盈利最多，最多盈利1250元。引导学生分析问题中的数量关系，如何建立函数模型，以及自变量取值范围的确定（\(x\)的取值要使实际问题有意义）。让学生思考还有其他方法求最值吗（如配方的方法），并进行简单介绍。2.例4：如图，有一座抛物线形拱桥，桥下面在正常水位时AB=20m，水位上升3m就达到警戒线CD，这时水面宽度为10m。（1）在如图的坐标系中求抛物线的解析式。（2）若洪水到来时，水位以每小时0.2m的速度上升，从警戒线开始，再持续多少小时才能到拱桥顶？解：（1）设抛物线的解析式为\(y=ax^2+bx+c\)。已知点\(B(10,0)\)，\(D(5,3)\)，把点代入解析式可得方程组：\(\begin{cases}100a+10b+c=0\\25a+5b+c=3\end{cases}\)又因为抛物线对称轴为\(y\)轴，所以\(\frac{b}{2a}=0\)，即\(b=0\)。将\(b=0\)代入方程组得：\(\begin{cases}100a+c=0\\25a+c=3\end{cases}\)两式相减得：\(75a=3\)，解得\(a=\frac{1}{25}\)。把\(a=\frac{1}{25}\)代入\(100a+c=0\)得：\(c=4\)。所以抛物线的解析式为\(y=\frac{1}{25}x^2+4\)。（2）当\(x=0\)时，\(y=4\)，即拱桥顶到警戒线的距离为\(43=1m\)。洪水速度为每小时0.2m，所以所需时间为\(1÷0.2=5\)小时。让学生思考如何根据实际图形建立平面直角坐标系，以及如何利用已知点的坐标来确定抛物线的解析式。引导学生理解在实际问题中如何将几何问题转化为代数问题（通过建立函数模型）。（四）课堂练习（15分钟）1.已知二次函数\(y=3x^26x+5\)，求其开口方向、对称轴、顶点坐标，并说明函数的增减性。2.求二次函数\(y=2x^28x+9\)的最小值。3.某果园有100棵橙子树，每一棵树平均结600个橙子。现准备多种一些橙子树以提高产量，但是如果多种树，那么树之间的距离和每一棵树所接受的阳光就会减少。根据经验估计，每多种一棵树，平均每棵树就会少结5个橙子。设增种\(x\)棵橙子树，果园橙子的总产量为\(y\)个。（1）求\(y\)与\(x\)之间的函数关系式。（2）增种多少棵橙子树时，果园橙子的总产量最多？最多是多少？4.如图，隧道的截面由抛物线和长方形构成，长方形的长是8m，宽是2m，抛物线的最高点到路面的距离为6m。（1）建立适当的坐标系，求抛物线的解析式。（2）一辆货运卡车高4m，宽2m，它能通过该隧道吗？（学生独立完成练习，教师巡视指导，及时纠正学生的错误，对有困难的学生进行个别辅导。练习完成后，选取部分学生进行展示和讲解，教师进行点评和总结。）（五）课堂小结（5分钟）1.引导学生回顾本节课复习的主要内容：二次函数的性质（开口方向、对称轴、顶点坐标、增减性），二次函数最值的求法，以及如何建立二次函数模型解决实际问题。2.强调在解决实际问题时，要注意分析题目中的数量关系，准确确定自变量的取值范围，并对结果进行合理的检验和解释。3.让学生分享自己在本节课中的收获和体会，以及存在的疑问。（六）布置作业1.书面作业：课本相关练习题。2.拓展作业：某商场将进价为2000元的冰箱以2400元售出，平均每天能售出8台，为了配合国家"家电下乡"政策的实施，商场决定采取适当的降价措施。调查表明：这种冰箱的售价每降低50元，平均每天就能多售出4台。（1）假设每台冰箱降价\(x\)元，商场每天销售这种冰箱的利润是\(y\)元，请写出\(y\)与\(x\)之间的函数关系式；（2）商场要想在这种冰箱销售中每天盈利4800元，同时又要使百姓得到实惠，每台冰箱应降价多少元？（3）每台冰箱降价多少元时，商场每天销售这种冰箱的利润最高？最高利润是多少？3.实践作业：让学生观察生活中的实际问题，尝试找出可以用二次函数解决的问题，并记录下来，下节课进行分享。五、教学反思通过本节课的复习，学生对二次函数的性质及其应用有了更深入的理解和掌握。在教学过程中，注重引导学生回顾基础知识