二次函数的应用面积最大问题教学设计

二次函数的应用面积最大问题教学设计一、教学目标1.知识与技能目标能够分析实际问题中变量之间的二次函数关系，并运用二次函数的性质求出实际问题的最大值或最小值。能根据面积最大问题建立二次函数模型，通过配方或公式法求出函数的最值，并能结合实际问题的背景解释最值的实际意义。2.过程与方法目标通过经历将实际问题转化为二次函数问题的过程，培养学生分析问题、解决问题的能力，体会数学建模的思想方法。在探究二次函数在面积最大问题中的应用过程中，发展学生的逻辑思维能力，提高学生运用数学知识解决实际问题的能力。3.情感态度与价值观目标通过解决实际问题，让学生体验数学与生活的紧密联系，感受数学的应用价值，激发学生学习数学的兴趣。在小组合作探究中，培养学生的团队合作精神和勇于探索的精神，增强学生学习数学的自信心。二、教学重难点1.教学重点建立二次函数模型解决面积最大问题。求二次函数的最值，并能结合实际问题解释最值的意义。2.教学难点如何引导学生将实际问题转化为二次函数问题，正确确定二次函数的表达式和自变量的取值范围。理解实际问题中最值的实际意义，并能根据实际情况对结果进行合理的取舍。三、教学方法1.讲授法：讲解二次函数应用面积最大问题的基本概念、原理和方法，使学生系统地掌握知识。2.讨论法：组织学生对实际问题进行讨论，鼓励学生积极思考、发表自己的见解，培养学生的合作交流能力和思维能力。3.探究法：引导学生通过自主探究、小组合作等方式，探索解决面积最大问题的方法和规律，培养学生的探究能力和创新精神。4.练习法：通过布置适量的练习题，让学生巩固所学知识，提高运用二次函数解决实际问题的能力。四、教学过程（一）情境导入（5分钟）展示一些生活中常见的与面积有关的图片，如花园、矩形场地等，引导学生观察并思考：在这些实际问题中，如何通过数学知识来确定面积的最大值？提出问题：某学校计划在校园内一块长为30m，宽为20m的矩形空地上建造一个矩形花园，要求花园四周小路的宽度相等，怎样设计才能使花园的面积最大？（二）知识回顾（3分钟）回顾二次函数的一般形式\(y=ax^2+bx+c\)（\(a\neq0\)），以及二次函数求最值的方法：当\(a\gt0\)时，函数图象开口向上，函数有最小值，其最小值为\(y=\frac{4acb^2}{4a}\)；当\(a\lt0\)时，函数图象开口向下，函数有最大值，其最大值为\(y=\frac{4acb^2}{4a}\)。复习配方法求二次函数最值的步骤：先将二次函数\(y=ax^2+bx+c\)通过配方转化为顶点式\(y=a(xh)^2+k\)，其中顶点坐标为\((h,k)\)。当\(a\gt0\)时，\(x=h\)时，\(y\)有最小值\(k\)；当\(a\lt0\)时，\(x=h\)时，\(y\)有最大值\(k\)。（三）探究新知（20分钟）1.分析问题引导学生设花园四周小路的宽度为\(x\)米。让学生思考如何表示花园的长和宽。学生回答：花园的长为\((302x)\)米，宽为\((202x)\)米。进而得出花园面积\(S\)与\(x\)的函数关系式：\(S=(302x)(202x)\)展开式子得：\(S=60060x40x+4x^2=4x^2100x+600\)。2.确定自变量取值范围让学生思考\(x\)的取值范围，因为花园的长和宽都不能为负数，所以有：\(\begin{cases}302x\gt0\\202x\gt0\end{cases}\)解第一个不等式得：\(30\gt2x\)，即\(x\lt15\)；解第二个不等式得：\(20\gt2x\)，即\(x\lt10\)。所以\(x\)的取值范围是\(0\ltx\lt10\)。3.求函数最值方法一：配方法对\(S=4x^2100x+600\)进行配方：\(S=4(x^225x)+600=4(x^225x+\frac{625}{4}\frac{625}{4})+600\)\(=4[(x\frac{25}{2})^2\frac{625}{4}]+600=4(x\frac{25}{2})^2625+600=4(x\frac{25}{2})^225\)。因为\(a=4\gt0\)，函数图象开口向上，对称轴为\(x=\frac{25}{2}\)，但\(x\)的取值范围是\(0\ltx\lt10\)，所以在\(0\ltx\lt10\)这个范围内，\(S\)随\(x\)的增大而减小。当\(x=10\)时，\(S\)取得最大值，\(S_{max}=4\times(10\frac{25}{2})^225=4\times(\frac{5}{2})^225=4\times\frac{25}{4}25=0\)（舍去），当\(x=0\)时，\(S=600\)，所以当\(x=5\)时，\(S\)有最大值。\(S_{max}=4\times(5\frac{25}{2})^225=4\times(\frac{15}{2})^225=4\times\frac{225}{4}25=22525=200\)（平方米）。方法二：公式法对于二次函数\(S=4x^2100x+600\)，其中\(a=4\)，\(b=100\)，\(c=600\)。根据求最值公式\(y=\frac{4acb^2}{4a}\)，可得：\(S_{max}=\frac{4\times4\times600(100)^2}{4\times4}=\frac{960010000}{16}=\frac{400}{16}=200\)（平方米）。此时\(x=\frac{b}{2a}=\frac{100}{2\times4}=\frac{100}{8}=12.5\)（舍去），当\(x=5\)时，\(S\)有最大值\(200\)平方米。4.得出结论当花园四周小路的宽度为\(5\)米时，花园的面积最大，最大面积为\(200\)平方米。（四）例题讲解（15分钟）例：如图，用长为\(20m\)的篱笆，一面靠墙（墙的长度不限），围成一个矩形养鸡场。设矩形与墙垂直的一边长为\(x\)米，养鸡场的面积为\(y\)平方米。（1）求\(y\)与\(x\)的函数关系式，并写出自变量\(x\)的取值范围。（2）当\(x\)为何值时，养鸡场的面积最大？最大面积是多少？解：（1）因为与墙垂直的一边长为\(x\)米，所以与墙平行的一边长为\((202x)\)米。则养鸡场的面积\(y=x(202x)=2x^2+20x\)。由于篱笆的长度是固定的，且矩形的边长不能为负数，所以有\(\begin{cases}x\gt0\\202x\gt0\end{cases}\)，解第二个不等式得\(x\lt10\)，所以自变量\(x\)的取值范围是\(0\ltx\lt10\)。（2）方法一：配方法\(y=2x^2+20x=2(x^210x)=2(x^210x+2525)=2[(x5)^225]=2(x5)^2+50\)。因为\(a=2\lt0\)，函数图象开口向下，对称轴为\(x=5\)，在\(0\ltx\lt10\)范围内，当\(x=5\)时，\(y\)有最大值。\(y_{max}=50\)（平方米）。方法二：公式法对于二次函数\(y=2x^2+20x\)，其中\(a=2\)，\(b=20\)，\(c=0\)。根据求最值公式\(y=\frac{4acb^2}{4a}\)，可得：\(y_{max}=\frac{4\times(2)\times020^2}{4\times(2)}=\frac{400}{8}=50\)（平方米）。此时\(x=\frac{b}{2a}=\frac{20}{2\times(2)}=5\)。所以当\(x=5\)米时，养鸡场的面积最大，最大面积是\(50\)平方米。（五）课堂练习（10分钟）1.用一根长为\(40cm\)的铁丝围成一个矩形，怎样围成一个面积最大的矩形？最大面积是多少？2.如图，在一个直角三角形的内部作一个矩形\(ABCD\)，其中\(AB\)和\(AD\)分别在两直角边上，设矩形的一边\(AB=xm\)，矩形的面积为\(ym^2\)，已知两直角边分别为\(30m\)和\(40m\)。（1）写出\(y\)与\(x\)的函数关系式，并求出自变量\(x\)的取值范围。（2）当\(x\)为何值时，矩形的面积最大？最大面积是多少？（六）课堂小结（5分钟）引导学生回顾本节课所学内容：1.如何将实际问题中的面积最大问题转化为二次函数问题，关键是找出变量之间的关系，建立二次函数模型。2.确定二次函数的表达式后，要注意自变量的取值范围，它是由实际问题的条件决定的。3.求二次函数最值的方法有配方法和公式法，根据函数的特点选择合适的方法。4.求出最值后，要结合实际问题的背景解释最值的实际意义，对结果进行合理的取舍。（七）布置作业（5分钟）1.必做题：课本习题中相关练习题。2.选做题：某农场要建一个长方形的养鸡场，鸡场的一边靠墙（墙长\(25m\)），另三边用木栏围成，木栏长\(40m\)。（1）鸡场的面积能达到\(180m^2\)吗？能达到\(200m^2\)吗？（2）鸡场的面积能达到\(250m^2\)吗？如果能，请给出设计方案；如果不能，请说明理由。五、教