微积分基础形成性考核作业-

微积分基础形成性考核作业-一、单选题1.函数$y=\frac{1}{\ln(x1)}$的定义域是（）A.$(1,+\infty)$B.$[1,+\infty)$C.$(1,2)\cup(2,+\infty)$D.$(2,+\infty)$答案：C解析：要使函数有意义，则$\ln(x1)\neq0$且$x1\gt0$，即$x1\neq1$且$x\gt1$，解得$x\gt1$且$x\neq2$，所以定义域为$(1,2)\cup(2,+\infty)$。2.函数$f(x)=\frac{x^21}{x1}$，当$x\to1$时，函数的极限是（）A.0B.1C.2D.不存在答案：C解析：化简$f(x)=\frac{x^21}{x1}=x+1$，当$x\to1$时，$\lim\limits_{x\to1}f(x)=\lim\limits_{x\to1}(x+1)=2$。3.已知$\lim\limits_{x\toa}\frac{f(x)f(a)}{xa}=A$，则$\lim\limits_{x\toa}\frac{f(x)}{xa}$等于（）A.AB.$f(a)$C.$f(a)+A$D.$f(a)A$答案：C解析：由$\lim\limits_{x\toa}\frac{f(x)f(a)}{xa}=A$可得$f(x)f(a)=A(xa)+o(xa)$，则$f(x)=f(a)+A(xa)+o(xa)$，所以$\lim\limits_{x\toa}\frac{f(x)}{xa}=\lim\limits_{x\toa}\frac{f(a)+A(xa)+o(xa)}{xa}=f(a)+A$。二、填空题1.函数$y=\sqrt{4x^2}+\frac{1}{\ln(x+1)}$的定义域是______。答案：$(1,0)\cup(0,2]$解析：要使函数有意义，则$4x^2\geq0$且$x+1\gt0$且$\ln(x+1)\neq0$，即$2\leqx\leq2$且$x\gt1$且$x+1\neq1$，解得$1\ltx\lt0$或$0\ltx\leq2$，所以定义域为$(1,0)\cup(0,2]$。2.$\lim\limits_{x\to0}\frac{\sin3x}{x}=$______。答案：3解析：根据重要极限$\lim\limits_{x\to0}\frac{\sinx}{x}=1$，则$\lim\limits_{x\to0}\frac{\sin3x}{x}=3\lim\limits_{x\to0}\frac{\sin3x}{3x}=3$。3.已知$f(x)=\begin{cases}x^2+1,&x\lt0\\2x1,&x\geq0\end{cases}$，则$\lim\limits_{x\to0^}f(x)=$______，$\lim\limits_{x\to0^+}f(x)=$______，$\lim\limits_{x\to0}f(x)=$______。答案：1；1；不存在解析：$\lim\limits_{x\to0^}f(x)=\lim\limits_{x\to0^}(x^2+1)=1$，$\lim\limits_{x\to0^+}f(x)=\lim\limits_{x\to0^+}(2x1)=1$，因为左右极限不相等，所以$\lim\limits_{x\to0}f(x)$不存在。三、计算题1.求极限$\lim\limits_{x\to1}\frac{x^21}{2x^2x1}$。解：\[\begin{align*}\lim\limits_{x\to1}\frac{x^21}{2x^2x1}&=\lim\limits_{x\to1}\frac{(x1)(x+1)}{(2x+1)(x1)}\\&=\lim\limits_{x\to1}\frac{x+1}{2x+1}\\&=\frac{1+1}{2\times1+1}\\&=\frac{2}{3}\end{align*}\]2.求极限$\lim\limits_{x\to\infty}(1+\frac{2}{x})^{3x}$。解：令$t=\frac{x}{2}$，则当$x\to\infty$时，$t\to\infty$，原式可化为\[\begin{align*}\lim\limits_{x\to\infty}(1+\frac{2}{x})^{3x}&=\lim\limits_{t\to\infty}(1+\frac{1}{t})^{6t}\\&=[\lim\limits_{t\to\infty}(1+\frac{1}{t})^{t}]^6\\&=e^6\end{align*}\]四、证明题证明：当$x\to0$时，$\sinx\simx$。证明：要证明$\sinx\simx$，即证明$\lim\limits_{x\to0}\frac{\sinx}{x}=1$。由重要极限可知$\lim\limits_{x\to0}\frac{\sinx}{x}=1$，所以当$x\to0$时，$\sinx\simx$。《微积分基础》形成性考核作业(二)一、单选题1.函数$y=x^33x$在区间$[2,2]$上的最大值是（）A.2B.2C.0D.4答案：A解析：对$y=x^33x$求导得$y^\prime=3x^23$，令$y^\prime=0$，解得$x=\pm1$。计算$y(2)=2$，$y(1)=2$，$y(1)=2$，$y(2)=2$，所以最大值是2。2.函数$f(x)$在点$x_0$处可导是$f(x)$在点$x_0$处连续的（）A.必要条件B.充分条件C.充要条件D.既非充分也非必要条件答案：B解析：可导一定连续，但连续不一定可导，所以函数$f(x)$在点$x_0$处可导是$f(x)$在点$x_0$处连续的充分条件。3.曲线$y=e^x$在点$(0,1)$处的切线方程是（）A.$y=x+1$B.$y=x1$C.$y=x+1$D.$y=x1$答案：A解析：对$y=e^x$求导得$y^\prime=e^x$，在点$(0,1)$处的切线斜率$k=e^0=1$，所以切线方程为$y1=1\times(x0)$，即$y=x+1$。二、填空题1.函数$y=x^22x+3$的单调递增区间是______。答案：$(1,+\infty)$解析：对$y=x^22x+3$求导得$y^\prime=2x2$，令$y^\prime\gt0$，解得$x\gt1$，所以单调递增区间是$(1,+\infty)$。2.函数$f(x)=\frac{1}{3}x^3x^23x+1$的驻点是______。答案：$x=3$和$x=1$解析：对$f(x)$求导得$f^\prime(x)=x^22x3$，令$f^\prime(x)=0$，即$x^22x3=0$，解得$x=3$或$x=1$，所以驻点是$x=3$和$x=1$。3.曲线$y=\lnx$在点$(1,0)$处的切线斜率是______。答案：1解析：对$y=\lnx$求导得$y^\prime=\frac{1}{x}$，在点$(1,0)$处的切线斜率$k=1$。三、计算题1.求函数$y=x^33x^29x+5$的单调区间和极值。解：对$y=x^33x^29x+5$求导得$y^\prime=3x^26x9=3(x+1)(x3)$。令$y^\prime=0$，解得$x=1$或$x=3$。当$x\lt1$时，$y^\prime\gt0$，函数单调递增；当$1\ltx\lt3$时，$y^\prime\lt0$，函数单调递减；当$x\gt3$时，$y^\prime\gt0$，函数单调递增。所以极大值为$y(1)=10$，极小值为$y(3)=22$。2.求曲线$y=x^2+1$与直线$y=2x+1$所围成图形的面积。解：联立方程组$\begin{cases}y=x^2+1\\y=2x+1\end{cases}$，解得$\begin{cases}x=0\\y=1\end{cases}$和$\begin{cases}x=2\\y=5\end{cases}$。所求面积$S=\int_{0}^{2}[(2x+1)(x^2+1)]dx=\int_{0}^{2}(2xx^2)dx=(x^2\frac{1}{3}x^3)\vert_{0}^{2}=\frac{4}{3}$。四、应用题要做一个容积为$V$的圆柱形罐头筒，怎样设计才能使所用材料最省？解：设圆柱底面半径为$r$，高为$h$，则$V=\pir^2h$，$h=\frac{V}{\pir^2}$。罐头筒的表面积$S=2\pir^2+2\pirh=2\pir^2+2\pir\times\frac{V}{\pir^2}=2\pir^2+\frac{2V}{r}$。对$S$求导得$S^\prime=4\pir\frac{2V}{r^2}$，令$S^\prime=0$，解得$r=\sqrt[3]{\frac{V}{2\pi}}$。此时$h=\sqrt[3]{\frac{4V}{\pi}}$，所以当底面半径为$\sqrt[3]{\frac{V}{2\pi}}$，高为$\sqrt[3]{\frac{4V}{\pi}}$时，所用材料最省。《微积分基础》形成性考核作业(三)一、单选题1.下列函数中，在区间$[1,1]$上满足罗尔定理条件的是（）A.$y=\frac{1}{x^2}$B.$y=|x|$C.$y=1x^2$D.$y=x1$答案：C解析：罗尔定理条件为函数在闭区间上连续，开区间内可导，且区间端点函数值相等。逐一分析选项，$y=1x^2$满足在$[1,1]$上连续，在$(1,1)$内可导，且$f(1)=f(1)=0$。2.函数$f(x)$在区间$[a,b]$上连续是$f(x)$在该区间上可积的（）A.必要条件B.充分条件C.充要条件D.既非充分也非必要条件答案：B解析：函数连续是可积的充分条件，但不是必要条件。3.若$\int_{a}^{b}f(x)dx=F(b)F(a)$，则$\int_{1}^{2}x^2dx$等于（）A.$\frac{7}{3}$B.$\frac{8}{3}$C.3D.4答案：A解析：根据公式$\int_{1}^{2}x^2dx=\frac{1}{3}x^3\vert_{1}^{2}=\frac{8}{3}(\frac{1}{3})=\frac{7}{3}$。二、填空题1.函数$f(x)=x^3$在区间$[0,1]$上满足拉格朗日中值定理的$\xi=$______。答案：$\frac{\sqrt{3}}{3}$解析：由拉格朗日中值定理$f(1)f(0)=f^\prime(\xi)(10)$，$f(x)=x^3$，$f^\prime(x)=3x^2$，则$10=3\xi^2$，解得$\xi=\frac{\sqrt{3}}{3}$。2.若$\int_{0}^{x}f(t)dt=x\sinx$，则$f(x)=$______。答案：$\sinx+x\cosx$解析：对等式两边求导，根据变上限积分求导法则可得$f(x)=\sinx+x\cosx$。3.$\int_{1}^{1}\frac{1}{1+x^2}dx=$______。答案：$\frac{\pi}{2}$解析：根据积分公式$\int_{1}^{1}\frac{1}{1+x^2}dx=\arctanx\vert_{1}^{1}=\frac{\pi}{4}(\frac{\pi}{4})=\frac{\pi}{2}$。三、计算题1.计算$\int_{0}^{1}xe^xdx$。解：利用分部积分法，设$u=x$，$dv=e^xdx$，则$du=dx$，$v=e^x$。$\int_{0}^{1}xe^xdx=[xe^x]\vert_{0}^{1}\int_{0}^{1}e^xdx=e(e^x)\vert_{0}^{1}=e(e1)=1$。2.计算$\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\sin^2xdx$。解：根据半角公式$\sin^2x=\frac{1\cos2x}{2}$，则\[\begin{align*}\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\sin^2xdx&=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\frac{1\cos2x}{2}dx\\&=\frac{1}{2}\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}(1\cos2x)dx\\&=\frac{1}{2}(x\frac{1}{2}\sin2x)\vert_{0}^{\frac{\pi}{2}}\\&=\frac{1}{2}(\frac{\pi}{2}0)=\frac{\pi}{4}\end{align*}\]