2025年广东省广州市华南师大附中中考数学一模试卷

第1页（共1页）2025年广东省广州市华南师大附中中考数学一模试卷一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）1．（3分）2025的绝对值是（）A．2025 B．﹣2025 C． D．2．（3分）下列几何体中，主视图是（）A． B． C． D．3．（3分）如图，点A，B在数轴上表示的数互为相反数，那么点A表示的数是（）A．﹣3 B．﹣2 C．﹣1 D．34．（3分）下列计算中，正确的是（）A．x4+x2＝x6 B．a6÷a3＝a2 C．（﹣2x2y）3＝﹣6x6y3 D．﹣2x+3x＝x5．（3分）某校篮球队13名同学的身高如下表：身高（cm）175180182185188人数（个）15421则该校篮球队13名同学身高的众数和中位数分别是（）A．182，180 B．180，180 C．180，182 D．188，1826．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，DE是AB的垂直平分线，垂足为E．若DE＝1（）A．2 B．3 C．4 D．57．（3分）如图，点D，E分别是⊙O的内接△ABC的AB、AC边上的中点，∠A＝45°，则劣弧BC的长等于（）A． B． C．π D．8．（3分）关于x的方程x2﹣4x+b＝0有两个相等的实数根．在△ABC中BC＝3，AB＝5，AC＝b（）A．1.5 B．2 C．2.5 D．39．（3分）已知点A、B分别在反比例函数（x＞0），（x＞0）的图象上，且OA⊥OB，则（）A． B． C． D．310．（3分）二次函数y＝﹣x2﹣2x+c2﹣2c在﹣3≤x≤2的范围内有最小值为﹣5，则c的值为（）A．3或﹣1 B．﹣1 C．﹣3或1 D．3二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分.）11．（3分）如果分式有意义，那么实数x的取值范围是．12．（3分）如图，点B的坐标是（0，3），将△OAB沿x轴向右平移至△CDE，则点A移动的距离是．13．（3分）已知△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，则△ABC内切圆半径为．14．（3分）某校数学兴趣小组开展“利用影子测量物体的高度”的活动：如图，直立于地面上的电线杆AB，在阳光下落在水平地面和坡面上的影子分别是BC，测得BC＝5米，CD＝4米，在D处测得电线杆顶端A的仰角为45°，则电线杆AB的高度约为米．（结果保留根号）15．（3分）《九章算术》中卷九勾股篇记载：今有圆材埋于壁中，不知大小．以锯锯之，深一寸，OD为⊙O的半径，弦AB⊥OD，CD＝1寸，AB＝1尺（1尺＝10寸）寸．16．（3分）如图，在矩形ABCD中，AB＝10，点N是AB边上的中点，点M是BC边上的一动点连接MN，若点B的对应点B′，连接B′C，当△B′MC为直角三角形时，BM的长为．三、解答题（本大题共9小题，满分72分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（4分）解不等式组：．18．（4分）如图，在▱ABCD中，点E，AD上，AC与EF相交于点O19．（6分）已知．（1）化简T；（2）若在平面直角坐标系中，点P（a，b）为反比例函数，且OP＝5，求T的值．20．（8分）某中学九（1）班为了了解全班学生喜欢球类活动的情况，采取全面调查的方法，根据调查的结果组建了4个兴趣小组，并绘制成如图所示的两幅不完整的统计图（如图①，②，要求每位学生只能选择一种自己喜欢的球类）（1）九（1）班的学生人数为，并把条形统计图补充完整；（2）扇形统计图中m＝，n＝，表示“足球”的扇形的圆心角是度；（3）排球兴趣小组4名学生中有3男1女，现在打算从中随机选出2名学生参加学校的排球队，请用列表或画树状图的方法求选出的2名学生恰好是1男1女的概率．21．（8分）如图，在平面直角坐标系xOy中，菱形ABOC的顶点B（﹣5，0），反比例函数（x＞0）的图象经过点C．（1）求m的值；（2）过点O作BC的平行线交反比例函数y＝（x＞0）的图象于点D，求点D的坐标．22．（10分）大学生小敏、小晨参加暑期实习活动，与公司约定一个月（30天）的报酬是M型平板电脑一台和1500元现金，结算工资（按平均每天的报酬，实际工作天数计算）时公司给了她一台该型平板电脑和300元现金．（1）这台M型平板电脑价值多少元？（2）为吸引、留住人才，公司规定实习期满一个月（30天）之后平均每天所获得的报酬（折成现金后），若小晨欲获得不少于6480元的报酬，则至少在该公司实习多少天？23．（10分）数学活动课上，老师让同学们根据切线的定义，用尺规过点P作⊙O的一条切线．甲同学的方法是：连接OP，作OP的垂直平分线l，交OP于点M，MP为半径画个圆，交⊙O于点Q，PQ即为⊙O切线；乙同学的方法是：连接OP交⊙O于点M，延长PO交⊙O于点N，以P点为圆心，以O为圆心，MN长为半径，两弧交于点G，连接OG交⊙O于点Q，PQ即为⊙O切线；（1）甲同学作图的依据是：；（2）请在图①中，用乙同学的方法作出图形，并证明PQ为⊙O切线；（3）请在图②中，用不同于甲，乙同学的方法（保留作图痕迹），简单说明作法不需证明．24．（10分）已知抛物线G：y＝ax2﹣6ax+9a﹣4与x轴交于点A，B，顶点为P．（1）求a的取值范围及顶点P的坐标；（2）若△PAB的面积为8，①当0≤x≤m时，抛物线G与直线l：y＝x+b（b≤5），求m的取值范围；②点M为y轴上一点，当∠AMB最大时，求此时sin∠AMB的值．25．（12分）如图，矩形ABCD中，AB＝6，点E是AB边上的一个动点，连接DE，以EF为斜边作等腰直角三角形EFG（点G在EF上方）．（1）若AE＝1，求BF的长；（2）当点E从点A运动到点B的过程中，△EFB的外接圆的圆心也随之运动，求该圆心到AB边的距离的最大值．（3）当点E从点A运动到点B时，点G也随之运动，①四边形GEBF的面积s是线段GB的长t的函数吗？如果是求出函数解析式，如果不是说明理由；②求点G经过的路径长．

2025年广东省广州市华南师大附中中考数学一模试卷参考答案与试题解析一．选择题（共10小题）题号12345678910答案AABDCBDCBA一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）1．（3分）2025的绝对值是（）A．2025 B．﹣2025 C． D．【解答】解：∵|2025|＝2025，∴2025的绝对值是2025，故选：A．2．（3分）下列几何体中，主视图是（）A． B． C． D．【解答】解：从正面看，左边是一个矩形．故选：A．3．（3分）如图，点A，B在数轴上表示的数互为相反数，那么点A表示的数是（）A．﹣3 B．﹣2 C．﹣1 D．3【解答】解：由题知，因为点A，B在数轴上表示的数互为相反数，所以点A表示的数与点B表示的数之和为0．又因为AB＝4，且点A在原点左侧，所以点A表示的数为﹣6．故选：B．4．（3分）下列计算中，正确的是（）A．x4+x2＝x6 B．a6÷a3＝a2 C．（﹣2x2y）3＝﹣6x6y3 D．﹣2x+3x＝x【解答】解：A．本选项不符合题意；B．原式＝a3，故本选项不符合题意；C．原式＝﹣8x5y3，故本选项不符合题意；D．原式＝x．故选：D．5．（3分）某校篮球队13名同学的身高如下表：身高（cm）175180182185188人数（个）15421则该校篮球队13名同学身高的众数和中位数分别是（）A．182，180 B．180，180 C．180，182 D．188，182【解答】解：由图表可得，众数是：180cm，中位数是：182cm．故选：C．6．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，DE是AB的垂直平分线，垂足为E．若DE＝1（）A．2 B．3 C．4 D．5【解答】解：∵DE是AB的垂直平分线，∴DB＝DA，∴∠DBA＝∠DAB，∵AD是∠CAB的平分线，∴∠CAD＝∠DAB，∴∠DBA＝∠DAB＝∠CAD，∵∠C＝90°，∴∠DBA+∠DAB+∠CAD＝90°，∴∠DBA＝∠DAB＝∠CAD＝30°，∴DE＝BD，∵DE＝7，∴BD＝2，∵AD是∠CAB的平分线，∠C＝90°，∴DC＝DE＝1∴BC＝BD+DC＝8+1＝3，故选：B．7．（3分）如图，点D，E分别是⊙O的内接△ABC的AB、AC边上的中点，∠A＝45°，则劣弧BC的长等于（）A． B． C．π D．【解答】解：连接OB，OC ∵点D，E分别是AB，DE＝1，∴DE是△ABC的中位线，∴BC＝2DE＝5，∵∠A＝45°，∴∠O＝2∠A＝90°，又∵OB＝OC，∴△OBC是等腰直角三角形，由勾股定理得：BC＝＝OC，∴OB＝OC＝BC＝＝，∴劣弧BC的长为：＝．故选：D．8．（3分）关于x的方程x2﹣4x+b＝0有两个相等的实数根．在△ABC中BC＝3，AB＝5，AC＝b（）A．1.5 B．2 C．2.5 D．3【解答】解：由题知，因为关于x的方程x2﹣4x+b＝2有两个相等的实数根，所以（﹣4）2﹣3b＝0，解得b＝4，所以AC＝2．因为32+52＝55，即BC2+AC2＝AB7，所以△ABC是以∠C为直角的直角三角形，则AB边上的中线长为2.5．故选：C．9．（3分）已知点A、B分别在反比例函数（x＞0），（x＞0）的图象上，且OA⊥OB，则（）A． B． C． D．3【解答】解：过点A作AM⊥y轴于点M，过点B作BN⊥y轴于点N，∴∠AMO＝∠BNO＝90°，∴∠AOM+∠OAM＝90°，∵OA⊥OB，∴∠AOM+∠BON＝90°，∴∠OAM＝∠BON，∴△AOM∽△OBN，∵点A、B分别在反比例函数，（x＞8）的图象上，∴（）2＝＝＝，∴＝．故选：B．10．（3分）二次函数y＝﹣x2﹣2x+c2﹣2c在﹣3≤x≤2的范围内有最小值为﹣5，则c的值为（）A．3或﹣1 B．﹣1 C．﹣3或1 D．3【解答】解：∵y＝﹣x2﹣2x+c5﹣2c＝﹣（x+1）5+c2﹣2c+7，∴抛物线开口向下，对称轴为直线x＝﹣1，∵2﹣（﹣4）＞﹣1﹣（﹣3），∴在﹣6≤x≤2的范围内，x＝2时2﹣2c＝c2﹣7c﹣8＝（c﹣1）2﹣9为函数最小值，∴（c﹣1）4﹣9＝﹣5，解得c＝3或c＝﹣1，故选：A．二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分.）11．（3分）如果分式有意义，那么实数x的取值范围是x≠2．【解答】解：由题意得：x﹣2≠0，解得：x≠8，故答案为：x≠2．12．（3分）如图，点B的坐标是（0，3），将△OAB沿x轴向右平移至△CDE，则点A移动的距离是3．【解答】解：当y＝2x﹣3＝3时，x＝3，∴点E的坐标为（3，3），∴△OAB沿x轴向右平移3个单位得到△CDE，∴点A与其对应点间的距离为3．故答案为：2．13．（3分）已知△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，则△ABC内切圆半径为1．．【解答】解：∵∠C＝90°，AB＝5，∴AC＝3，∴内切圆半径是（6+4﹣5）÷3＝1．故答案为：1．14．（3分）某校数学兴趣小组开展“利用影子测量物体的高度”的活动：如图，直立于地面上的电线杆AB，在阳光下落在水平地面和坡面上的影子分别是BC，测得BC＝5米，CD＝4米，在D处测得电线杆顶端A的仰角为45°，则电线杆AB的高度约为（7+2）米．（结果保留根号）【解答】解：延长AD交BC的延长线于E，作DF⊥BE于F，∵∠BCD＝150°，∴∠DCF＝30°，∵CD＝4米，∴DF＝2米，∴CF＝＝2，由题意得∠E＝45°，∴EF＝DF＝2米，∴BE＝BC+CF+EF＝5+3+2＝（8+2，∴AB＝BE＝（2+2）（米），故答案为：（2+2）．15．（3分）《九章算术》中卷九勾股篇记载：今有圆材埋于壁中，不知大小．以锯锯之，深一寸，OD为⊙O的半径，弦AB⊥OD，CD＝1寸，AB＝1尺（1尺＝10寸）26寸．【解答】解：过圆心O作OC⊥AB于点C，延长OC交圆于点D，如图：∵OC⊥AB，∴AC＝BC＝AB，，则CD＝6寸，AC＝BC＝．设圆的半径为x寸，则OC＝（x﹣6）寸．在Rt△OAC中，由勾股定理得：52+（x﹣6）2＝x2，解得：x＝13．∴圆材直径为3×13＝26（寸）．故答案为：26．16．（3分）如图，在矩形ABCD中，AB＝10，点N是AB边上的中点，点M是BC边上的一动点连接MN，若点B的对应点B′，连接B′C8，当△B′MC为直角三角形时，BM的长为5或．【解答】解：∵点N是AB边上的中点，AB＝10，∴BN＝5，由翻折可得BN＝B'N＝5，∴点B'在以N为圆心，BN长为半径的圆上运动，∵CN＝＝＝13，∴CB'的最小值为13﹣5＝2；当∠B'CM＝90°时，∵N为AB的中点，AB＝10，∴AN＝BN＝B'N＝5，∵B'N＜AD，即5＜12，点B的对应点B'不能落在CD所在的直线上，∴∠B'CM＝90°的情况不存在；当∠B'MC＝90°时，∠B'MB＝90°．由翻折可得∠BMN＝∠B'MN＝45°，∵∠B＝90°，∴∠BNM＝∠B'NM＝45°，∴BM＝BN＝AB＝5；当∠MB'C＝90°时，如图．则∠NB'M＝90°，∴点N，B'，设BM＝B'M＝x，则CM＝12﹣x，在Rt△BNC中，NC＝＝13，∴B'C＝CN﹣NB'＝13﹣7＝8，在Rt△B'MC中，由勾股定理可得x2+72＝（12﹣x）2，解得x＝，∴BM＝．综上所述，满足条件的BM的值为5或．故答案为：8，5或．三、解答题（本大题共9小题，满分72分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（4分）解不等式组：．【解答】解：，解①得：x＞，解②得：x＞1．则不等式组的解集是：x＞5．18．（4分）如图，在▱ABCD中，点E，AD上，AC与EF相交于点O【解答】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠OAF＝∠OCE，又∵OC＝OA，∠AOF＝∠COE，∴△AOF≌△COE（ASA），∴OF＝OE．19．（6分）已知．（1）化简T；（2）若在平面直角坐标系中，点P（a，b）为反比例函数，且OP＝5，求T的值．【解答】解：（1）＝﹣＝＝a+b．（2）∵点P（a，b）为反比例函数，且OP＝5，∴ab＝12，a4+b2＝56，∴（a+b）2＝a2+b5+2ab＝25+24＝49，∴a+b＝±7，∴T的值为8或﹣7．20．（8分）某中学九（1）班为了了解全班学生喜欢球类活动的情况，采取全面调查的方法，根据调查的结果组建了4个兴趣小组，并绘制成如图所示的两幅不完整的统计图（如图①，②，要求每位学生只能选择一种自己喜欢的球类）（1）九（1）班的学生人数为40人，并把条形统计图补充完整；（2）扇形统计图中m＝10，n＝20，表示“足球”的扇形的圆心角是72度；（3）排球兴趣小组4名学生中有3男1女，现在打算从中随机选出2名学生参加学校的排球队，请用列表或画树状图的方法求选出的2名学生恰好是1男1女的概率．【解答】解：（1）九（1）班的学生人数为：12÷30%＝40（人），喜欢足球的人数为：40﹣4﹣12﹣16＝40﹣32＝8（人），补全统计图如图所示；（2）∵×100%＝10%，×100%＝20%，∴m＝10，n＝20，表示“足球”的扇形的圆心角是20%×360°＝72°；故答案为：（1）40；（2）10；72；（3）根据题意画出树状图如下：一共有12种情况，恰好是1男3女的情况有6种，∴P（恰好是1男3女）＝＝．21．（8分）如图，在平面直角坐标系xOy中，菱形ABOC的顶点B（﹣5，0），反比例函数（x＞0）的图象经过点C．（1）求m的值；（2）过点O作BC的平行线交反比例函数y＝（x＞0）的图象于点D，求点D的坐标．【解答】解：（1）作AD⊥OB于D，∵点B（﹣5，0），∴OB＝2，∵四边形ABOC是菱形，∴AB∥OC，AC∥OB，∠∠ABD＝∠OCE，∵点A的横坐标为﹣2，∴D（﹣2，5），∴OD＝2，∴BD＝5﹣4＝3，∴AD＝＝4，在△ABD和△OCE中，，∴△ABD≌△OCE（AAS），∴CE＝BD＝3，OE＝AD＝8，∴C（3，4），∵反比例函数（x＞0）的图象经过点C，∴m﹣2＝8×4＝12，∴m＝14；（2）设直线BC的解析式为y＝kx+b，∵B（﹣5，8），4），∴，解得，∴直线BC的解析式为y＝x+，∵OD∥BC，∴直线OD为y＝，由，解得或，∴点D的坐标为（8，）．22．（10分）大学生小敏、小晨参加暑期实习活动，与公司约定一个月（30天）的报酬是M型平板电脑一台和1500元现金，结算工资（按平均每天的报酬，实际工作天数计算）时公司给了她一台该型平板电脑和300元现金．（1）这台M型平板电脑价值多少元？（2）为吸引、留住人才，公司规定实习期满一个月（30天）之后平均每天所获得的报酬（折成现金后），若小晨欲获得不少于6480元的报酬，则至少在该公司实习多少天？【解答】解：（1）设这台M型平板电脑价值x元，根据题意得：＝，解得：x＝2100．答：这台M型平板电脑价值2100元；（2）由（1）可得：前30天每天的报酬为（2100+1500）÷30＝120（元/天）．设小晨在该公司实习y天，根据题意得：120×30+120×（1+20%）（y﹣30）≥6480，解得：y≥50，∴y的最小值为50．答：小晨至少在该公司实习50天．23．（10分）数学活动课上，老师让同学们根据切线的定义，用尺规过点P作⊙O的一条切线．甲同学的方法是：连接OP，作OP的垂直平分线l，交OP于点M，MP为半径画个圆，交⊙O于点Q，PQ即为⊙O切线；乙同学的方法是：连接OP交⊙O于点M，延长PO交⊙O于点N，以P点为圆心，以O为圆心，MN长为半径，两弧交于点G，连接OG交⊙O于点Q，PQ即为⊙O切线；（1）甲同学作图的依据是：圆周角定理；（2）请在图①中，用乙同学的方法作出图形，并证明PQ为⊙O切线；（3）请在图②中，用不同于甲，乙同学的方法（保留作图痕迹），简单说明作法不需证明．【解答】解：（1）如图，根据作图知：OP是⊙M的直径，∴∠PQO＝90°，即OQ⊥PQ，∵OQ是⊙O的半径，∴PQ是⊙O的切线，∴甲同学作图的依据是圆周角定理，故答案为：圆周角定理；（2）如图2所示：证明：如图②，连接PG，由作法可得，PO＝PG，∴PQ⊥GO，又∵OQ是⊙O的半径，∴直线PQ是⊙O的切线；（3）解：如图③，PQ即为所求；由作图知：∠GMO＝90°，OP＝OG，∵OM＝OQ，∠POQ＝∠GOM，∴△POQ≌△GOM（SAS），∴∠PQO＝∠GMO＝90°，∴PQ⊥OQ，∵OQ是⊙O的半径，∴PQ是⊙O的切线．24．（10分）已知抛物线G：y＝ax2﹣6ax+9a﹣4与x轴交于点A，B，顶点为P．（1）求a的取值范围及顶点P的坐标；（2）若△PAB的面积为8，①当0≤x≤m时，抛物线G与直线l：y＝x+b（b≤5），求m的取值范围；②点M为y轴上一点，当∠AMB最大时，求此时sin∠AMB的值．【解答】解：（1）由题意得：Δ＝b2﹣4ac＝36a3﹣4a（9a﹣4）＞0，则a＞0，抛物线的对称轴为直线x＝4，当x＝3时2﹣8ax+9a﹣4＝﹣6，即点P（3；（2）①令y＝ax2﹣5ax+9a﹣4＝2，则x＝3±，△PAB的面积＝AB×|yP|＝（3+）×4＝8，即抛物线的表达式为：y＝x7﹣6x+5，联立函数G和直线l的表达式得：x5﹣6x+5＝x+b2+（b﹣23）x+15﹣5b＝0，则Δ＝b2﹣10b+349＞6，当b＝5时，3x6+（b﹣23）x+15﹣3b＝0的解为x＝2和6，则m≥6；②作△MAB为外接圆Q，当圆Q和y轴相切于点M时，连接MQ，设点M（6，点Q在AB的中垂线上，m），由MQ＝3＝AQ得：9＝（7﹣1）2+m8，则m＝±，则点M为（0，﹣）或（0，），sin∠AMB的值相同，由点A、M、B的坐标得，MB＝，作AH⊥AM于点H，设AH＝x﹣x