北师大版七年级下册数学（全册知识点考点梳理、重点题型分类巩固练习）（基础版）（家教、补习、复习用）

北师大版七年级下册数学

全册知识点梳理及重点题型巩固练习

塞的运算（基础）

【学习目标】

1.掌握正整数基的乘法运算性质（同底数塞的乘法、塞的乘方、积的乘方）；

2.能用代数式和文字语言正确地表述这些性质，并能运用它们熟练地进行运算.

【要点梳理】

要点一、同底数募的乘法性质

。'"•优=4'"+"（其中私〃都是正整数）.即同底数幕相乘，底数不变，指数相加.

要点诠释：（1）同底数累是指底数相同的累，底数可以是任意的实数，也可以是单项式、

多项式.

（2）三个或三个以上同底数累相乘时，也具有这一性质，

即am-a"-ap=am+n+p（机，小夕都是正整数）.

（3）逆用公式：把一个累分解成两个或多个同底数幕的积，其中它们的底数

与原来的底数相同，它们的指数之和等于原来的募的指数。即

am+n=am-优（孙〃都是正整数）.

要点二、哥的乘方法则

（其中“，〃都是正整数）.即嘉的乘方,底数不变，指数相乘.

要点诠释：（1）公式的推广：（（a"'）"）P=a"s均为正整数）

（2）逆用公式：a"'"=（""）"=（4）'",根据题目的需要常常逆用基的乘

方运算能将某些基变形，从而解决问题.

要点三、积的乘方法则

（ab）n=an-b"（其中〃是正整数）.即积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，

再把所得的基相乘.

要点诠释：（1）公式的推广：（〃为正整数）.

（2）逆用公式：逆用公式适当的变形可简化运算过程，尤其

是遇到底数互为倒数时，计算更简便.如：（g）x2">=（；x2）=1.

要点四、注意事项

（1）底数可以是任意实数，也可以是单项式、多项式.

（2）同底数幕的乘法时，只有当底数相同时，指数才可以相加.指数为1,计算时不要

遗漏.

(3)幕的乘方运算时，指数相乘，而同底数基的乘法中是指数相加.

(4)积的乘方运算时须注意，积的乘方要将每一个因式(特别是系数)都要分别乘方.

(5)灵活地双向应用运算性质，使运算更加方便、简洁.

(6)带有负号的事的运算，要养成先化简符号的习惯.

【典型例题】

类型一、同底数塞的乘法性质

1、计算：

(1)42X43X44；(2)2a3-a4+a5-a2-2a6-a；

⑶(x+y)".(x+y)"M.(x+y)"i+(x+y)2"M.(x+y严.

【答案与解析】

解：⑴原式=42+3+4=4、

(2)原式=2。3+4+/+2-2。6+1=2。7+"—2"=".

(3)原式=(X+y)"+"M+"T+(x+y)2"M+,"T=(x+y)2"+,”+"+y)2"+,"=十,2"+”,

【总结升华】(2)(3)小题都是混合运算，计算时要注意运算顺序，还要正确地运用相应的

运算法则，并要注意区别同底数累的乘法与整式的加减法的运算法则.在第(2)小题中。的

指数是1.在第(3)小题中把x+y看成一个整体.

举一反三：

【变式】计算：

(1)35-(-3)3-(-3)2；

(2)N•(-%产\-x)2p+l(p为正整数)；

(3)32x(-2)2n-(-2)(〃为正整数).

【答案】

2532

解：(1)原式=3、♦(-3)3-3=-3-3-3=—35+3+2=_3'o.

⑵原式=X0•.(_0+1)=_/+2。+20+1=一/叫

(3)原式=25•22n.(-2)=-25+2,,+1=-26+2n.

^^2、已知2A2=20,求2,的值.

【思路点拨】同底数累乘法的逆用：2*=2、.22

【答案与解析】

解：由2-2=20得2*•2z=20.

2、=5.

【总结升华】(1)本题逆用了同底数募的乘法法则，培养了逆向思维能力.(2)同底数寨的

乘法法则的逆运用：am+n=a'"'an.

类型二、幕的乘方法则

◎计算

J、tl-W*•

(1)(优')2；(2)[(-w)3]4；(3)(尸)2.

【思路点拨】此题是塞的乘方运算，(1)题中的底数是a,(2)题中的底数是一加，(3)题

中的底数。的指数是3-〃z,乘方以后的指数应是2(3-〃。=6—2根.

【答案与解析】

解：⑴3")2=#.

(2)[(—«7)3]4=(―m)12=m12.

(3)(""'")2=。2(3-皿)=。6-2，”.

【总结升华】运用基的乘方法则进行计算时要注意符号的计算及处理，一定不要将哥的乘方

与同底数辱的乘法混淆.幕的乘方法则中的底数仍可以为单个数字、字母，也可以是单项式

或多项式.

©^4、(2016春•湘潭期末)已知aX=3,ay=2,求a*'2y的值.

【思路点拨】直接利用同底数基的乘法运算法则将原式变形进而将已知代入求出答案.

【答案与解析】

解：,；a*=3,ay=2,

ax+2y=axXa2y=3X22=12.

【总结升华】本题考查同底数幕的乘法，基的乘方，解题时记准法则是关键.

举一反三：

【变式1】已知x"=2,xb=3.求丁-26的值.

【答案】

解：^a+2b^x3aP'b=(xfl)3(/)2=23x32=8x9=72.

【变式2】已知8"'=4,8"=5,求83nl+2"的值.

【答案】

解：因为8，"'=(8)3=43=64,82,,=(8M)2=52=25.

所以83"'+2"=83mX82"=64X25=1600.

类型三、积的乘方法则

©'s、指出下列各题计算是否正确，指出错误并说明原因：

326

（1）（曲r=aZA（2）（4而r=64//；（3）（-3x）=-9x.

【答案与解析】

解：（1）错，这是积的乘方，应为：（ab）2=a2b2.

（2）对.

（3）错，系数应为9,应为：（―3/）2=9?.

【总结升华】（1）应用积的乘方时，特别注意观察底数含有儿个因式，每个因式都分别乘方.

（2）注意系数及系数符号，对系数一1不可忽略.

举一反三：

【变式】（2015春•铜山县校级月考）（-8）57X0.12555.

【答案】解:（-8）57X0.12555=（-8）2x[（-8）55x（1）55]=-64.

8

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重难点突破

知识点梳理及重点题型巩固练习

【巩固练习】

一.选择题

1.（2015•杭州模拟）计算的x3xx2结果是（）

A.x6B.6xC.x5D.5x

2.。”・屋+2的值是（）.

A.a"+3B.a"[,,+2)C.a2n+2D./

3.(2016•淮安)下列运算正确的是（)

AA.a2»a3=a6B.(ab)2=a2b2C.(a)=aD.a2+a2=a4

4.下列各题中，计算结果写成10的幕的形式，其中正确的是（).

A.100X1O2=1O3B.1000X1O'°=1O30

C.100X103=105D.100X1000=1(/

5.下列计算正确的是（）.

A.(孙丫=xy3B.(一5孙”=一5X，4

2243

C.(-3x)=-9xD.(-2孙2丫=-8%/

6.若(2〃"夕丫=8。％”成立，则().

A.m=6,n=12B.m=3,n=12

C.7n=3,n=5D.m=6,n=5

二.填空题

7.(2016•大庆)若a'n=2,a、8,则a'"7.

8.若(a3j'.a=qi9,则％=.

9.已知/"=5,那么。6"=.

10.若/.""=/,则加=.若33*+1=81,则％=.

]1•[(-2)[=------；[(-〃)[=------；(_32)=------.

12.若n是正整数，且〃"=10,则(/")2一8(—片)2"=.

三.解答题

13.(2015春•莱芜校级期中)计算：(-x)W^'+x2"*(-x)2.

14.(1)x-(-x3)8-(-x4)3；(2)(-^a2b3)3+(-a3b2)2；

(3)-10X(-0.3X103)X(0.4X105)；(4)(b-2af(2a-b)5；

(5)(一5。6)2+(-3/丫.。3；

15.(1)若X"-/"+3=X35,求〃的值.

(2)若(屋•。匕。了=/。”，求加、〃的值

【答案与解析】

一.选择题

1.【答案】C；

【解析】解：原式=x3+2=x5,故选C.

2.【答案】C；

【解析】an-an+2=an+n+2=a2n+2.

3.【答案】B；

【解析】解：A、a2*a3=a23=a5,故本选项错误;

B、(ab)~=a2b\故本选项正确：

C、(a2)3=a2x3=a6,故本选项错误；

D、a2+a2=2a2,故本选项错误.故选B.

4.【答案】C；

【解析】100X1()2=]0:]000x[0lO=[0l3；io0x]OO0=105

5.【答案】D；

【解析】(孙)3=/洛(-5肛2)2=25%2”(_3*2丫=9/.

6.【答案】C；

【解析】解得相=3,〃=5.

二.填空题

7.【答案】16；

【解析】Vam=2,an=8,.*.am+n=am»an=16,故答案为：16.

8.【答案】6；

【解析】/*+|="9,3X+I=19,X=6.

9.【答案】25；

【解析】•=("")2=52=25

10.【答案】5；1；

【解析】tz3,a'"-ai+m-as,3+m-S,m—53""=81=3，,3x+l=4,x=1.

11.【答案】64；—〃9；—310；

12.【答案】200；

【解析】(«3n)2-8(-«2)2z,=(a2,,)3-8(a2,j2=1000-800=200.

三.解答题

13•【解析】

解：(-x)3»x2n1+x2n*(-x)2

2n+2,2n+2

=-X+x

=0.

14.【解析】

解：(1)x-(-x3)8-(-x4)3=-x-x24-x12=-??7；

(2)(一；/川)3+(_“/2)2=_±^9+a6h4；

(3)-10X(-0.3X103)X(0.4X105)=0.3X0.4X10X103X105=1.2X108；

(4)(Z?-2tz)3{2a-by~-(2a-b^(2a-b^=-^2a-b'f；

3329312

(5)(—5/J+(—3/).a=25a'-27a-a=-2a.

15•【解析】

解：(1)・・・X〃・X3〃+3=X35

・14"+3_丫35

・・・4〃+3=35

n=8

(2)m=4,n=3

解：功了=

:.a3nb3",-^=a3n-b3m+3=cfb'5

.•.3〃=9且3相+3=15

/.〃=3且〃？=4

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重难点突破

知识点梳理及重点题型巩固练习

同底数塞的除法

【学习目标】

1.会用同底数幕的除法性质进行计算.

2.掌握零指数基和负整数指数基的意义.

3.掌握科学记数法.

【要点梳理】

要点一、同底数幕的除法法则

同底数霉相除,底数不变，指数相减，即a"'+a"=a"f(a#0,“、〃都是正整数,

并且加＞〃)

要点诠释：(1)同底数基乘法与同底数基的除法是互逆运算.

(2)被除式、除式的底数相同，被除式的指数大于除式指数，0不能作除式.

(3)当三个或三个以上同底数累相除时，也具有这一性质.

(4)底数可以是一个数，也可以是单项式或多项式.

要点二、零指数幕

任何不等于0的数的0次幕都等于1.即a°=1(aWO)

要点诠释：底数。不能为0,0"无意义.任何一个常数都可以看作与字母0次方的积.

因此常数项也叫0次单项式.

要点三、负整数指数幕

任何不等于零的数的一〃（〃为正整数）次幕，等于这个数的n次第的倒数，即an=，

（a#0,〃是正整数）.

引进了零指数基和负整数指数基后，指数的范围已经扩大到了全体整数，以前所学的

累的运算性质仍然成立.

a"'a"=a'n+nCm,〃为整数，a#O)；

（帅）'"=。*"'（m为整数，。工0,b力0）

（相、〃为整数，«^0）.

要点诠释：。一”（。关0）是废的倒数，a可以是不等于0的数，也可以是不等于0的代

数式.例如（2盯尸=」一（xy^O）,（a+b）-s=——-~-（a+Z?H。）.

2孙（。+。）一

要点四、科学记数法的一般形式

（1）把一个绝对值大于10的数表示成axlO"的形式，其中〃是正整数，10a|<10

（2）利用10的负整数次幕表示一些绝对值较小的数，即axl（T"的形式，其中〃是

正整数，l<|a|<10.

用以上两种形式表示数的方法，叫做科学记数法.

【典型例题】

类型一、同底数幕的除法

1,计算：

(1)f+x，；(2)(—a)，+a；(3)Qjjy)'；(4)

【思路点拨】利用同底数基相除的法则计算.（2）、（4）两小题要注意符号.

【答案与解析】

解：(1)f+V=》8-3=父.

(2)(—a)3-i-ci——a?i=一(i~.

(3)(2xy)54-(2xy)2=(2xy)5-2=(2xy)3=Sx3y3.

【总结升华】（1）运用法则进行计算的关键是看底数是否相同.（2）运算中单项式的系数包

括它前面的符号.

、计算下列各题:

(1)(x-y)5^x-y)(2)(5a-2。产+(2。-5a)s

(3)(3X106)4-J-(3X106)2(4)3H(2y—x)2「

【思路点拨】(1)若被除式、除式的底数互为相反数时，先将底数变为相同底数再计算，尽

可能地去变偶次幕的底数，如(5a—2"产=(2b—5。产.(2)注意指数为1的多项式.如x-y

的指数为1,而不是0.

【答案与解析】

解：(1)(x-y)s+(x-y)=(x-y)“i=(x-y)4.

(2)(5a-2b)'2(2b-5a)5=(,2b-5a)'2(,2b-5a)5=(2b-5a)1

(3)(3xl06)4-(3xl06)2=(3xl06)4-2=(3xl06)2=9xl012.

(4)[(x-2y只F引(2y-ip『=(x_2»+(%-2yp=(x-2y产=x-2y.

【总结升华】底数都是单项式或多项式，把底数作一个整体利用同底数基的除法法则进行计

算.

C^3、己知3"'=2,3"=4,求9'2的值.

【答案与解析】

22x329

当：r=2,3〃=4时，原式=上一-二2

4464

【总结升华】逆用同底数除法公式，设法把所求式转化成只含3'",3"的式子，再代入求值.本

题是把除式写成了分数的形式，为了便于观察和计算，我们可以把它再写成除式的形式.

举一反三：

【变式】(2015春•苏州)已知以""=2,an=4,4=32.则企的值为.

【答案】解：aim=23=8,""=42=16,

a3m+2"~k=a3m•L4-a"=8X16+32=4,

故答案为：4.

类型二、负整数次哥的运算

^^4、计算：⑴-2；(2)a2b-3(q-%)3+("尸

k3)

(2)02b3g'少+(aby'=02b3a~3b3ah=ci)b=b.

【总结升华】要正确理解负整数指数基的意义.

举一反三：

【变式】计算：2-5++2-改2-3乂2+(万一3.14)°.

【答案】

x2-3x2+(万-3.14)'

;乙)

1c411cl—+16+-xlx2+l

—+2H—x——x2+1=■

T22’3228

=-+-+16+1=17—

32832

犷5、B^3ffl=—,f-T=16,则”

的值=________.

27l2j

【答案与解析】

帛：':3"'=—=-^-=33,；.=一:

3.

2733

(1丫,

-=2-"，16=24,2f=2%〃=-4.

mn=(-3)7=—.

(-3)481

【总结升华】先将‘-变形为底数为3的累，C\

-=2一"，16=2。然后确定机、〃的值,

27

最后代值求〃2〃.

举一反三:

【变式】计算：（1）（。一77%-3）2；（2）

b2c-3x-b-2c3

7

【答案】

A4

解：（1）原式

a2c6

原式=b2C-3X=8户c-12=维

(2)

c

类型三、科学记数法

、（2014秋•福州）观察下列计算过程:

33

(1)334-35,33"=33-5=3-23-2

33X3232

22172-7-5-51

97Jaa,2.

(2)当aWO时，Va^a=———r=-T,aa-a=a,a,

aaxaaa

由此可归纳出规律是：ap=-^-（aWO,P为正整数）

a1

请运用上述规律解决下列问题：

259

(1)填空:3ToXxx-J-X

（2）用科学记数法：3X10-.（写成小数形式）

（3）把0.00000002写成如（2）的科学记数法ax10"的形式是:

【答案与解析】

1

解:(1)3-10=-

10，

3

X2xx5-x9=x2+5-9=x-2=^；

X

(2)3X10"*=0.0003,

(3)0.00000002=2X1O-8.

【总结升华】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为axlO",其中lW|a|<10,

n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定.

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知识点梳理及重点题型巩固练习

【巩固练习】

一.选择题

1.(2015•桂林)下列计算正确的是(

A.(打=建B./+无4=尤4C.2a2+3a2-6a41）.b3,b3~2b3

2.下列计算中正确的是().

A.=/B.（孙y+（孙J'=Yy2

C.产+15-2)=/D.①千0）户=户+2

3.近似数0.33万表示为()

A.3.3X10-B.3.3000X103C.3.3X1031）.0.33X104

4.（乃—1）°+（0.125产2*82°12的结果是（）

A.百B.V3-2C.2D.0

5.•将己尸,(-2)°,(-3尸这三个数按从小到大的顺序排列为()

6

A.(-2)0<(^)-'<(-3)2B.(1)-'<(-2)0<(-3)2

C.(―3)2<(-2)°<(>T1).(-2)°<(一3尸<(I)-1

6.下列各式中正确的有()

-

①(；尸=9;②2<=—4；③a°=l；©(-1)'=1;⑤(-3『=36.

A.2个B.3个C.4个D.1个

二.填空题

7.g)~+(—兀)°=,-1+(3.14)°+2-'=

8.(-«2/+5=920^2710T=32+[J.

9.(3<7%-2)3=,(一/。)2=.

10.一种细菌的半径为0.0004m,用科学记数法表示为.m.

11.“神威一号”计算机运算速度为每秒384000000000次，其运算速度用科学记数法表示,

为次/秒.

12(2015春•江西)若a”=-2,则/吁3"=

2

三.解答题

13.(2015春•吉州)己知2*=3,2v=5.求：

(1)2中的值：

(2)23*的值;

(3)22>>T的值.

14.用小数表示下列各数：

(1)8.5X10-3(2)2.25X10-8(3)9.O3X1O-5

/1\~23.

15.先化简，后求值：一L//(_口2/),其中a=2,b=-3.

、2J

【答案与解析】

一.选择题

1.【答案】A；

【解析】A、（"『="0,正确；B、X164-X4=X12,错误;

C、2a2+3a2-5a2,错误;D、by'b3=bbb,b-b\错误；故选A.

2.【答案】C；

【解析】X0+2-Xa+'=X；（孙）6+（砂）3=.

3.【答案】C；

【解析】0.33万=3300=3.3X1()3

4.【答案】C；

门丫。12

^ll

【解析】(〜1)°+(0.125严2x8=+x8=1+1=2.

5.【答案】A；

【解析】（》-|=6,（-2）°=1,（-3尸=9,所以（一2）°＜，尸＜（—3）2.

6.【答案】D；

I.

【解析】只有①正确；2-2=7；40=1（"。0）；（-1）=-1；（-3）-=9.

二.填空题

7.【答案】3；-；

2

【解析】一1+(3.14)°+2T=—l+l+；=g.

8.【答案】«7;27;10；

［解析】920-27I0-S-37=340-330-e-37=33=27.

27a6g4

9.【答案】丁；记

【解析】(3八-2丫=27(^=邛；(-«-^)~2=小=.

10.【答案】4x10^；

11.【答案】3.84x10”；

12.【答案】-32；

【解析】解：产="y=4,/"="丫=_1,=4+(一)=-32.

三.解答题

13•【解析】

解：⑴2.=2*•2,=3X5=15；

(2)23A=(2V)3=33=27；

(3)22X+?-1=(2v『•2,+2=32X5+2卷.

14.【解析】

解：(1)8.5XIOf=00085

(2)2.25X10-8=0.0000000225

(3)9.03X10-5=0.0000903

15•【解析】

解：原式=-Aa^b-8a6h-3=一4。-2力-3=一_4

a~b

41

当a=2,Z?=—3时，原式=--------=—.

2?(—3)327

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重难点突破

知识点梳理及重点题型巩固练习

整式的乘法(基础)

【学习目标】

1.会进行单项式的乘法,单项式与多项式的乘法，多项式的乘法计算.

2.掌握整式的加、减、乘、乘方的较简单的混合运算，并能灵活地运用运算律简化运算.

【要点梳理】

要点一、单项式的乘法法则

单项式与单项式相乘，把它们的系数，相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有

的字母，则连同它们的指数作为积的一个因式.

要点诠释：(1)单项式的乘法法则的实质是乘法的交换律和同底数幕的乘法法则的综合

应用.

(2)单项式的乘法方法步骤：积的系数等于各系数的积，是把各单项式的系

数交换到一起进行有理数的乘法计算，先确定符号，再计算绝对值；相

同字母相乘，是同底数嘉的乘法，按照“底数不变，指数相加”进行计

算；只在一个单项式里含有的字母，要连同它的指数写在积里作为积的

一个因式.

(3)运算的结果仍为单项式，也是由系数、字母、字母的指数这三部分组成.

(4)三个或三个以上的单项式相乘同样适用以上法则.

要点二、单项式与多项式相乘的运算法则

单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加.

即m(a+b+c)=ma+mb+me.

要点诠释：(1)单项式与多项式相乘的计算方法，实质是利用乘法的分配律将其转化为

多个单项式乘单项式的问题.

(2)单项式与多项式的乘积仍是一个多项式，项数与原多项式的项数相同.

(3)计算的过程中要注意符号问题，多项式中的每一项包括它前面的符号，

同时还要注意单项式的符号.

(4)对混合运算，应注意运算顺序，最后有同类项时，必须合并，从而得到

最简的结果.

要点三、多项式与多项式相乘的运算法则

多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得

的积相加.即=am+cm+bm+hn.

要点诠释：多项式与多项式相乘，仍得多项式.在合并同类项之前，积的项数应该等于

两个多项式的项数之积.多项式与多项式相乘的最后结果需化简，有同类项的要合并.特殊的

二项式相乘：(x+<2)(x+Z?)=+(^a+b^x+ab.

【典型例题】

类型一、单项式与单项式相乘

1、计算：

(1)3abi•-，a%]•2abe；

I3J

(2)

(3)-6m2n-(x-y)3-(y-x)2.

【思路点拨】前两个题只要按单项式乘法法则运算即可，第(3)题应把x-y与y-x分别

看作一个整体，那么此题也属于单项式乘法，可以按单项式乘法法则计算.

【答案与解析】

解：(1)3ab2-\--a2b-2abc

I3)

=3义(一：x2{a-er-a)(b2-b-b)c

=—2a4b4c.

(2)(—(—3孙)[—#z)

=(-2)X(-3)x(-(x"+]-x-x2)(yn-y)z

=-3x"+4y"+iz.

(3)一6机2〃・(x-y)3•:加〃2•(>-X)2

=-6nrn-(x-y)3•^mn2•(%-y)2

=(-6)x1^|(m2-m)(n-n2)[(x-y)3-(%-y)2]

=-2加“3(x—y)’.

【总结升华】凡是在单项式里出现过的字母，在其结果里也应全都有，不能漏掉.

举一反三：

【变式】(2014•甘肃模拟)计算:2m2*(-2mn)•(--lm2n3).

2

【答案】解：2m2*(-2mn)•(-in2n3)

2

=[2X(-2)X(-A)](m2XmnXinn)

2

=2m5n4.

类型二、单项式与多项式相乘

^^2、计算：

(1)\--abyi—ab1-2ab+-b；

l2八33；

⑵(-g盯+京2-，(-

6xy2)；

(3)(|/+"-0.6。2(一

3)

【答案与解析】

解：(1)f—-2ab+加

(1八2R(1八,ri八4

ab(-2。/7)+——ab•一b

I2J3I27\2J3

=--a2b}+a2h2--ab2

33

⑵(_g盯+^y2_*2卜

6孙2)

=(一:孙卜6孙2)+gy

(-6xy2)+(-x2)(-6xy2)

=2X2y3—9xy4+6x3y2.

(3)f|«2+aZ?-O.6/72Y--a2h2]J-a2+ab--h2^--a2b2

3)U5人3

32(4人\#吁(_河卜#片)

=-a"-——a~b~+。。・

2I3)

423324

=-2ab--ab+-ab.

35

【总结升华】计算时，符号的确定是关键，可把单项式前和多项式前的“+”或“一”号看

作性质符号，把单项式乘以多项式的结果用“+”号连结，最后写成省略加号的代数和.

举一反三：

【变式1】2机2〃（6-/*〃）+卜;加〃

【答案】

原式=12/??〃一2m+3x2

解:mrr

]7

=i2m2n-2fn6n2+—=\2m2n——m6/72.

44

【变式2】若〃为自然数，试说明整式〃(2〃+l)—2〃(〃—1)的值一定是3的倍数.

【答案】

解：—2〃(〃-1)=2rr+n-2n2+2力=3〃

因为3〃能被3整除，所以整式〃(2〃+1)—2〃(〃一1)的值一定是3的倍数.

类型三、多项式与多项式相乘

^^3、计算：

(1)(3a+2b)(4〃—5h)；

(2)(尤一l)(x+1)(12+1)；

(3)(a+b)(a—2h)-(a+2h)(a—h)；

(4)5x(%2+2x+1)-(2x+3)(x-5).

【答案与解析】

解：(1)(3。+2。)(4。-5勿=12。2-15。〃+8"-10/=12。2-7"-10〃2

(2)(X—1)(x4-l)(x2+1)=(x24-x—x—l)(x2+1)=x4-1.

(3)(a+b)(a-2b)-(a+2b\a-b)=(cr-ah-lb2)-^+ah-2h2)

:2—ah—2h2—cT—ah+2b2=-2ab.

(4)5Mf+2x+l)-(2x+3)(x-5)

=(5X3+10X2+5X)-(2X2-7X-15)

—5丁+1Ox?+5x—2x?+7x+15

-Sx3+8x2+12x+15.

【总结升华】多项式乘以多项式时须把一个多项式中的每一项乘以另一个多项式的每一项，

刚开始时要严格按法则写出全部过程，以熟悉解题步骤，计算时要注意的是：(1)每一项的

符号不能弄错；(2)不能漏乘任何一项.

4、(2016春•长春校级期末)若(x+a)(x+2)=x2-5x+b,则a+b的值是多少？

【思路点拨】根据多项式与多项式相乘的法则把等式的左边展开，根据题意列出算式，求出

a、b的值，计算即可.

【答案与解析】

解：(x+a)(x+2)=x2+(a+2)x+2a,

则a+2=-5,2a=b,

解得，a=-7,b=-14,

则a+b=-21.

【总结升华】本题考查的是多项式乘多项式，多项式与多项式相乘的法则：多项式与多项式

相乘，先用一个多项式的每一项乘另外一个多项式的每一项，再把所得的积相加.

举一反三：

【变式】求出使(3x+2)(3%-4)>9(x-2)(x+3)成立的非负整数解.

【答案】不等式两边分别相乘后，再移项、合并、求解.

解：9x?—12x+6x—8>9(x^+x—6),

9X2-6X-8>9X2+9X-54,

9X2-6X-9X2-9X>8-54,

—15x>~46,

46

x<—.

15

:.x取非负整数为0,1,2,3.

北师大版七年级下册数学

重难点突破

知识点梳理及重点题型巩固练习

【巩固练习】

一.选择题

1.下列算式中正确的是().

A.3a3-2a2=6a6B.2x3•4x'=8x8

C.3x-3d=9x4D.5v.5y7=lOj；14

2.(2016•毕节市)下列运算正确的是()

A.-2(a+b)=-2a+2bB.(a2)3=a5C.a3+4a=Xa3D.3a2«2a3=6a5

4

3.(2014秋•白云区期末)下列计算正确的是()

A.x(x'-x-1)=x'-x-1B.ab(a+b)=a'+b'

C.3x(x2-2x-1)=3x，-6x2-3xD.-2x(x~-x-l)=-2x3-2x、2x

4.已知(2x+l)(x-3)=2f一”比一3,那么加的值为().

A.-2B.2C.—5D.5

5.要使尤(x+a)+3x—2Z?=%2+5x+4成立，则〃，b的值分别是().

A.a=-2,b=—2B.a=2,b=2

C.。=2,h=—2D.a=—2,h=2

6.设M=(x—3)(x-7),N=(x-2)(x-8),则M与N的关系为().

A.M<NB.M>NC.M=ND.不能确定

二.填空题

7.已知三角形的底边为(6。一如)，高是(―2〃+6。)，则三角形的面积是

8.计算：①(x+2)(x+3)=______；②(x+3)(x+7)=______；

@(x+7)(x—10)=______；®(x-5)(x-6)=______.

9.(2016•瑶海区一模)计算：—x2y(2x+4y)=.

2

10.x(y-z)-y(x-z)+z(x-y)=.

11.(2015•江都市模拟)若化简(ax+3y)(x-y)的结果中不含xy项，则a的值为

12.若孙=2,x+y=3,则(x+l)(y+l)=.

三.解答题

13.(2015春•邳州市期末)当我们利用2种不同的方法计算同一图形的面积时，可以得到

一个等式.例如,由图1,可得等式：(a+2b)(a+b)=a2+3ab+2b2.

(1)由图2,可得等式：.

(2)利用(1)中所得到的结论，解决下面的问题：

已知a+b+c=lLab+bc+ac=38,求a'+tZ+c?的值；

(3)利用图3中的纸片(足够多)，画出一种拼图，使该拼图可用来验证等式：2a2+5ab+2b2：

(2a+b)(a+2b)；

(4)小明用2张边长为a的正方形，3张边长为b的正方形，5张边长分别为a、b的长

方形纸片重新拼出一个长方形，那么该长方形较长的一条边长为.

ba

b

4b

图3

14.解下列各方程.

(1)2y(y+l)-y(3y_2)+2y2=,2—2

(2)5(x?+x—3)—4x(6+x)+x(—x+4)—0

15.化简求值：

⑴(9+罪”4＞其中X=4

(2)3x?(2x——x+1)—x(3x,—4x2+2x)，其中x=-1.

【答案与解析】

一.选择题

1.【答案】B；

【解析】3/-2储=6^；3X-3X4=9X5；5y7-57=25y14.

2.【答案】D；

【解析】A、原式=-2a-2b,错误；B、原式=a6,错误；

C、原式不能合并，错误；D、原式=6a'，正确.

3.【答案】C；

【解析】解：A、x(x2-x-1)=x3-x2-x,故此选项错误；

B、ab(a+b)=a2b+ab2,故此选项错误;

C、3x(x2-2x-1)=3x3-6x~-3x,故此选项正确；

D、-2x(x2-x-1)=-2X3+2X2+2X,故此选项错误；

故选：C.

4.【答案】I)；

【解析】(2尤+1)(%—3)=2*2—5%—3=2X2—侬一3,所以机=5.

5.【答案】C；

【解析】由题意。+3=5,-28=4,所以a=2,b=-2.

6.【答案】B；

【解析】M=f_i0x+21,N-X2-10X+16,所以M>N.

二.填空题

7.【答案】—12必+18/+2/；

8.【答案】+5x+6;+10x+21jx^—3x—70—llx+30.

9.【答案】x3y+2x2y2；

10.【答案】0；

【解析】原式=孙一%2-肛+yz+xz-yz=O.

11.【答案】3；

【解析】解:(ax+3y)(x-y)=ax2+(3-a)xy-3y2,

含xy的项系数是3-a,

:展开式中不含xy的项，

.*.3-a=0,

解得a=3.

故答案为：3.

12.【答案】6；

【解析】原式=孙+工+丁+1=2+3+1=6.

三.解答题

13.【解析】

解：(1)(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc；

(2)Va+b+c=ll,ab+bc+ac=38,

.,.a'b'+cJ(a+b+c)2-2(ab+ac+bc)=121-76=45；

(3)如图所示：

(4)根据题意得：2a?+5ab+3b2=(2a+3b)(a+b),

则较长的一边为2a+3b.

14•【解析】

解：(1)2y〜+2y—3y-+2y+2y〜=y——2.

4y=-2,

(2)5%2+5x—15—24x—4x2—x24-4x=0.

-15%=15,

x=-1.

15•【解析】

初,，、由—111111