广东省广州市白云区2023届高三下学期期初综合训练数学试题（解析版）

第24页/共24页2022学年第二学期初高三综合训练数学本试卷共6页，22小题，满分150分．考试用时120分钟．注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和准考证号、试室号、座位号填写在答题卡上．2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上．3．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效．4．考生必须保持答题卡的整洁．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.集合，集合，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】解绝对值不等式求集合A，由对数函数值域确定集合B，应用集合交运算求结果.【详解】由题设，，而，则，所以.故选：A2.已知复平面内点对应的复数为z，则复数的虚部是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由对应点写出复数z，应用复数除法化简，即可得其虚部.【详解】由题意，则，其虚部为.故选：B3.已知，，且，则的最小值为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】利用基本不等式求解．【详解】因为，，且，所以，当且仅当，即时等号成立，故选：D．4.当圆的圆心到直线的距离最大时，（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】求出圆心坐标和直线过定点，当圆心和定点的连线与直线垂直时满足题意，再利用两直线垂直，斜率乘积为-1求解即可.【详解】解：因为圆的圆心为,半径，又因为直线过定点A(-1,1),故当与直线垂直时，圆心到直线的距离最大，此时有，即，解得.故选：C.5.已知，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】利用和差角正弦公式、诱导公式及倍角余弦公式即可求值.【详解】.故选：D6.从装有个红球和个蓝球的袋中(，均不小于2)，每次不放回地随机摸出一球.记“第一次摸球时摸到红球”为，“第一次摸球时摸到蓝球”为；“第二次摸球时摸到红球”为，“第二次摸球时摸到蓝球”为，则下列说法错误的是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】结合已知条件分别求出，，，可判断A和C是否错误；然后利用条件概率分别计算，，可判断B和D是否错误.【详解】由题意可知，，，，，从而，故AC正确；又因为，，故，故B正确；，故，故D错误.故选：D.7.已知函数及其导函数的定义域均R，若为偶函数，且满足，则（）A.0 B.1 C. D.2【答案】C【解析】【分析】由偶函数导函数为奇函数，结合已知有易得，进而求目标函数值.【详解】由为偶函数，则，即关于原点对称，为奇函数，由，则，故关于对称，所以，则有.故选：C8.古希腊数学家阿波罗尼奥斯在研究圆锥曲线时发现了椭圆的光学性质：从椭圆的一个焦点射出的光线，经椭圆反射，其反射光线必经过椭圆的另一焦点，设椭圆方程，，为其左、右焦点，若从右焦点发出的光线经椭圆上的点A和点B反射后，满足，，则该椭圆的离心率为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由题意，作图，利用三角函数的性质，可设线段的表示，根据齐次方程的思想，可得答案.【详解】由题意，可作图如下：则，，即，可设，，，由，则，即，，在中，，则.故选：C.二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．9.下列命题正确的是（）A.若甲、乙两组数据的相关系数分别为0.66和，则乙组数据的线性相关性更强；B.在检验A与B是否有关的过程中，根据数据算得，已知，，则有99%的把握认为A与B有关；C.已知随机变量X服从正态分布，若，则；D.在回归分析中，残差平方和与决定系数都可以用来刻画回归的效果，它们的值越小，则模型的拟合效果越好．【答案】AC【解析】【分析】A比较相关系数的绝对值大小即可判断；B由独立检验基本思想，先判断与大小关系，进而确定相关性的把握程度；C由正态分布的对称性求概率；D根据残差平方和与决定系数的意义判断.【详解】A：由知：乙组数据的线性相关性更强，正确；B：由，即，则有97.5%的把握认为A与B有关，错误；C：由已知：随机变量X的分布曲线关于对称，故，正确；D：残差平方和越小，模型的拟合效果越好，但决定系数越大，模型的拟合效果越好，错误.故选：AC10.已知函数，则下列说法正确的有（）A.若，则B.将的图象向左平移个单位长度后得到的图象关于原点对称C.若在上有且仅有4个零点，则的取值范围为D.是的导函数，令．则在上的值域为【答案】ACD【解析】【分析】由，由正弦函数性质判断A；写出图象平移后的解析式，根据余弦函数性质判断B；由且，结合正弦函数的零点情况求参数范围判断C；首先求导，再应用倍角正弦及诱导公式得，即可判断D.【详解】由，A：由，故必有一个最大值和一个最小值，则为半个周期长度，正确；B：由题意的图象关于y轴对称，错误；C：，在上有且仅有4个零点，结合正弦函数的性质知：，则，正确；D：由题意，则在上，故值域为，正确.故选：ACD11.如图1，在△ABC中，D，E分别为AB，AC的中点，O为DE的中点，，．将△ADE沿DE折起到△的位置，如图2．则正确的有（）A.当折起使得面面BCED时，B.几何体的最大体积是4CDE与面始终平行D.与平面BCED所成角的范围是【答案】ABC【解析】【分析】A由等腰三角形、面面垂直、线面垂直的性质即可判断；B由到面的距离最大使的体积最大，结合棱锥体积求法求结果；C应用线面平行的判定判断；D根据题设翻折过程分析知面时与平面BCED所成最大平面角为，求出最大角即可判断.【详解】A：因为D，E分别为AB，AC的中点且，即，又O为DE的中点，则，故，面面BCED，面面，面，所以面，面，则，正确；B：由题设，若为中点，则翻折轨迹是以为直径的半圆弧（不含端点A、F），如下图示，要使的体积最大，只需到面的距离最大，即面且，而，故最大，正确；C：由题意，折起后始终有，面，面，则DE与面平行，正确；D：过作面，则必在线段上（不含端点A、F），构建如下空间直角坐标系，则，令且，则，故，面（即面）一个法向量为，若与平面BCED所成角为，则，若，而，所以，仅当时等号成立，所以范围是的真子集，错误.故选：ABC12.已知函数，过点作曲线的切线，下列说法正确的是（）A.当，时，有且仅有一条切线B.当时，可作三条切线，则C.当，时，可作两条切线D.当时，可作两条切线，则b的取值范围为或【答案】AD【解析】【分析】分点为切点、不为切点两种情况，求出切线方程可判断A；设切点坐标为，利用导数求出切线方程为，当时，，设，利用导数求出单调性，结合图象可判断B；当时，求出，设，利用导数求出单调性，结合图象可判断C；当时，由切线方程为得则，设，利用导数判断出单调性，结合图象可判断D.【详解】A：当时，点在上，，若为切点，则切线斜率为，所以切线方程为，若不为切点，设切点坐标为，所以，切线斜率为，所以，，即切点为原点，所以时，有且仅有一条切线，正确；B：设切点坐标为，所以，，则切线的斜率为，切线方程为，当时，，则，设，则，当时，，单调递减，当时，，单调递减，当时，，单调递增，所以时有极小值，为，时有极大值，为，时，画出的图象，当时，若有三条切线，则与有3个交点，由图得，错误；C：当时，由切线方程得，则，设，则，所以单调递减，且，如图，所以当，时，与有且只有一个交点，所以只能作一条切线，错误；D：当时，由切线方程为得，则，设，则，因为，所以当时，单调递增，所以当时，单调递减，所以当时，单调递减，时，有极小值为，时，有极大值为，的图象为若有两条切线，则的取值为或，正确.故选：AD.【点睛】方法点睛：利用导数研究含参函数零点问题主要有两中方法：（1）利用导数研究函数的最（极）值，转化为函数图象与轴的交点问题，主要是应用分类讨论思想，其本质就是在含参函数单调性的基础上再判断函数零点个数问题；（2）分离参变量，即由分离参变量，得，研究与图象交点问题.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.已知，则在上的投影向量为________．【答案】【解析】【分析】由投影向量的定义求结果即可.【详解】由题意，在上的投影向量为.故答案为：14.的展开式含的系数是________（用常数表示）．【答案】【解析】【分析】原多项式中写出含的项，然后再从中写出含的项，即可得含的系数.【详解】由含的项中对应的指数分别为6,2，所以，对于中含的项为，所以含的系数是.故答案为：15.过抛物线：焦点的直线交该抛物线于，，若，为坐标原点，则________．【答案】【解析】【分析】根据给定条件，设，利用抛物线的定义结合图形求解作答.【详解】解：抛物线的焦点，准线，，依题意，不妨令点在第一象限，过作于，过作于，过作于，交轴于，如图，令，则，，所以，，因，则有，即，解得，因此，所以.故答案为：16.在三棱锥中，△ABC为等腰直角三角形，，△PAC为正三角形，且二面角的平面角为，则三棱锥的外接球表面积为________．【答案】【解析】【分析】根据二面角定义找到二面角平面角，利用线面垂直、面面垂直的判定证明面面，进而确定在面上的射影，结合三棱锥外接球球心的位置，外接球半径为有求半径，最后求表面积.【详解】若分别是中点，则，又△ABC为等腰直角三角形且，所以，则，且，，由△PAC为正三角形，故，且，面，故面，综上，二面角平面角为，在△中，，则PD=OD=1，又面，则面面，面面，则在面上的射影在直线上，所以到面的距离为，三棱锥外接球球心在过垂直于面的直线上，如上图，过作面于，且在直线上，过作交延长线于，连接，显然为矩形，令，外接球半径为，所以，则，所以，可得，故，外接球表面积为.故答案为：【点睛】关键点点睛：根据棱锥侧面的性质确定外接球球心位置，再结合棱锥在该侧面外的一点到该面的距离，利用几何关系列方程求球体半径.四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，已知A、B、C成等差数列，且．（1）求；（2）若角B的角平分线交AC于点D，，求△ABC的面积．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由题意可得，进而得结合即可求；（2）由题意，再应用三角形面积公式列方程求a，即可得结果.【小问1详解】由A、B、C成等差数列且，则，所以，故，且，所以，则，故，则.【小问2详解】由（1）知：，则，而，故到距离，所以，而，即，所以.，即，得，所以.18.设等差数列{an}的前n项和为Sn，a3＝6，a7＝14．（1）求数列{an}的通项公式及Sn；（2）若_____，求数列{bn}的前n项和Tn．在①bn＝an；②；③bn＝()nan这三个条件中任选一个补充在第（2）问中，并对其求解．【答案】（1）an＝2n；Snn2+n；（2）答案见解析.【解析】【分析】（1）利用等差数列通项公式求基本量，进而写出通项公式和前n项和公式.（2）根据所选的条件，结合（1）应用错位相减、裂项求和及分类讨论求前n项和Tn．【小问1详解】设等差数列{an}的公差为d，则，解得d＝2，所以，．【小问2详解】选①：由（1）知：，所以，，两式相减得：，所以；选②：由（1），所以；选③：由（1），则，当n为偶数时，，当n为奇数时，，所以.19.如图，在三棱锥中，底面，，、分别是、的中点，与交于点，是上的一个点，记．（1）若平面，求实数的值；（2）当时，求二面角的余弦值．【答案】（1）；（2）．【解析】【分析】（1）连接，并延长交于点，可求出的值，利用线面平行的性质定理可得出，利用平行线分线段成比例定理可求得的值；（2）以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，设，利用空间向量法可求得二面角的余弦值.【详解】（1）连接，并延长交于点，因为、分别是、的中点，所以点为重心，且为的中点，所以，因为平面，平面平面，平面，所以，所以，又因为，所以；（2）因为，于是，所以，不妨设，则，且，，平面，不妨以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系，则、、、、，，，，设平面的法向量为，由，取，可得，设平面的法向量为，由，取，可得，，由图可知，二面角的平面角为钝角，因此，二面角的余弦值为.【点睛】思路点睛：利用空间向量法求解二面角的步骤如下：（1）建立合适的空间直角坐标系，写出二面角对应的两个半平面中对应的点的坐标；（2）设出法向量，根据法向量垂直于平面内两条直线的方向向量，求解出平面的法向量（注：若半平面为坐标平面，直接取法向量即可）；（3）计算（2）中两个法向量的余弦值，结合立体图形中二面角的实际情况，判断二面角是锐角还是钝角，从而得到二面角的余弦值.20.2022年底，新冠病毒肆虐全国，很多高三同学也都加入羊羊行列．某校参加某次大型考试时采用了线上考试和线下考试两种形式．现随机抽取200名同学的数学成绩做分析，其中线上人数占40%，线下人数占60%，通过分别统计他们的数学成绩得到了如下两个频率分部直方图：其中称为合格，称为中等，称为良好，称为优秀，称为优异．（1）根据频率分布直方图，求这200名学生数学平均分（同一组数据可取该组区间的中点值代替）；（2）现从这200名学生中随机抽取一名同学的数学成绩为良好，试分析他是来自线上考试的可能性大，还是来自线下考试的可能性大．（3）现从线下考试的学生中随机抽取10名同学，且抽到k个学生的数学成绩为中等的可能性最大，试求k的值．【答案】（1）分；（2）来自线下考试的可能性大，理由见解析；（3）.【解析】【分析】（1）由直方图求线上、线下同学的平均分，进而求所有同学的平均分；（2）根据直方图求出线上、线下成绩良好的人数，进而比较所占比例，即可得结论；（3）由题意得抽到k个学生的成绩为中等的概率，且，结合即可求参数值.【小问1详解】线上同学平均分分；线下同学平均分分；又200名同学，线上人数占40%，线下人数占60%，所以所有200名同学的平均分分.【小问2详解】线上同学成绩良好人数为人，线下同学成绩良好人数为人，所以抽取数学成绩为良好，且，故线下的可能性大.【小问3详解】由线下成绩中等同学人数为人，其它同学人，所以从线下学生中随机抽取10名同学，抽到k个学生的成绩为中等的概率，且，要使最大，则，即，所以，则，故.21.已知双曲线的中心在原点且一个焦点为，直线与其相交于A，B两点，若AB中点的横坐标为．（1）求双曲线的方程；（2）设，为双曲线实轴的两个端点，若过F的直线l与双曲线C交于M，N两点，试探究直线与直线的交点Q是否在某条定直线上？若在，请求出该定直线方程；如不在，请说明理由．【答案】（1）；（2）交点Q在定直线上，理由见解析.【解析】【分析】（1）令双曲线的方程，由题意有，并联立直线应用韦达定理得到，即可得双曲线参数并写出方程；（2）讨论直线l斜率存在性，并联立双曲线方程，