2024-2025学年江苏省南京市江浦高级中学文昌校区高二（下）段考数学试卷（3月份）（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2024-2025学年江苏省南京市江浦高级中学文昌校区高二（下）段考数学试卷（3月份）一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知函数f(x)=sinx，则f′(π4)=A.−22 B.12 C.2.若向量a=(2,2,3)，b=(−1,2,1)，c=(0,1,1)，则aA.5 B.8 C.10 D.123.如图，M是四面体OABC的棱BC的中点，点N在线段OM上，点P在线段AN上，且MN=12ON，AP=34AN，用向量OA，OB，OC表示OPA.14OA+14OB+144.已知a=(2,−1,3)，b=(−1,4,−2)，c=(7,5,λ)，若{a,bA.0 B.357 C.9 D.5.若函数f(x)=x3+ax2+xA.(−3,3) B.[−6.在棱长为2的正方体ABCD−A1B1C1D1中，点E，F分别为棱BC、DA.255 B.215 C.7.已知函数f(x)=−x−1,x≤0|lnx|,x>0，若g(x)=f(x)−ax至少有三个不同的零点，则实数a的取值范围是(

)A.(0,e) B.(0,e] C.(0,1e)8.设1<x<2，则a=exx，b=(exxA.a<b<c B.a<c<b C.b<a<c D.c<a<b二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.下列函数的求导运算正确的是(

)A.(x3+x)′=3x2+1 B.[10.若函数f(x)=12x2−9lnx在区间[m−1,m+1]上单调，则实数A.m≥4 B.m≤2 C.1<m≤2 D.0<m≤311.如图，在正方体ABCD−A1B1C1D1中，P为棱BB1的中点，Q为正方形A.三棱锥D−A1D1Q的体积为定值

B.若D1Q//平面A1PD，则动点Q的轨迹是一条线段

C.存在Q点，使得D1Q⊥平面A1PD

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.已知向量a=(λ+1,0,2λ),b=(6,μ−1,2)，若a//b13.若直线l的方向向量为a=(2,−3,3)，向量n=(1,0,0)是平面α的一个法向量，则直线l14.若过点(2,m)有三条直线与函数f(x)=(x−1)3−3x+1的图象相切，则实数m四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)

已知函数f(x)=x3−92x2+6x−a．

(1)若a=0，求y=f(x)在(1,f(1))16.(本小题15分)

已知函数f(x)=ex−ax+1(a∈R)．

(1)讨论函数f(x)的单调性与极值；

(2)若对任意x>0，f(x)≥−x17.(本小题15分)

如图，已知ABCD−A1B1C1D1是底面边长为2的正四棱柱，O1为A1C1与B1D1的交点，O为AC与BD的交点．

(1)证明：C18.(本小题17分)

如图1，等腰直角△ABC的斜边BC=4，D为BC的中点，沿BC上的高AD折叠，使得二面角B−AD−C为60°，如图2，M为CD的中点．

(1)证明：BM⊥AC．

(2)求二面角M−AB−D的余弦值．

(3)试问在线段AC上是否存在点Q，使得直线MQ与平面ABM所成角的正弦值为210？若存在，求出线段AQ的长度；若不存在，请说明理由．19.(本小题17分)

如图，AB是半圆ACB的直径，O为AB中点，OC⊥AB，|AB|=2，直线BD⊥AB，点P为BC上一动点(包括B，C两点)，Q与P关于直线OC对称，记∠POB=θ，PF⊥BD，F为垂足，PE⊥AB，E为垂足．

(1)记CP的长度为l1，线段PF长度为l2，试将L=l1+l2表示为θ的函数，并判断其单调性；

(2)记扇形POQ的面积为S1，四边形PEBF

参考答案1.C

2.C

3.A

4.D

5.B

6.D

7.D

8.B

9.AC

10.AC

11.ABD

12.6513.π614.(−5,−4)

15.解：(1)当a=0时，f(x)=x3−92x2+6x，∴f′(x)=3x2−9x+6，

∴切线的斜率为f′(1)=3×12−9×1+6=0，又f(1)=13−92×12+6×1=52，

∴y=f(x)在(1,f(1))处的切线方程为y−52=0×(x−1)，即y=52．

(2)若方程f(x)=0有且仅有一个实数根，即x3−92x2+6x−a=0有一根，

即ℎ(x)=x3−92x2+6x,g(x)=a两个函数图像只有一个交点，

∵ℎ′(x)=3x2−9x+6，令ℎ′(x)>0，可得3x2−9x+6>0，∴x>2或x<1，16.解：(1)∵f(x)=ex−ax+1，∴对函数求导可得f′(x)=ex−a．

①当a≤0时，f′(x)=ex−a>0恒成立，

∴f(x)在R上单调递增，无极大值也无极小值；

②当a>0，x∈(−∞,lna)时，f′(x)<0，x∈(lna,+∞)时，f′(x)>0，

∴f(x)在(−∞,lna)上单调递减，在(lna,+∞)单调递增．

∴函数f(x)有极小值为f(lna)=elna−alna+1=a−alna+1，无极大值．

(2)若对任意x>0，f(x)≥−x2−x恒成立，

则利用分离参数法可得a≤ex+x2+x+1x恒成立，即a≤(ex+x2+x+1x)min(x>0)．

设g(x)=ex+x2+x+1x(x>0)，则对函数求导可得g′(x)=(x−1)(ex17.18.解：(1)证明：在图1的等腰直角△ABC中，D为BC的中点，则AD⊥BC，

所以在图2中，有AD⊥BD，AD⊥CD，又BD∩CD=D，

所以AD⊥平面BCD，又BM⊂平面BCD，

所以AD⊥BM，

因为AD⊥平面BCD，所以∠BDC是二面角B−AD−C的平面角，即∠BDC=60°，

所以△BCD为正三角形，因为M为CD的中点，

所以CD⊥BM，由AD∩CD=D，AD，CD⊂平面ACD，

所以BM⊥平面ACD，又AC⊂平面ACD，

所以BM⊥AC；

(2)以D为原点，垂直于DC的直线为x轴，DC，DA所在直线分别为y，z轴，

建立如图所示的空间直角坐标系，

易知A(0,0,2)，B(3,1,0)，C(0,2,0)，M(0,1,0)，

所以AB=(3,1,−2)，BM=(−3,0,0)，DA=(0,0,2)，

设平面ABM的法向量为n1=(x,y,z)，

则AB⋅n1=0BM⋅n1=0，即3x+y−2z=0−3x=0，令z=1，则y=2，x=1，

所以平面ABM的一个法向量为n1=(0,2,1)，

设平面ABD的法向量为n2=(a,b,c)，

则AB⋅n2=0DA⋅n2=0，即3a+b−2c=02c=0，令a=−1，则b=3，c=0，

所以平面ABD的一个法向量为n2=(−1,3,0)，

设二面角M−AB−D的平面角为θ，由图可知，θ为锐角，

所以cosθ=|cos<n1,n2|>=19.解：(1)因∠POB=θ，则由题意知θ∈[0,π2]，

由题意可得，∠COP=π2−θ，圆半径为1，所以l1=π2−θ，

又