2024-2025学年江苏省南通市如皋市高一下册3月数学检测试题（附解析）

2024-2025学年江苏省南通市如皋市高一下学期3月数学检测试题一､单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.已知，若，则实数的值为（）A. B.3 C. D.【正确答案】B【分析】根据平面向量垂直的坐标运算求解参数.【详解】因为，又因为，所以则实数故选：B.2.若，则（）A. B. C. D.【正确答案】A【分析】利用二倍角余弦公式化简即得结果.【详解】因为，所以，因此故选：A3.已知，且，则（）A. B. C. D.【正确答案】A【分析】由已知得出，，再根据两角和的余弦公式求得，结合即可求解．【详解】因为，且，所以所以，所以，因为，所以，故选：A．4.在中，为上一点，且，则实数值为（）A. B. C. D.【正确答案】B【分析】利用，将用表示，替换，再结合三点共线，即可求出的值.【详解】，因此，因为三点共线，所以，，故选：B.5.已知，则（）A. B. C. D.【正确答案】C【分析】正用、逆用两角和的正弦公式进行求解即可.【详解】即变形得.故选：C6.在直角梯形中，，点分别为，的中点，则（）A0 B. C.1 D.【正确答案】C【分析】先建立平面直角坐标系，求出各点坐标，进而得到向量与的坐标，最后根据向量数量积的坐标运算公式求解.【详解】以为坐标原点，分别以，的方向为轴，轴的正方向建立平面直角坐标系.已知，则；因为，，，所以，又因为，可得，即，解得（舍去，因为在直角梯形中），所以，.因为点为的中点，所以；点为的中点，可得，即.

所以，.

可得.

故选：C.7.已知，则（）A B. C. D.【正确答案】D【分析】先将切化弦，后用二倍角公式代入展开，解得，再根据平方关系结合的范围解得，最后将所求式子用和角公式展开并代值计算即可.【详解】从而故选：D8.在中，，则（）A.9 B. C.6 D.【正确答案】A【分析】由得出点是的三等分点，再用分别表示出，即可计算出．【详解】因为，所以点是三等分点，所以，则，又，所以，故选：A．二､多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每个小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）9.下列命题正确的是（）A.在中，若，则B.已知向量满足条件，则为等边三角形C.在中，若，则为直角三角形D.在中，若，则为等腰三角形【正确答案】BCD【分析】由向量数量积的定义即可判断A；设OA=OB=OC=r>0，由及向量数量积的运算律得出，，，即可判断B；由向量数量积的定义及运算律即可判断C；由平面向量的线性运算及数量积的几何含义即可判断D【详解】对于A，，故A错误；对于B，设OA由得，，所以，即，所以，又<OA,OB同理可得，，所以为等边三角形，故B正确；对于C，由，得，展开整理得，即，故C正确；对于D，设，则射线是的平分线，又，所以，所以为等腰三角形，故D正确；故选：BCD．10.下列计算正确的是（）A.B.C.D.【正确答案】ACD【分析】对于A选项利用诱导公式将化为，化为，式子呈现两角和余弦公式形式，进而得出，算出结果.对于B选项先由平方差公式展开，再依据平方关系和二倍角公式，对比结果判断对错.对于C选项分子分母同除，结合，变形为两角和正切公式形式，求出值.对于D选项先将化为，通分后用二倍角公式，再把化为展开化简得结果.【详解】根据诱导公式可得，.则.可得.因为，所以选项正确.可得.则.可得.所以，选项错误.

分子分母同时除以，可得.因为，所以.可得，C选项正确.

.可得.则.可得.所以，选项正确.故选：ACD.11.已知，则下列结论正确的是（）A. B.C. D.【正确答案】BC【分析】由两角和与差的余弦和正切以及同角的三角函数关系逐项判断即可.【详解】由题意可得，所以，对于A，，故A错误；对于B，，故B正确；对于C，因为，所以，所以，故C正确；对于D，因为，所以，所以，故D错误；故选：BC三､填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分.）12.已知向量在向量上的投影向量为，且，则向量与向量的夹角为__________.【正确答案】##【分析】先根据投影向量求出数量积，再根据向量夹角公式求结果.【详解】因为向量在向量上的投影向量为，又向量在向量上的投影向量为，所以，，，，.故13.若，则__________.【正确答案】##【分析】先将用表示，再根据诱导公式以及二倍角余弦公式求得结果.【详解】因为故答案为.14.已知，则__________.【正确答案】【分析】由得到，由两角和差余弦公式展开化简即可求解；【详解】由，得：，，，所以，故四､解答题（本大题共5个小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）15.已知.（1）求；（2）若与的夹角为锐角，求实数的取值范围.【正确答案】（1）（2）且【分析】（1）先求出，再利用平方法求；（2）根据a+λb⋅a+2b>0【小问1详解】，，又，，，.【小问2详解】与的夹角为锐角，∴a→+λ，，，∴|a→|2+2λ|b→|又与不共线，，，且.16.已知．（1）求的值；（2）若，求的值．【正确答案】（1）（2）【分析】（1）由二倍角公式得出齐次式，求解即可；（2）由两角差的正切公式求得，再根据两角和与差的正弦余弦公式将化为齐次式，代入求解即可．【小问1详解】，．【小问2详解】因为，所以．17.已知向量.（1）若与共线，，求的值；（2）设函数，求的值域.【正确答案】（1）（2）【分析】（1）根据向量的共线得到，再利用二倍角公式以及弦化切得结果；（2）根据向量数量积坐标公式以及辅助角公式化简，再根据三角函数性质求值域.【小问1详解】与共线即【小问2详解】所以当时单调递增，当时单调递减，所以在上单调递增，在上单调递减又所以函数的值域为18.在等腰梯形中，为线段中点，与交于点.（1）求的值；（2）求的余弦值；（3）求与的面积之比.【正确答案】（1）（2）（3）【分析】（1）利用基底表示即可；（2）先用模长公式求出和，再利用向量的夹角公式求解；（3）设，再利用基底表示，再利用三点共线得出系数和为1，即可求出，进而求出，将面积之比转化为线段之比即可.【小问1详解】取线段的中点，连接，因，则四边形为边长为2的菱形，又，则为等边三角形.则【小问2详解】，所以.【小问3详解】设，因为为线段的中点，所以因为三点共线，所以即因为，所以，又因为，所以因为，所以19.在中，为钝角，，点为所在平面内一点，满足，，线段交线段于点.（1）若，求；（2）在（1）条件下，求的最大值；（3）设，求的最小值.【正确答案】（1）（2）（3）【分析】（1）由，根据垂直向量数量积为，展开得到，同理，所以是三角形外心.再利用圆周角与圆心角关系得.通过，结合夹角余弦值列出方程求出.（2）设，对先平方再开方，利用向量数量积运算