线段的垂直平分线与角平分线教学设计

线段的垂直平分线与角平分线教学设计一、教学目标1.知识与技能目标学生能理解线段垂直平分线和角平分线的概念，掌握其性质定理和逆定理。能够运用线段垂直平分线和角平分线的性质定理及逆定理解决相关的几何证明和计算问题。2.过程与方法目标通过观察、猜测、实验、验证等活动，培养学生的探究能力和逻辑推理能力。经历线段垂直平分线和角平分线性质定理及逆定理的推导过程，体会数学中的转化思想。3.情感态度与价值观目标通过数学活动，让学生感受数学的严谨性，激发学生学习数学的兴趣。培养学生勇于探索、敢于创新的精神，增强学生学习数学的自信心。二、教学重难点1.教学重点线段垂直平分线和角平分线的性质定理及逆定理的理解和掌握。运用线段垂直平分线和角平分线的性质定理及逆定理进行几何证明和计算。2.教学难点线段垂直平分线和角平分线性质定理及逆定理的证明思路和方法。灵活运用性质定理及逆定理解决实际问题，培养学生的逻辑思维能力和创新思维能力。三、教学方法1.讲授法：讲解线段垂直平分线和角平分线的概念、性质定理及逆定理，使学生系统地掌握知识。2.探究法：通过设置问题情境，引导学生自主探究、合作交流，培养学生的探究能力和创新思维。3.练习法：通过适量的练习题，让学生巩固所学知识，提高运用知识解决问题的能力。四、教学过程（一）导入新课1.展示一些含有线段垂直平分线和角平分线的生活实例图片，如房屋的屋顶、角平分线仪等，让学生观察并找出其中的几何图形。2.提问学生："在这些图形中，线段垂直平分线和角平分线有什么作用？它们具有哪些特点？"引导学生思考，从而引出本节课的主题线段的垂直平分线与角平分线。（二）探究新知1.线段垂直平分线的概念和性质概念：教师在黑板上画出一条线段AB，然后通过折纸的方法，找出线段AB的垂直平分线。讲解线段垂直平分线的定义：经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线。性质：提出问题："线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离有什么关系？"让学生在刚才折出的垂直平分线上任取一点P，测量PA和PB的长度，并比较它们的大小。学生通过测量、比较后，得出猜想：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等。教师引导学生进行逻辑推理证明：已知：如图，直线MN是线段AB的垂直平分线，垂足为C，点P在MN上。求证：PA=PB证明：因为MN是AB的垂直平分线，所以∠PCA=∠PCB=90°，AC=BC。在△PCA和△PCB中，\(\begin{cases}AC=BC\\∠PCA=∠PCB\\PC=PC\end{cases}\)所以△PCA≌△PCB（SAS）所以PA=PB总结线段垂直平分线的性质定理：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等。用符号语言表示为：因为MN是AB的垂直平分线，点P在MN上，所以PA=PB。2.线段垂直平分线性质定理的逆定理提出问题："到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上吗？"让学生进行思考和讨论：鼓励学生自己动手画图，通过测量、观察等方法进行探究。教师引导学生进行证明：已知：如图，PA=PB。求证：点P在线段AB的垂直平分线上。证明：过点P作PC⊥AB，垂足为C。在Rt△PCA和Rt△PCB中，\(\begin{cases}PA=PB\\PC=PC\end{cases}\)所以Rt△PCA≌Rt△PCB（HL）所以AC=BC即PC是线段AB的垂直平分线，所以点P在线段AB的垂直平分线上。总结线段垂直平分线性质定理的逆定理：到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。用符号语言表示为：因为PA=PB，所以点P在线段AB的垂直平分线上。3.角平分线的概念和性质概念：教师在黑板上画出一个角∠AOB，然后用折纸的方法，折出∠AOB的平分线OC。讲解角平分线的定义：从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线，叫做这个角的平分线。性质：提出问题："角平分线上的点到这个角的两边的距离有什么关系？"让学生在角平分线OC上任取一点P，过点P作PD⊥OA于点D，PE⊥OB于点E，测量PD和PE的长度，并比较它们的大小。学生通过测量、比较后，得出猜想：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等。教师引导学生进行逻辑推理证明：已知：如图，OC是∠AOB的平分线，点P在OC上，PD⊥OA于点D，PE⊥OB于点E。求证：PD=PE证明：因为OC是∠AOB的平分线，所以∠1=∠2。又因为PD⊥OA，PE⊥OB，所以∠PDO=∠PEO=90°。在△PDO和△PEO中，\(\begin{cases}∠1=∠2\\∠PDO=∠PEO\\OP=OP\end{cases}\)所以△PDO≌△PEO（AAS）所以PD=PE总结角平分线的性质定理：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等。用符号语言表示为：因为OC是∠AOB的平分线，点P在OC上，PD⊥OA，PE⊥OB，所以PD=PE。4.角平分线性质定理的逆定理提出问题："在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上吗？"让学生进行思考和讨论：鼓励学生自己动手画图，通过测量、观察等方法进行探究。教师引导学生进行证明：已知：如图，PD⊥OA于点D，PE⊥OB于点E，PD=PE。求证：点P在∠AOB的平分线上。证明：连接OP。在Rt△PDO和Rt△PEO中，\(\begin{cases}PD=PE\\OP=OP\end{cases}\)所以Rt△PDO≌Rt△PEO（HL）所以∠1=∠2即OP是∠AOB的平分线，所以点P在∠AOB的平分线上。总结角平分线性质定理的逆定理：在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上。用符号语言表示为：因为PD⊥OA，PE⊥OB，PD=PE，所以点P在∠AOB的平分线上。（三）例题讲解例1：如图，在△ABC中，AB=AC，AB的垂直平分线交AC于点D，交AB于点E，连接BD。若AC=8，BC=5，求△BCD的周长。解：因为DE是AB的垂直平分线，所以AD=BD。△BCD的周长=BC+CD+BD=BC+CD+AD=BC+AC。已知AC=8，BC=5，所以△BCD的周长为5+8=13。例2：如图，∠AOB=30°，OC是∠AOB的平分线，P是OC上一点，PD∥OA交OB于点D，PE⊥OA于点E。若OD=4，求PE的长。解：因为OC是∠AOB的平分线，∠AOB=30°，所以∠AOC=∠BOC=15°。因为PD∥OA，所以∠DPO=∠AOP=15°。所以∠BOD=∠DPO+∠BOP=30°。又因为PD∥OA，所以∠BDP=∠AOB=30°。所以∠BOD=∠BDP，所以BD=OD=4。过点P作PF⊥OB于点F。因为OC是∠AOB的平分线，PE⊥OA，PF⊥OB，所以PE=PF。在Rt△PDF中，∠BDP=30°，BD=4，所以PF=\(\frac{1}{2}\)BD=2。所以PE=2。（四）课堂练习1.已知线段AB，求作线段AB的垂直平分线。（保留作图痕迹）2.如图，在△ABC中，DE是AC的垂直平分线，AE=3cm，△ABD的周长为13cm，求△ABC的周长。3.如图，OP平分∠AOB，PC⊥OA于点C，PD⊥OB于点D，M为OP上任意一点，连接CM、DM。求证：CM=DM。（五）课堂小结1.引导学生回顾本节课所学内容，包括线段垂直平分线和角平分线的概念、性质定理及逆定理。2.让学生说一说在本节课的学习中，自己有哪些收获和体会，遇到了哪些困难和问题。3.教师对学生的发言进行总结和评价，强调本节课的重点和难点，鼓励学生在今后的学习中继续努力。（六）布置作业1.必做题：课本习题第[X]页第[X]、[X]、[X]题。如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=40°，AB的垂直平分线MN交AC于点D，求∠DBC的度数。2.选做题：如图，已知△ABC的外角∠CBD和∠BCE的平分线相交于点F，求证：点F在∠DAE的平分线上。如图，在△ABC中，AB=AC，D是BC边的中点，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E、F。求证：DE=DF。五、教学反思通过本节课的教学，学生对线段垂直平分线和角平分线的概念、性质定理及逆定理有了较为系统的理解和掌握，能够运用这些知识解决相关的几何证明和计算问题。在教学过程中，通过设置问题情境，引导学生自主探究、合作交流，培养了学