2025年山东省青岛市城阳区和崂山实验联考九年级中考数学模拟题（解析版）

2025年中考模拟题一、单选题（共10小题，满分30分，每小题3分）1.下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】本题考查了轴对称图形和中心对称图形的定义，掌握轴对称图形和中心对称图形的定义以及认真观察图形是解题的关键．根据轴对称图形和中心对称图形的定义逐个选项判断即可．【详解】解：A.是轴对称图形，但不是中心对称图形，故不符合题意；B.既是轴对称图形，又是中心对称图形，故符合题意；C.是中心对称图形，但不是轴对称图形，故不符合题意；D.既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故不符合题意．故选：B．2.的倒数是（）A.2023 B. C. D.【答案】D【解析】【分析】本题考查了求一个数的倒数，掌握倒数的意义是解题的关键．根据倒数定义即可求解．【详解】解：，的倒数是，故选：D．3.下列几何体中，主视图（主视图也称正视图）和俯视图形状不相同的是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】本题考查了简单组合体的三视图，根据从正面看得到的图形是主视图，从上面看得到的图形是俯视图，可得答案，掌握三视图的定义是解题的关键．【详解】A、主视图、俯视图都是等腰三角形，故A不符合题意；B、主视图、俯视图都是矩形，故B不符合题意；C、主视图、俯视图都是矩形，故C不符合题意；D、主视图是两个相邻的矩形、俯视图是三角形，故D符合题意；故选：D．4.据共青团中央2023年5月3日发布的中国共青团团内统计公报，截至2022年12月底，全国共有共青团员7358万．数据7358万用科学记数法表示为（）A.7.358×107 B.7.358×103 C.7.358×104 D.7.358×106【答案】A【解析】【分析】本题主要考查了科学记数法，表示较大的数，利用科学记数法的法则解答即可．【详解】解：7358万，故选：A．5.如图，的斜边在y轴上，，含角的顶点与原点重合，直角顶点C在第二象限．若将绕着原点顺时针旋转后得到，则点B的对应点的坐标是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】利用含的直角三角形三边的关系得到，再利用旋转的性质得到，，，然后利用第四象限点的坐标特征写出点的坐标．【详解】解：如图：旋转后点在x轴上，点在第四象限，∵将绕着原点顺时针旋转后得到∴，．∴点的坐标为．故选：D．【点睛】本题主要考查了坐标与图形变化-旋转，图形或点旋转之后要结合旋转的角度和图形的特殊性质来求出旋转后的点的坐标．6.如图所示，直线，直线c与直线a，b分别交于点D，E，射线直线c，若，则的度数是（）

A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】本题主要考查了平行线的性质，由平行线的性质可得：，由垂直的定义可求出的度数，即可求得．熟记平行线的性质是解决问题的关键．【详解】解：∵，∴，∵直线c，∴，∵，∴，∴．故选：D．7.实数在数轴上的位置如图所示，则化简后为（）A.7 B. C. D.无法确定【答案】A【解析】【分析】本题考查了二次根式的性质和绝对值，首先根据数轴得到a的范围，从而得到与的符号；然后利用二次根式的性质和绝对值的性质即可求解．【详解】解：根据数轴得：，∴，∴．故选：A．8.如图，是正五边形的内切圆，分别切，于点M，N，P是优弧上的一点，则的度数为()A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】先根据正多边形内角和公式求出，根据切线的定义得出，进而可得，再根据圆周角定理可得．【详解】解：五边形是正五边形，，切，于点M，N，，又五边形的内角和为，，，故选C．【点睛】本题考查正多边形内角和问题，圆周角定理，解题的关键是掌握多边形内角和公式．9.如图，点是矩形的对角线的中点，交于点，若，，则的长为（）A.5 B.4 C. D.【答案】D【解析】【分析】已知是的中位线，再结合已知条件则的长可求出，所以利用勾股定理可求出的长，由直角三角形斜边上中线的性质则的长即可求出．【详解】解：∵是矩形的对角线的中点，∴，∵四边形是矩形，∴，，∵，∴，∴，∴，∴是的中位线，∵，∴，∵，∴，∴，故选：D．【点睛】本题考查了矩形的性质，勾股定理的运用，直角三角形斜边上中线的性质以及三角形的中位线的应用，解此题的关键是求出的长．10.已知在正方形ABCD中，点E、F分别为边BC与CD上的点，且，AE与AF分别交对角线BD于点M、N．则下列结论：①；②；③；④正确的有（）A.4个 B.3个 C.2个 D.1个【答案】B【解析】【分析】（1）如图，根据旋转的性质得到B=DF，A=AF，∠BA=∠DAF，得到∠EA=∠EAF=45°，根据全等三角形的性质得到E=EF，∠AEB=∠AEF，于是得到BE+B=BE+DF=EF，故①正确；证明△得结合∠可证明△，故可判断②正确；把△AND按顺时针绕点A旋转90°，可证明是直角三角形，再证明△得，再根据勾股定理可证明，从而可判断③正确；证明△得，故可得，从而可判断④错误【详解】解：①如图，把△ADF绕点A顺时针旋转90°得到△AB，

由旋转的性质得，B=DF，A=AF，∠BA=∠DAF，

∵∠EAF=45°，

∴∠EA=∠BA+∠BAE=∠DAF+∠BAE=90°-∠EAF=45°，

∴∠EA=∠EAF=45°，

在△AEF和△AE中，

∴△AEF≌△AE（SAS），

∴E=EF，

∴∠AEB=∠AEF，

∴BE+B=BE+DF=EF，

故①正确；②∵，∴△∴又∵∠∴△故②正确③把△AND按顺时针绕点A旋转90°，∴，∵∠ABD=45°∴∠∴是直角三角形，同理可证：△，∴∴故③正确；④连接AC，∵∠∴∠∵∠∴△∴∴．故④错误，所以，正确的结论有3个，故选：B．【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，正方形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理，熟记各性质并利用旋转变换作辅助线构造成全等三角形是解题的关键．二、填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）11.计算的结果等于_________．【答案】【解析】【分析】本题考查了整式的混合运算，根据积的乘方、同底数幂的乘法、合并同类项法则，求解即可．【详解】解：，故答案为：．12.甲、乙两队参加“传承红色基因，推动绿色发展”为主题的合唱比赛，每队均由20名队员组成．其中两队队员的平均身高为，身高的方差分别为，．如果单从队员的身高考虑，你认为演出形象效果较好的队是________．（填“甲队”或“乙队”）【答案】乙队【解析】【分析】根据方差的定义，方差越小数据越稳定，即可得出答案．【详解】∵，，，∴，∴应该选乙队参赛；故答案为：乙队【点睛】本题考查了方差的意义，方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定;反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．13.漏刻是我国古代的一种计时工具．据史书记载，西周时期就已经出现了漏刻，这是中国古代人民对函数思想的创造性应用．小明同学依据漏刻的原理制作了一个简单的漏刻计时工具模型，研究中发现水位是时间的一次函数，下表是小明记录的部分数据，其中有一个的值记录错误，请排除后利用正确的数据确定当为时，对应的时间为__________．…1235……2.42.83.44…【答案】15【解析】【分析】由题意及表格数据可知记录错误的数据为当t=3时，h=3.4，然后设水位与时间的函数解析式为，进而把t=2，h=2.8和t=5，h=4代入求解即可．【详解】解：由表格可得：当t=1，h=2.4时，当t=2，h=2.8时，当t=5，h=4时，时间每增加一分钟，水位就上升0.4cm，由此可知错误的数据为当t=3时，h=3.4，设水位与时间的函数解析式为，把t=2，h=2.8和t=5，h=4代入得：，解得：，∴水位与时间的函数解析式为，∴当=8时，则有，解得：，故答案为15．【点睛】本题主要考查一次函数的应用，熟练掌握一次函数的应用是解题的关键．14.数学家斐波那契编写的《算经》中有如下问题：一组人平分10元钱，每人分得若干；若再加上6人，平分40元钱，则第二次每人所得与第一次相同，求第一次分钱的人数．设第一次分钱的人数为x人，则可列方程_____．【答案】【解析】【分析】根据“第二次每人所得与第一次相同，”列分式方程即可得到结论．【详解】解：根据题意得，，故答案为：【点睛】本题主要考查分式方程的实际应用，找出等量关系，列出分式方程，是解题的关键．15.如图，正方形的顶点在原点，边，分别在轴和轴上，点坐标为，点是的中点，点是边上的一个动点，连接，以为圆心，为半径作圆，设点横坐标为，当⊙与正方形的边相切时，的值为______．【答案】或【解析】【分析】先求出，则，再分分与相切和与相切两种情况考虑：利用切线的性质得到和圆的性质分别表示出的长，再在中利用勾股定理建立方程求解即可．【详解】解：四边形是正方形，点坐标为，，∵点是的中点，∴．分与相切和与相切两种情况考虑：①当与相切时，如图1所示．点横坐标为，．在中，，，，，即，解得：；②当与相切时，设切点为，连接，如图2所示．，，，四边形为矩形，，．在中，，，，，即，解得：，（不合题意，舍去）．综上所述：的值为或．故答案为：或．【点睛】本题主要考查了切线性质，正方形的性质，矩形的性质与判定，勾股定理，坐标与图形等等，利用分类讨论的思想求解是解题的关键．16.如图，二次函数图象的一部分与轴的一个交点坐标为，对称轴为直线，结合图象给出下列结论：①；②；③（为任意实数）；④若点，，均在二次函数图像上，且满足，则；其中正确的结论有_________．【答案】①②③④【解析】【分析】本题主要考查了二次函数图象的性质，熟练掌握二次函数图象的性质是解题的关键．根据二次函数图象的性质，对选项逐一进行判断即可．【详解】解：根据图象可知，开口向上，，∵抛物线的对称轴为直线，，∵抛物线交轴负半轴，，故①正确，符合题意；∵抛物线的对称轴为直线，与轴的一个交点坐标为，根据抛物线的对称性可得，抛物线与轴的另一个交点坐标为，将该点坐标代入解析式可得：，故②正确，符合题意；∵抛物线顶点横坐标为，当时求得值最小，即，∴无论取何值时，总是大于或等于即，故③正确，符合题意；根据绝对值的几何意义可知，分别表示到的距离，根据抛物线图象的性质，距离对称轴越远的点，其坐标就越大，故④正确，符合题意．故答案为：①②③④．三、作图题（本题满分4分）17.如图，在直角中，，请用尺规作图法，在边上求作一点D，使得．（保留作图痕迹，不写作法）【答案】见解析【解析】【分析】本题考查了作垂线、含30度的直角三角形的性质，熟练掌握含30度的直角三角形的性质是解题关键．根据含30度的直角三角形的性质可得作边上的高线即可解答．【详解】解：如图，点即为所求．四、解答题（共9小题，满分68分）18.计算：（1）（2）解不等式组：．【答案】（1）（2）【解析】【分析】本题主要考查分式的混合运算和解一元一次不等式组，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．（1）先将括号内的进行通分，把除法转换为乘法后进行约分化简即可得到答案；；（2）分别求出每个不等式的解集，再取它们的公共解集即可得到不等式组的解集．【小问1详解】解：；【小问2详解】解：解不等式①得，；解不等式②得，；所以，不等式组的解集为：．19.恰逢学校20周年校庆，某项参观活动需要两名引导员，决定从A，B，C，D四名志愿者中通过抽签的方式确定两人．抽签规则：将四名志愿者的名字分别写在四张完全相同且不透明卡片的正面，把四张卡片背面朝上，洗匀后放在桌面上，先从中随机抽取一张卡片，记下名字，再从剩余的三张卡片中随机抽取第二张，记下名字．用画树状图或列表的方法求出A，B两名志愿者同时被选中的概率．【答案】【解析】【分析】画树状图，共有12种等可能的结果，其中则A，B两名志愿者被选中的结果有2种，再由概率公式求解即可．【详解】解：画树状图如下：共有12种等可能的结果，其中则A，B两名志愿者被选中的结果有2种，∴则A，B两名志愿者被选中的概率为．【点睛】此题考查的是用树状图法求概率．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件；注意概率=所求情况数与总情况数之比．20.2023年2月6日土耳其发生7.8级地震，牵动世界各国人民的心！为进一步宣传防震减灾科普知识，增强学生应急避险和自救互救能力，某校组织全校学生进行“防震减灾知识测试”，现随机抽取部分学生的测试成绩（单位：分）整理成，，，四个等级，绘制成如下频数分布表和扇形统计图：被抽取学生的测试成绩的频数表等级成绩/分频数/人各组总分/分1065010502117855455根据以上信息，解答下列问题：（1）填空：__________，_____________；（2）此次被抽取学生的测试成绩的中位数落在____________等级，求此次被抽取学生的测试成绩的平均数；（3）如果90分以上（含90分）为优秀，请估计全校2000名学生中此次测试成绩优秀的学生人数．【答案】（1）20，14（2）（或）；78.8分（3）200人【解析】【分析】（1）结合扇形统计图与频数表，找到对应的量用频数÷百分比即可算出总数，然后再计算即可；（2）根据中位数的概念，把数据从小到大排列，如果数据个数是偶数个，则排在中间的两个数的平均数即为中位数，然后利用平均数公式计算平均数即可；（3）先利用样本数据估算总的优秀率，再计算全校的优秀人数．【小问1详解】解：总人数：（人）等级所占百分比为：（人）∴，【小问2详解】解：将成绩从小到大排列，可知总共有50个数据，则中位数为第25、26个数据的平均数；∵等级有10人，等级有14人，∴中位数落在等级；平均分为：（分）此次被抽取学生的测试成绩的平均数为78.8分【小问3详解】解：（人）.答：估计全校2000名学生中成绩优秀的学生人数有200人【点睛】本题主要考查频数分布表和扇形统计图，熟练掌握中位数以及平均数的计算，频数频率的计算以及扇形统计图的计算是解决本题的关键．21.随着科技的发展，无人机已广泛应用于生产和生活，如代替人们在高空测量距离和角度．某校“综合与实践”活动小组的同学要测星AB，CD两座楼之间的距离，他们借助无人机设计了如下测量方案：无人机在AB，CD两楼之间上方的点O处，点O距地面AC的高度为60m，此时观测到楼AB底部点A处的俯角为70°，楼CD上点E处的俯角为30°，沿水平方向由点O飞行24m到达点F，测得点E处俯角为60°，其中点A，B，C，D，E，F，O均在同一竖直平面内．请根据以上数据求楼AB与CD之间的距离AC的长（结果精确到1m．参考数据：）．【答案】58m【解析】【分析】延长AB和CD分别与直线OF交于点G和点H，则，再根据图形应用三角函数即可求解．【详解】解：延长AB和CD分别与直线OF交于点G和点H，则．又∵，∴四边形ACHG是矩形．∴．由题意，得．在中，，∴（m）﹒∵是的外角，∴．∴．∴m．在中，∴(m)．∴．答：楼AB与CD之间的距离AC的长约为58m．【点睛】本题主要考查三角函数的综合应用，正确构造直角三角形并应用三角函数进行求解是解题的关键．22.问题：如图，在中，，D是上一点（不与A，B重合），交于点E，连接．设的面积为S，的面积为．（1）当时，______；（2）设，请你用含字母的代数式表示．问题：如图，在四边形中，，，，E是上一点（不与A，B重合），，交于点F，连接，设，四边形的面积为S，的面积为．请你利用问题的解法或结论，用含字母的代数式表示．【答案】问题一：（1）；（2）；问题二：【解析】【分析】本题考查相似三角形的判定和性质．解题的关键是证明三角形相似，掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方．问题一：（1）证明，得到，得到，进行求解即可；（2）同法（1）即可得出结论；问题二：分别延长，交于点O，同探究一的方法进行求解即可．【详解】解：问题一（1）∵，∴，∴，∴，∴；∵，∴，∴；故答案为：；（2）∵，，∴．∵，∴．∴．∵，∴．∴．∴，即；问题二：分别延长，交于点O，∵，∴．∵，∴，∴，∴，∴．∵，∴．∵，∴由问题1的解法可知：．∵，∴，∴，即．23.如图，在四边形中，，，相交于点，，分别是，的中点，．（1）求证：；（2）连接，，当满足什么条件时，四边形是菱形，并证明你的结论．【答案】（1）见解析（2）当满足中，时，四边形是菱形，证明见解析【解析】【分析】（1）由，可得，，证明，得到，推出四边形是平行四边形，得到，结合，分别是，的中点，得到，证明，最后根据全等三角形的性质即可得证；（2）根据等腰三角形的性质可得，由，分别四边形是菱形是，的中点，，得到，推出、互相垂直平分，即可得到．【小问1详解】证明：，，，，，，，四边形是平行四边形，，，分别是，的中点，，，，，；【小问2详解】当满足中，时，四边形是菱形，证明如下：，，，即，，分别是，的中点，，，，又，，、互相垂直平分，四边形是菱形．【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质，菱形的判定，等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质，平行线的性质，解题的关键是掌握相关知识．24.“雨过园亭绿暗时，樱桃红颗压枝低”，如图，樱桃富含维生素C，崂山北宅素有“中国樱桃之乡”的美誉．在2023年樱桃节某水果商城为了了解两种樱桃市场销售情况，购进了一批数量相等的“樱珠”和“樱桃”供客户对比品尝，其中购买“樱桃”用了630元，购买“樱珠”用了1134元，已知每千克“樱珠”进价比每千克“樱桃”贵8元．（1）求每千克“樱珠”和“樱桃”进价各是多少元？（2）若该水果商城决定再次购买同种“樱珠”和“樱桃”共60千克，且再次购买的费用不超过1000元，且每种樱桃进价保持不变．若“樱珠”的销售单价为30元，“樱桃”的销售单价为18元，则该水果商城应如何进货，使得第二批的“樱珠”和“樱桃”售完后获得利润最大？最大利润是多少？【答案】（1）每千克“樱珠”进价是18元，每千克“樱桃”进价是10元（2）该该水果商城应购买50千克“樱珠”，10千克“樱桃”，使得第二批的“樱珠”和“樱桃”售完后获得利润最大，最大利润是680元．【解析】【分析】本题考查了分式方程的应用、一元一次不等式的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）找出数量关系，正确列出一元一次不等式和一次函数关系式．（1）设每千克“樱珠”进价是x元，则每千克“樱桃”进价是元，根据购进了一批数量相等的“樱珠”和“樱桃”供客户对比品尝，其中购买“樱桃”用了630元，购买“樱珠”用了1134元，列出分式方程，解方程即可；（2）设购买a千克“樱珠”，则购买千克“樱桃”，根据再次购买的费用不超过1000元，列出一元一次不等式，解得，再设总利润为w元，根据题意列出w关于a的一次函数关系式，然后由一次函数的性质即可解决问题．小问1详解】解：设每千克“樱珠”进价是x元，则每千克“樱桃”进价是元，根据题意得：，解得：，经检验，是原方程的解，且符合题意，∴，答：每千克“樱珠”进价18元，每千克“樱桃”进价是10元；【小问2详解】解：设购买a千克“樱珠”，则购买千克“樱桃”，根据题意得：，解得：，设总利润为w元，根据题意得：，∵，∴w最a的增大而增大，∴当时，w有最大值，此时，，答：该该水果商城应购买50千克“樱珠”，10千克“樱桃”，使得第二批的“樱珠”和“樱桃”售完后获得利润最大，最大利润是680元．25.2022年北京冬奥会即将召开，激起了人们对冰雪运动的极大热情．如图是某跳台滑雪训练场的横截面示意图，取某一位置的水平线为轴，过跳台终点作水平线的垂线为轴，建立平面直角坐标系．图中的抛物线近似表示滑雪场地上的一座小山坡，某运动员从点正上方米处的点滑出，滑出后沿一段抛物线运动．（1）当运动员运动到离处的水平距离为米时，离水平线的高度为米，求抛物线的函数解析式（不要求写出自变量的取值范围）；（2）在（1）的条件下，当运动员运动水平线的水平距离为多少米时，运动员与小山坡的竖直距离为米？（3）当运动员运动到坡顶正上方，且与坡顶距离超过米时，求的取值范围．【答案】（1）；（2）12米；（3）．【解析】【分析】（1）根据题意可知：点A（0，4）点B（4，8），利用待定系数法代入抛物线即可求解；（2）高度差为1米可得可得方程，由此即可求解；（3）由抛物线可知坡顶坐标为，此时即当时，运动员运动到坡顶正上方，若与坡顶距离超过米，即，由此即可求出b的取值范围．【详解】解：（1）根据题意可知：点A（0，4），点B（4，8）代入抛物线得，，解得