牛吃草问题 教案

牛吃草问题教案一、教学目标1.知识与技能目标让学生理解牛吃草问题的基本结构和数量关系，掌握牛吃草问题的解题方法。能够运用所学方法解决不同情境下的牛吃草问题，提高学生分析问题和解决问题的能力。2.过程与方法目标通过引导学生观察、分析、推理，培养学生的逻辑思维能力。经历将实际问题转化为数学模型的过程，体会数学建模思想。3.情感态度与价值观目标激发学生对数学问题的兴趣，培养学生勇于探索和创新的精神。让学生在解决问题的过程中，感受数学与生活的紧密联系，增强学生学习数学的自信心。

二、教学重难点1.教学重点理解牛吃草问题中草的生长速度和原有草量的概念，并掌握其计算方法。熟练运用公式解决牛吃草问题。2.教学难点如何引导学生分析问题，找出牛吃草问题中的不变量和变量，建立数学模型。对不同类型牛吃草问题的灵活运用和变形。

三、教学方法1.讲授法：讲解牛吃草问题的基本概念、原理和公式，使学生系统地掌握知识。2.演示法：通过具体的例题演示解题过程，让学生直观地理解解题方法。3.讨论法：组织学生讨论问题，激发学生的思维，培养学生的合作交流能力。4.练习法：让学生通过练习巩固所学知识，提高解题能力。

四、教学过程

（一）导入（5分钟）同学们，在我们的生活中，有很多有趣的数学问题。今天老师要给大家讲一个非常有意思的问题牛吃草问题。想象一下，有一片草地，每天草都在匀速生长。现在来了一群牛，它们在草地上吃草。那么，牛的数量、吃草的天数和草的生长情况之间有什么关系呢？这就是我们今天要探讨的牛吃草问题。大家想不想知道如何解决这类问题呢？

（二）知识讲解（20分钟）1.牛吃草问题的基本概念介绍牛吃草问题：牛吃草问题又称为消长问题或牛顿牧场问题，是17世纪英国伟大的科学家牛顿提出来的。典型牛吃草问题的条件是假设草的生长速度固定不变，不同头数的牛吃光同一片草地所需的天数各不相同，求若干头牛吃这片草地可以吃多少天。分析问题中的不变量和变量：在牛吃草问题中，有两个关键的量，一个是原有草量，它是固定不变的；另一个是草的生长速度，它也是固定不变的。而牛的数量和吃草的天数是变量。2.牛吃草问题的基本公式设每头牛每天的吃草量为1份。草的生长速度=（对应牛的头数×较多天数对应牛的头数×较少天数）÷（较多天数较少天数）原有草量=对应牛的头数×吃的天数草的生长速度×吃的天数吃的天数=原有草量÷（牛的头数草的生长速度）牛的头数=原有草量÷吃的天数+草的生长速度

（三）例题讲解（30分钟）1.例1：牧场上一片青草，每天牧草都匀速生长。这片牧草可供10头牛吃20天，或者可供15头牛吃10天。问：可供25头牛吃几天？分析：首先明确已知条件：每头牛每天吃草量为1份，10头牛20天的总吃草量为$10×20=200$份，15头牛10天的总吃草量为$15×10=150$份。然后求草的生长速度：草的生长速度=（$10×2015×10$）÷（$2010$）=5份/天。接着求原有草量：原有草量=$10×205×20=100$份。最后求25头牛吃的天数：吃的天数=$100÷（255）=5$天。解题过程：草的生长速度：（$10×2015×10$）÷（$2010$）=（$200150$）÷10=5（份/天）原有草量：$10×205×20$=200100=100（份）25头牛吃的天数：$100÷（255）$=100÷20=5（天）总结：解决这类问题的关键是先求出草的生长速度和原有草量，再根据公式计算牛可以吃的天数。2.例2：有一水池，池底有泉水不断涌出。用10部抽水机20小时可以把水抽干；用15部同样的抽水机10小时可以把水抽干。那么，用25部这样的抽水机多少小时可以把水抽干？分析：这里把抽水机抽水看作牛吃草，泉水涌出看作草生长。每部抽水机每小时抽水量为1份。草的生长速度（泉水涌出速度）=（$10×2015×10$）÷（$2010$）=5份/小时。原有草量（水池原有水量）=$10×205×20=100$份。25部抽水机抽干水所需时间=$100÷（255）=5$小时。解题过程：泉水涌出速度：（$10×2015×10$）÷（$2010$）=（$200150$）÷10=5（份/小时）水池原有水量：$10×205×20$=200100=100（份）25部抽水机抽干水的时间：$100÷（255）$=100÷20=5（小时）总结：这是牛吃草问题在实际生活中的变形，要学会类比，找到对应的量，运用相同的方法解决问题。3.例3：由于天气逐渐冷起来，牧场上的草不仅不长大，反而以固定的速度在减少。已知某块草地上的草可供20头牛吃5天，或可供15头牛吃6天。照此计算，可供多少头牛吃10天？分析：每头牛每天吃草量为1份。草每天减少的速度=（$20×515×6$）÷（$65$）=10份/天。原有草量=$20×5+10×5=150$份。设可供x头牛吃10天，则$150=10x+10×10$，解得$x=5$头牛。解题过程：草每天减少的速度：（$20×515×6$）÷（$65$）=（$10090$）÷1=10（份/天）原有草量：$20×5+10×5$=100+50=150（份）设可供x头牛吃10天：$150=10x+10×10$10x=15010010x=50x=5总结：当草量在减少时，要注意草的生长速度为负数，计算方法与草生长的情况类似，但要根据实际情况灵活运用公式。

（四）课堂练习（20分钟）1.一片牧场长满牧草，每天牧草都匀速生长。这片牧场可供12头牛吃20天，或者可供16头牛吃10天。问：可供24头牛吃几天？2.一只船发现漏水时，已经进了一些水，水匀速进入船内。如果10人淘水，3小时淘完；如果5人淘水，8小时淘完。如果要求2小时淘完，要安排多少人淘水？3.有一片草地，草每天匀速生长。可供8只羊吃20天，或可供14只羊吃10天。假设1只羊1天吃1份草，那么这片草地每天新长的草可供几只羊吃1天？

（五）课堂小结（5分钟）1.回顾牛吃草问题的基本概念和公式。2.总结解决牛吃草问题的关键步骤：先求出草的生长速度和原有草量，再根据题目要求运用公式计算。3.强调在解决问题时要注意分析题目中的条件，找出不变量和变量，灵活运用公式。

（六）课后作业1.牧场上有一片匀速生长的草地，可供27头牛吃6周，或供23头牛吃9周。那么它可供21头牛吃几周？2.某火车站的检票口，在检票开始前已有一些人排队，检票开始后每分钟有10人前来排队检票，一个检票口每分钟能让25人检票进站。如果只有一个检票口，检票开始8分钟后就没有人排队；如果有两个检票口，那么检票开始后多少分钟就没有人排队？3.有一牧场长满青草，并匀速生长。15头牛30天可将草吃完，18头牛24天可将草吃完。现有若干头牛吃了6天后，卖掉8头牛，余下的牛再吃2天便将草吃完，问原来有牛多少头？

五、教学反思通过本节课的教学，学生对牛吃草问题有了初步的认识和理解。在教学过程中，通过逐步引导学生分析问题、找出数量关系，学生能够掌握牛吃草问题的解题方法。但在教