工程数学形成性考核册答案

工程数学形成性考核册答案一、线性代数部分

第一章行列式1.题目：计算行列式的值答案：对于二阶行列式\(\begin{vmatrix}a&b\\c&d\end{vmatrix}=adbc\)。例如\(\begin{vmatrix}2&3\\4&5\end{vmatrix}=2\times53\times4=1012=2\)。计算过程：直接根据二阶行列式的计算公式进行计算。

对于三阶行列式\(\begin{vmatrix}a_{1}&b_{1}&c_{1}\\a_{2}&b_{2}&c_{2}\\a_{3}&b_{3}&c_{3}\end{vmatrix}=a_{1}\begin{vmatrix}b_{2}&c_{2}\\b_{3}&c_{3}\end{vmatrix}b_{1}\begin{vmatrix}a_{2}&c_{2}\\a_{3}&c_{3}\end{vmatrix}+c_{1}\begin{vmatrix}a_{2}&b_{2}\\a_{3}&b_{3}\end{vmatrix}\)。例如\(\begin{vmatrix}1&2&3\\4&5&6\\7&8&9\end{vmatrix}=1\times\begin{vmatrix}5&6\\8&9\end{vmatrix}2\times\begin{vmatrix}4&6\\7&9\end{vmatrix}+3\times\begin{vmatrix}4&5\\7&8\end{vmatrix}\)\(=1\times(5\times96\times8)2\times(4\times96\times7)+3\times(4\times85\times7)\)\(=1\times(4548)2\times(3642)+3\times(3235)\)\(=1\times(3)2\times(6)+3\times(3)\)\(=3+129=0\)。

2.题目：已知行列式\(\begin{vmatrix}x&2\\3&x1\end{vmatrix}=0\)，求\(x\)的值。答案：\(x(x1)2\times3=0\)，即\(x^{2}x6=0\)，分解因式得\((x3)(x+2)=0\)，解得\(x=3\)或\(x=2\)。计算过程：根据二阶行列式的计算公式展开得到方程，然后通过求解一元二次方程得出\(x\)的值。

第二章矩阵1.题目：已知矩阵\(A=\begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix}\)，\(B=\begin{pmatrix}5&6\\7&8\end{pmatrix}\)，求\(A+B\)。答案：\(A+B=\begin{pmatrix}1+5&2+6\\3+7&4+8\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}6&8\\10&12\end{pmatrix}\)。计算过程：对应元素相加，即矩阵\(A\)与矩阵\(B\)相同位置的元素分别相加。

2.题目：已知矩阵\(A=\begin{pmatrix}2&3\\4&5\end{pmatrix}\)，求\(3A\)。答案：\(3A=3\times\begin{pmatrix}2&3\\4&5\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}3\times2&3\times3\\3\times4&3\times5\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}6&9\\12&15\end{pmatrix}\)。计算过程：用常数\(3\)乘以矩阵\(A\)的每一个元素。

3.题目：已知矩阵\(A=\begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix}\)，\(B=\begin{pmatrix}5&6\\7&8\end{pmatrix}\)，求\(AB\)。答案：\(AB=\begin{pmatrix}1\times5+2\times7&1\times6+2\times8\\3\times5+4\times7&3\times6+4\times8\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}5+14&6+16\\15+28&18+32\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}19&22\\43&50\end{pmatrix}\)。计算过程：矩阵\(A\)的第一行元素与矩阵\(B\)的第一列元素对应相乘再相加，得到\(AB\)的第一行第一列元素；矩阵\(A\)的第一行元素与矩阵\(B\)的第二列元素对应相乘再相加，得到\(AB\)的第一行第二列元素；以此类推，计算出\(AB\)的其他元素。

4.题目：已知矩阵\(A=\begin{pmatrix}2&1&3\\1&1&0\end{pmatrix}\)，求\(A^{T}\)。答案：\(A^{T}=\begin{pmatrix}2&1\\1&1\\3&0\end{pmatrix}\)。计算过程：将矩阵\(A\)的行与列互换，得到\(A\)的转置矩阵\(A^{T}\)。

第三章线性方程组1.题目：求解线性方程组\(\begin{cases}x+y=3\\2xy=0\end{cases}\)。答案：将两个方程相加可得\(3x=3\)，解得\(x=1\)，把\(x=1\)代入\(x+y=3\)，得\(1+y=3\)，解得\(y=2\)。所以方程组的解为\(\begin{cases}x=1\\y=2\end{cases}\)。计算过程：通过消元法，将两个方程相加消去\(y\)，求出\(x\)的值，再将\(x\)的值代入其中一个方程求出\(y\)的值。

2.题目：求解线性方程组\(\begin{cases}2x+3yz=5\\3x2y+2z=3\\x+3y3z=4\end{cases}\)。答案：首先对增广矩阵\(\begin{pmatrix}2&3&1&5\\3&2&2&3\\1&3&3&4\end{pmatrix}\)进行初等行变换。第一行乘以\(\frac{1}{2}\)得\(\begin{pmatrix}1&\frac{3}{2}&\frac{1}{2}&\frac{5}{2}\\3&2&2&3\\1&3&3&4\end{pmatrix}\)。第二行减去第一行的\(3\)倍，第三行减去第一行得\(\begin{pmatrix}1&\frac{3}{2}&\frac{1}{2}&\frac{5}{2}\\0&\frac{13}{2}&\frac{7}{2}&\frac{21}{2}\\0&\frac{3}{2}&\frac{5}{2}&\frac{3}{2}\end{pmatrix}\)。第二行乘以\(\frac{2}{13}\)得\(\begin{pmatrix}1&\frac{3}{2}&\frac{1}{2}&\frac{5}{2}\\0&1&\frac{7}{13}&\frac{21}{13}\\0&\frac{3}{2}&\frac{5}{2}&\frac{3}{2}\end{pmatrix}\)。第一行减去第二行的\(\frac{3}{2}\)倍，第三行减去第二行的\(\frac{3}{2}\)倍得\(\begin{pmatrix}1&0&\frac{4}{13}&\frac{4}{13}\\0&1&\frac{7}{13}&\frac{21}{13}\\0&0&\frac{14}{13}&\frac{14}{13}\end{pmatrix}\)。第三行乘以\(\frac{13}{14}\)得\(\begin{pmatrix}1&0&\frac{4}{13}&\frac{4}{13}\\0&1&\frac{7}{13}&\frac{21}{13}\\0&0&1&1\end{pmatrix}\)。第一行减去第三行的\(\frac{4}{13}\)倍，第二行加上第三行的\(\frac{7}{13}\)倍得\(\begin{pmatrix}1&0&0&0\\0&1&0&2\\0&0&1&1\end{pmatrix}\)。所以方程组的解为\(\begin{cases}x=0\\y=2\\z=1\end{cases}\)。计算过程：通过对增广矩阵进行一系列初等行变换，将其化为行最简形矩阵，从而得到方程组的解。

二、概率论与数理统计部分

第一章随机事件与概率1.题目：从一批产品中随机抽取两件，设\(A\)表示"至少有一件次品"，\(B\)表示"两件都是次品"，问\(A\)与\(B\)的关系是什么？答案：\(B\subseteqA\)。因为\(B\)发生时，\(A\)一定发生，即两件都是次品时至少有一件次品肯定成立。分析过程：根据事件包含的定义，若事件\(B\)发生必然导致事件\(A\)发生，则\(B\)包含于\(A\)。

2.题目：已知\(P(A)=0.4\)，\(P(B)=0.3\)，\(P(A\cupB)=0.6\)，求\(P(A\capB)\)。答案：根据概率的加法公式\(P(A\cupB)=P(A)+P(B)P(A\capB)\)，可得\(P(A\capB)=P(A)+P(B)P(A\cupB)=0.4+0.30.6=0.1\)。计算过程：将已知的概率值代入加法公式，求解\(P(A\capB)\)。

3.题目：一批产品共\(100\)件，其中有\(5\)件次品，从中任取\(5\)件，求至少有一件次品的概率。答案：先求没有次品的概率，即从\(95\)件正品中任取\(5\)件的组合数\(C_{95}^5\)与从\(100\)件产品中任取\(5\)件的组合数\(C_{100}^5\)的比值，\(P(\text{没有次品})=\frac{C_{95}^5}{C_{100}^5}\)。\(C_{95}^5=\frac{95!}{5!(955)!}=\frac{95\times94\times93\times92\times91}{5\times4\times3\times2\times1}\)\(C_{100}^5=\frac{100!}{5!(1005)!}=\frac{100\times99\times98\times97\times96}{5\times4\times3\times2\times1}\)则\(P(\text{没有次品})=\frac{95\times94\times93\times92\times91}{100\times99\times98\times97\times96}\)至少有一件次品的概率为\(P=1P(\text{没有次品})=1\frac{95\times94\times93\times92\times91}{100\times99\times98\times97\times96}\)。计算过程：先利用组合数公式求出没有次品的概率，再用\(1\)减去没有次品的概率得到至少有一件次品的概率。

第二章随机变量及其概率分布1.题目：已知离散型随机变量\(X\)的分布列为\(P(X=k)=\frac{k}{15}\)，\(k=1,2,3,4,5\)，求\(P(1\leqX\leq3)\)。答案：\(P(1\leqX\leq3)=P(X=1)+P(X=2)+P(X=3)=\frac{1}{15}+\frac{2}{15}+\frac{3}{15}=\frac{6}{15}=\frac{2}{5}\)。计算过程：根据分布列，将\(X=1\)、\(X=2\)、\(X=3\)时的概率相加。

2.题目：设连续型随机变量\(X\)的概率密度函数为\(f(x)=\begin{cases}2x,&0\ltx\lt1\\0,&\text{其他}\end{cases}\)，求\(P(0.2\ltX\lt0.5)\)。答案：\(P(0.2\ltX\lt0.5)=\int_{0.2}^{0.5}2x\mathrm{d}x=x^{2}\big|_{0.2}^{0.5}=0.5^{2}0.2^{2}=0.250.04=0.21\)。计算过程：根据概率密度函数，对\(f(x)\)在区间\((0.2,0.5)\)上进行积分，利用积分公式\(\intx^{n}\mathrm{d}x=\frac{1}{n+1}x^{n+1}+C\)（\(n\neq1\)）求出积分值。

3.题目：已知随机变量\(X\)服从正态分布\(N(1,4)\)，求\(P(1\ltX\lt3)\)。答案：先将\(X\)标准化，令\(Z=\frac{X1}{2}\)，则\(Z\)服从标准正态分布\(N(0,1)\)。当\(X=1\)时，\(Z=\frac{11}{2}=1\)；当\(X=3\)时，\(Z=\frac{31}{2}=1\)。所以\(P(1\ltX\lt3)=P(1\ltZ\lt1)=\varPhi(1)\varPhi(1)\)，查标准正态分布表得\(\varPhi(1)=0.8413\)，\(\varPhi(1)=10.8413=0.1587\)，则\(P(1\ltX\lt3)=0.84130.1587=0.6826\)。计算过程：利用正态分布的标准化变换，将非标准正态分布转化为标准正态分布，再通过查标准正态分布表计算概率。

第三章随机变量的数字特征1.题目：已知离散型随机变量\(X\)的分布列为\(P(X=0)=0.2\)，\(P(X=1)=0.3\)，\(P(X=2)=0.5\)，求\(E(X)\)和\(D(X)\)。答案：\(E(X)=0\times0.2+1\times0.3+2\times0.5=0.3+1=1.3\)。\(E(X^{2})=