人教版专题81 空间几何体的表面积和体积【2024年高考数学一轮复习题型突破】及试题解析

专题8.1空间几何体的表面积和体积

【题型目录】

题型一空间几何体的结构特征

题型二斜二测画法

题型三最短路径

题型四空间几何体的表面现

题型五空间几何体的体积

题型六截面问题

【典型例题】

题型一空间几何体的结构特征

例1.（2023•上海・上海市七宝中学校考模拟预测）《九章算术》中，将四个面都

是百角二角形的四面体称为“鳖需在长方体ABC。-A5CQ中.鳖席的个数为

（）

A.48B.36C.24D.12

例2.（2023・全国•高一专题练习）下列关于空间几何体结构特征的描述错误的是

（）

A.棱柱的侧棱互相平行

B.以直角三角形的一边为轴旋转一周得到的几何体不一定是圆锥

C.正三棱锥的各个面都是正三角形

D.棱台各侧棱所在直线会交于一点

举一反三

练习1.（2023・全国•高一专题练习）一个几何体由六个面组成，其中两个面是互

相平行且相似的四边形，其余各面都是全等的等腰梯形，则这个几何体是（）

A.三棱柱B.三棱台C.四棱柱D.四棱台

练习2.（2023・全国•高三专题练习）（多选）下列说法正确的是（）

A.以三角形的一边所在直线为轴旋转一周所得的旋转体是圆锥

B.棱台的侧面都是等腰楞形

C.底面半径为八母线长为2,,的圆锥的轴截面为等边三角形

D.棱柱的侧棱长都相等，但侧极不一定都垂直于底面

练习3.（2023・全国•高三专题练习）下列说法正确的是（）

A.等边三角形绕其一条边旋转一周所得的几何体是圆锥

B.球体的截面都是圆面

C.正四棱台的侧面展开图是一个等腰梯形

D.正三棱锥的四个面都是等边三角形

练习4.（2023春•甘肃•高三校联考期中）（多选）下列命题正确的是（）

A.圆锥的顶点与底面圆周上任意一点的连线都是母线

B.两个面平行且相似，其余各面都是梯形的多面体是极台

C.以直角梯形的一条直角腰所在的直线为旋转轴，其余三边旋转一周形成的面

所围成的旋转体是圆台

D.用平面截留柱得到的截面只能是圆和矩形

练习5.（2023春•江西鹰潭・高三贵溪市实验中学校考阶段练习）某儿童玩具的实

物图如图1所示，从中抽象出的几何模型如图2所示，由OA,OB,OC,OD四

条等长的线段组成，其结构特点是能使它任意抛至水平面后，总有一条线段所在

的直线竖直向上，则sin403=（）

题型二斜二测画法

例3.（2023春・河南•高三洛阳市第三中学校联考阶段练习）如图，△04夕是一

的直观图，贝九。4区是（）

A.正三角形B.直角三角形

C.钝角三角形D.以上都有可能

例4.（2023・全国•高三专题练习）某几何体底面的四边形。ABC直观图为如图矩

形QA4G，其中。小=6,0G=2,则该几何体底面对角线AC的实际长度为（）

C.4及D.2M

举一反三

练习6.（2023春・全国•高三专题练习）如图等腰梯形ABC。，ABCD,八8=1,

AD=2,CO=3,那么该梯形直观图的面积是_____.

练习7.（2023・全国•高三专题练习）如图，“EC是的直观图，其中

BO=CO=1,40=@，那么BBC是一个（

8'/O'Cx'

A.等边三角形B.直角三角形C.等腰三角形D.无法确定

练习8.（2023・全国•高一专题练习）已知在如图所示的等腰梯形中，

"=1,。。=3,AD=6,用斜二测画法画出该梯形的直观图，则该梯形的直观图

的面积为.

AB

练习9.（2023・全国•高三专题练习）如图所示，矩形O'AEC是水平放置的一个

平面图形的直观图，其中。W=3,OV=1,则原图形是（）

C'B'

面积为这的矩形

A.面积为6&的矩形B.

4

D.面积为举的菱形

C.面积为66的菱形

4

练习10.（2023春・河南周口•高三校考期末）如图，一个水平放置的平面图形的

直观图是边长为2的正方形，则原图形的周长是（）

A.16B.12C.4+8x/2D.4+4及

题型三最短路径

例5.（2023・全国•高三专题练习）如图，圆锥的底面圆直径/W为2,母线长S4

为4,若小虫P从点A开始绕着圆锥表面爬行一圈到SA的中点C,则小虫爬行

的最短距离为（）

C.4及D.2G

例6.（2023・全国•高一专题练习）如图，止三棱锥V-心。中，

人8=8。=4。=2"八=\/8=收=五，点M,N分别为E4.8。的中点，一只蚂蚁从点M

出发，沿三棱锥侧面爬行到点N,求：

（1）该三棱锥的体积与表面积;

（2）蚂蚁爬行的最短路线长.

举一反三

练习11.（2023・安徽铜陵・统考三模）如图是一座山的示意图，山大致呈圆锥形,

山脚呈圆形,半径为2km,山高为2洞m,5是山坡SA上一点，且M=2km.现要

建设一条从A到B的环山观光公路，这条公路从A出发后先上坡，后下坡，当公

路长度最短时，下坡路段长为.

s

练习12.（2023・全国•高三专题练习）如图，一竖立在地面上的圆锥形物体的母

线长为4,一只小虫从圆锥的底面圆上的点尸出发，绕圆锥爬行一周后回到点?

处，若该小虫爬行的最短路程为4百，则这个圆锥的体积为（）

128及冗口32后兀0尺转口

练习13.（2023・四川资阳・统考三模）如图，在正三棱柱4BC-4B/C/中，

AA=AB=2,。在A/C上，E是4由的中点，则（AD+的最小值是（）

C.3+币D.5+V7

练习14.（2023春・安徽•高三安徽师范大学附属中学校考阶段练习）如图，在长

方体AG中，AB=1,BC=8,CC.=3,若P为线段BQ上的动点，则。P+PQ的

最小值为.

D,G

A

，，"

DC

AB

练习15.（2023・全国•高三专题练习）长方体ABC。-中，宽、长、高

分别为3、4、5,现有一个小虫从A出发沿长方体表面爬行到。来获取食物，

则其路程的最小值为.

题型四空间几何体的表面积

例7.（2023•江西•统考模拟预测）已知某圆锥的底面半径为2,其体积与半径为

1的球的体积相等，则该圆锥的母线长为（）

A.1B.2C.6D.5

例8.（2023春・福建厦门•高三厦门一中校考期中）已知圆锥PO,其轴截面（过

圆锥旋转轴的截面）是底边长为6m,顶角为g的等腰三角形，该圆锥的侧面积

为（）

A.67tnfB.6\^3nm?C.3\/3nm~D.125/3nm2

举一反三

练习16.（2023・安徽安庆・安庆一中校考三模）陀螺起源于我国，最早出土的石

制陀螺是在山西夏县发现的新石器时代遗址.如图所示的是一个陀螺立体结构图.

己知，底面圆的直径AB=12cm,圆柱体部分的高8c=6cm,圆锥体部分的高

CZ）=4cm,则这个陀螺的表面积（单位：cnr）是（）

•D

A.(144+12/5)冗B.(144+24炳冗

C.(108+12折)兀D.(108+24响兀

练习17.（2023・湖北黄冈•黄冈中学校考二模）（多选）一个圆柱和一个圆锥的底

面直径和它们的高都与一个球的直径2R相等，则下列结论正确的是（）

A.圆柱的侧面积为2献2

B.圆锥的侧面积为2冗十

C.圆柱的侧面积与球的表面积相等

D.圆柱、圆锥、球的体积之比为3:1:2

练习18.（河北省2023届高三模拟（六）数学试题）机（zhu）,是一种古代打

击乐器，迄今已有四千多年的历史，祝的上方形状犹如四方形木斗，上宽下窄，

下方有一底座，用椎（木棒）撞击其内壁发声，表示乐曲将开始.如图，某机（含

底座）高60cm,上口正方形边长7（）cm,下口正方形边长54cm,底座可近似地看

作是底面边长比下口边长长4cm,高为16cm的正四核柱，则该椀（含底座）的侧

面积约为（2.236）（）

A.12960cm2B.14803cm2C.168(X)cnrD.18240cm

练习19.（2023・安徽合肥・合肥市第八中学校考模拟预测）“阿基米德多面体”也

称为半正多面体（semi-re^ularsolid）,是由边数不全相同的正多边形为面围成的

多面体，它体现了数学的对称美.如图，它是由正方体沿交于一顶点的三条棱的

中点截去一个三棱锥，共截去八个三棱锥得到.已知人8=夜，若该半正多面体的

表面积为S,体积为V,则1为（）

练习20.（2023・安徽合肥・合肥一中校考模拟预测）（多选）已知半径为R的球与

圆台的上下底面和侧面都相切.若圆台上下底面半径分别为〃和;*2,母线长为/,

球的表面积与体积分别为S/和V/,圆台的表面积与体积分别为S2和总则下列

说法正确的是（）

A./=4+4B.尺=7^

C.MJD.兴的最大值为［

题型五空间几何体的体积

例9.（2023・山东烟台・统考二模）乐高积木是由丹麦的克里斯琴森发明的一种塑

料积木，由它可以拼插出变化无穷的造型，组件多为组合体.某乐高拼插组件为

底面边长为3cm、高为4cm的正四棱柱，中间挖去以底面正方形中心为底面圆的

圆心、直径为2cm、高为4cm的圆柱，则该组件的体积为（）.（单位：cm5）

A.48-8nB.36-6nC.16-4nD.36-4n

例1（）.（2023・上海闵行・上海市七宝中学校考二模）在RiZXABC中，N8=90°,

A8=2,CB=3,将一48c绕边AB旋转一周，所得到几何体的体积为.

举一反三

练习21.（2023•北京海淀•校考三模）公元前344年，先秦法家代表人物商鞅督

造一种标准量器一商鞅铜方升，开创了秦朝统一度量衡的先河.如图，升体是

长方体，手柄近似空心的圆柱.已知铜方升总长是18.7c%内口长xcm,宽7cm,

高2.3cm（忽略壁的厚度，取圆周率兀=3）,若手柄的底面半径为1cm,体积为

18.6cm1则铜方升的容积约为（小数点后保留一位有效数字）（）

A.201.3cm5B.210.5cm3C.202.1cm5D.212.2cm5

练习22.（2023.湖北•统考模拟预测）如图是某烘焙店家烘焙蛋糕时所用的圆台

状模具，它的高为8cm,入底部直径为12cm,上面开口圆的直径为2（）cm,现用

此模具烘焙一个跟模具完全一样的儿童蛋糕，若蛋糕膨胀成型后的体积会变为原

来液态状态下体积的2倍（模具不发生变化），若用直径为l（）cm的圆柱形容量

器取液态原料（不考虑损耗），则圆柱中需要注入液态原料的高度约为（）（单

位：cm）

D.4.61

练习23.（2023・广东佛山•校考模拟预测）如图，某圆柱体的高为2,ABC。是该

圆柱体的轴截面.已知从点8出发沿着圆柱体的侧面到点。的路径中，最短路径的

长度为2石，则该圆柱体的体积是（）

C.327t

练习24.（2023•福建福州福州三中校考模拟预测）如图是一个圆台的侧面展开

图（扇形的一部分），若扇形的两个圆弧所在圆的半径分别是1和3,且

ZABC=120°,则该圆台的体积为（）

里3D.哈

练习25.（2023春•四川广安•高二四川省广安友谊中学校考阶段练习）如图，用

一边长为20的正方形硬纸，按各边中点垂直折起四个小三角形，做成一个蛋巢,

将体积为号的鸡蛋（视为球体）放入其中，蛋巢形状保持不变，则鸡蛋中心（球

心）与蛋巢底面的距离为.

题型六截面问题

例11.例023•江西•统考模拟预测）已知在长方体A3CD-A4GA中,

AB=BB、=2BC,点p,。，7分别在棱84，CG和A8上，且87=38夕，CQ=3CQ,

BT=3AT,则平面PQT截长方体所得的截面形状为（）

A.三角形B.四边形C.五边形D.六边形

例12.（2023・河北唐山・统考二模）正方体A8CQ-A4c■的棱长为2,E,尸分

别为棱AB,BC的中点，过R,E,E做该正方体的截面，则截面形状为,

周长为.

举一反三

练习26.（2022・全国•高三专题练习）作出平面穴与四棱锥A-8CQE的截面,

截面多边形的边数为.

练习27.（2023・全国•高三专题练习）（多选）用一个平面去截正方体，则截面可

能是（）

A.直角三角形B.等边三角形C.正方形D.正六边形

练习28.（2023春・重庆渝中•高三重庆巴蜀中学校考期中）正方体A8CD-AMCQ

的棱长为2,P为中点，过4,P,。三点的平面截正方体为两部分，则截面

图形的面积为（）

,—厂9r-

A.VioB.2、回C.-D.卡

乙

练习29.（2023春•江苏盐城•高三江苏省响水中学校考期中）如图，在正方体

A3CO-A4CQ中，DR的中点为Q,过A,Q,4三点的截面是（)

C.菱形D.梯形

练习30.（2023・全国•高一专题练习）如图,正方体ABCO-AgG。的楼长为2,

E是侧棱AA的中点，则平面&CE截正方体A8CD-A4CQ所得的截面图形的周

长是________

参考答案与试题解析

专题8.1空间几何体的表面积和体积

【题型目录】

题型一空间几何体的结构特征

题型二斜二测画法

题型三最短路径

题型四空间几何体的表面巩

题型五空间几何体的体积

题型六截面问题

【典型例题】

题型一空间几何体的结构特征

例1.（2023・上海・上海市七宝中学校考模拟预测）《九章算术》中，将四个面都

是直角三角形的四面体称为“鳖脯”，在长方体A3CQ-A4cA中，鳖膈的个数为

()

A.48B.36C.24D.12

【答案】C

【分析】每个顶点对应6个鳖腌，所以8个顶点对应48个鳖睡.但每个鳖膈都重

复一次，再除2,即可得解.

【详解】在正方体中，当顶点为A时，三棱锥A-E”G、A-EFG、

A-DCG.

A-DHG,A-BCG、A—8FG均为鳖瞒.

所以8个顶点为8x6=48个.但每个鳖膈都重复一次，

所以，鳖腕的个数为g=24个.

故选：B.

例2.（2023・全国•高一专题练习）下列关于空间几何体结构特征的描述错误的是

（）

A.棱柱的侧棱互相平行

B.以直角三角形的一边为轴旋转一周得到的几何体不一定是圆锥

C.正三棱锥的各个面都是正三角形

D.棱台各侧棱所在直线会交于一点

【答案】C

【分析】根据相应几何体的定义和性质判断即可.

【详解】根据棱柱的性质可知A正确；

当以直角三角形的斜边所在直线为旋转轴时，所得几何体为两个圆锥的组合体，

故B正确；

正三棱锥的底面是正三角形，其余侧面是全等的等腰三角形，故C错误；

棱台是用平行于底面的平面截棱锥而得，故侧棱所在直线必交于一点，D正确.

故选：C

举一反三

练习1.（2023・全国•高一专题练习）一个几何体由六个面组成，其中两个面是互

相平行且相似的四边形，其余各面都是全等的等腰梯形，则这个几何体是（）

A.三棱柱B.三棱台C.四棱柱D.四棱台

【答案】D

【分析】根据条件，分别对题目中四个选项分析推理.

【详解】不妨假定两个平行的面是上下底面，并且必须是6个面，显然三棱柱和

三棱台不满足要求，

四棱柱要求各侧面均为平行四边形，上下两个平面为全等的四边形，不满足要求，

四棱台上下两个底面相互平行，其余各面都是梯形，故满足条件的几何体是四棱

台.

故选：D.

练习2.（2023・全国•高三专题练习）（多选）下列说法正确的是（）

A.以三角形的一边所在直线为轴旋转一周所得的旋转体是圆锥

B.棱台的侧面都是等腰楞形

C.底面半径为〃母线长为2,•的圆锥的轴截面为等边三角形

D.棱柱的侧棱长都相等，但侧棱不一定都垂直于底面

【答案】CD

【分析】根据圆锥、棱台、棱柱的定义及结构特征逐一判断即可.

【详解】圆锥是以直角三角形的某一条直角边所在直线为轴旋转一周所得的旋转

体，

当绕斜边旋转时，不是棱锥，故A错误；

棱台的侧面都是梯形，但棱台的侧棱不一定都相等，故B错误；

圆锥的轴截面是等腰三角形，其腰长为2r,又底面半径为r,故等腰三角形的底

边为2厂，

即该圆锥的釉截面为等边三角形，故c正确；

棱柱的侧面都为平行四边形，所以侧楂都相等，棱柱包含直棱柱马斜棱柱，

故侧棱不一定都垂直于底面，故D正确.

故选：CD.

练习3.（2023・全国•高三专题练习）下列说法正确的是（）

A.等边三角形绕其一条边旋转一周所得的几何体是圆锥

B.球体的截面都是圆面

C.正四棱台的侧面展开图是一个等腰梯形

D.正三棱锥的四个面都是等边三角形

【答案】B

【分析】根据几何体的特征依次判断每个选项得到答案.

【详解】对选项A：等边三角形绕其一条边旋转一周所得的几何体是两个圆锥的

组合体，错误；

对选项B：球体的截面都是圆面，正确；

对选项C：正四楼台的侧面是一个等腰梯形，侧面展开图不是，错误；

对选项D：正三棱锥的侧面可能不是等边三角形，错误.

故选：B

练习4.（2023春・甘肃•高三校联考期中）（多选）下列命题正确的是（）

A.圆锥的顶点与底面圆周上任意一点的连线都是母线

B.两个面平行且相似，其余各面都是梯形的多面体是校台

C.以直角梯形的一条直角腰所在的直线为旋转轴，其余三边旋转一周形成的面

所围成的旋转体是圆台

D.用平面截圆柱得到的截面只能是圆和矩形

【答案】AC

【分析】根据圆锥母线的定义可判断A,根据桂台的定义可判断B,根据圆台的

定义可判断C,根据平面与圆柱底面的位置关可判断D.

【详解】对于A,根据圆锥的母线的定义，可知A正确；

对于B,把梯形的腰延长后有可能不交于一点，

此时得到几何体就不是棱台，故B错误；

对于C,根据圆台的定义，可知c正确;

对于D,当平面不与圆柱的底面平行且不垂直于底面时,

得到的截面不是圆和矩形，故D错误.

故选：AC

练习5.（2023春・江西鹰潭・高三贵溪市实验中学校考阶段练习）某儿童玩具的实

物图如图1所示，从中抽象出的几何模型如图2所示，由。4,OB,OC,。。四

条等长的线段组成，其结构特点是能使它任意抛至水平面后，总有一条线段所在

的直线竖直向上，则sin4O3=（）

【分析】利用正四面体的外接球相关性质，解三角形既可.

【详解】如图，连接ASAC,AD,BC,CD,BD,得到正四面体A8CD,则点

O为正四面体ABCD外接球的球心，延长AO交底面BCD于G,则G为△8C。的

中心.

设八8=26，外接球的半径为R,连接8G,

在正三角形中，易得则AG=2a,

故在R3Go中有：BO--OG2=BG2=>R2-（2>/2-7?）*=4,

解得R=逑，则cos/A（用=（诉+加一］叽」,所以sin/AOB=也，

22OAOB33

故选：A.

A

题型二斜二测画法

例3.（2023春・河南•高三洛阳市第三中学校联考阶段练习）如图，△OWQ是一。43

的直观图，贝九。43是（）

A.正三角形B.直角三角形

C.钝角三角形D,以上都有可能

【答案】C

【分析】根据斜二测画法的规则，化简△OW"的直观图结合图形，即可

求解.

【详解】因为N〃y=45,则线段A*与y'轴必相交，令交点为U,如图（1）所

以,

在直角坐标系宜万中，点A在X轴上，可得04=0'A',点C在y轴上，可得

0C=2OC,

如图（2）所示，因此点B必在线段AC的延长线上，所以N3OA>NCO4=90。,

所以10A8是钝角三角形.

故选；C.

例4.（2023•全国•高三专题练习）某几何体底面的四边形048。直观图为如图矩

形。人8£,其中。0=6,。6=2,则该几何体底面对角线AC的实际长度为（）

C.4x/2D.2M

【答案】R

【分析】通过直观图与原图的关系得出4、C两点的坐标，即可得出答案.

【详解】根据四边形。A8C直观图将其还有为平面图形如图：

根据直观图与原图的关系可得：

。4=04=6,OD=2\l2?+2。=4四,。。=。6=2,

则点A(6,0),C(-2,4>/2),

:.\AC\=^(4>/2-0)2+(-2-6)：=4>/6,

故选：B.

举一反三

练习6.（2023春・全国•高三专题练习）如图等腰梯形ABCQ,"CD,AZ?=1,

4）=2,CD=3,那么该楞形直观图的面积是,

D

【答案】当

【分析】根据斜二测画法的性质结合梯形面积公式即可求解.

【详解】由题意可知等腰梯形4BCQ的高

AE=>JAD2-DE2=AD2-*4-1=6,

~2~

由斜二测画法的规则可如该梯形直观图中的高叫心*=$0号?

A8,C。的长度在直观图中与原图保持一致，故直观图的面积为，1+3卜4=4

故答案为：显

练习7.（2023•全国•高三专题练习）如图，4A7TC是/8C的直观图，其中

*。"松，=冬那么/是一个（）

直角三角形C.等腰三角形D.无法确定

【答案】A

【分析】将直观图还原，分析几何图形的形状.

y

【详解】/\

B(\~C

如图，将直观图还原，贝ljBO=CO=l,AO=C，所以加=AC=8C=2,SR..ABC

是正三角形.

故选：A.

练习8.(2023・全国•高一专题练习)已知在如图所示的等腰梯形A8CQ中，

AB=\,DC=3,AD=®,用斜二测画法画出该梯形的直观图，则该梯形的直观图

的面积为.

【答案】坐匕忘

22

【分析】如图所示，过AB作AE_LOC,A/_LDC,垂足分别为区尸，求出人E=l,

即得解.

【详解】解：如图所示，过A8作AE_LDGA/1OC,豆足分别为E.F.

依题意，＞W-1,DC-3,D£-1,.«AD-V2,所以4£=1,

可知等腰梯形ABCD的面积为:x(l+3)xl=2,

根据斜二测画法规则知，其直观图的面积为原图形面积的也，

4

所以该梯形的宜观图的面积为也x2=*.

42

故答案为：

2

练习9.(2()23•全国•高三专题练习)如图所示，矩形O'AEC是水平放置的一个

平面图形的直观图，其中。A=3,OfC=l,则原图形是（）

A.面积为6立的矩形B.面积为次的矩形

4

C.面积为6显的菱形D.面积为芈的菱形

4

【答案】C

【分析】根据题意利用斜二测画法判断原图形的形状，即可求出其面积.

【详解】NDYX4'=45,oe=c7y=l,所以07/=&,

故在原图中，0”=2&，CD=Ciy=\

OC=y/OD2+CD2=78+T=3»

所以四边形O4AC为菱形（如图所示），04=3,

则原图形面积为S=04x00=675，

练习10.（2023春・河南周口•高三校考期末）如图，一个水平放置的平面图形的

直观图是边长为2的正方形，则原图形的周长是（）

C.4+8x/2D.4+4夜

【答案】A

【分析】根据斜二测画法分析运算.

【详解】在直观图中，O,A=2,O,B=V22+22=2>/2,

可得原图形是平行四边形，其底边长2,高为2x2C=4&,

则另一边长为朽+（4扬2=6,所以原图形的周长为2X（2+6）=16.

故选：A.

题型三最短路径

例5.（2023・全国•高三专题练习）如图，圆锥的底面圆直径A8为2,母线长S4

为4,若小虫P从点4开始绕着圆锥表面爬行一圈到S4的中点C,则小虫爬行

的最短距离为（）

A

.（p）g

A.2#>B.2、存C.4&D.26

【答案】A

【分析】将锥体侧面展开为扇形，先求出所得扇形圆心角，再根据两点间线段距

离最短，求最短路径.

【详解】由题意，底面圆的直径4B=2,故底面周长等于2兀

匕

4A（P）

设圆锥的侧面展开后的扇形网心角为〃。，

根据底面周长等于展开后扇形的弧长得271=誓,解得〃=90,

1OV

所以展开图中NPSC=9（）。，故PC=2石，

所以小虫爬行的最短距离为26.

故选：A

例6.（2023・全国•高一专题练习）如图，正三棱锥V-他。中，

A4=8C=AC=2WA=W?=VC=&,点M,N分别为VA,BC的中点，一只蚂蚁从点M

出发，沿三棱锥侧面爬行到点N,求：

A

（1）该三极锥的体积与表面积；

（2）蚂蚁爬行的最短路线长.

【答案】（1）体积为丰，表面积为3+G；

⑵①

2

【分析】（I）将△V8C当作底面，将必1当作三棱锥的高，由三棱锥体积公式即

口J求得三棱锥的体枳；再由求出各个面的面枳，由面积公式可得三棱锥的表面枳;

（2）将△AV8与KV8延丫8展开，使得两个三角形在同一个平面上，连接MN,

再由余弦定理即可求得最短值.

【详解】(1)因为八8=8C=A。=2,VA=V8=Vr=&,

22222

所以+VB?=AB\VB+VC=BC\VA+VC=ACf即h_LVB,VBJ.VC.VA_LVC,

又VficVC=V,VI3,VC在面V8C内，得小_!_面冲。,

_屋VA-1后&缶立，

V-^C-X-VBC-3V/,C3

叵史+与2』+氐

^V-AHC=S'sc+S.VACC+ABC=3X

24

（2）如下图：连接MN,线段MN的长度即蚂蚁爬行的最短路线长,

由余弦定理可得：MN2=MC2+CN2-2MN-CN-COS-,

4

22222

举一反三

练习II.（2023•安徽铜陵・统考三模）如图是一座山的示意图，山大致呈圆锥形,

山脚呈圆形，半径为2km,山高为2、后km,8是山坡SA上一点，且他=2km.现要

建设一条从A到8的环山观光公路，这条公路从A出发后先上坡，后下坡，当公

路长度最短时，下坡路段长为.

【分析】利用圆锥的侧面展开图，利用两点间的距离，结合图象，求最小值.

【详解】由题意，半径为2km,山高为2而km,则母线SA=在+（2灼?=8,

底面圆周长2"=4冗，所以展开图的圆心角

o2

如图，是圆锥侧面展开图，结合题意，48=屈养=10，

由点S向A3引垂线，垂足为点〃，此时S"为点S和线段A8上的点连线的最小值,

即点”为公路的最高点，段即为下坡路段，

则=即36=108”,得8”=3.6km

下坡路段长度为3.6km.

故答案为：3.6km

练习12.（2023•全国•高三专题练习）如图，一竖立在地面上的圆锥形物体的母

线长为4,一只小虫从圆锥的底面圆上的点P出发，绕圆锥爬行一周后回到点P

处，若该小虫爬行的最短路程为4右，则这个圆锥的体积为（）

D32后兀CVi默

D・----------D.苧

8127

【答案】A

【分析】作出圆锥侧面展开图，根据最短路程和母线长，利用余弦定理可求得侧

面展开图扇形的圆心角，结合扇形弧长公式和勾股定理可求得圆锥底面半径和

高，代入圆锥体积公式即可.

【详解】设圆锥的顶点为。，以母线。尸为轴可作出圆锥侧面展开图如下图所示,

小虫爬行的最短路程为4/，，PP=4K，又0P=0P=4,

OP2+OP12-PP，216+16-48I

cos/POP==...^POP'=—

2OPOP'32~23

设圆锥底面半径为L高为h,贝1」2"=等4,解得：""/『业-/）；殍,

.••圆锥体积喈*华=喏

故选：A.

练习13.（2023・四川资阳・统考三模）如图,在正三棱柱A5C-4BQ中,

AA=A8=2,。在A/C上，E是A/的中点，贝lJ（AO+OE『的最小值是（）

小

C

A.6—yjlB.\/lC.3+yjlD.5+'Jl

【答案】C

[分析】将平面AJBC与平面A/AC翻折到同一平面上，连接AE,记入EcAC=尸,

再根据余弦定理可得cos/BAC,进而求得sin/gC=#，再根据两角和的余弦

公式可得COS/4A3=3拒一而,进而由余弦定理可得A£2即可

8

【详解】如图，将平面A/BC与平面4/AC翻折到同一平面上，连接AE,记

AEn\C=F,

由题意可知AA=AC=8C=2,AC=A8=2拒，

则N/U,C=45,cos44C=2x靠:册=:,从而sinN3AC=（,

cosZ/V\B=cos（Z/V\C+ZBA]C）-——-

\/

因为E是人史的中点，所以人石-0，

由余弦定理可得4炉=4+2-2x2x应x更与巫=3+77,

因为。在A/C上，所以

贝IJ（A。+OE）223+疗，故（A。+OE）2的最小值是3+近.

故选：C

练习14.（2023春・安徽•高三安徽师范大学附属中学校考,阶段练习）如图，在长

方体AG中，AB=\,8c=G,CC.=3,若P为线段⑸C上的动点，贝IJOP+PG的

最小值为.

【答案】氏

【分析】将DRC,许G置于同一平面内，利用两点之瓦线段最短即可求得

OP+PG的最小值.

【详解】OP/G分别在面A4CD与面C8C内移动,

将面CA|G以为轴旋转至面人画c。所在平面，

得到4CC；,则。盘即为。P+PG的最小值

又在长方体AG中，AB=\,BC=Ji,CG=3,

则/4CC：=/4CG=30,CD=1,cc；=3

则G'O2=『+32-2XIX3X（-；）=I3,则G力=布

故答案为：Vl3

练习15.（2023•全国•高三专题练习）长方体A8CQ-4&G。/中，宽、长、高

分别为3、4、5,现有一个小虫从A出发沿长方体表面爬行到。来获取食物，

则其路程的最小值为.

【答案】V74

【分析】把长方体含4。H勺面作展开图，有三种情形如图所示，求解即可.

【详解】把长方体含A。H勺面作展开图，有三种情形如图所示:

利用勾股定理可得A。的长分别为历、旧、疯.

由此可见图（2）是最短路线，其路程的最小值为

故答案为：V74.

题型四空间几何体的表面积

例7.（2023•江西•统考模拟预测）已知某圆锥的底面半径为2,其体积与半径为

1的球的体积相等，则该圆锥的母线长为（）

A.1B.2C.石D.5

【答案】C

【分析】设圆锥的高为3根据圆锥及球的体积公式求出力，再由勾股定理计算

可得.

【详解】设圆锥的高为3则+x22x/?=g兀解得"=1,

所以母线长为/=病==后.

故选：C

例8.（2023春・福建厦门•高三厦门一中校考期中）己知圆锥PO,其轴截面（过

圆锥旋转轴的截面）是底边长为6m,顶角为华的等腰三角形，该圆锥的侧面积

为（）

A.671m°B.6、金m?C.3>/5兀m?D.125/37tm2

【答案】B

【分析】运用圆锥侧面积公式计算即可.

【详解】如图所示，

由题意知，r=OB=^AB=3t

在□△P08中，Z5PO=-ZBPA=-x—=-,

2233

人也3=26

.n

所以sin—

32

所以圆锥侧面积为冗「/=兀x3x2-73=6/兀m?.

故选:B.

举一反三

练习16.（2023・安徽安庆・安庆一中校考三模）陀螺起源于我国，最早出土的石

制陀螺是在由西夏县发现的新石器时代遗址.如图所示的是一个陀螺立体结构图.

己知，底面圆的直径A3=12cm,圆柱体部分的高8c=6cm,圆锥体部分的高

CD=4cm,则这个陀螺的表面积（单位：cm2）是（）

B.(144+24x/i3)7t

D.(108+24响兀

【答案】C

【分析】根据圆柱与圆锥的表面积公式求解.

【详解】由题意可得圆锥体的母线长为/=后#=2而,

所以圆锥体的侧面积为g•12兀.2月=1兀，

圆柱体的侧面积为12兀x6=72%

圆柱的底面面积为兀x6?=36兀，

所以此陀螺的表面积为12旧兀+72冗+36兀=（108+12如兀）（cm）

故选：C.

练习17.（2023・湖北黄冈・黄冈中学校考二模）（多选）一个圆柱和一个圆锥的底

面直径和它们的高都与一个球的直径2R相等，则下列结论正确的是（）

A.圆柱的侧面积为2兀六

B.圆锥的侧面积为2兀六

C.圆柱的侧面积与球的表面积相等

D.圆柱、圆锥、球的体积之比为3:1:2

【答案】CD

【详解】根据圆柱，圆锥，球体的侧面积，表面积，和体积公式依次判断选项即

可.

【点睛】对选项A,圆柱的侧面积为2兀八2宠=4兀a，故A错误；

对选项B,圆锥的母线为胸7:常=石/?,

圆锥的侧面积为:x石/?、2以=6求2,故B错误.

对选项C,球的表面积为4兀4，故C正确.

对选项D,圆柱的体积匕=小葭2宠=2瓦川，

圆锥的体积匕=卜n*x2R=彳兀球的体积匕=7rW，

JJJ

所以圆村入圆锥、球的体积之比为川争亭R'=3:1:2,故D正确.

故选：CD

练习18.（河北省2023届高二模拟（六）数学试题）积（zhu）,是一种古代打

击乐器，迄今已有四千多年的历史，祝的上方形状犹如四方形木斗，上宽下窄，

下方有一底座，用椎（木棒）撞击其内壁发声，表示乐曲将开始.如图，某机（含

底座）高60cm,上口正方形边长70cm,下口正方形边长54cm,底座可近似地看

作是底面边长比下口边长长4cm,高为16cm的正四棱柱，则该机（含底座）的侧

面积约为（石a2.236）（）

A.12960cm2B.14803cm2C.16800cnrD.18240cm2

【答案】B

【分析】首先求出正四棱台的侧棱长，即可求出斜高，再根据侧面积公式计算可

得.

【详解】如图正四楼台中，连接AC,AG,过点A、C分别作AE±AG、CF1八£,

交AC于点E、F,

依题意AB=54cm,^^=70cm,AE=CF=60-16=44cm,

则"夜14&=8五cm,所以必=6炉+（44=7^1cm,

所以正四棱台的斜高为（"四J=20后cm,

所以正四棱台的侧面积5=4乂卫*、206=4960。。11090.56cm2,

又正四棱柱的侧面积S）=4x（54+4）x16=3712cm2,

所以该机（含底座）的侧面积约为11090.56+37123480256*1480女n?；

故选：B

练习19.（2023•安徽合肥哈肥市第八中学校考模拟预测）“阿基米德多面体''也

称为半正多面体（semi-regidarsolid）,是由边数不全相同的正多边形为面围成的

多面体，它体现了数学的对称美.如图，它是由正方体沿交于一顶点的三条棱的

中点截去一个三棱锥，共截去八个三棱锥得到.已知A8=&,若该半正多面体的

表面积为S,体积为V,则1为（）

【答案】A

【分析】根据表面积公式计算表面积，把多面体积转化为正方体体积去掉8个三

楂锥体积求解，最后求比值即可.

【详解】如图，该半正多面体的表面由6个正方形和8个正三角形构成，

贝IJ其表面积S=6x及x及+8x与2=46+12,

4

该半正多面体的体积可以由正方体截去8个三棱锥的体积计算，

1/…1120.S36+9

V=8-8x-x—=—=----------.

323V5

故选:A.

练习20.（2023・安徽合肥・合肥一中校考模拟预测）（多选）已知半径为R的球与

圆台的上下底面和侧面都相切.若圆台上下底面半径分别为〃和s母线长为/,

球的表面积与体积分别为S/和V/,圆台的表面积与体积分别为S2和总则下列

说法正确的是（）

A./=彳+4B.R=

C.今=*D,9的最大值为［

J,V>。2J

【答案】ABC

【分析】根据题意结合圆台与球的表面积、体积公式逐项分析判断.

【详解】由切线长定理易得，=4+GA正确；

由勾股定理知（2/?尸=（4+疗-6-幻2=4依，解得氏=厢，B正确；

、S14近4TIR22，

因为S2叩:+万+（4+々）/：12兀（C+口）1+片+„，

V_，元”=料3_2炉

匕区方+寸+斗沙竽（Y+片+研）#片+榜

所以正确；

S\_2M2/

-

因为S2片+片+彳4ZL+4+i3,当且仅当（=々时，等号成立，

r2r

这与圆台的定义矛盾，故D错误.

故选：ABC.

题型五空间几何体的体积

例9.（2023•山东烟台・统考二模）乐高积木是由丹麦的克里斯琴森发明的一种塑

料积木，由它可以拼插出变化无穷的造型，组件多为组合体.某乐高拼插组件为

底面边长为女m、高为4cm的正四棱柱，中间挖去以底面正方形中心为底面圆的

3

圆心、直径为2cm、高为4cm的圆柱，则该组件的体积为（）.（单位：cm）

A.48-8nB.36-6兀C.16-4兀D.36-47r

【答案】D

【分析】利用正四棱柱和圆柱的体积公式即可求出结果.

【详解】因为正四棱柱的底面边长为3cm、高为4cm,所以正四棱柱的体积为

V；=5/1=3x3x4=36cm3

又挖去的圆柱的直径为2cm、高为4cm,所以圆柱的匕=曲=4n而,

故所求几何体的体积为V=K=36-4ncm\

故选：D.

例10.（2023・上海闵行•上海市七宝中学校考二模）在RtZ\A8C中，々=90°,

八8=2,6=3,将绕边A3旋转一周，所得到几何体的体积为.

【答案】6兀

【分析】绕直线A8旋转一周,所得几何体是底面是以8C为半径的圆，

高为AB的圆锥，由此根据圆锥的体积公式能求出其体积.

【详解】因为在直角三角形金C中，乙4=90。，AB=2,CB=3,

所以53C绕直线AB旋转一周所得几何体是底面是以BC为半径的圆，高为AB

的圆锥，示意图如下图所示：

所以绕直线AB旋转一周所得几何体的体积为

V=-X7lxfiC?x4fi=-X7tx3*x2=67t.

33

故答案为:6兀.

举一反三

练习21.（2023•北京海淀校考三模）公元前344年，先秦法家代表人物商鞅督

造一种标准量器——商鞅铜方升，开创了秦朝统一度量衡的先河.如图，升体是

长方体，手柄近似空心的圆柱.已知铜方升总长是I8.7crr,内口宽7cm,

高2.3cm（忽略壁的厚度，取圆周率冗=3）,若手柄的底面半径为1cm,体积为

18.6cm，则铜方升的容积约为（小数点后保留一位有效数字）（）

A.201.3cmB.210.5cmC.202.icmD.212.2cm

【答案】A

【分析】由手柄的体积求出手柄的长度，即可得到长方体的内口长，再根据长方

体的体积公式计算可得.

【详解】依题意手柄的底面半径为1cm,体积为18.6c”,则手柄的底面积为

7txl2=71cm2，

所以手柄的长度为—=6.2cm,

71

所以长方体的内口长X=18.7-6.2=12.5cm,

所以升体的容积为12.5x7x2.3=201.25«201.3cm3,

即铜方升的容积约为20L3cml

故选：A

练习22.（2023.湖北•统考模拟预测）如图是某烘焙店家烘焙蛋糕时所用的圆台

状模具，它的高为8cm,入底部直径为1