数学-河北省2025届高三学生全过程纵向评价（四）试题和答案

绝密★启用前河北省2025届高三学生全过程纵向评价(四)(时间120分钟，满分150分)一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.A.1A.1A.2AAA.(2√2,3)U[3,2√3]c.(2√2,2√3)·数学第1页(共4页)二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.某市高三年级学生联考，学生的数学成绩X近似服从正A.该市高三年级学生的数学成绩的方差是5B.从本次联考数学成绩中随机调查1名学生的成绩，分数大于120的概率比分数低于105的概率小D.从本次联考数学成绩中随机调查3名学生的成绩，至少有1个成绩低于110的概率为A.若等比数列{a}的公比为9,则“q>0”是“{a}是递增数列”的必要条件B.函数f(x)=asinx+bcosx(ab≠0)的图像关于对称，则D.数列的前n项和11.已知椭圆T,过平面直角坐标系原点O作两条互相垂直的直线分别交椭圆T于点A、cA.四边形ABCD一定有内切圆B.四边形ABCD一定有外接圆D.四边形ABCD周长的最小值三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.双曲线C:的一个焦点为(0,-2),则C的渐近线方程为13.曲线在x=0处的切线与直线ax+3y-4=0垂直，则a=_做游戏，第一次每人从三棱锥P-ABC的表面中任取一个平面，取哪个平面相互独立，取出的两个平面若垂直，则游戏结束，否则游戏继续；第二次每人从三棱锥P-ABC的棱中任取一条棱，取哪条棱相互独立，取出的两条棱若共面，则游戏结束，否则继续第一次的游戏操作；如此反复直四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.(2)若AC边上的中线BD=2√7,求△ABC的周长.16.(本小题满分15分)如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是直角梯形，BC⊥CD,AD//BC,BC=CD=2,AD=4,PB<AB,E是棱PC的中点，若侧棱PB⊥底面ABCD,且直线PA与平面PCD所成角的正弦值(2)求平面PAB与平面PCD所成角的大小.17.(本小题满分15分)已知抛物线C:y²=2px(p>0)的焦点为F(1,0),过F作互相垂直的两条直线L,l₂,这两条直线与抛物线C分别交于A,B和D,E两点，其中点A,D在第一象限.(1)求抛物线C的标准方程；(2)求四边形ADBE面积的最小值；(3)证明：直线AD与直线BE的交点在定直线上..·数学第3页(共4页)18.(本小题满分17分)已知函数m(x)=(x+1)lhnx,n(x)=a(x-1).(2)若函数f(x)=m(x)-n(x)有三个零点x,x₂,x3,且x<x₂<x₃,②判断f(x)-f(x₃)的符号，并证明.(1)若a=3,求a00;·数学第4页(共4页)河北省2025届高三学生全过程纵向评价(四)数学参考答案B={xeN|x²-5x-6<0}={xeNI-1<x<6}数：2³=8,故选C.整理可得：A²-8λ-9=0,解得λ=9或-1,故自然数λ=9,故选D.故选D.则g(x)在(-,-1)上单调递减，所以m<0,-m-3≥0,∴m≤-3,故选B.时，V最大.将(-1,0)代入，化简得,易知函数单调递增，g(1)=0,所以没有交点.②易知两函数图象均关于x=-1对称，可联立得x²+(2-a)x+3-a=0,△=a²-8=0,则a=2√2(a>0),此时切点横坐标为√2-1>0,当y=a|x+1,(x≤0)过点(0,3)时，a=3,y=a|x+1|,(x≤0)没有交点；当a∈[3,+0]时，y=f(x)与y=a|x+1|,(x≤0)有三个交点.综上，若y=f(x)与y=a|x+1|有四个交点，则ae(2√2,3)u{2√9.BD解析：由题意可知，该市高三年级学生的数学成绩的方差是25,A错误，P(X>120)=P(X>110+5×2),P(X<105)=P(X<110-5),由正态分布的性质可知B正确；数学成绩X的期望为110,所以,C错误；学生成绩低于110的概率为,每一名学生的成绩相互独立，所以3名学生的数学成绩，至少有1个成绩低于110的概率为,D正确，故选10.ACD解析：若等比数列{an}的公比q<0,则{a,}为摆动数列，显然不单调递增，若等比数列{a,}是递增数列，一定有q>0,A正确；因为函数f(x)=asinx+bcosx(ab≠0)的对称轴为,所以单调递减，y=x²-πx+4>0且在区间上单调递减，上单调递增，对称轴为,分析可知最小值上，此时分子y=cosx+2>0且单调递减，分母y=x²-xx+4>0单调递增，此,累加求和可得：正确，故选ACD.代入椭圆的方程得,整理得两式相加可得,由上式,所以,那么菱形的面积当且仅当m=n解析：因为焦点为(0,-2),所以c=2,:a²+3=2²=4,:a²=1,渐近线方程为13.答案：6解析：x=0时，切线的斜率为因为与直线ax+3y-4=0垂直，解析：设第一次游戏继续的事件为A,如图，三棱锥P-ABC中，易得平面ABC⊥平面PAB,平面ABC⊥平面PAC,平面PAB⊥平面PBC,则第二次游戏继续的事件为B,如图，三棱锥P-ABC有6条棱，不共面的两条棱为PA与BC,PB与AC,PC与AB,共三组，则,所以游戏在第三次结束的概率15.答案：(1);(2)8+4√3在△BCD中，有余弦定理可得：BD²=BC²+C16.答案：(1)PB=2;(2)60°解析：(1)连接BD,分析梯形ABCD可得，BD²=BC²+CD²,所以可得BD=2√2,取AD的中点F,连接BF,计算可得BF=2,AF=2,所以AB=2√2,所以AB²+BD²=AD²,………(2分PC=(√2,-√2,-1),DC=(-√2,-√2,0),令平面PCD的法向量为n=(x,y,=),计算得t=2或t=2√2,∵PB<AB,∴(2)因为侧棱PB⊥底面ABCD,所以PB⊥CD,又因为PB=BC=2,点E是棱PC的中点，,……………(13分)17.答案：(1)y²=4x;(2)32;(3)证明见解析.解析：(1)由题意得，p=2,所以抛物线C的标准方程y²=4x……(2)当直线lI的斜率为0时，不符合题意………(3分)当直线I的斜率不为0时，设直线I:x=my+1△=16m²+16>0恒成立，设A(x₁,y),B(x₂,y₂),当且仅当,即m=±1时，等号成立，直线AD的方程为化简得直线AD的方程为4(y₂+y₃)x-4(y₁+y₄)x=y₂y₃(y+y4)-yiy4(y₂+y₃-y₁-y₄)x=yV₂y₃+y₂V₃y4-yiy₂解析：(1)由题意得，当x≠1时，由a(x-1)=(x+1)Inx,得设,则恒成立，所以h(x)在(0,+)上单调递增，方法一：因为Inx≤x-1(证明略),所以1,即对Va>2,,使得g(x₀)>a,所以a的取值范围是a>2…………(11分)方法二：易得，当x→0+时，,当x→+0时，…(15分)(2)由a₁=1,所以a₂=1,a₃=2,设M≥max{a₁,a₂,…,am},则当M第一次出现在{a,}中时，其后一项一定出现一个1,因为1,2,3,…,M-1已经出现在数列{a,}中，所以此前1出现的次数为M,(