初中数学自主招生难度讲义-7年级专题17不等式（组）的应用（解析版）

专题17不等式(组)的应用

阅读与思考

许多数学问题和实际问题所求的未知量往往受到一些条件的限制，可以通过数量关系和分析，列出不等

式(组)，运用不等式的有关知识予以求解，不等式(组)的应用主要体现在：

1．作差或作商比较有理数的大小．

2．求代数式的取值范围．

3．求代数式的最大值或最小值．

4．列不等式(组)解应用题．

列不等式(组)解应用题与列方程(组)解应用题的步骤相仿，关键是在理解题意的基础上，将一些词

语转化为不等式．如“不大于”“不小于”“正数”“负数”“非正数”“非负数”等对应不等号：“≤”“≥”“＞0”“＜

0”“≤0”“≥0”．

例题与求解

【例1】如果关于x的方程m2xx10只有负根，那么m的取值范围是_________．

(辽宁省大连市“育英杯”竞赛试题)

解题思路：由x＜0建立关于m的不等式．

199819991998200019982001

【例2】已知A＝，B＝，C＝，则有()．

200020011999200119992000

A．A＞B＞CB．C＞B＞AC．B＞A＞CD．B＞C＞A

(浙江省绍兴市竞赛试题)

解题思路：当作差比较困难时，不妨考虑作商比较

【例】已知，，，，，，是彼此不相等的正整数，它们的和等于，求其中最小

3a1a2a3a4a5a6a7159

数的最大值．

a1

(北京市竞赛试题)

解题思路：设＜＜＜＜，则＝，解题的关键是怎样把多元等式

a1a2a3···a7a1+a2+a3+···+a7159

转化为只含的不等式．

a1

【例4】一玩具厂用于生产的全部劳力为450个工时，原料为400个单位，生产一个小熊玩具要使用15

个工时、20个单位的原料，售价为80元；生产一个小猫玩具要使用10个工时、5个单位的原料，售价

为45元．在劳力和原料的限制下合理安排生产小熊玩具、小猫玩具的个数，可以使小熊玩具和小猫玩

具的总售价尽可能高．请用你所学过的数学知识分析，总售价是否可能达到2200元．

(“希望杯”邀请赛试题)

解题思路：列不等式的关键是劳力限制在450个工时，原料限制为400个单位．引入字母，把方程

和不等式结合起来分析．

【例5】某钱币收藏爱好者想把3.50元纸币兑换成1分，2分，5分的硬币，他要求硬币总数为150枚，

且每种硬币不少于20枚，5分的硬币多于2分的硬币，请你据此设计兑换方案．

(河北省竞赛试题)

解题思路：引入字母，列出含等式、不等式的混合组，把解方程组、解不等式组结合起来．

123nk

【例6】已知n，k皆为自然数，且1＜k＜n．若10，nka．求a的值．

n1

(香港中学数学竞赛试题)

解题思路：此题可理解为在n个连续自然数中去除其中一个数k(且1＜k＜n，k是非两头的两

个数)，使剩余的数的平均数等于10，求n和k之和。

能力训练

A级

a

1.若方程249xx10的解小于零，则a的取值范围是___________．

8

3xyk1,

2.若方程组的解为x，y，且2＜k＜4，则x－y的取值范围是___________．

x3y3

（山东省聊城市中考试题）

3.a，b，c，d是正整数，且a＋b＝20，a＋c＝24，a＋d＝22，设a＋b＋c＋d的最大值为M，

最小值为N，则M－N＝_________．

（重庆市竞赛试题）

4．一辆公共汽车上有5a4名乘客，到某一车站时有92a名乘客下车，则车上原有

______________名乘客．

（吉林省长春市中考试题）

11

5．一个盒子里装有红、黄、白三种颜色的球，若白球至多是黄球的，且至少是红球的，黄球与白

23

球合起来不多于55个，则盒子中至多有红球__________个．

(河北省竞赛试题)

6．若ab2，且a≥2b，则()

b1baa8

A．有最小值B．有最大值1C．有最大值2D．有最小值

a2abb9

(浙江省杭州市中考题)

219891219901

7．设P，Q，则P，Q的大小关系是（）．

219901219911

A．P＞QB．P＜QC．P＝QD．不能确定

8．小芳和爸爸、妈妈三人玩跷跷板，三人的体重一共为150千克，爸爸坐在跷跷板的一端，体重只有

妈妈一半的小芳和妈妈一同坐在跷跷板的另一端，这时，爸爸的那一端仍然着地，请你猜一猜小芳的体

重应小于()

A．49千克B．50千克C．24千克D．25千克

(山东省烟台市中考试题)

9．中国第三届京剧艺术节在南京举行，某场京剧演出的票价有2元到100元多种，某团体需购买票价6

元和10元的票共140张，其中票价为10元的票数不少于票价为6元的票数的2倍．问这两种票各购买

多少张所需的钱最少?最少需要多少钱?

(江苏省竞赛试题)

10．某港受潮汐的影响，近日每天24小时港内的水深变化大体如图所示：

一艘货轮于上午7时在该港码头开始卸货，计划当天卸完货后离港．已知这艘货轮卸完货后吃水深

度为2.5m(吃水深度即船底与水面的距离)．该港口规定：为保证航行安全，只有当船底与港内水底间的

距离不少于3.5m时，才能进出该港．

根据题目中所给的条件，回答下列问题：

(1)要使该船能在当天卸完货并安全出港，则出港时水深不能少于_______m，卸货最多只能用______

小时；

(2)已知该船装有1200吨货，先由甲装卸队单独卸，每小时卸180吨，工作了一段时间后，交由乙

队接着单独卸，每小时卸120吨．如果要保证该船能在当天卸完货并安全出港，则甲队至少应该工作几

小时，才能交给乙队接着卸？

（江苏省苏州市中考试题）

B级

1．设a，b，c，d都是整数，且a＜3b，b＜5c，c＜7d，d＜30，那么a的最大可能值为_______．

（“新世纪杯”数学竞赛试题）

2．某宾馆底楼客房比二楼少5间，某旅游团有48人，若全安排住底楼，每间住4人，房间不够；每间

住5人，有房间没有住满5人．又若全安排在二楼，每间住3人，房间不够；每间住4人，有房间没有

住满4人，该宾馆底楼有客房___________间．

3．已知a＜0，x满足不等式ax1ax1，那么x的取值范围是___________．

4．若a，b满足3a25b7，S＝2a23b，则S的取值范围是__________．

(广西竞赛试题)

．已知，，，，是彼此互不相等的负数，且＝＋＋＋＋＋＋，

5a1a2a3…a2007M(a1a2…a2006)(a2a3…a2007)

＝＋＋＋＋＋＋，那么与的大小关系是

N(a1a2…a2007)(a2a3…a2006)MN()

A．M＞NB．M＝NC．M＜ND．无法确定

(江苏省竞赛试题)

6．某出版社计划出版一套百科全书，固定成本为8万元，每印刷一套增加成本20元．如果每套书定价

100元，卖出后有3成收入给经销商，出版社要盈利10％，那么该书至少要发行()套．

A．2000B．3000C．4000D．5000

(“希望杯”邀请赛试题)

7．今有浓度为5％，8％，9％的甲、乙、丙三种盐水分别为60克，60克，47克，现要配制浓度为7％

的盐水100克，问甲种盐水最多可用多少克?最少可用多少克?

(北京市竞赛试题)

8．为了迎接世界杯足球赛的到来，某足球协会举办了一次足球联赛，其记分规则与奖励方案如下表：

胜一场平一场负一场

积分310

奖金（元/人）15007000

当比赛进行到第12轮结束(每队均需比赛12场)时，A队共积19分．

(1)请通过计算，判断A队胜、平、负各几场．

(2)若每赛一场，每名参赛队员均得出场费500元．设A队其中一名参赛队员所得的奖金与出场费

的和为W(元)，试求W的最大值。

(黑龙江省中考试题)

9．为实现区域教育均衡发展，我市计划对某县A，B两类薄弱学校全部进行改造．根据预算，共需资

金1575万元，改造一所A类学校和两所．B类学校共需资金230万元；改造两所A类学校和一所B类

学校共需资金205万元．

(1)改造一所A类学校和一所B类学校所需的资金分别是多少万元?

(2)若该县的A类学校不超过5所，则B类学校至少有多少所?

(3)我市计划今年对该县A，B两类学校共6所进行改造，改造资金由国家财政和地方财政共同承担，

若今年国家财政拨付的改造资金不超过400万元；地方财政投入的改造资金不少于70万元，其中地方

财政投入到A，B两类学校的改造资金分别为每所10万元和15万元，请你通过计算求出有几种改造方

案．

(湖北省襄樊市中考试题)

．设，，，是整数，且满足下列条件：

10x1x2…x2008

－＝，，，；

(1)l≤xn≤2(n12…2008)

；

(2)x1x2x2008200

222．

(3)x1x2x20082008

求333的最大值和最小值．

x1x2x2008

(“宗沪杯”竞赛试题)

专题17不等式（组）的应用

例1-1＜m＜1

例2A

例设＜＜＜＜＜＜，因，，…为正整数，故，，，

3a1a2a3a4a5a6a7a1a2a7a11a2a12a3a13a4

5

a4a，a5a，a6a，上面不等式相加，得7a21159，a19，故a的最大

1516171171

值为19.

z80x45y,

例4设小熊玩具和小猫玩具的个数分别为x、y，总售价为z，则15x10y450

20x5y400

44016x

16x9y4403x90

9

当总售价z=2200元时，则为3x2y90，即

44016x

4xy804x80

9

解得14x14，故x=14.

当x=14时，y=24，z=80×14+45×24=2200元，故安排生产小熊玩具14个，小猫玩具24个可达到总售

价2200元.

例5提示：设兑换成的1分，2分，5分硬币分别为x枚，y枚，z枚，则

xyz150

x2y5z350

例6解得40＜z45，故z=41，42，43，44，45.由此得出x，y的对应值，于

z＞y

x20,y20,z20

是得到5种方案：（x，y，z）=（73，36，41）；（x，y，z）=（76，32，42）；（x，y，z）=（79，28，

43）；（x，y，z）=（82，24，44）；（x，y，z）=（85，20，45）.

例6∵1＜k＜n

123nn123nk123n1

∴＜＜

n1n1n1

11

nn1n2n1

nn2

即2＜10＜2，∴＜10＜，即n＜20＜n+2

n1n122

12319k

∴n=19。于是10，解得k=10，故a=n+k=19+10=29.

191

A级

1.a＞19922.0＜x-y＜1

3.36提示：b=20-a,c=24-a.d=22-a，，由a，b，c，d为正整数，得1a19，原式=66-2a，∴M=66-2

×1=64，N=66-2×19=28，则M-N=64-28=36.

4.6或11或16提示：5a-4≥0，9-2a≥0以及5a-4≥9-2a.

1

xy①

2

1

5.54提示：设有白球x个，黄球y个，红球z个，则依题意有xz②，由①得y2x，∴

3

yx55③

55

3xyx55，即x，又∵x为整数，∴x18，则②式得z3x，即z54.

3

b1b1a

6.C提示：由条件得a＞0，b＜0或a＜0，b＜0，从而或，2.

a2a2b

7.A8.D

9.购买46张6元票、94张10元票花钱最少，最少需要1216元.

10.（1）68（2）甲愉至少应工作4小时.

B级

1.3026提示：a≤3b-1，b≤5c-1，c≤7d-1，d≤30-1=29.

3x5＜48＜4x5

2.10提示：设底楼有x间客房，则

4x＜48＜5x

1

3.x＞

a

215S

2

2a

21143a5|b|7192

4.S提示：由题中条件知，解得，又因为a0,b0，

532a23|b|S143S

b

19

215S

0

192114

故，解得S.

143S53

0

19

提示：设，，则

5.Aa1a2a2006aa2a3a2006b

＞，故＞

MNaba2007aa2007ba2007ab0MN.

6.A设出版社发行x套书，则100×（1-0.3）x≥（8000+20x）（1+10%）.

7.提示：设甲、乙、丙三种盐水应分别取x克，y克，z克，

xyz100

5%x8%y9%z1007%

y2004x02004x60

0x60解得，从而，解得35x49

z3x10003x10047

0y60

0z47

xyz12y193x

8.（1）设A队胜x场、平y场、负z场，则，，