北京市朝阳区2025年高考数学一模试卷（含解析）

第=page11页，共=sectionpages11页北京市朝阳区2025年高考数学一模试卷一、单选题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知集合A={x||x|A.{x|0≤x<2} 2.设复数z=1+i的共轭复数为z−A.1 B.2 C.2 D.3.在(x+2xA.6 B.8 C.12 D.244.为得到函数y=sin2xA.向右平移π4个单位长度 B.向左平移π4个单位长度

C.向右平移π8个单位长度 D.5.已知{an}是等比数列，a2=2，A.18 B.14 C.126.已知曲线C：mx2−ny2=1，则“nA.充分不必要条件 B.必要不充分条件

C.充要条件 D.既不充分也不必要条件7.已知sinα+sinA.−12 B.12 C.8.某市计划在一条河上修建一座水上休闲公园，如图所示.这条河两岸所在直线l1，l2互相平行，桥DE与河岸所在直线垂直.休闲公园的形状可视为直角三角形，它的三个入口分别设在直角三角形的顶点A，B，C处，其中入口A点(定点)在桥DE上，且A到直线l1，l2的距离分别为h1，h2(h1,h2为定值)，入口B，C分别在直线l2，l1上，公园的一边AB与直线A.函数S(α)的最大值为h1h2

B.函数S(α)的最小值为h1h22

C.若α1，α9.在△ABC中，CA=CB=5，AB=A.0 B.−1625 C.−410.n位同学参加学校组织的某棋类单循环制比赛，即任意两位参赛者之间恰好进行一场比赛.每场比赛的计分规则是：胜者计3分，负者计0分，平局各计1分.所有比赛结束后，若这n位同学的得分总和为150分，且平局总场数不超过比赛总场数的一半，则平局总场数为(

)A.12 B.15 C.16 D.18二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分。11.函数f(x)=112.已知点M(2,1)在抛物线C：x2=2py(p>0)上，则抛物线C的焦点F13.已知函数f(x)是R上的奇函数当x>0时，f(x)=x+e2−x，则f(−14.干支纪年法是我国古代一种纪年方式，它以十天干(甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸)和十二地支(子、丑、寅、卯、辰、巳、未、申、酉、戌、亥)的组合来表示年份，循环纪年.比如某一年为甲子年，则下一年为乙丑年，再下一年为丙寅年，以此类推，排列到癸酉年后，天干回到“甲”，即甲戌年，下一年为乙亥年，之后地支回到“子”，即丙子年，以此类推.已知2025年是乙巳年.则2025年之后的首个己巳年是______年.(用数字作答)15.在棱长为1的正方体ABCD−A1B1C1D1中，点P是底面A1B1C1D1内的动点，给出下列四个结论：

①|PA+P三、解答题：本题共6小题，共85分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。16.(本小题13分)

如图，在四棱柱ABCD−A1B1C1D1中，A1A⊥平面ABCD，在四边形ABCD中，AB/​/CD，AB=2，AD17.(本小题13分)

在△ABC中，bcosA+acosB=c2．

(Ⅰ)求c的值；

(Ⅱ)已知sinC=35，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得△ABC存在且唯一，求△ABC的周长．

条件18.(本小题14分)

某高中组织学生研学旅行.现有A，B两地可供选择，学生按照自愿的原则选择一地进行研学旅行.研学旅行结束后，学校从全体学生中随机抽取100名学生进行满意度调查，调查结果如下表：高一高二高三A地B地A地B地A地B地满意122183156一般226568不满意116232假设所有学生的研学旅行地点选择相互独立.用频率估计概率．

(Ⅰ)估计该校学生对本次研学旅行满意的概率；

(Ⅱ)分别从高一、高二、高三三个年级中随机抽取1人，估计这3人中至少有2人选择去B地的概率；

(Ⅲ)对于上述样本，在三个年级去A地研学旅行的学生中，调查结果为满意的学生人数的方差为s12，调查结果为不满意的学生人数的方差为s22，写出s12和19.(本小题15分)

已知椭圆E：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的右焦点为F(1,0)，离心率为12．

(Ⅰ)求椭圆E的方程；

(Ⅱ)20.(本小题15分)

已知函数f(x)=alnx−x−1x+1(a∈R)．

(Ⅰ)当a=1时，求曲线y=f(x)21.(本小题15分)

已知Q：a1，a2，…，an(n≥3,n∈N*)为有穷正整数数列，若存在i，j∈{1,2,…,n}(i<j)，使得siai+si+1ai+1+…+sjaj=0，其中si，si+1，…，sj∈{−1,1}，则称Q为连续可归零数列．

(Ⅰ)判断Q1：1，3答案和解析1.【答案】A

【解析】解：因为A={x||x|<2}=A={x|−2.【答案】C

【解析】解：复数z=1+i的共轭复数为z−，

则z⋅z−=3.【答案】D

【解析】解：(x+2x)4的展开式的通项为：Tr+1=C4rx4−r4.【答案】D

【解析】解：因为y=sin2x+cos2x=2sin(2x+π5.【答案】A

【解析】解：等比数列{an}中，a2=2，a3=1，

所以公比q=a3a2=6.【答案】A

【解析】解：若n>m>0，则0<1n<1m，

又曲线C：mx2−ny2=1即x21m−y21n=1，

所以C为焦点在x轴上的双曲线，

所以由“n>m>0”可以推出“C为焦点在x轴上的双曲线”，

若C为焦点在x轴上的双曲线，则对于C：mx2−ny2=7.【答案】B

【解析】解：因为sinα+sinβ=0，cosα+cosβ=3，

所以(sinα+s8.【答案】D

【解析】解：根据题意可得AE=h1，AD=h2，∠ABD=∠CAE=α，

所以AC=h1cosα，AB=h2sinα，

所以Rt△ABC的面积S(α)=12AC⋅AB=h1h22sinαcosα=h1h2sin2α，α∈(09.【答案】C

【解析】解：因为在三角形ABC中，CA=CB=5，AB=4，

所以由余弦定理得：cosC=AC2+BC2−AB22AC×CB=5+5−162×5×5=−35，所以C为钝角；

又因为AM⋅BC=0，所以M点在三角形ABC底边BC的高线上，

则以BC所在直线为x轴，以其上的高线为y轴建立如图所示的平面直角坐标系：10.【答案】B

【解析】解：单循环比赛总场数为M=n(n−1)2，

设胜负场数为S，平局场数为P，

则总得分满足：3S+2P=150，

又因为S+P=M，将S=M−P代入3S+2P=150，得：3(M−P)+2P=150，

即3M−P=150，即P=3M−150，

由条件P≤M2，代入得：3M−150≤M2，

解得M≤60，

同时由P≥0，可得3M−150≥0，解得M≥50，

因此，M需满足50≤M≤11.【答案】(0【解析】解：由题意知，令1−x>0x>0，解得0<x<1，

所以函数f12.【答案】(0,1【解析】解：点M(2,1)在抛物线C：x2=2py(p>0)上，

则4=2p，解得p=2，

故抛物线C的焦点F的坐标为

(0,1)，

|FM|=2，F(0,1)，13.【答案】−3

4【解析】解：因为函数f(x)是R上的奇函数，且x>0时，f(x)=x+e2−x，所以f(−2)=−f(2)=−(2+e0)

=−3；

由f(x)=x+e2−x，得f′(x)=1−e2−x，令f′(x)=0，得x=2，

所以0<x<2时，f′(x)<0，f(x)单调递减，x>2时，f′(x)>14.【答案】2049

【解析】解：天干是以10为公差的等差数列，地支是以12为公差的等差数列，

从2025年是乙巳年，以2025年的天干和地支分别为首项，

因为地支为巳，则经过的年数为12的倍数，

又因为2025年为天干为乙，到天干为己，需经过丙、丁、戊、己，

故经过年数除以10的余数为4，故需经过24年，

所以2025年之后的首个己巳年是2049．

故答案为：2049．

天干是以10为公差的等差数列，地支是以12为公差的等差数列，分析计算可得解．

本题主要考查了等差数列的性质，考查了归纳推理，属于中档题．15.【答案】①②【解析】解：设点A，B，C，D关于平面A1B1C1D1的对称点分别为A2，B2.C2，D2，

设底面ABCD，A1B1C1D1的中心分别为点O，O1，如图所示：

对于①，易知O为AC的中点，则PO=12(PA+PC)，可得PA+PC=2PO，所以|PA+PC|=2|PO|，当点P与点O1重合时，OO1⊥底面ABCD，此时|PO|取最小值1，即|PA+PC|的最小值为2，①正确；

对于④，|PA|2+|PC|2=|PO+OA|2+|PO+OC|2=|PO+OA|2+|PO−16.【答案】证明见解析；

23．【解析】解：(1)证明：连接D1C，EC，

因为AB=2，CD=1，E为AB的中点，

所以AE=CD，

又AB/​/CD，所以四边形AECD为平行四边形，

所以EC/​/AD，EC=AD，

又因为A1D1/​/AD，A1D1=AD，

所以A1D1//EC，A1D1=EC，

所以四边形A1ECD1为平行四边形，

所以A1E//D1C，

又因为A1E⊄平面C1CDD1，DC⊂平面C1CDD1，

所以A1E/​/平面C1CDD1；

(2)因为AA1⊥平面ABCD，所以AA1⊥AB，AA1⊥AD，

又因为平面A117.【答案】(Ⅰ)c=1；

(Ⅱ)选条件①：周长为1+22；

选条件②，周长为【解析】解：(Ⅰ)由正弦定理和bcosA+acosB=c2得，

sinBcosA+cosBsinA=csinC，可得sin(A+B)=sinC=csinC，

显然sinC>0，所以c=1；

(Ⅱ)选条件①：由B=π4，sinC=35，c=1，

因为bsinB=csinC，所以b=csinBsinC=526，

因为b>18.【答案】(Ⅰ)1425；

(Ⅱ)1780；

(【解析】解：(Ⅰ)从表格数据可知，随机抽取的100名学生对本次研学旅行满意的人数为12+2+18+3+15+6=56，

因此该校学生对本次研学旅行满意的概率可估计为56100=1425；

(Ⅱ)设事件A1：抽取的高一学生选择去B地，

事件A2：抽取的高二学生选择去B地，

事件A3：抽取的高三学生选择去B地，

事件Ci：抽取的3人中恰有i人选择去B地，i=2，3，

事件D：抽取的3人中至少有2人选择去B地，

从数据表格可知，抽取的100名学生中高一年级学生总数为12+2+1+2+2+1=20，

选择去B地的总数为2+2+1=5，所以P(A1)可估计为520=14，

抽取的100名学生中高二年级学生总数为18+6+6+3+5+2=40，

选择去B地的总数为3+5+2=10，所以P(A2)可估计为1040=14，

抽取的100名学生中高三年级学生总数为15+6+319.【答案】(Ⅰ)x24+y2【解析】解；(Ⅰ)由题意得c=1ca=12a2=b2+c2，

解得a=2b=3，

所以椭圆E的方程是x24+y23=1．

(Ⅱ)证明：由题可知直线l斜率存在，设直线l：y=k(x−4)，

由3x2+4y2−12=0y=k(x−4)，

得(4k2+3)x2−32k2x+64k2−12=0．

由Δ=(−32k2)2−4(4k2+3)(64k2−12)>0，

20.【答案】(Ⅰ)x−2y−1=0；(Ⅱ【解析】解：(Ⅰ)当a=1时，f(x)=lnx−x−1x+1，所以f′(x)=1x−2(x+1)2，

所以f(1)=0，f′(1)=12，

所以曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为y=12(x−1)，即x−2y−1=0；

(Ⅱ)证明：因为f(x)=alnx−x−1x+1(a∈R)，

所以f′(x)=ax−2(x+1)2=ax2x(x(xx2，f+0−0+f增极大值减极小值增所以函数f(x)的单调递增区间是(0,x1)、(x2,+∞)，单调递减区间是(x1,x2)，

因为f(1)=0，所以1为f(x)的一个零点，

又f(x1)>f(1)=0,0<e−1a<1，且f(e−1a)=−2e−1ae−1a+1<021.【答案】(Ⅰ)数列Q1是连续可归零数列，数列Q2不是连续可归零数列，理由见解答；(Ⅱ)证明见解答；(Ⅲ)【解析】解：(Ⅰ)数列Q1是连续可归零数列，理由如下：

取s1=1，s2=−1，s3=1，

则s1a1+s2a2+s3a3=1×1+(−1)×3+1×2=0，

所以数列Q1是连续可归零数列，

数列Q2不是连续可归零数列，理由如下：

当(i,j)=(1,3)时，s1a1+s2a2+s3a3=4s1+2s2+4s3=2(2s1+s2+2s3)，

因为s1，s2，s3∈{−1,1}是奇数，故2s1+s2+2s3是奇数，所以2(2s1+s2+2s3)≠0．

当(i,i)=(1,2)时，s1a1+s2a2=4s1+2s2=2(2s1+s2)，

因为s1，s2∈{−1,1}是奇数，故2s1+s2是奇数，