辽宁省名校联盟2025届高三下学期第一次模拟考试数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页辽宁省名校联盟2025届高三下学期第一次模拟考试数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知集合A=xx2−2x−3<0，B=yA.−1,3 B.−1,0 C.0,3 D.−∞,32.“x>1”是“1x≤1”的(

)A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件

C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件3.已知等差数列an的前n项和为Sn，若a3+aA.4 B.60 C.68 D.524.学校放三天假，甲､乙两名同学打算去敬老院做志愿者，甲同学准备在三天中随机选一天，乙同学准备在前两天中随机选一天，则甲乙选择同一天的概率是(

)A.12 B.16 C.135.若函数fx=lnx+x2A.−∞,1 B.−∞,22 C.−∞,2 6.设F1,F2是双曲线C:x2−y23=1的两个焦点，O为坐标原点，点A.−72,72 B.7.对任意x,y∈R，都有fx+yfx−y=f2x−f2yA.0 B.2 C.4 D.68.已知AD=12AB=2，向量AP=λAD+1−1A.12 B.−12 C.−1二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.有一组样本数据x1、x2、⋯、xn，其平均数、中位数、方差、极差分别记为a1、b1、c1、d1，由这组数据得到新样本数据y1、y2、⋯、yn，其中yi=kA.a2=ka1+2025 B.b210.若n∈N∗，记φn为不超过n的正整数中与n互质(两个正整数除1之外，没有其余公因数)的正整数的个数，例如φ1A.φ14=5 B.φ16=8

C.若p是质数，则11.在正三棱台A1B1C1−ABC中，AB=2A1B1,P,D分别是线段B1A.AA1⊥BC

B.若BD=13BC,AA1//平面B1DM，则点M的轨迹长等于三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.已知点Aa,2为抛物线x2=2pyp>0上一点，且点A到抛物线的焦点F的距离为3，则p=13.设复数z1,z2满足z1=z14.y=(2cosθ−cosα四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题12分)如图1，在▵ABC中，∠B=90∘，AC=35，D、E两点分别在AB、AC上，使ADDB=AEEC=DE=BD=2.现将▵ABC(1)求证：AD⊥平面BCED；(2)求平面ABC与平面ACD所成角的正切值．16.(本小题12分)已知函数fx(1)求fx(2)若a≥0,fx≥−e22对17.(本小题12分)在▵ABC中，角A,B,C所对的边分别是a,b,c，且满足(1)求角B的大小；(2)若b=3，求(3)求sinAsin18.(本小题12分)甲口袋中装有2个黑球和1个白球，乙口袋中装有3个白球.现从甲、乙两口袋中各任取一个球交换放入另一口袋，重复n次这样的操作，记甲口袋中黑球个数为Xn，恰有2个黑球的概率为pn，恰有1个黑球的概率为(1)求p1,q(2)求证：{2p(3)求Xn的数学期望E(Xn)(用n19.(本小题12分)已知圆C1:x2+y2=1,C2:x2+y2=4,O为坐标原点，过圆C(1)四边形ACBD的面积是否是定值，直接给出结果，不必证明；(2)对平面上所有点进行如下变换x=3x0y=y0,(即：原坐标x0,y0在这个变换下的新坐标为3①写出C3,C4的方程，②四边形A1C1参考答案1.C

2.A

3.D

4.C

5.B

6.B

7.B

8.C

9.ABC

10.BC

11.AC

12.2

13.314.25

15.(1)在图1的▵ABC中，ADDB所以，DE//BC，且AD=4，BC=3因为∠ABC=90∘，所以，∠ADE=90∘，则在▵BCD中，∠CBD=90∘，BD=2，BC=3，则在图2的▵ACD中，AD=4，CD=13，满足AD2+C因为AD⊥CD，AD⊥DE，CD∩DE=D，CD、DE⊂平面BCED，所以，AD⊥平面BCED．(2)解法一：因为AD⊥平面BCED，DE⊥BD，以点D为原点，DB、DE、DA的方向分别为x、y、z轴建立如下图所示的空间直角坐标系，则A0,0,4、B2,0,0、C2,3,0、D0,0,0，设平面ABC一个的法向量m=x取x1=2，可得设平面ACD的一个法向量为n=x2,y则n⋅DA=4z2设平面ABC与平面ACD所成角为θ，则cosθ=所以，sinθ=1−co因此，平面ABC与平面ACD所成角的正切值为29解法二：过B在平面BCED内作BF⊥CD，垂足为点F，过点F在平面ACD内作FG⊥AC，垂足为点G，连接BG，由(1)知AD⊥平面BCED，因为BF⊂平面BCED，则AD⊥BF，因为BF⊥CD，AD∩CD=D，AD、CD⊂平面ACD，所以，BF⊥平面ACD，因为AC⊂平面ACD，所以，BF⊥AC，因为FG⊥AC，BF∩FG=F，BF、FG⊂平面BFG，所以，AC⊥平面BFG，因为BG⊂平面BFG，则BG⊥AC，所以，∠BGF为平面ABC与平面ACD所成的角，设∠BGF=θ．在Rt△BCD中，∠CBD=90∘，BD=2，BC=3，所以，BF=BC⋅BDCD=在Rt▵ACD中，AD=4，CD=13，AC=所以，sin∠ACD=ADAC在Rt▵BFG中，tanθ=所以，平面ABC与平面ACD所成角的正切值为2916.(1)解：由函数fx=x可得f′x当a<0时，令f′x≥0，解得x≥1，所以fx当0≤a<1时，令f′x≥0，解得0<x≤a或所以fx的单调递增区间为0,a及1,+∞当a=1时，f′x≥0恒成立，所以fx当a>1时，令f′x≥0，解得0<x≤1或所以fx的单调递增区间为0,1及a,+∞综上可得：当a<0时，fx的单调递增区间为1,+∞当0≤a<1时，fx的单调递增区间为0,a及1,+∞当a=1时，fx的单调递增区间为0,+∞当a>1时，fx的单调递增区间为0,1及a,+∞(2)解：由(1)知，当a∈0,1，fx在1,+∞单调递增，所以令−a−12≥−e2当a>1时，函数fx在1,a单调递减，在a,+∞所以fx令ℎa=aln令ga=ℎ′a=lna−a,a≥1，可得所以ga<g1=−1<0，所以ℎ′a因为ℎe=−e22综上可得：实数a的取值范围为0,e．17.(1)由正弦定理得3sinB因为0<A<π，所以sinA≠0所以3sinB=1+又因为−π6<B−(2)由余弦定理得：cosB=a2+c根据基本不等式a2+c2≥2ac▵ABC的面积为：12acsin(3)sin==令x=A+π6，则所以12sin因为A∈由二次函数的图像性质得到，当sinx∈12当sinx=1时，原式取得最大值1故sinAsin18.(1)依题意，p1=1×3p2q2(2)设An表示n次取球后甲口袋有2个黑球，Bn表示n次取球后甲口袋有C表示一次操作甲乙都取的是白球，D表示一次操作甲取的是白球同时乙取的是黑球，E表示一次操作甲取的是黑球同时乙取的是白球，F表示一次操作甲，乙都取黑球，当n≥2时，A则pnq+P(F|Bpnqn因此2pn+qn所以2pn+qn(3)依题意，XnX012P1−qp期望E(Xn)=2pn所以E(X19.(1)由AB与CD垂直，四边形ACBD的面积S1四边形ACBD对角线互相垂直，且对角线长不变，所以四边形ACBD的面积为定值4(2)①由已知得C3,若l1的斜率