初中数学自主招生难度讲义-9年级专题07一元二次方程的应用

专题07一元二次方程的应用

阅读与思考

一元二次方程是解数学问题的有力工具，许多数学问题都可转化为解一元二次方程、研究一元二次

方程根的性质等而获解.现阶段，一元二次方程的应用主要有以下两方面：

1.求代数式的值；

2.列二次方程解应用题.

从本质上讲，列二次方程解应用题与前面我们已经学过的列一元二次方程解应用题没有区别，通常

都要经过设、列、解、答等四个步骤，解题的关键是寻找实际问题中的等量关系.特别需要注意的是，

列出的一元二次方程一般会有两个不同的实数根，所以在检验时应特别注意，很可能其中有不符合实际

问题的根，必须舍去.

例题与求解

【例1】甲、乙两地分别在河的上、下游，每天各有一班船准点以匀速从两地对开，通常它们总在11

时于途中相遇，一天乙地的船因故晚发了40分钟，结果两船在上午11时15分在途中相遇，已知甲地

开出的船在静水中的速度数值为44千米/时，而乙地开出的船在静水中的速度为水流速度千米/时数值

的平方，则的值为___________.（安徽省竞赛试题）

解题思路：利用甲船15分钟所行路程是乙船（40-15）分钟所行路程建立方程.

n24716n16

【例2】自然数n满足n22n2n22n2，这样的n的个数是（）

A．1个B．2个C．3个D．4个（江苏省竞赛试题）

解题思路：运用幂的性质，将问题转化为解方程.

3

【例3】如图，在平面直角坐标系中，直线yx1与yx3交于点A，分别交x轴于点B和

4

点C，点D是直线AC上的一个动点.

（1）求点A，B，C的坐标；

（2）当△CBD为等腰三角形时，求点D的坐标.（太原市中考试题）

解题思路：对于（2），利用“腰相等”建立方程，解题的关键是分类讨论.

【例4】如图，已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，点E在直角边AC上（点E与A，

C两点均不重合）.

（）若点在斜边上，且平分△的周长，设＝，试用的代数式表示；

1FABEFRtABCAExxSAEF

（2）若点F在折线ABC上移动，试问：是否存在直线EF将Rt△ABC的周长和面积同时平分？若存在

直线EF，则求出AE的长；若不存在直线EF，请说明理由.（常州市中考试题）

解题思路：几何计算问题代数化，通过定量分析回答是否存在这样的直线EF，将线段的计算转化

为解方程.

【例5】某公司投资新建了一商场，共有商铺30间，据预测，当每间的年租金定为10万元时，可全

部租出.每间的年租金每增加5000元，少租出商铺1间，该公司要为租出的商铺每间每年交各种费用1

万元，未租出的商铺每间每年交各种费用5000元.

（1）当每间商铺的年租金定为13万元时，能租出多少间？

（2）当每间商铺的年租金定为多少万元时，该公司的年收益（收益＝租金－各种费用）为275万元？

（绍兴市中考试题）

解题思路：解题的关键是把复杂的数量关系分解成若干个小问题，再寻找各个小问题间量与量的关

系.

【例6】已知：如图1，在Rt△ACB中，∠C＝90°，AC＝4cm，BC＝3cm，点P由点B出发沿BA方

向向点A匀速运动，速度为1cm/s；点Q由点A出发沿AC方向向点C匀速运动，速度为2cm/s.连

结PQ.若设运动的时间为t（s）（0＜t＜2），解答下列问题：

（1）当t为何值时，PQ∥BC？

（2）设△AQP的面积为y（cm2），求y与t之间的函数关系式；

（3）是否存在某一时刻t，使线段PQ恰好把Rt△ACB的周长和面积同时平分？若存在，求出此时t的

值；若不存在，说明理由；

（4）如图2，连结PC，并把△PQC沿QC翻折，得到四边形PQP´C，那么是否存在某一时刻t，使四

边形PQP´C为菱形？若存在，求出此时菱形的边长；若不存在，说明理由.（青岛市中考试题）

解题思路：对于（3），先求出PQ平分Rt△ACB周长时t的值，再看求出t的值是否满足由面积关

系建立的方程.

能力训练

A级

1.某工厂把500万元资金投入新产品生产，第一年获得了一定的利润，在不抽调资金和利润（即将第

一年获得的利润也作为生产资金）的前提下，继续生产，第二年的利润率（即所获利润与投入生产资金

的比）比第一年的利润率增加了8%.如果第二年的利润为112万元，为求第一年的利润率，可设它为x，

那么所列方程为_______________.（济南市中考试题）

2.如图，在长为10cm、宽为8cm的矩形的四个角上截去四个全等的小正方形，使得留下阴影部分面积

是原矩形面积的80%，则所截去的小正方形的边长是_________.（广东省中考试题）

3.有一旅客携带了30千克行李从南京禄口国际机场乘飞机去天津.按民航规定，旅客最多可免费携带

20千克行李，超重部分每千克按飞机票价的1.5%购买行李票，现该旅客买了120元的行李票，则他的

飞机票价格应是________.

424

4.已知实数x、y满足3,y4y33，则y4的值为（）

x4x2x4

113713

A.7B.C.D.5

22

5.一个跳水运动员从10米高台上跳水，他每一时刻所在的高度（单位：米）与所用时间（单位：秒）

的关系式是h5t2t1，则运动员起跳到入水所用的时间是（）

A.－5秒B.1秒C.－1秒D.2秒

6.某种出租车的收费标准时：起步价7元（即行驶距离不超过3千米都需付7元车费），超过3千米以

后，每增加1千米，加收2.4元（不足1千米按1千米计），某人乘这种出租车从甲地到乙地共支付车费

19元，设此人从甲地到乙地经过的路程是x千米，那么x的最大值是（）

A.11B.8C.7D.5

7.如图，菱形ABCD的边长为a，O是对角线AC上的一点，且OA＝a，OB＝OC＝OD＝1，则a＝（）

5151

A.B.C.1D.2

22

第2题图第7题图

8.我市向民族地区的某县赠送一批计算机，首批270台将于近期起运.经与某物流公司联系，得知用A

型汽车若干辆刚好装完；用B型汽车不仅可少用1辆，而且有一辆车差30台计算机才装满.

（1）已知B型汽车比A型汽车每辆车可多装15台，则A，B两种型号的汽车各能装计算机多少台？

（2）已知A型汽车的运费是每辆350元，B型汽车的运费是每辆400元。若运送这批计算机用这两种

型号的汽车，其中B型汽车比A型汽车多用1辆，所用运费比单独用任何一种型号的汽车都要节省，按

这种方案需A，B两种型号的汽车各多少辆？运费多少元？（四川省中考试题）

9.某电厂规定：该厂家属区的每户居民如果一个月的用电量不超过A度，那么这个月这户只需交10元

A

用电费；如果超过A度，则这个月除了仍需交10元用电费外，超过部分还需按每度元交费.

100

下表是一户居民3月、4月的用电情况和交费情况：

月份用电量（度）交电费（元）

3月8025

4月4510

根据上表的数据，电厂规定的A（度）为多少？（苏州市中考试题）

10.某种电脑病毒传播非常快，如果一台电脑感染，经过两轮感染后就会有81台电脑被感染.请你用学

过的知识分析，每轮感染中平均一台电脑会感染几台电脑？若病毒得不到有效控制，三轮感染后，被感

染的电脑会不会超过700台？（广东省中考试题）

11.某批发商以每件50元的价格购进800件T恤，第一个月以单价80元销售，售出了200件；第二个

月如果单价不变，预计仍可售出200件，批发商为增加销售量，决定降价销售，根据市场调查，单价每

降低1元，可多售出10件，但最低单价应高于购进的价格，第二个月结束后，批发商将对剩余的T恤

一次性清仓销售，清仓时单价为40元.设第二个月单价降低x元.

（1）填表（不需化简）：

时间第一个月第二个月清仓时

单价（元）8040

销售量（件）200

（2）如果批发商希望通过销售这批T恤获利9000元，那么第二个月的单价应是多少元？

（南京市中考试题）

B级

1.如图，梯子AB斜靠在墙上，∠ACB＝90°，AB＝5m，BC＝4m，当点B下滑到点B´时点A向左平

移到点A´，设BB´＝x，当x＝_______时，点B下滑的距离与点A向左平移的距离相等.

（徐州市中考试题）

2.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝6cm，CA＝8cm，动点P从点C出发，以2cm/s的速度沿

1

CA，AB移到点B，则C点出发________秒时，可使SS.

BCP4ABC

3.甲、乙两同学玩“托球赛跑”游戏，商定：用球拍托着乒乓球从起跑线l起跑，绕过P点回到起跑线

（如图所示）；途中乒乓球掉下时须捡起并回到掉球处继续赛跑；用时少者胜.结果，甲同学由于心急，

掉了球，浪费了6秒钟，乙同学则顺利跑完。事后，乙同学说：“我俩所用的全部时间的和为50秒，捡

球过程不算在内时，甲的速度是我的1.2倍。”根据图文信息，请问哪位同学获胜？（江西省中考试题）

4.一个批发与零售兼营的文具店规定：凡一次购买铅笔301支以上（包括301支），可以按批发价付款；

购买300支以下（包括300支）只能按零售价付款.现有学生小王来购买铅笔，如果给学校初三年级每

人买1支，则只能按零售价付款，需用（m21）元（m为正整数，且m21＞100）；如果多买60

支，则可以按批发价付款，同样需用（m21）元.

（1）设这个学校初三年级共有x名学生，则①x的取值范围是____________；②铅笔的零售价每支应

为____________元，批发价每支应为__________元.（用含x，m，n的代数式表示）

（2）若按批发价每购买15支，比按零售价每购15支少付款1元，试求这个学校初三年级共有多少名

学生，并确定m的值.

5.在一次汽车比赛中，有三辆汽车在起点同时同向出发，其中第二辆车每小时辆车比第一辆车少走5

公里，而比第三辆车多走7.5公里；第二辆车到达终点比第一辆车迟3分钟，而比第三辆车早到5分钟.

假设它们在路上都没停过.

（1）比赛的路程是多少公里？

（2）第二辆车的速度是每小时多少公里？（荆州市竞赛试题）

6.象棋比赛共有奇数个选手参加，每位选手都同其他选手比赛一盘.记分办法是胜一盘得1分，和一盘

各得0.5分，负一盘得0分.已知其中两名选手共得8分，其他人的平均分为整数，参加此次比赛的选

手共有多少人？（天津市竞赛试题）

7.如图，有矩形地ABCD一块，要在中央修建一矩形EFGH花圃，使其面积为这块地面积地一半，且

花圃四周的道路宽相等.今无测量工具，只有无刻度的尺和够长的绳子一条，如何量出道路的宽度？

8.小明有5张人民币，面值合计20元.

（1）小明的5张人民币的面值分别是______元、______元、______元、______元、______元.

（2）小明来到水果店，称了x公斤苹果（x是整数），按标价应付y元，正好等于小明那5张人民币中

的2张面值之和；这时果筐里还剩6公斤苹果，店主便对小明说：“如果你把这剩下的也都买去，那么

连同刚才已经称的，一共就付10元钱吧。”小明一算，这样相当于每公斤比原标价减少了0.5元，本着

互利原则，便答允了，试求x和y.（江苏省竞赛试题）

9.如图，等腰Rt△ABC的直角边AB＝2，点P、Q分别从A、C两点同时出发，以相等的速度作直线

运动.已知点P沿射线AB运动，点Q沿边BC的延长线运动，PQ与直线AC相交于点D.

（）当的长为何值时，？

1APSPCQSABC

（2）作PE⊥AC于点E，当点P、Q运动时，线段DE的长度是否改变？证明你的结论.

（荆门市中考试题）

10.某水果批发商场经销一种高档水果，如果每千克盈利10元，每天可售出500千克.经市场调查发现，

在进货价不变的情况下，若每千克涨价1元，日销售量将减少20千克.现该商场要保证每天盈利6000

元，同时又要使顾客得到实惠，那么每千克应涨价多少元？

11.求满足下列条件的所有四位数：abcd:abcd＝(ab＋cd)2,其中数码c可以为0.

（“新知杯”上海市竞赛试题）

专题07一元二次方程的应用

例16例2C

8

yx1,x,

，7815

例3（1）B（－1，0），C（4，0），由3得，∴A（，）

yx3,1577

4y

7

5

（2）设点D的坐标为（x，y），BC＝5.，①当BD1＝D1C时，过点D1作D1M1⊥x轴于M1，则BM1＝，

2

333315315

OM1＝，x＝，∴y＝－×＋3＝，∴D1（，）.

2242828

②当＝时，过点作⊥轴于，则2＋2＝2∵＝－－，＝

.BCBD2D2D2M2xM2D2M2M2BD2B,.M2Bx1D2M2

3

－x＋3，D2B＝5.

4

315

③当CD3＝BC或CD4＝BC时，同理，可得D3（0，3），D4（8，－3），故点的坐标为D1（，），

28

1224

D2（－，），D3（0，3），D4（8，－3）.

55

2

例4（1）SAEF＝x（6－x）

5

△

2

（2）假设存在直线EF将ABC的周长和面积同时平分，AE＝x.①若点F在斜边AB上，则由（1）知x

5

△

16666

（6－x）＝×6，解得x1＝3－，x2＝3＋（舍去）此时AF＝6－（3－）＝3＋＜5.，

22222

②若点F和B重合，不满足题设要求的直线EF；③若点F在BC上，由AE＝x，得CE＝3－x，CF＝3

11

＋x，SCEF＝（3－x）（3＋x）＝×6，解得x1＝3，x2＝－3（舍去），由于3＋x＝3＋3＞4，

22

△

故不存在直线EF满足题设要求.

例5（1）24间

xxx

（2）设每间商铺的年租金增加x万元，则（30＋）×（10＋x）－（30－）×1－×0.5＝275，

0.50.50.5

解得x1＝0.5，x2＝5，故设每间商铺的年租金定为15万元或10.5万元.

AQAP2t5t10

例6(1)AP＝5－t,AQ＝2t,若PQ∥BC,则APQ∽△ABC,∴＝,即＝,t＝.

ACAB457

△PHAPPH5t3

(2)过点P作PH⊥AC,由APH∽△ABC,得＝,即＝,PH＝3－t,＝3.∴y＝

BCAB355

11△33

×AQ×PH＝×2t×（3－t）＝－t2＋3t.

2255

（3）若PQ把ABC周长平分,则AP＋AQ＝BP＋BC＋CQ,,∴（5－t）＋2t＝t＋3＋（4－2t）,t＝1.若

△132

PQ把ABC面积平分,则SAPQ＝SABC,即－t＋3t＝3,但t＝1代入此方程不成立.故不存在这一时刻,

25

△△

使线段△PQ把ABC的周长和面积同时平分.

△

PN

(4)过点P作PM⊥AC于M,PN⊥BC于N.若四边形PQP′C是菱形,则PQ＝PC.由PBN∽△ABC,得＝

AC

BPPNt4t4t4t4t10△37

,即＝,PN＝,∴QM＝CM＝,由＋＋2t＝4,得t＝.此时PM＝3－t＝,CM

AB455555953

4t8505505

＝＝,PC＝PM2CM2＝.∴菱形PQP′C边长为.

5999

A级

1.500（1＋x）（x＋8%）＝112

2.2cm3.800元4.A5.D6.B7.A

8.（1）A型汽车能装45台，B型汽车能装60台.（2）A型汽车2辆，B型汽车3辆，运费为1900元.

9.50度

10.设每轮感染中平均每台电脑会感染x台电脑，则1＋x＋（1＋x）x＝81，解得x1＝8，x2＝－10（舍去），

（1＋x）3＝（1＋8）3＝729＞700，故三轮感染后，被感染的电脑会超过700台.

11.（1）80－x200＋10x800－200－（200＋10x）（2）根据题意，得80×200＋（80－x）（200＋

2

10x）＋40[800－200－（20＋10x）]－50×800＝9000，整理得x－20x＋100＝0，斛方程得x1＝x2＝10.

当x＝10时，80－x＝70＞50.故第二个月的单价应是70元.

B级

1．1

2．1或7．75

3．甲、乙两同学所用的时间分别为26秒、24秒，乙同学获胜．

m21m21

4．(1)①240＜x≤300②

xx60

m21m21

(2)由题意得15·－15·=1，整理得x2＋60x－900（m2－1）=0，解得x=30(m－1)，

xx601

－（）舍去，解得，．

x2=30m+1()m=11x=300

5．（1）150公里（2）120公里/小时

xx3

yy560

xx5

提示：设比赛路程是x公里，第二辆车的速度是y公里/小时，由题意得即

y7.5y60

5x3

y(y5)60

7.5x5x150

，解得

y(y7.5)60y120

6．9人提示：设共有选手（n＋2）人，除2人得8分外，n个人平均得k分（k为整数），由题意得

1

(n＋1)(n＋2)=8＋nk，整理得n2＋(3－2k)n－14=0，人数只能是奇数，n=7．

2

11

7．设道路宽为x，AB=a，AD=b，则有(a－2x)(b－2x)=ab，即8x2－4(a＋b)＋ab=0，解得x=[(a