2024-2025学年浙江省湖州市长兴县高一下册3月联考数学检测试题（附解析）

2024-2025学年浙江省湖州市长兴县高一下学期3月联考数学检测试题考试须知：1．本卷共4页满分150分，考试时间120分钟；2．答题前，在答题卷指定区域内填写班级，姓名，考场号，座位号及准考证号并填涂相应数字；3．所以答案必须写在答题纸上，写在试卷上无效；4．考试结束后，只需上交答题纸.选择题部分一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.设集合，则（）A. B.C. D.【正确答案】A【分析】根据交集、补集的运算求解即可.【详解】因为，所以，，故选：A2.已知复数，则复数的虚部为（）A. B. C. D.【正确答案】A【分析】先化简复数,再根据虚部定义得结果.【详解】因为,所以复数的虚部为，选A.本题考查复数除法运算以及虚部定义，考查基本求解能力，属基础题.3.已知a，b，c分别为三个内角A，B，C所对的边，若，则C=（）A. B. C.或 D.【正确答案】C【分析】根据给定条件，利用正弦定理解三角形.【详解】在中，由及正弦定理，提，所以或.故选：C4.已知向量，且，则（）A.－1 B.0 C.1 D.2【正确答案】B【分析】根据给定条件，利用向量垂直的坐标表示、共线向量的坐标表示列式计算得解.【详解】向量，由，得，解得，由，得，所以.故选：B5.在中，已知，则的面积为（）A. B. C. D.2【正确答案】C【分析】利用向量点积公式求得，利用同角三角函数关系求得,然后利用三角形面积公式计算.【详解】因为，及和，所以,解得：，又因为,所以.所以.故选：C.6.已知向量，若与的夹角为锐角，则实数的取值范围为（）A. B.且 C. D.且【正确答案】D【分析】根据给定条件，利用向量的夹角公式，结合共线向量的坐标表示求解.【详解】向量，则，由与夹角为锐角，得，且与不共线，因此，解得且，所以实数的取值范围为且.故选：D7.为了测量某塔高度，检测员在地面A处测得塔顶T处仰角为，从A处向正东方向走了70米到地面B处，测得塔顶T处仰角为，若，则铁塔OT的高度为（）米A. B. C. D.【正确答案】B【分析】根据给定条件，用铁塔高度表示，再利用余弦定理求解即得.【详解】设铁塔OT的高度为，依题意，，中，由余弦定理得，即，解得，所以铁塔OT的高度为米.故选：B8.已知单位向量，且向量的夹角为，若对任意的恒成立，则实数的值为（）A. B. C. D.－1【正确答案】C【分析】根据给定条件，利用向量数量积的运算律，结合恒成立求解即可.【详解】由单位向量，且向量的夹角为，得，由，得，即，依题意，对任意的，恒成立，而，当且仅当时取等号，因此，整理得，所以.故选：C二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对得部分分，选错得得0分．9.下列函数中，既是偶函数又在区间上单调递增的是（）A. B. C. D.【正确答案】BC【分析】根据基本初等函数的性质及奇偶性、单调性逐项判断即可.【详解】对于A，因为，故不是偶函数，故A错误；对于B，由二次函数性质知，图象关于轴对称，且在区间上单调递增，故B正确；对于C，因为的定义域为，且，所以函数为偶函数，在区间上单调递增，故C正确；对于D，，显然在区间上单调递减，故D错误.故选：BC10.已知复数为的共轭复数，则下列结论一定正确的是（）A. B.一定是实数C.若，则 D.【正确答案】ABD【分析】对于选项A，由模的定义判断正误；对于选项B，根据复数的加法计算即可判断正误；对于选项C，举反例即可判断正误；对于选项D，由复数模的性质可判断正误.【详解】对于A：设，则，可得，，故A正确；对于B：令，由，故B正确；对于C：设，则，，满足，但，故C错误；因为，故D正确.故选：ABD.11.已知平面向量满足，则下列说法正确的为（）A. B.最小值为C.最大值为 D.【正确答案】ABD【分析】根据给定条件，结合数量积的运算律可得及，再逐项求解判断.【详解】由，得，解得，对于A，，，又是非零向量，因此，故A正确；对于B，，当且仅当时取等号，故B正确；对于C，由，得，则，即，当且仅当同向共线时取等号，解，得，故C错误；对于D，由，得，则，，而，因此，故D正确.故选：ABD非选择题部分三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.已知的周长为，且，则______．【正确答案】【分析】利用正弦定理角化边，再消元求解即可.【详解】在中，令内角所对边分别为，由，得，而，所以.故13.已知是方程的一个根，则______．【正确答案】0【分析】根据给定条件，利用实系数一元二次方程有虚数根的性质，结合韦达定理求解.【详解】由是方程的一个根，得是该方程的另一根，则，，解得，所以.故014.已知正实数x，y满足，则的最大值为______．【正确答案】1【分析】根据条件变形，待求式转化为一元变量后，利用基本不等式求解.【详解】因为，所以，则,所以，当且仅当，即时等号成立，故1四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．15.已知复数，其中是虚数单位，（1）若z为纯虚数，求实数m的值；（2）若z在复平面内所对应的点在第二象限，求实数m的取值范围．【正确答案】（1）空集（2）【分析】（1）利用纯虚数的定义列式求解；（2）求出复数对应的点，再由点的位置列出不等式组求解.【小问1详解】复数为纯虚数，则，无解，所以实数m的值的集合为空集；【小问2详解】由z在复平面内所对应的点在第二象限，得，解得，所以实数m的取值范围是.16.已知a，b，c分别为三个内角A，B，C所对的边，若．（1）求的值；（2）若的面积为，求的值．【正确答案】（1）（2）【分析】（1）由正弦定理及两角和的正弦公式化简即可得解；（2）由三角形面积公式及余弦定理即可得解.【小问1详解】由正弦定理可得，又，所以,又，所以，即；【小问2详解】由，又,解得，因为，所以，由余弦定理可得，即.17.已知函数的最大值为1．（1）求实数a的值；（2）若在上单调递增，求的值；（3）在（2）的条件下，若在上恰有2个零点，求实数m的取值范围．【正确答案】（1）1；（2）1；（3）.【分析】（1）和差角的正弦公式及辅助角公式化简函数，求出最大值即可求出值.（2）求出相位所在区间，由正弦函数的递增区间列出不等式求出的范围即可.（3）由零点可得，结合相位所在区间及零点个数建立不等式求解.【小问1详解】函数，函数，解得，所以的值是.【小问2详解】当时，，由上单调递增，得，解得，而，则，所以的值是1.【小问3详解】由（1）（2）知，，由，得，当时，，又函数在上恰有2个零点，得，解得，所以实数m的取值范围是.18.如图，在中，，线段与线段交于点F．（1）求的值；（2）求的值：（3）若O为内一动点，求的最小值．【正确答案】（1）;（2）;（3）.【分析】（1）通过数量积已知可求夹角，再通过余弦定理求边，最后由勾股定理证明直角，然后建立直角坐标系来求数量积即可；（2）把所求角转化为两向量的夹角，从而利用数量积的坐标运算即可；（3）利用极化恒等式把向量积转化为中线与边的关系，再利用坐标运算来表示，最后可求得最小值.【小问1详解】由可得，，在中，由可知：，由余弦定理得：，又因为，所以由勾股定理可得：，则以为坐标原点，如图建立平面直角坐标系，有：，由可得：，所以，则；【小问2详解】由图可得：；【小问3详解】由，设中点为，同理可得，所以，在如图坐标系中，可设，，则,此时，即点作轴垂线垂足为，点作轴垂线垂足为，则为的八等分点，为的四等分点，显然此时点在内部，满足题意.所以取到最小值.19.若三角形内一点P满足，则称P为三角形的布洛卡点，为三角形的布洛卡角．已知a，b，c分别为三角形三个内角A，B，C所对的边，点P为三角形的布洛卡点，为三角形的布洛卡角．（1）若，且，求三角形的布洛卡角的余弦值；（2）若三角形的面积为S．①证明：；②当时，求面积S的大小．【正确答案】（1）（2）①证明见解析；②.【分析】（1）设，由题，余弦定理及，可得，然后再由余弦定理可得答案.（2）①注意到，则可得需证等式右边为，然后利用余弦定理可完成证明；②由海伦公式及恒等变形知识可证在三角形中，，当且仅当三角形为等边三角形取等号，然后结合题意可得答案.【小问1详解】如图设，因，则，由题可得，则，由余弦定理，可得：，注意到.则.则；【小问2详解】①由图可得，则要证等式右边等于，由余弦定理，，同理可得：，.则要证等式右边等于左边；②先证：在三角形中，，当且仅当三角形为等边三