2024-2025学年广东省江门市高二下册第一次月考数学检测试题（附解析）

2024-2025学年广东省江门市高二下学期第一次月考数学检测试题本试卷分选择题和非选择题两部分，满分150分，考试时间120分钟.一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.某体育场一角看台的座位是这样排列的：第1排有12个座位，从第2排起每一排都比前一排多2个座位，则第7排有（）个座位.A.20 B.22 C.24 D.26【正确答案】C【分析】利用等差数列定义计算即可.【详解】根据题意可设第排的座位个数为，易知成等差数列，且；所以可得.故选：C2.在等比数列中，，则（）A. B. C. D.【正确答案】C【分析】根据等比数列的概念可求得，由此可得结果.【详解】设等比数列的公比为，∵，∴，故，∴.故选：C.3.已知数列满足且，则（）A.-3 B.3 C. D.【正确答案】B【分析】由已知可得数列是以2为公差等差数列，再，代入可得选项.【详解】,∴数列是以2为公差的等差数列，，，，，故选：B.本题考查等差数列的定义，等差数列的项的关系，属于基础题.4.若等比数列的各项均为正数，且，，成等差数列，则（）A. B.3 C.9 D.27【正确答案】D【分析】由等差中项的性质可得等比数列的公比，即可得解.【详解】设数列的公比为，由，，成等差数列，故，即有，化简得，解得或（舍），故.故选：D.5.等差数列的前项和为，若且，则()A. B.C. D.【正确答案】A【分析】等差数列前n项和构成的数列{}为等差数列，公差为原数列公差的一半﹒【详解】设的公差为d，∵∴，即{}为等差数列，公差为，由知，故﹒故选：A﹒6.在适宜的环境中，一种细菌的一部分不断分裂产生新的细菌，另一部分则死亡.为研究这种细菌的分裂情况，在培养皿中放入m个细菌，在1小时内，有的细菌分裂为原来的2倍，的细菌死亡，此时记为第一小时的记录数据.若每隔一小时记录一次细菌个数，则细菌数超过原来的10倍的记录时间为第（）A.6小时末 B.7小时末 C.8小时末 D.9小时末【正确答案】A【分析】由题意可知每小时末的细菌数构成了等比数列，求出其通项公式，列出相应的不等式，求得答案.【详解】设表示第n小时末的细菌数，依题意有，，则是等比数列，首项为，公比，所以.依题意，，即，所以,由于，又，所以，所以第6小时末记录的细菌数超过原来的10倍,故选:A.7.数列中，，，若，则（）A.8 B.9 C.10 D.11【正确答案】A【分析】由得出是以3为首项，3为公比的等比数列，根据等比数列的求和公式求解.【详解】由，令，则，故是以3为首项，3为公比的等比数列，，，故，故选：A.8.传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家用沙粒和小石子来研究数，他们根据沙粒或小石子所排列的形状把数分类，如图中第一行1，3，6，10称为三角形数，第二行的1，4，9，16称为正方形数，下列数中既是三角形数，又是正方形数的是（）A.100 B.289 C.1225 D.1378【正确答案】C【分析】由题意，求出数列的通项公式，建立方程，可得答案.【详解】由题意，三角形数可看作，，，，，则第个三角形数为，正方形数可看作，，，，则第个正方形数为；对于A，令，得，令，其解不是正整数，故A错误；对于B，令，得，令，其解不是正整数，故B错误；对于C，，得，令，解得，故C正确；对于D，，其解不是正整数，故D错误.故选：C.二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.等差数列{an}的前n项和记为Sn，若a1>0，S10＝S20，则（）Ad<0B.a16<0C.Sn≤S15D.当且仅当n≥32时，Sn<0【正确答案】ABC【分析】由，得a1＝d，再利用等差数列的性质可以判断每一个选项.【详解】对于A，设等差数列{an}的公差为d，由S10＝S20，得10a1＋d＝20a1＋d，化简得a1＝d.因为a1>0，所以d<0，故A正确；对于B，因为a16＝a1＋15d＝d＋15d＝d，又d<0，所以a16<0，故B正确；对于C，因为a15＝a1＋14d＝d＋14d＝－d>0，a16<0，所以S15最大，即Sn≤S15，故C正确；对于D，，若Sn<0，又d<0，则n>30，故当且仅当n≥31时，Sn<0，故D错误．故选：ABC10.已知数列满足，，则（）A.B.是等差数列C.一定是等比数列D.数列的前99项和为【正确答案】BC【分析】令，可求的值，判断A的真假；递推公式两边同除以，可得，可得的特征，判断B的真假；进一步可求的通项公式，判断C的真假；利用裂项求和法可求数列的前99项和，判断D的真假.【详解】对A选项：令可得：，故A错误；对B选项：递推公式两边同除以，可得，即，又，所以是以1为首项，以1为公差的等差数列，故B正确；对C选项：由B可知：，所以，所以，所以是以1为首项，2为公比的等比数列，故C正确；对D选项：因为，所以数列的前99项和为：，故D错误.故选：BC11.在等差数列中，已知，公差为，则下列说法正确的是（）A. B.C. D.【正确答案】BCD【分析】对A：利用等差数列基本量求得，再求即可；对B：利用等比数列的前项和公式，即可求得的前项和；对C：对分类讨论，当为偶数时，利用分组求和法即可求得结果；当为奇数时，利用前项和与的关系即可求得结果；对D：对C中所求的，进行赋值，即可求得结果.【详解】对A：由题可知：，故可得，显然数列是周期为2的数列，又，故是首项，公比的等比数列，则，故A错误；对B：设的前项和为，则，故B正确；对C：，设数列的前项和为，当为偶数时，；当为奇数时，；综上所述，；对D：，故D正确.故选：BCD.关键点点睛：本题考察等差数列通项公式和前项和的基本量的运算；对CD选项，解决问题的关键是，对分奇数和偶数两种情况进行讨论，当为偶数时，利用分组求和法进行求解；当为奇数时，利用与的关系进行求解.属综合困难题.三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知正项等比数列的前n项和为，若，则______．【正确答案】##0.125【分析】根据给定条件，利用等比数列项间关系求出公比即可.【详解】设正项等比数列的公比为，由，得，因此，，所以.故13.任取一个正整数，若是奇数，就将该数乘3再加上1；若是偶数，就将该数除以2.反复进行上述两种运算，经过有限次步骤后，必进入循环圈，这就是数学史上著名的“冰雹猜想”（又称“角谷猜想”等）.已知数列满足：（m为正整数），.（1）若，则_________；（2）若，则m所有可能的取值集合为____.【正确答案】①.4②..【分析】根据数列的周期性、逆推来求得正确答案.【详解】（1），可知数列可看作从第8项起以3为周期的数列，因为，所以，（2）依题意，，且当为偶数时，由，可得.当为奇数时，由，可得，则，不满足正整数的条件，舍去.所以.当为偶数时，由，可得.当为奇数时，由，可得，则，不满足正整数的条件，舍去.所以.当为偶数时，由，可得.当为奇数时，由，可得，则.所以或.当时：当为偶数时，由，可得.当为奇数时，由，可得，则，不满足正整数的条件，舍去.当时：当为偶数时，由，可得.当为奇数时，由，可得，则，不满足正整数的条件，舍去.所以或.当时：当为偶数时，由，可得.当为奇数时，由，可得，则.当时：当为偶数时，由，可得.当为奇数时，由，可得，则，不满足正整数条件，舍去.所以或或.当时：当为偶数时，由，可得.当为奇数时，由，可得，则，不满足正整数的条件，舍去.当时：当为偶数时，由，可得.当为奇数时，由，可得，则，不满足正整数的条件，舍去.当时：当为偶数时，由，可得.当为奇数时，由，可得，则.所以或或或.当时：当为偶数时，由，可得.当为奇数时，由，可得，则.当时：当为偶数时，由，可得.当为奇数时，由，可得，则.当时：当为偶数时，由，可得.当为奇数时，由，可得，则，不满足正整数的条件，舍去.当时：当为偶数时，由，可得.当为奇数时，由，可得，则，不满足正整数的条件，舍去.综上，所有可能的取值集合.故；14.已知数列的前项和为，，（），则为______.【正确答案】【分析】根据给定条件，利用变形，再利用构造法求出.【详解】数列的前项和，当时，，整理得，即，显然当时，数列是常数列，因此，所以.故四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.若数列的前项和为，且（1）求数列的通项公式；（2）设，表示数列的前项和，求证.【正确答案】（1），（2）证明见解析【分析】（1）利用数列前项和与通项公式的关系求解即可.（2）利用裂项相消法得到，再结合证明不等式即可.小问1详解】当时，，当时，，当时，也成立，所以，.【小问2详解】因为，则.16.在等差数列中，，.（1）求数列的通项公式；（2）若记为中落在区间内项的个数，求的前k项和.【正确答案】（1）（2）【分析】（1）根据给定条件，利用等差数列性质，结合通项公式求解即得.（2）解不等式求出，再利用分组求和法，结合等比数列前n项和公式求解.【小问1详解】等差数列中，由，得，而，解得，因此数列的公差，，所以数列的通项公式是.【小问2详解】由（1）知，，由，得，整理得，因此正整数满足，从而得，所以的前k项和为.17.数列满足.（1）求证：数列是等比数列；（2）求数列的通项公式；（3）若，求数列的前项和.【正确答案】（1）证明见解析（2）（3）【分析】（1）根据等比数列的定义可证明结论.（2）利用累加法可求得数列的通项公式.（3）求出，利用错位相减法和分组求和可得结果.【小问1详解】∵，∴，即，∴数列是等比数列.【小问2详解】由（1）得数列是以为首项，以为公比的等比数列，∴，∴当时，，当时，，满足上式，∴.【小问3详解】由（2）得，.设①，则2②①②得：，∴，∴.18.已知等比数列满足，．（1）求数列的通项公式；（2）若是递增数列，若，恒成立，求实数的取值范围；（3）若不是递增数列，，求的最小值．【正确答案】（1），，（2）（3）答案见解析【分析】（1）根据等比数列的通项公式，建立关于q得方程，求出即可求解；（2）根据等比数列的单调性，由（1）得，进而不等式转化为恒成立，结合数列的单调性即可求解；（3）根据等比数列的单调性可知或，分类讨论为偶数和奇数时的情况，求出对应的即可求解.【小问1详解】设的公比为，则，若，则．若，则．所以的公比为，，4，所以的通项公式为：，，．【小问2详解】若是递增数列，则，则有，，等价于，恒成立，令，即．而．时，，时，，时，，，，，实数的取值范围为．【小问3详解】若不是单调数列，则，或．（i）当时，，①当为偶数时，；②当为奇数时，．所以此时的最小值为．（ii）当时，．①当为偶数时，，且为递增数列，；②当为奇数时，，不可能为最小值．所以此时的最小值为．19.已知数列：1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16，⋯，其中第一项是，接下来的两项是，，再接下来的三项是，，，以此类推．记数列的前项和为，规定：若，使得，则称为该数列的“类比数”．（1）将该数列的“类比数”从小到大排列，直接写出前3个“类比数”；（2）试判断50是否为“类比数”，并说明理由；（3）①求满足最小的“类比数”；②证明：该数列的“类比数”有无数个．【正确答案】（1）前3个“类比数”为2，4，13；（2）不是“类比数”，理由见解析；（3）①1836；②证明见解析.【分析】（1）根据“类比数”的定义直接求出该数列的前3个“类比数”即可.（2）首先根据规律求出，再根据定义看是否存在正整数p使得.（3）求出前组的和为，进而求出，让，即可求出结果.【小问1详解】因为，所以1不是该数列的“类比数”．因为，，，所以该数列的前3个“类比数”为2，4，13.【小问2详解】由题意可得数列如下：第1组：1；第2组：1，2；第3组：1，2，4；…第组：．所以该数列的前项的和为，（*）当时，，则，由