川省泸州市2024届高三第三次教学质量诊断性考试 数学文

川省泸州市2024届高三第三次教学质量诊断性考试数学文一、试卷整体概述本次泸州市2024届高三第三次教学质量诊断性考试数学文科试卷，严格遵循高考大纲和考试说明的要求，全面考查了高中数学的基础知识、基本技能、基本思想方法以及学生的数学素养和综合运用能力。试卷结构合理，题型分布稳定，难度适中且具有一定的区分度，能够较为准确地反映学生的学习情况和复习效果，对下一阶段的高考备考具有重要的指导意义。

二、各题型考查内容及分析

（一）选择题1.考查内容涵盖了集合、函数的定义域与值域、函数的单调性与奇偶性、三角函数的图象与性质、向量的运算、数列的通项公式与前n项和公式、立体几何中的空间线面关系、圆锥曲线的定义与性质等多个知识点。2.具体题目分析例1：设集合\(A=\{x|x^23x+2=0\}\)，\(B=\{x|x^2ax+a1=0\}\)，若\(A\cupB=A\)，则实数\(a\)的值为（）A.\(2\)B.\(3\)C.\(2\)或\(3\)D.\(1\)或\(2\)或\(3\)分析：先求解集合\(A\)，由\(x^23x+2=0\)，得\((x1)(x2)=0\)，所以\(A=\{1,2\}\)。对于集合\(B\)，由\(x^2ax+a1=0\)，得\((x1)[x(a1)]=0\)，则\(x=1\)或\(x=a1\)，即\(B=\{1,a1\}\)。因为\(A\cupB=A\)，所以\(B\subseteqA\)，那么\(a1=1\)或\(a1=2\)，解得\(a=2\)或\(a=3\)，故答案选C。例2：已知函数\(f(x)=\begin{cases}2^x,&x\lt0\\\log_2x,&x\gt0\end{cases}\)，则\(f(f(\frac{1}{4}))\)的值为（）A.\(4\)B.\(4\)C.\(\frac{1}{4}\)D.\(\frac{1}{4}\)分析：先计算\(f(\frac{1}{4})\)，因为\(\frac{1}{4}\gt0\)，所以\(f(\frac{1}{4})=\log_2\frac{1}{4}=\log_22^{2}=2\)。再计算\(f(f(\frac{1}{4}))\)，即\(f(2)\)，因为\(2\lt0\)，所以\(f(2)=2^{2}=\frac{1}{4}\)，故答案选C。

（二）填空题1.考查内容主要涉及到不等式的求解、函数的最值、直线与圆的位置关系、三角函数的求值等知识点。2.具体题目分析例1：若\(x\gt0\)，\(y\gt0\)，且\(\frac{1}{x}+\frac{9}{y}=1\)，则\(x+y\)的最小值为______。分析：根据均值不等式\(a+b\geq2\sqrt{ab}\)，将\(x+y\)变形为\((x+y)(\frac{1}{x}+\frac{9}{y})=1+9+\frac{y}{x}+\frac{9x}{y}\geq10+2\sqrt{\frac{y}{x}\cdot\frac{9x}{y}}=16\)，当且仅当\(\frac{y}{x}=\frac{9x}{y}\)时等号成立，所以\(x+y\)的最小值为\(16\)。例2：已知圆\(C\)：\(x^2+y^22x4y+1=0\)，直线\(l\)：\(3x4y+m=0\)，若直线\(l\)与圆\(C\)相切，则\(m\)的值为______。分析：将圆\(C\)的方程化为标准方程\((x1)^2+(y2)^2=4\)，圆心坐标为\((1,2)\)，半径\(r=2\)。因为直线\(l\)与圆\(C\)相切，所以圆心到直线的距离等于半径，根据点到直线的距离公式\(d=\frac{|Ax_0+By_0+C|}{\sqrt{A^2+B^2}}\)，可得\(\frac{|3\times14\times2+m|}{\sqrt{3^2+4^2}}=2\)，即\(|m5|=10\)，解得\(m=15\)或\(m=5\)。

（三）解答题1.考查内容包括三角函数、数列、立体几何、概率统计、圆锥曲线等重点知识板块，全面考查学生运用数学知识解决实际问题的能力。2.具体题目分析三角函数解答题已知函数\(f(x)=\sin^2x+\sqrt{3}\sinx\cosx\)。（Ⅰ）求函数\(f(x)\)的最小正周期；（Ⅱ）若\(x\in[0,\frac{\pi}{2}]\)，求函数\(f(x)\)的值域。分析：（Ⅰ）先对\(f(x)\)进行化简：\[\begin{align*}f(x)&=\sin^2x+\sqrt{3}\sinx\cosx\\&=\frac{1\cos2x}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}\sin2x\\&=\frac{\sqrt{3}}{2}\sin2x\frac{\cos2x}{2}+\frac{1}{2}\\&=\sin(2x\frac{\pi}{6})+\frac{1}{2}\end{align*}\]根据正弦函数的周期公式\(T=\frac{2\pi}{\omega}\)（其中\(\omega\)为\(x\)前面的系数），可得\(f(x)\)的最小正周期\(T=\frac{2\pi}{2}=\pi\)。（Ⅱ）因为\(x\in[0,\frac{\pi}{2}]\)，所以\(2x\in[0,\pi]\)，\(2x\frac{\pi}{6}\in[\frac{\pi}{6},\frac{5\pi}{6}]\)。当\(2x\frac{\pi}{6}=\frac{\pi}{6}\)时，\(\sin(2x\frac{\pi}{6})\)取得最小值\(\frac{1}{2}\)；当\(2x\frac{\pi}{6}=\frac{\pi}{2}\)时，\(\sin(2x\frac{\pi}{6})\)取得最大值\(1\)。所以\(\sin(2x\frac{\pi}{6})\in[\frac{1}{2},1]\)，则\(f(x)=\sin(2x\frac{\pi}{6})+\frac{1}{2}\in[0,\frac{3}{2}]\)，即函数\(f(x)\)的值域为\([0,\frac{3}{2}]\)。数列解答题已知数列\(\{a_n\}\)的前\(n\)项和为\(S_n\)，且满足\(S_n=2a_n1\)。（Ⅰ）求数列\(\{a_n\}\)的通项公式；（Ⅱ）设\(b_n=\frac{a_n}{S_nS_{n+1}}\)，求数列\(\{b_n\}\)的前\(n\)项和\(T_n\)。分析：（Ⅰ）当\(n=1\)时，\(S_1=a_1=2a_11\)，解得\(a_1=1\)。当\(n\geq2\)时，\(a_n=S_nS_{n1}=2a_n1(2a_{n1}1)\)，化简得\(a_n=2a_{n1}\)。所以数列\(\{a_n\}\)是以\(1\)为首项，\(2\)为公比的等比数列，根据等比数列的通项公式\(a_n=a_1q^{n1}\)（其中\(q\)为公比），可得\(a_n=2^{n1}\)。（Ⅱ）由（Ⅰ）可知\(S_n=2a_n1=2^n1\)，则\(b_n=\frac{a_n}{S_nS_{n+1}}=\frac{2^{n1}}{(2^n1)(2^{n+1}1)}=\frac{1}{2}(\frac{1}{2^n1}\frac{1}{2^{n+1}1})\)。所以\(T_n=b_1+b_2+\cdots+b_n\)\[\begin{align*}&=\frac{1}{2}[(1\frac{1}{3})+(\frac{1}{3}\frac{1}{7})+\cdots+(\frac{1}{2^n1}\frac{1}{2^{n+1}1})]\\&=\frac{1}{2}(1\frac{1}{2^{n+1}1})\\&=\frac{2^n1}{2(2^{n+1}1)}\end{align*}\]立体几何解答题如图，在三棱柱\(ABCA_1B_1C_1\)中，\(AA_1\perp\)平面\(ABC\)，\(AB=BC=AA_1=2\)，\(\angleABC=90^{\circ}\)，点\(D\)，\(E\)分别为\(AC\)，\(CC_1\)的中点。

（Ⅰ）证明：\(DE\parallel\)平面\(A_1BC_1\)；（Ⅱ）求三棱锥\(A_1BDE\)的体积。

分析：（Ⅰ）取\(A_1C_1\)的中点\(F\)，连接\(DF\)，\(BF\)。因为\(D\)，\(F\)分别为\(AC\)，\(A_1C_1\)的中点，所以\(DF\parallelAA_1\)，且\(DF=\frac{1}{2}AA_1\)。又因为\(E\)为\(CC_1\)的中点，\(AA_1\parallelCC_1\)，\(AA_1=CC_1\)，所以\(DF\parallelEC\)，且\(DF=EC\)，则四边形\(DECF\)为平行四边形，所以\(DE\parallelCF\)。因为\(CF\subset\)平面\(A_1BC_1\)，\(DE\not\subset\)平面\(A_1BC_1\)，所以\(DE\parallel\)平面\(A_1BC_1\)。（Ⅱ）因为\(AA_1\perp\)平面\(ABC\)，\(AB=BC=2\)，\(\angleABC=90^{\circ}\)，所以\(S_{\triangleABC}=\frac{1}{2}\times2\times2=2\)。又因为\(E\)为\(CC_1\)的中点，所以\(V_{A_1BDE}=V_{A_1ABC}V_{EABC}V_{DA_1B_1C_1}\)\(V_{A_1ABC}=\frac{1}{3}S_{\triangleABC}\cdotAA_1=\frac{1}{3}\times2\times2=\frac{4}{3}\)\(V_{EABC}=\frac{1}{3}S_{\triangleABC}\cdotCE=\frac{1}{3}\times2\times1=\frac{2}{3}\)\(V_{DA_1B_1C_1}=\frac{1}{3}S_{\triangleA_1B_1C_1}\cdotAD\)，\(S_{\triangleA_1B_1C_1}=S_{\triangleABC}=2\)，\(AD=\frac{1}{2}AC=\sqrt{2}\)，所以\(V_{DA_1B_1C_1}=\frac{1}{3}\times2\times\sqrt{2}\times\frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{2}{3}\)则\(V_{A_1BDE}=\frac{4}{3}\frac{2}{3}\frac{2}{3}=\frac{2}{3}\)。概率统计解答题为了了解某地区高三学生的身体发育情况，抽查了该地区\(100\)名年龄在\(17.518\)岁的男生体重（kg），得到频率分布直方图如下：

（Ⅰ）根据频率分布直方图，求这\(100\)名学生体重的中位数；（Ⅱ）若在体重在\([64.5,66.5)\)内的男生中任选\(2\)人，求这\(2\)人体重都在\([65.5,66.5)\)内的概率。

分析：（Ⅰ）设中位数为\(x\)，因为\(0.02\times2+0.1\times2+0.16\times2+(x64)\times0.2=0.5\)，\(0.04+0.2+0.32+(x64)\times0.2=0.5\)，\(0.56+(x64)\times0.2=0.5\)，\((x64)\times0.2=0.50.56=0.06\)，\(x64=0.3\)，解得\(x=63.7\)，所以这\(100\)名学生体重的中位数为\(63.7\)。（Ⅱ）体重在\([64.5,66.5)\)内的男生人数为\(0.2\times100=20\)人，其中体重在\([65.5,66.5)\)内的人数为\(0.1\times100=10\)人。设体重在\([64.5,66.5)\)内的\(20\)名男生分别为\(a_1,a_2,\cdots,a_{20}\)，体重在\([65.5,66.5)\)内的\(10\)名男生为\(b_1,b_2,\cdots,b_{10}\)。从体重在\([64.5,66.5)\)内的男生中任选\(2\)人的基本事件总数为\(C_{20}^2=\frac{20\times19}{2\times1}=190\